加练5 直角三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ７．１或 槡２３３　【解析】如解图，∵△ＡＢＣ是边长为４的等边三角 形，ＢＦ⊥ＡＣ，∴ＣＦ＝１２ＡＣ＝２，∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＡＢＤ＝３０°，ＡＢ ＝ＡＣ，∵∠ＤＡＥ＝６０°，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，∵ＡＤ＝ＡＥ，∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ＝３０°，如解图①，当ＥＦ⊥ ＣＥ时，ＥＦ＝１２ＣＦ＝１；如解图②，当 ＥＦ⊥ＣＦ时，ＥＦ＝ＣＦ· ｔａｎ３０°＝槡３３ＣＦ＝ 槡２３ ３．综上所述，ＥＦ的长为１或 槡２３ ３． 第７题解图 ８．１１或 １２　【解析】∵ＡＢ＝１６ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝２０ｃｍ，①当△ＢＣＱ是以 ＢＣ为底边的等腰三 角形时，ＣＱ＝ＢＱ，如解图①，则∠Ｃ＝∠ＣＢＱ，∵∠ＡＢＣ＝ ９０°，∴∠ＣＢＱ＋∠ＡＢＱ＝９０°，∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°，∴∠Ａ＝ ∠ＡＢＱ，∴ＢＱ＝ＡＱ，∴ＣＱ＝ＡＱ＝１２ＡＣ＝１０ｃｍ，∴ＢＣ＋ＣＱ＝ ２２ｃｍ，∴ｔ＝２２÷２＝１１；②当△ＢＣＱ是以 ＢＱ为底边的等腰 三角形时，ＣＱ＝ＢＣ，如解图②，则 ＢＣ＋ＣＱ＝２４ｃｍ，∴ｔ＝２４ ÷２＝１２，综上所述，当△ＢＣＱ是以 ＢＣ或 ＢＱ为底边的等腰 三角形时，ｔ的值为１１或１２． 图① 　　　 图② 第８题解图 ９．（１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠Ｂ＋∠ＢＦＥ＝∠Ｃ＋∠Ｄ＝９０°， ∴∠Ｄ＝∠ＢＦＥ， ∵∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＡ，∴∠Ｄ＝∠ＤＦＡ，∴ＡＤ＝ＡＦ， ∴△ＡＤＦ是等腰三角形； 第９题解图 （２）解：如解图，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＤＥ于 点Ｈ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠ＡＨＦ＝∠ＢＥＦ＝９０°， 由（１）知，ＡＤ＝ＡＦ，∴ＤＨ＝ＦＨ， 在△ＡＦＨ和△ＢＦＥ中， ∠ＡＨＦ＝∠ＢＥＦ， ∠ＡＦＨ＝∠ＢＦＥ， ＡＦ＝ＢＦ { ， ∴△ＡＦＨ≌△ＢＦＥ（ＡＡＳ）， ∴ＦＨ＝ＥＦ，∴ＤＨ＝ＦＨ＝ＥＦ， 在Ｒｔ△ＢＥＦ中，∵ＢＦ 槡＝ １３，ＢＥ＝２， ∴ＥＦ＝ ＢＦ２－ＢＥ槡 ２＝３，∴ＤＥ＝３ＥＦ＝９． １０．解：（１）ＢＥ＝ＡＤ；【解法提示】如题图①，∵将线段 ＣＤ绕点 Ｄ顺时针旋转α得到线段 ＥＤ，∴∠ＣＤＥ＝α，ＤＣ＝ＤＥ，∵α ＝６０°，∴∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ＝６０°，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ和 △ＤＣＥ都是等边三角形，∴ＢＣ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＤＣＥ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°，∴∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ，∴△ＢＣＥ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）， ∴ＢＥ＝ＡＤ． （２）不成立，理由如下：如题图②，∵将线段ＣＤ绕点Ｄ顺时 针旋转α得到线段ＥＤ， ∴∠ＣＤＥ＝α，ＤＣ＝ＤＥ， ∵α＝９０°，∴∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形， ∴ＣＥ 槡＝２ＣＤ，ＢＣ 槡＝２ＡＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝４５°， ∴ＣＥＣＤ 槡＝２＝ ＢＣ ＡＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ， ∴△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，∴ＢＥＡＤ＝ ＣＥ ＣＤ 槡＝２，∴ＢＥ 槡＝２ＡＤ； （３）①当点Ｄ在△ＡＢＣ内部时，如解图①，过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ ＢＥ交ＢＥ的延长线于点Ｍ， 易得四边形ＣＤＥＭ是正方形，∴ＣＭ＝ＥＭ＝ＤＥ＝２， ∵△ＡＢＣ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形，ＡＢ＝３，ＤＥ＝２， ∴ＢＣ 槡＝３２，ＣＥ 槡＝２２， 在Ｒｔ△ＢＭＣ中，ＢＭ＝ （槡３２） ２ 槡 －２ ２ 槡＝ １４， ∴ＢＥ 槡＝ １４－２， 由（２）知，△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，ＢＥ 槡＝２ＡＤ，∴ＡＤ 槡 槡＝７－２； ②当点 Ｄ在△ＡＢＣ外部时，如解图②，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＢＥ 于点Ｆ，易得四边形ＣＤＥＦ是正方形，∴ＣＦ＝ＤＥ＝２， 同理可得△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，∴ＢＣＡＣ＝ ＣＥ ＣＤ＝ ＢＥ ＡＤ， 即 槡 ３２ ３ ＝ 槡２２ ２ ＝ ＢＥ ＡＤ，∴ＢＥ 槡＝２ＡＤ， 在Ｒｔ△ＢＦＣ中，ＢＦ＝ （槡３２） ２－２槡 ２ 槡＝ １４， ∴ＢＥ 槡＝ １４＋２，∴ＡＤ 槡 槡＝７＋２． 综上所述，ＡＤ的长为槡 槡７－２或槡 槡７＋２． 图① 　　 图② 第１０题解图 加练５　直角三角形 １．Ａ　２．Ｂ 第３题解图 ３．Ｄ　【解析】如解图，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ｙ轴 于点Ｄ，∵ＯＡ＝ＯＢ＝１，∴△ＡＯＢ是等腰 直角三角形，∴∠ＡＢＯ＝４５°，∵∠ＡＢＣ＝ ９０°，∴∠ＣＢＤ＝４５°，∴△ＣＢＤ是等腰直 角三角形，∵ＢＣ 槡＝２２，∴ＣＤ＝ＢＤ＝２，∴ ＯＤ＝２＋１＝３，∴Ｃ（２，３），第一次旋转得 到点Ｃ的坐标为（３，－２），第二次旋转得到的坐标为（－２                                                                      ， ９２ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 －３），第三次旋转得到的坐标为（－３，２），第四次旋转得到 的坐标为（２，３），…，∴四次一个循环，∵２０２４÷４＝５０６，∴ 第２０２４次旋转结束时，点Ｃ的坐标为（２，３）． ４．Ｂ　【解析】由作图得ＣＧ平分∠ＡＣＢ，作点Ｄ关于ＣＧ的对称 点Ｄ′，连接ＡＤ′交ＣＧ于点Ｅ，如解图，∵ＣＥ平分∠ＤＣＤ′，∴ ＣＥ垂直平分ＤＤ′，∴ＥＤ′＝ＥＤ，∴ＡＥ＋ＤＥ＝ＡＥ＋Ｄ′Ｅ＝ＡＤ′， ∴此时ＡＥ＋ＤＥ的值最小，最小值为 ＡＤ′的长，∵ＡＣ＝４，Ｄ 为ＡＣ边的中点，∴ＣＤ′＝ＣＤ＝２，在 Ｒｔ△ＡＣＤ′中，ＡＤ′＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２５，∴ＡＥ＋ＤＥ的最小值为 槡２５． 第４题解图 ５．（槡４３＋４）　６．１６５ ７．２或４　【解析】∵∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，∴ＡＢ＝６． 图① 　　 图② 第７题解图 由折叠的性质可知ＡＰ＝ＰＤ，∴∠Ａ＝∠ＰＤＡ＝３０°，∴∠ＢＰＤ ＝６０°，∴若△ＢＰＤ为直角三角形，则分为以下２种情况：① 当∠ＰＤＢ＝９０°时，如解图①，∵∠ＰＤＢ＝９０°，∴ＰＤ＝１２ＰＢ， ∴ＡＰ＋２ＡＰ＝６，解得ＡＰ＝２；②当∠ＰＢＤ＝９０°时，如解图②， ∵∠ＰＢＤ＝９０°，∴ＰＢ＝１２ＰＤ，∴ＡＰ＋ １ ２ＡＰ＝６，解得 ＡＰ＝ ４．综上所述，ＡＰ的长为２或４． ８． 槡２１０或 槡２６　【解析】由题意得△ＢＤＥ是等腰直角三角形， ∴ＢＥＢＤ 槡＝２，∠ＥＢＤ＝４５°，分为以下２种情况：如解图①，当 ∠ＥＣＢ＝９０°时，点Ｄ在 ＡＣ边上，∵△ＡＢＣ是等腰直角三角 形，∴ＢＣＢＡ 槡＝２，∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ， ＢＥ ＢＤ＝ ＢＣ ＢＡ＝ 槡２，∴△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ，∴∠ＤＡＢ＝∠ＥＣＢ＝９０°，∴点 Ｄ在 ＡＣ上，∵ＡＤ＝２，ＡＢ＝４，∴ＢＤ＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２ ５，∴ＢＥ＝ 槡２１０；如解图②，当∠ＣＥＢ＝９０°时，同理可得△ＡＢＤ∽ △ＣＢＥ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＢ＝９０°，∴ＢＤ⊥ＡＤ，∴ＢＤ＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３，∴ＢＥ 槡＝２６．综上所述，ＢＥ的长为 槡２ １０或 槡２６． 第８题解图 ９．解：如解图，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ，垂足为Ｆ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＥ， 垂足为Ｇ， 第９题解图 由题意得ＣＦ＝ＡＧ，ＡＦ＝ＣＧ， 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＢ＝６米，∠ＢＡＦ＝１６°， ∴ＢＦ＝ＡＢ·ｓｉｎ１６°≈６×０．２８＝１．６８（米）， ＡＦ＝ＡＢ·ｃｏｓ１６°≈６×０．９６＝５．７６（米）， ∴ＣＧ＝ＡＦ＝５．７６米， ∵ＢＣ＝５米，∴ＣＦ＝ＡＧ＝ＢＣ－ＢＦ＝５－１．６８＝３．３２（米）， 在Ｒｔ△ＡＤＧ中，∠ＡＤＧ＝４５°， ∴ＤＧ＝ ＡＧｔａｎ４５°＝３．３２（米）， ∴ＣＤ＝ＣＧ－ＤＧ＝５．７６－３．３２≈２．４（米）， ∴凉荫处ＣＤ的长约为２．４米． １０．解：如解图，过点 Ｅ分别作 ＡＢ，ＢＰ的垂线，垂足分别为 Ｇ，Ｆ， 第１０题解图 ∵ＭＮ的坡度ｉ为１∶２．４，∴设ＥＦ＝ｘ米，则ＭＦ＝２．４ｘ米， ∵ＭＥ＝ＭＤ＋ＤＥ＝４＋９＝１３（米）， ∴ｘ２＋（２．４ｘ）２＝１３２，解得ｘ＝５（负值已舍去）， ∴ＥＦ＝ＢＧ＝５米，ＭＦ＝１２米， 在Ｒｔ△ＡＧＥ中，ｔａｎ∠ＡＥＧ＝ＡＧＧＥ， 又∵ＧＥ＝ＢＦ＝ＢＭ＋ＭＦ＝３０＋１２＝４２（米）， ∴ＡＧ＝ｔａｎ∠ＡＥＧ·ＧＥ＝ｔａｎ２７°×４２≈０．５１×４２≈２１（米）， ∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝２６（米）， ∴信号塔ＡＢ的高度约为２６米． １１．解：（１）Ｄ；【解法提示】由题意得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°，∴△ＡＣＢ∽△ＥＣＤ，∴甲小组这种测量方法的 原理是我们所学的图形的相似． （２）由题意得ＢＣ＝２ｍ，ＣＤ＝２６ｍ，ＡＢ＝１．５ｍ， ∵△ＡＢＣ∽△ＥＤＣ，∴ＡＢＥＤ＝ ＢＣ ＤＣ，即 １．５ ＥＤ＝ ２ ２６， ∴ＤＥ＝１９．５≈２０，即旗杆的高度约为２０ｍ． 加练６　平行四边形 １．Ｄ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°，∠ＡＤＦ＝∠ＤＦＣ，∵∠ＢＡＤ与 ∠ＣＤＡ的平分线相交于点 Ｏ，∴∠ＯＡＤ＋∠ＡＤＯ＝９０°                                                                       ， ０３ 乾卷加练·河南数学 数 学 加练５　直角三角形 （每年考查２－４道，１２－１４分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第６－８题） １．（２０２４驻马店市驿城区八上期末）如图，在 平面直角坐标系中，已知点 Ｏ（０，０），Ａ（２， ３），以点 Ｏ为圆心，ＯＡ长为半径画弧，交 ｘ 轴的正半轴于点Ｂ，则点Ｂ的横坐标介于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３和４之间 Ｂ．４和５之间 Ｃ．５和６之间 Ｄ．６和７之间 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２４许昌市八上期末）将含３０°角的直角 三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 α＝６０°，点 Ｂ，Ｃ表示的刻度分别为 １ｃｍ， ３ｃｍ，则线段ＡＣ的长为 （　　） Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ （猜押第９题） ３．如图，△ＡＢＣ的顶点 Ａ，Ｂ分别在 ｘ轴，ｙ轴 上，∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＡ＝ＯＢ＝１，ＢＣ 槡＝２ ２，将 △ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转，每次旋转９０°，则 第２０２４次旋转结束时，点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（３，－２） Ｂ．（－２，－３） Ｃ．（－３，－２） Ｄ．（２，３） 第３题图 　　 第４题图 ４．（２０２４信阳市九下开学考）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°．按以下步骤作图：①以点Ｃ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ＡＣ，ＣＢ 于点 Ｎ，Ｍ；②分别以 Ｍ，Ｎ为圆心，大于 １ ２ＭＮ的长为半径画弧，两弧在∠ＡＣＢ内交 于点Ｇ；③作射线 ＣＧ．若 ＡＣ＝４，Ｄ为 ＡＣ边 的中点，Ｅ为射线 ＣＧ上一动点，则 ＡＥ＋ＤＥ 的最小值为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２５ Ｃ．２３ Ｄ．５ 二、填空题（每小题３分） （猜押第１４题） ５．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从 Ａ处向北 偏东６０°的方向行驶８海里到达 Ｂ处，再从 Ｂ处向南偏东４５°的方向行驶到出发点Ａ正 东方向上的Ｃ处，此时这艘船距离出发点Ａ 处　　　　海里．（结果保留根号） 第５题图 　　 第６题图 ６．（数学文化）据《九章算术》记载：“今有山居木 西，不知其高．山去木五十三里，木高九丈五尺． 人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高 七尺，问山高几何？”大意如下：如图，今有山ＡＢ 位于树ＣＤ的西面，山高ＡＢ未知．山与树之间 的距离ＢＤ为５３里，树高９丈５尺．人站在离树 ３里的Ｆ处，人眼Ｅ观察到树梢Ｃ恰好与山峰 Ａ处在同一斜线上，人眼离地７尺，则山ＡＢ的 高约为　　　　丈．（１里＝１５００尺，１丈＝ １０尺，结果保留整数） （猜押第１５题） ７．（２０２４信阳市八上期末）如图，在△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝３，Ｐ是ＡＢ上一动 点，ＰＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，沿 ＰＥ将∠Ａ折叠，点 Ａ 的对应点为Ｄ，连接ＤＢ，若△ＢＰＤ                                                                  是直角三 １８ 乾卷加练·河南数学 数 学 角形，则ＰＡ＝　　　　． 第７题图 　　　 第８题图 ８．【全角度考法探究———针对乾卷第１５题】如 图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝ ４．Ｄ为△ＡＢＣ内一动点（包含边界），ＡＤ＝ ２，连接ＢＤ．将ＢＤ绕点Ｄ逆时针旋转９０°得 到ＥＤ，连接ＢＥ，ＣＥ．当△ＣＥＢ为直角三角形 时，ＢＥ的长为　　　　． 三、解答题（每小题９分） （猜押第１８－２０题） ９．【全角度考法探究———针对坤卷第 １９题】 （２０２４新乡市九上期末）为建设美好公园社 区，增强民众生活幸福感，文化路社区服务 中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社 区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳棚 ＡＢ长为６米，从点 Ａ看到棚顶顶点 Ｂ的仰 角为 １６°，从点 Ａ看到地面点 Ｄ的俯角为 ４５°，且靠墙端离地高 ＢＣ为５米，当太阳光 线ＡＤ与地面ＣＥ的夹角为４５°时，求凉荫处 ＣＤ的长．（结果精确到 ０．１米；参考数据： ｓｉｎ１６°≈０．２８，ｃｏｓ１６°≈０．９６，ｔａｎ１６°≈０．２９） 第９题图 １０． 优质原创 如图，在距某信号塔ＡＢ（ＡＢ 垂直于地面 ＢＰ）底部点 Ｂ的右侧３０米处 有一个斜坡，斜坡ＭＮ的坡度ｉ为１∶２．４，斜 坡上４米处有一竖直广告牌ＣＤ（即ＭＤ＝４ 米，ＣＤ⊥ＢＰ），已知当阳光与水平线夹角成 ２７°时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的 影子顶端重合于点 Ｅ（即点 Ａ，Ｃ，Ｅ在同一 条直线上），经测量，ＤＥ的长度为９米，求 信号塔ＡＢ的高度．（结果保留整数；参考数 据：ｓｉｎ２７°≈０．４５，ｔａｎ２７°≈０．５１） 第１０题图                                                                       ２８ 乾卷加练·河南数学 数 学 １１．【全角度考法探究———针对乾卷第１９题】（２０２４南阳市九上期末）甲小组测量一旗杆的高 度．为减小测量误差，在测量时，对每个数据都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量 结果，以下是他们测量报告的部分内容． 课题 测量旗杆的高度 工具 皮尺，镜子等 成员 甲小组 测量 说明 线段ＥＤ表示旗杆，镜子放在点Ｃ处，人的眼睛与地面的距离ＡＢ＝１．５ｍ，在测量过程 中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端Ｅ． 测量 示意 图 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 Ｂ，Ｃ之间的距离 １．９ｍ ２．１ｍ ２ｍ Ｃ，Ｄ之间的距离 ２５．２ｍ２６．８ｍ ２６ｍ 完成以下问题： （１）甲小组这种测量方法的原理是我们所学的　　　　； Ａ．图形的平移　　　　　　　　Ｂ．图形的旋转 Ｃ．图形的轴对称　　　　　　　Ｄ．图形的相似 （２）根据以上测量数据，请求出旗杆的高度．（结果精确到１ｍ） ３８