加练6 平行四边形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·河南数学 数 学 加练６　平行四边形 （每年考查０－２道，０－６分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第９题） １．如图，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ与∠ＣＤＡ的平分 线相交于点 Ｏ，且分别交 ＢＣ于点 Ｅ，Ｆ．ＯＰ 为△ＯＥＦ的中线．若 ＢＦ＝３，ＯＰ＝２，则 ＡＢＣＤ的周长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 第１题图 Ａ．１２ Ｂ．１７ Ｃ．２８ Ｄ．３４ ２．如图，在ＯＡＢＣ中，边ＯＣ在ｘ轴正半轴上， Ａ（２，槡２３），Ｃ（６，０）．按以下步骤作图：分别 以点Ｂ，Ｃ为圆心，大于１２ＢＣ的长为半径作 弧，两弧相交于Ｅ，Ｆ；作直线ＥＦ，交ＡＢ于点 Ｈ；连接ＯＨ，则ＯＨ的长为 （　　） 槡 槡 槡 槡Ａ．２５ Ｂ．２７ Ｃ．２２ Ｄ．２３ 第２题图 第３题图 ３．如图，ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ（０，０），Ｃ（１３，０）， ＯＡ＝３，点Ｂ在第一象限，将ＯＡＢＣ绕点 Ｏ 顺时针旋转得到ＯＡ′Ｂ′Ｃ′，当点 Ａ的对应 点Ａ′落在ｘ轴正半轴上时，点Ｂ的对应点Ｂ′ 恰好落在ＢＣ的延长线上，则点Ｂ′的坐标是 （　　） Ａ．（５，－１２） Ｂ．（８，－１２） Ｃ．（８，－１３） Ｄ．（１２，－８） ４．如图，原点 Ｏ为ＡＢＣＤ的对称中心，ＡＢ∥ ｘ轴，与ｙ轴交于点Ｅ（０，１），ＡＤ与ｘ轴交于 点 Ｆ（－３２，０），ＢＥ＝２ＡＥ．若将△ＡＯＥ绕原 点Ｏ顺时针旋转，每次旋转９０°，则第２０２４ 次旋转结束时，点Ａ的对应点的坐标是 （　　） 第４题图 Ａ．（１，－１） Ｂ．（－１，１） Ｃ．（３２，－１） Ｄ．（３，０） 二、填空题（每小题３分） （猜押第１２题） ５．如图，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的平分线 ＡＥ交 ＣＤ于点 Ｅ，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，则 ＥＣ的长 为　　　　． 第５题图 第６题图 ６．将一副三角尺在ＡＢＣＤ中按如图所示的方式 摆放，若∠１＝３０°，则∠２的度数为　　　　． ７．如图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＯ，ＢＯ的中点， 若ＡＣ＋ＢＤ＝２４ｃｍ，△ＯＡＢ的周长是１８ｃｍ， 则ＥＦ＝　　　　ｃｍ． 第７题图                                                                  ４８ 乾卷加练·河南数学 数 学 三、解答题（每小题１０分） （猜押第２３题） ８．（２０２４郑州市九上月考）小明在学习了平行 四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究 产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如 图①，我们把两条对角线互相垂直的四边形 叫作垂美四边形． （１）【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、 正 方 形 中，一 定 是 垂 美 四 边 形 的 是　　　　　　　； （２）【性质探究】通过探究，小明发现了垂美 四边形的一些性质：垂美四边形 ＡＢＣＤ的面 积 Ｓ与 对 角 线 ＡＣ，ＢＤ 的 数 量 关 系 为　　　　　　； （３）【问题解决】如图②，分别以Ｒｔ△ＡＣＢ的 直角边 ＡＣ和斜边 ＡＢ为边向外作正方形 ＡＣＦＧ和正方形 ＡＢＤＥ．连接 ＣＥ，ＢＧ，ＧＥ， ＣＧ，ＢＥ，已知ＡＣ＝４，ＡＢ＝５． ①求证：四边形ＢＣＧＥ为垂美四边形； ②求四边形ＢＣＧＥ的面积； （４）【学以致用】请直接写出（３）中ＧＥ的长． 　　 第８题图 ９．下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条 线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完 成相应的任务． 第９题图 如图①，①分别以点Ａ，Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的 长为半径在ＡＢ两侧画弧，分别交于点Ｃ，Ｄ； ②连接ＡＣ，ＢＣ，ＡＤ，作射线ＢＤ； ③以点Ｄ为圆心，ＢＤ长为半径画弧，交射线 ＢＤ于点Ｅ； ④连接ＣＥ，分别交ＡＢ，ＡＤ于点Ｆ，Ｈ，则点Ｆ 即为ＡＢ的三等分点（即ＡＦ＝１３ＡＢ）． 任务： （１）填空：四边形ＡＤＢＣ的形状是　　　　， 你的依据是　　　　　　　　　　； （２）在证明点 Ｆ为 ＡＢ的三等分点时，同学 们有不同的思路． 小明：我是先证明△ＡＨＣ≌△ＤＨＥ，再通过证 明△ＡＨＦ∽△ＢＣＦ得到结论的； 小亮：我是通过证明一次三角形相似得到结 论的； 请你选择一种自己喜欢的思路给出证明； （３）如图②，若∠ＣＡＤ＝６０°，ＡＣ 槡＝４３，将ＣＨ 绕着点Ｃ逆时针旋转，当点 Ｈ的对应点 Ｈ′ 落在直线ＦＤ上时，请直接写出ＤＨ′的长                                                                       ． ５８ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 －３），第三次旋转得到的坐标为（－３，２），第四次旋转得到 的坐标为（２，３），…，∴四次一个循环，∵２０２４÷４＝５０６，∴ 第２０２４次旋转结束时，点Ｃ的坐标为（２，３）． ４．Ｂ　【解析】由作图得ＣＧ平分∠ＡＣＢ，作点Ｄ关于ＣＧ的对称 点Ｄ′，连接ＡＤ′交ＣＧ于点Ｅ，如解图，∵ＣＥ平分∠ＤＣＤ′，∴ ＣＥ垂直平分ＤＤ′，∴ＥＤ′＝ＥＤ，∴ＡＥ＋ＤＥ＝ＡＥ＋Ｄ′Ｅ＝ＡＤ′， ∴此时ＡＥ＋ＤＥ的值最小，最小值为 ＡＤ′的长，∵ＡＣ＝４，Ｄ 为ＡＣ边的中点，∴ＣＤ′＝ＣＤ＝２，在 Ｒｔ△ＡＣＤ′中，ＡＤ′＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２５，∴ＡＥ＋ＤＥ的最小值为 槡２５． 第４题解图 ５．（槡４３＋４）　６．１６５ ７．２或４　【解析】∵∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，∴ＡＢ＝６． 图① 　　 图② 第７题解图 由折叠的性质可知ＡＰ＝ＰＤ，∴∠Ａ＝∠ＰＤＡ＝３０°，∴∠ＢＰＤ ＝６０°，∴若△ＢＰＤ为直角三角形，则分为以下２种情况：① 当∠ＰＤＢ＝９０°时，如解图①，∵∠ＰＤＢ＝９０°，∴ＰＤ＝１２ＰＢ， ∴ＡＰ＋２ＡＰ＝６，解得ＡＰ＝２；②当∠ＰＢＤ＝９０°时，如解图②， ∵∠ＰＢＤ＝９０°，∴ＰＢ＝１２ＰＤ，∴ＡＰ＋ １ ２ＡＰ＝６，解得 ＡＰ＝ ４．综上所述，ＡＰ的长为２或４． ８． 槡２１０或 槡２６　【解析】由题意得△ＢＤＥ是等腰直角三角形， ∴ＢＥＢＤ 槡＝２，∠ＥＢＤ＝４５°，分为以下２种情况：如解图①，当 ∠ＥＣＢ＝９０°时，点Ｄ在 ＡＣ边上，∵△ＡＢＣ是等腰直角三角 形，∴ＢＣＢＡ 槡＝２，∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ， ＢＥ ＢＤ＝ ＢＣ ＢＡ＝ 槡２，∴△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＥＣＢ＝９０°，∴点 Ｄ在 ＡＣ上，∵ＡＤ＝２，ＡＢ＝４，∴ＢＤ＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２ ５，∴ＢＥ＝ 槡２１０；如解图②，当∠ＣＥＢ＝９０°时，同理可得△ＡＢＤ∽ △ＣＢＥ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＢ＝９０°，∴ＢＤ⊥ＡＤ，∴ＢＤ＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３，∴ＢＥ 槡＝２６．综上所述，ＢＥ的长为 槡２ １０或 槡２６． 第８题解图 ９．解：如解图，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ，垂足为Ｆ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＥ， 垂足为Ｇ， 第９题解图 由题意得ＣＦ＝ＡＧ，ＡＦ＝ＣＧ， 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＢ＝６米，∠ＢＡＦ＝１６°， ∴ＢＦ＝ＡＢ·ｓｉｎ１６°≈６×０．２８＝１．６８（米）， ＡＦ＝ＡＢ·ｃｏｓ１６°≈６×０．９６＝５．７６（米）， ∴ＣＧ＝ＡＦ＝５．７６米， ∵ＢＣ＝５米，∴ＣＦ＝ＡＧ＝ＢＣ－ＢＦ＝５－１．６８＝３．３２（米）， 在Ｒｔ△ＡＤＧ中，∠ＡＤＧ＝４５°， ∴ＤＧ＝ ＡＧｔａｎ４５°＝３．３２（米）， ∴ＣＤ＝ＣＧ－ＤＧ＝５．７６－３．３２≈２．４（米）， ∴凉荫处ＣＤ的长约为２．４米． １０．解：如解图，过点 Ｅ分别作 ＡＢ，ＢＰ的垂线，垂足分别为 Ｇ，Ｆ， 第１０题解图 ∵ＭＮ的坡度ｉ为１∶２．４，∴设ＥＦ＝ｘ米，则ＭＦ＝２．４ｘ米， ∵ＭＥ＝ＭＤ＋ＤＥ＝４＋９＝１３（米）， ∴ｘ２＋（２．４ｘ）２＝１３２，解得ｘ＝５（负值已舍去）， ∴ＥＦ＝ＢＧ＝５米，ＭＦ＝１２米， 在Ｒｔ△ＡＧＥ中，ｔａｎ∠ＡＥＧ＝ＡＧＧＥ， 又∵ＧＥ＝ＢＦ＝ＢＭ＋ＭＦ＝３０＋１２＝４２（米）， ∴ＡＧ＝ｔａｎ∠ＡＥＧ·ＧＥ＝ｔａｎ２７°×４２≈０．５１×４２≈２１（米）， ∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝２６（米）， ∴信号塔ＡＢ的高度约为２６米． １１．解：（１）Ｄ；【解法提示】由题意得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°，∴△ＡＣＢ∽△ＥＣＤ，∴甲小组这种测量方法的 原理是我们所学的图形的相似． （２）由题意得ＢＣ＝２ｍ，ＣＤ＝２６ｍ，ＡＢ＝１．５ｍ， ∵△ＡＢＣ∽△ＥＤＣ，∴ＡＢＥＤ＝ ＢＣ ＤＣ，即 １．５ ＥＤ＝ ２ ２６， ∴ＤＥ＝１９．５≈２０，即旗杆的高度约为２０ｍ． 加练６　平行四边形 １．Ｄ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°，∠ＡＤＦ＝∠ＤＦＣ，∵∠ＢＡＤ与 ∠ＣＤＡ的平分线相交于点 Ｏ，∴∠ＯＡＤ＋∠ＡＤＯ＝９０°                                                                       ， ０３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＦ，∴∠ＡＯＤ＝９０°，∠ＣＤＦ＝∠ＤＦＣ，∴∠ＥＯＦ ＝９０°，ＣＤ＝ＣＦ，同理可得 ＡＢ＝ＢＥ，又∵ＯＰ为△ＯＥＦ的中 线，ＯＰ＝２，∴ＥＦ＝４，∵ＢＦ＝３，∴ＢＥ＝７，∴ＣＥ＝ＣＤ－ＥＦ＝ ７－４＝３，∴ＡＢＣＤ的周长为２（ＣＤ＋ＢＣ）＝２×（７＋１０） ＝３４． ２．Ｂ　【解析】如解图，连接 ＣＨ，过点 Ａ作 ＡＭ⊥ＯＣ于点 Ｍ， ∵点Ａ的坐标为（２， 槡２ ３），∴ＯＭ＝２，ＡＭ 槡＝２ ３，∴ＯＡ＝ ２２＋（槡２３）槡 ２＝４，∴∠ＯＡＭ＝３０°，∴∠ＡＯＣ＝６０°，∵四边 形ＯＡＢＣ为平行四边形，∴∠Ｂ＝６０°，ＢＣ＝ＯＡ＝４，由作图步 骤可知，直线 ＥＦ为线段 ＢＣ的垂直平分线，∴ＢＨ＝ＣＨ， ∴△ＢＣＨ为等边三角形，∴ＢＨ＝４，∵点 Ｃ的坐标为（６，０）， ∴ＯＣ＝ＡＢ＝６，∴ＡＨ＝２，∴点Ｈ的坐标为（４，槡２３），∴ＯＨ＝ ４２＋（槡２３）槡 ２ 槡＝２７． 第２题解图 　　 第３题解图 ３．Ｂ　【解析】∵Ｃ（１３，０），∴ＯＣ＝１３，∵将ＯＡＢＣ绕点 Ｏ顺 时针旋转得到ＯＡ′Ｂ′Ｃ′，∴∠ＡＯＣ＝∠Ｃ′ＯＡ′，又∵四边形 ＯＡＢＣ和四边形ＯＡ′Ｂ′Ｃ′均是平行四边形，∴∠ＡＯＣ＝∠Ｂ， ＡＢ∥ＯＣ，Ａ′Ｂ′∥ＯＣ′，∴∠Ｂ＝∠ＯＣＢ′，∠Ｃ′ＯＡ′＝∠Ｂ′Ａ′Ｃ， ∴∠Ｂ′Ａ′Ｃ＝∠ＯＣＢ′，∴Ｂ′Ａ′＝Ｂ′Ｃ＝１３，如解图，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｅ⊥Ａ′Ｃ于点 Ｅ，∵Ａ′Ｃ＝ＯＣ－ＯＡ′＝１３－３＝１０，∴Ａ′Ｅ＝ １ ２Ａ′Ｃ＝５，∴ＯＥ＝８，Ｂ′Ｅ＝ Ｂ′Ａ′ ２－Ａ′Ｅ槡 ２＝ １３２－５槡 ２＝ １２，∴点Ｂ′的坐标为（８，－１２）． ４．Ｂ　【解析】∵每４次旋转３６０°，且２０２４÷４＝５０６，∴第２０２４次 旋转结束时△ＡＯＥ旋转到原来的位置，如解图，设ＢＣ交ｘ轴于 点Ｈ，∵原点Ｏ为ＡＢＣＤ的对称中心，∴点Ｈ与点Ｆ关于点Ｏ 对称，∵Ｆ（－３２，０），∴Ｈ（ ３ ２，０），∵ＡＢ∥ｘ轴，点Ｆ和点Ｈ在ｘ 轴上，∴ＡＢ∥ＦＨ，∵ＡＦ∥ＢＨ，∴四边形 ＡＢＨＦ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＦＨ＝３２＋ ３ ２＝３，∵ ＡＥ ＢＥ＝ １ ２，∴ＡＥ＝ １ ３ＡＢ＝ １ ３×３＝１， ∴Ａ（－１，１），∴第２０２４次旋转结束时，点Ａ的对应点的坐标为 （－１，１）． 第４题解图 　 第６题解图 ５．２ ６．７５°　【解析】如解图，延长 ＥＭ交 ＡＢ于点 Ｆ，在ＡＢＣＤ中， ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＦＥ＝∠２，∵∠３＝∠４＝４５°，∠１＝３０°，∴ ∠ＡＦＥ＝∠１＋∠３＝３０°＋４５°＝７５°，∴∠２＝７５°． ７．３ ８．（１）解：菱形、正方形； （２）解：Ｓ＝１２ＡＣ·ＢＤ； （３）①证明：设ＢＧ，ＣＥ交于点Ｎ，ＣＥ交ＡＢ于点Ｍ，如解图， 第８题解图 ∵四边形 ＡＣＦＧ和四边形 ＡＢＤＥ 是正方形， ∴∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＥ＝９０°，ＡＧ＝ ＡＣ，ＡＢ＝ＡＥ， ∴ ∠ＣＡＧ ＋∠ＢＡＣ ＝∠ＢＡＥ ＋∠ＢＡＣ， 即∠ＧＡＢ＝∠ＣＡＥ， 在△ＧＡＢ和△ＣＡＥ中， ＡＧ＝ＡＣ， ∠ＧＡＢ＝∠ＣＡＥ ＡＢ＝ＡＥ { ， ， ∴△ＧＡＢ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ），∴ＢＧ＝ＣＥ，∠ＡＢＧ＝∠ＡＥＣ， ∵∠ＡＥＣ＋∠ＡＭＥ＝９０°，∠ＡＭＥ＝∠ＢＭＮ， ∴∠ＡＢＧ＋∠ＢＭＮ＝９０°，∴∠ＢＮＭ＝９０°，∴ＢＧ⊥ＣＥ， ∴四边形ＢＣＧＥ为垂美四边形； ②解：∵ＦＧ＝ＣＦ＝ＡＣ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝５， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝３，∴ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ＝７， 在Ｒｔ△ＢＦＧ中，ＢＧ＝ ＢＦ２＋ＦＧ槡 ２ 槡＝ ６５， ∴ＣＥ＝ＢＧ 槡＝ ６５， ∵四边形ＢＣＧＥ为垂美四边形， ∴四边形ＢＣＧＥ的面积＝１２ＢＧ·ＣＥ＝ ６５ ２； （４）解：ＧＥ的长为槡７３． 【解法提示】∵∠ＢＮＣ＝∠Ｆ＝９０°，∠ＣＢＮ＝∠ＧＢＦ，∴ △ＢＮＣ∽△ＢＦＧ，∴ＢＣＢＧ＝ ＢＮ ＢＦ＝ ＣＮ ＦＧ，∴ ３ 槡６５ ＝ＢＮ７＝ ＣＮ ４，∴ＢＮ ＝ 槡２１ ６５６５ ，ＣＮ＝ 槡１２ ６５ ６５ ，∵ＣＥ＝ＢＧ 槡＝ ６５，∴ＮＧ＝ 槡４４ ６５ ６５ ， ＥＮ＝ 槡５３ ６５６５ ，∵∠ＧＮＥ＝９０°，∴ＧＥ＝ ＮＧ ２＋ＥＮ槡 ２ 槡＝ ７３． ９．解：（１）菱形；四条边相等的四边形是菱形； （２）选小明的思路，证明如下： 由作图可知ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＤ＝ＤＥ， ∴四边形ＡＤＢＣ是菱形，∴ＡＣ∥ＢＥ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＡＣＨ＝∠ＤＥＨ，∠ＣＡＨ＝∠ＥＤＨ． ∴△ＡＨＣ≌△ＤＨＥ（ＡＳＡ）．∴ＡＨ＝ＤＨ＝１２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＡＨＦ∽△ＢＣＦ，∴ＡＦＢＦ＝ ＡＨ ＢＣ＝ １ ２， ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＦ＋２ＡＦ＝３ＡＦ，即ＡＦ＝１３ＡＢ； 选小亮的思路，证明如下： 由作图可知：ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＤ＝ＤＥ， ∴四边形ＡＤＢＣ是菱形，ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥ＝２ＡＣ，∴ＡＣ∥ＢＥ． ∴△ＡＣＦ∽△ＢＥＦ，∴ＡＦＢＦ＝ ＡＣ ＢＥ＝ １ ２， ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＦ＋２ＡＦ＝３ＡＦ，即ＡＦ＝１３ＡＢ                                                                       ； １３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 （３）ＤＨ′的长为 槡６－２６或 槡６＋２６．【解法提示】当点 Ｈ′在线 段ＤＦ上时，如解图①，连接ＣＤ交ＡＢ于点Ｏ，过点Ｈ′作Ｈ′Ｇ ⊥ＣＤ于点Ｇ，则∠ＣＧＨ′＝∠ＤＧＨ′＝９０°，∵四边形 ＡＤＢＣ是 菱形，ＡＣ 槡＝４３，∴ＡＤ＝ＡＣ 槡＝４３，ＣＤ垂直平分 ＡＢ，∴ＣＦ＝ ＤＦ，∵∠ＣＡＤ＝６０°，∴△ＡＣＤ是等边三角形，∴∠ＢＡＣ＝ ∠ＢＡＤ＝１２∠ＣＡＤ＝３０°，ＣＤ＝ＡＤ＝ＡＣ 槡＝４３，由（２）中小明 的证明思路，可知 ＡＨ＝ＤＨ＝１２ＡＤ 槡＝２ ３，∴ＣＨ垂直平分 ＡＤ．∴ＡＦ＝ＤＦ，∠ＡＨＣ＝∠ＤＨＣ＝９０°，∴∠ＦＤＡ＝∠ＦＡＤ＝ ３０°，∵∠ＣＤＨ′＝∠ＡＤＣ－∠ＦＤＡ＝６０°－３０°＝３０°，在 Ｒｔ△ＣＤＨ中，ＣＨ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＡＤＣ 槡＝４ ３×槡 ３ ２＝６．∴ＣＨ′＝ ＣＨ＝６，在Ｒｔ△ＤＨ′Ｇ中，∠ＣＤＨ′＝３０°，∴ＧＨ′＝１２ＤＨ′，ＤＧ ＝ＤＨ′·ｃｏｓ∠ＣＤＨ′＝槡３２ＤＨ′，∴ＣＧ＝ＣＤ－ＤＧ 槡＝４ ３－ 槡３ ２ ＤＨ′，在Ｒｔ△ＣＧＨ′中，ＧＨ′２＋ＣＧ２＝ＣＨ′２，（１２ＤＨ′） ２＋（ 槡４ ３ －槡３２ＤＨ′） ２＝６２，解得ＤＨ′ 槡＝６±２６，∵ＤＨ′＜ＤＦ，ＤＦ＝ＣＦ， ＣＦ＜ＣＨ，∴ＤＨ′＜６，∴ＤＨ′ 槡＝６－２６； 第９题解图 当点Ｈ′在线段ＤＦ的延长线上时，如解图②，连接 ＣＤ交 ＡＢ 于点Ｏ，过点Ｈ′作Ｈ′Ｇ⊥ＤＣ的延长线于点 Ｇ，同理可得 ＣＨ′ ＝ＣＨ＝６，ＧＨ′＝１２ＤＨ′，ＤＧ＝ 槡３ ２ＤＨ′，∴ＣＧ＝ＤＧ－ＣＤ＝ 槡３ ２ＤＨ′ 槡－４ ３，在 Ｒｔ△ＣＧＨ′中，ＧＨ′ ２ ＋ＣＧ２ ＝ＣＨ′２， ∴（１２ＤＨ′） ２＋（槡３２ＤＨ′ 槡－４３） ２＝６２，解得ＤＨ′ 槡＝６±２６，∵ ＤＨ′＞ＣＨ′，ＣＨ′＝６，∴ＤＨ′ 槡＝６＋２６．综上所述，ＤＨ′的长为 槡６－２６或 槡６＋２６． 加练７　矩形 １．Ｃ　【解析】如解图，第１次碰到点 Ｑ，第２次碰到点 Ｍ，第３ 次碰到点Ｎ，第４次碰到点 Ａ，第５次碰到点 Ｂ，第６次碰到 点Ｐ，第７次碰到点 Ｑ，第８次碰到点 Ｍ，…，∴从点 Ｑ到点 Ｐ，每６次循环１次，∴２０２４÷６＝３３７……２，∴第２０２４次碰 到是第３３８组的第２次，即碰到点Ｍ． 第１题解图 　　 第３题解图 ２．Ｂ　【解析】∵四边形ＡＢＯＣ是矩形，∴ＯＡ＝ＢＣ＝２，∵每秒旋 转４５°，８次一个循环，２０２５÷８＝２５３……１，∴２０２５秒时，点 Ａ的对应点Ａ２０２５落在ｙ轴正半轴上，∴点 Ａ２０２５的坐标为（０， ２）． ３．Ａ　【解析】延长ＣＢ交射线ＡＦ于点Ｑ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＦ于 点Ｈ，如解图，∵ＡＥ⊥ＡＦ，四边形 ＡＢＣＯ是矩形，∴∠ＥＡＦ＝ ∠ＯＡＢ＝９０°，∴∠ＯＡＥ＝∠ＢＡＦ，∵ＧＨ⊥ＡＦ，∴∠ＧＨＦ＝ ∠ＡＢＱ＝∠ＡＯＥ＝９０°，∵∠ＡＱＢ＝∠ＧＱＨ，∴△ＧＨＱ∽△ＡＢＱ ∽△ＡＯＥ，∴ＧＨＨＱ＝ ＡＢ ＢＱ＝ ＡＯ ＯＥ＝ ２ １，∴ＧＨ＝２ＨＱ，ＢＱ＝ １ ２ＡＢ＝ ２，∴ＡＱ＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２ ５．由作图的步骤，可知 ＡＰ平分 ∠ＥＡＦ，∴∠ＨＡＧ＝４５°，又∵ＧＨ⊥ＡＦ，∴ＡＨ＝ＨＧ．设ＨＱ＝ｘ， 则ＡＨ＝ＨＧ＝２ｘ，∴ＡＱ＝ＡＨ＋ＨＱ＝３ｘ，即 ３ｘ 槡＝２ ５，∴ｘ＝ 槡２５ ３， ∴ ＨＧ ＝ 槡４５ ３， ∴ ＧＱ ＝ ＨＱ ２＋ＨＧ槡 ２ ＝ （槡 ２５ ３） ２＋（槡４５３）槡 ２＝１０３，∴ＣＧ＝ＢＣ＋ＢＱ－ＧＱ＝２＋２－ １０ ３＝ ２ ３，∴点Ｇ的坐标为（４， ２ ３）． ４．Ｄ ５．２６３或７　【解析】连接 Ａ′Ｄ，①当∠ＥＡ′Ｄ＝９０°时，如解图①， ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴∠Ａ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ＝１２，ＡＢ＝５， ∴ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２＝１３，根据折叠的性质可得ＡＥ＝Ａ′Ｅ，ＡＢ ＝Ａ′Ｂ＝５，∴Ａ′Ｄ＝ＢＤ－Ａ′Ｂ＝８，设ＡＥ＝Ａ′Ｅ＝ｘ，则 ＤＥ＝１２ －ｘ，在Ｒｔ△Ａ′ＤＥ中，Ａ′Ｅ２＋Ａ′Ｄ２＝ＤＥ２，∴ｘ２＋８２＝（１２－ ｘ）２，解得ｘ＝１０３，∴ＡＥ＝ １０ ３，ＤＥ＝ ２６ ３；②当∠Ａ′ＥＤ＝９０°时， 如解图②，∴∠ＡＥＡ′＝９０°，根据折叠的性质可得∠ＡＥＢ＝ ∠Ａ′ＥＢ，∵∠ＡＥＢ＋∠Ａ′ＥＢ＝９０°，∴∠Ａ′ＥＢ＝∠ＡＥＢ＝４５°， 又∵∠Ａ＝９０°，∴△ＡＢＥ为等腰直角三角形，∴ＡＢ＝ＡＥ＝５， ∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝１２－５＝７．综上所述，ＤＥ的长为２６３或７． 图① 　　 图② 第５题解图 ６． 槡３２或 槡２６　【解析】①当点Ｅ在ＡＤ边上时，如解图①，此时 △ＢＰＥ是等腰直角三角形，即 ＢＰ＝ＰＥ＝３，∴ＢＥ 槡＝２ＢＰ＝３ 槡２；②如解图②，当点Ｅ在 ＣＤ边上时，∵△ＢＰＥ是以 ＢＥ                                                                       为 ２３