加练4 等腰三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ∴小航的成绩应为５０分． １４．解：（１）（ｘ－６０）； （２）由表格中数据可知，月销售量ｙ（件）与售价ｘ（元）满足 一次函数关系， 设月销售量ｙ与售价ｘ的关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 由题意得 １００ｋ＋ｂ＝２００， １１０ｋ＋ｂ＝１８０{ ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝４００{ ， ∴月销售量ｙ（件）与售价 ｘ（元）的函数关系式为 ｙ＝－２ｘ ＋４００； （３）由题意得Ｗ＝（ｘ－６０）（－２ｘ＋４００）＝－２ｘ２＋５２０ｘ－ ２４０００＝－２（ｘ－１３０）２＋９８００， ∵－２＜０，∴当ｘ＝１３０时，Ｗ有最大值，最大值为９８００元， 答：售价定为 １３０元时，当月的利润最大，最大利润是 ９８００元． １５．解：（１）∵一次函数ｙ＝－２ｘ＋ｂ的图象经过点Ａ（１，０）， ∴－２＋ｂ＝０，∴ｂ＝２， ∴一次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ＋２， ∵ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋１）２＋ｃ－ａ， ∴抛物线的顶点Ｂ的坐标为（－１，ｃ－ａ）， ∵一次函数ｙ＝－２ｘ＋２的图象过点Ｂ， ∴ｃ－ａ＝２＋２＝４，∴ｃ＝４＋ａ，∴ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋４＋ａ， 把Ａ（１，０）代入得ａ＋２ａ＋４＋ａ＝０，解得ａ＝－１，∴ｃ＝４＋ ａ＝３， ∴二次函数的解析式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３； （２）观察函数图象可知，不等式 ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ＞－２ｘ＋ｂ的 解集为－１＜ｘ＜１； （３） 槡－３≤ｍ≤－１或１≤ｍ≤槡３．【解法提示】∵点 Ｍ的横 坐标为ｍ，将点Ｍ向右平移１个单位长度得到点Ｎ，∴点Ｎ 的横坐标为ｍ＋１，令－ｍ２－２ｍ＋３＝－２（ｍ＋１）＋２，解得 ｍ 槡＝±３，∴点 Ｍ横坐标 ｍ的取值范围为 槡－３≤ｍ≤ －１ 或１≤ｍ≤槡３． １６．解：（１）∵Ｄ（０，４），∴ＯＤ＝４， ∵ＯＡ＝ＯＤ，点Ａ在ｘ轴的负半轴上，∴Ａ（－４，０）， 把Ａ（－４，０），Ｄ（０，４）代入ｙ１＝ａｘ ２－３ｘ＋ｃ， 得 １６ａ＋１２＋ｃ＝０， ｃ＝４{ ， 解得 ａ＝－１，ｃ＝４{ ， ∴该抛物线的解析式为ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４， 把Ａ（－４，０）代入ｙ２＝－ｘ＋ｂ，得４＋ｂ＝０，解得ｂ＝－４； （２）存在．在ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４中， 　第１６题解图 令ｙ１＝０，得－ｘ ２－３ｘ＋４＝０，解得 ｘ１＝ －４，ｘ２＝１， ∴Ｂ（１，０），如解图，设直线 ｙ２＝－ｘ－４ 与ｙ轴交于点Ｇ， 则Ｇ（０，－４），∴ＯＧ＝４， ∵Ａ（－４，０），∴ＯＡ＝４，∴ＯＡ＝ＯＧ， ∴△ＡＯＧ是等腰直角三角形，∴∠ＢＡＣ ＝４５°， 当∠ＡＰ１Ｂ＝９０°时，如解图，过点Ｐ１作Ｐ１Ｈ⊥ｘ轴于点Ｈ， ∵∠ＢＡＰ１＝４５°，∠ＡＰ１Ｂ＝９０°，∴∠ＡＢＰ１＝４５°＝∠ＢＡＰ１， ∴Ｐ１Ａ＝Ｐ１Ｂ，即△ＡＢＰ１是等腰直角三角形， ∵Ｐ１Ｈ⊥ＡＢ，∴ＡＨ＝ＢＨ，即Ｈ是ＡＢ的中点，∴Ｈ（－ ３ ２，０）， ∴点Ｐ１的横坐标为－ ３ ２， 当ｘ＝－３２时，ｙ２＝－（－ ３ ２）－４＝－ ５ ２， ∴Ｐ１（－ ３ ２，－ ５ ２）； 当∠ＡＢＰ２＝９０°时，∠ＡＰ２Ｂ＝∠ＢＡＰ２＝４５°， ∴ＢＰ２＝ＡＢ＝５，∴点Ｐ２的纵坐标为－５， 令－ｘ－４＝－５，解得ｘ＝１，∴Ｐ２（１，－５）． 综上所述，在直线ｙ２＝－ｘ－４上存在点 Ｐ，使得△ＡＢＰ是 等腰直角三角形，点Ｐ的坐标为（－３２，－ ５ ２）或（１，－５）． 加练４　等腰三角形 １．Ｂ　２．Ａ　３．Ｄ ４．Ｂ　【解析】∵ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝１２０°，点Ｃ为ＯＢ的中点，∴ ∠Ｂ＝∠ＯＡＢ＝３０°，ＯＣ＝２，∵∠ＡＯＤ＝９０°，∴∠ＣＯＤ＝３０°，∴ ＣＤ＝１２ＯＣ＝１，ＯＤ 槡＝３，∴点Ｄ的坐标为（０，槡３），将△ＯＣＤ向 右平移，当点Ｃ的对应点Ｃ′落在ＡＢ边上时，点Ｄ的对应点Ｄ′， 如解图，过点Ｃ′作Ｃ′Ｅ⊥ｘ轴于点Ｅ，∴Ｃ′Ｅ＝ＯＤ 槡＝３，∴ＡＥ＝ 槡３Ｃ′Ｅ＝３，∴ＯＥ＝４－３＝１，∴是将△ＯＣＤ向右平移了２个单位 长度，∴点Ｄ的对应点Ｄ′的坐标为（２，槡３）． 第４题解图 　　　 第５题解图 ５．Ｃ　【解析】过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，如解图，∵Ａ（１，１）， Ｂ（３，１），∴ＡＢ＝２，∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＣＨ⊥ＡＢ，∴ＡＣ＝ ＡＢ＝２，ＡＨ＝１２ＡＢ＝１，∴ＣＨ＝ ＡＣ ２－ＡＨ槡 ２ 槡＝３，∴Ｃ（２，１＋ 槡３），把△ＡＢＣ“先沿ｘ轴翻折，再向右平移２个单位长度”可 得Ｃ的对应点坐标为（２＋２， 槡－１－３）；再做一次同样的变 换可得Ｃ的对应点坐标为（２＋２×２， 槡１＋３）；做第三次变换 可得Ｃ的对应点坐标为（２＋２×３， 槡－１－３），…，∴连续经 过２０２４次变换后，等边三角形ＡＢＣ的顶点Ｃ的对应点坐标 为（２＋２×２０２４， 槡１＋３），即（４０５０， 槡１＋３）． ６．３　【解析】当ＡＢ为腰时，如解图①，点Ｃ有２个；当ＡＢ为底 时，如解图②，点Ｃ有１个，综上所述，点Ｃ共有３个． 　　 第６                                                                       题解图 ８２ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ７．１或 槡２３３　【解析】如解图，∵△ＡＢＣ是边长为４的等边三角 形，ＢＦ⊥ＡＣ，∴ＣＦ＝１２ＡＣ＝２，∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＡＢＤ＝３０°，ＡＢ ＝ＡＣ，∵∠ＤＡＥ＝６０°，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，∵ＡＤ＝ＡＥ，∴ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ＝３０°，如解图①，当ＥＦ⊥ ＣＥ时，ＥＦ＝１２ＣＦ＝１；如解图②，当 ＥＦ⊥ＣＦ时，ＥＦ＝ＣＦ· ｔａｎ３０°＝槡３３ＣＦ＝ 槡２３ ３．综上所述，ＥＦ的长为１或 槡２３ ３． 第７题解图 ８．１１或 １２　【解析】∵ＡＢ＝１６ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝２０ｃｍ，①当△ＢＣＱ是以 ＢＣ为底边的等腰三 角形时，ＣＱ＝ＢＱ，如解图①，则∠Ｃ＝∠ＣＢＱ，∵∠ＡＢＣ＝ ９０°，∴∠ＣＢＱ＋∠ＡＢＱ＝９０°，∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°，∴∠Ａ＝ ∠ＡＢＱ，∴ＢＱ＝ＡＱ，∴ＣＱ＝ＡＱ＝１２ＡＣ＝１０ｃｍ，∴ＢＣ＋ＣＱ＝ ２２ｃｍ，∴ｔ＝２２÷２＝１１；②当△ＢＣＱ是以 ＢＱ为底边的等腰 三角形时，ＣＱ＝ＢＣ，如解图②，则 ＢＣ＋ＣＱ＝２４ｃｍ，∴ｔ＝２４ ÷２＝１２，综上所述，当△ＢＣＱ是以 ＢＣ或 ＢＱ为底边的等腰 三角形时，ｔ的值为１１或１２． 图① 　　　 图② 第８题解图 ９．（１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠Ｂ＋∠ＢＦＥ＝∠Ｃ＋∠Ｄ＝９０°， ∴∠Ｄ＝∠ＢＦＥ， ∵∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＡ，∴∠Ｄ＝∠ＤＦＡ，∴ＡＤ＝ＡＦ， ∴△ＡＤＦ是等腰三角形； 第９题解图 （２）解：如解图，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＤＥ于 点Ｈ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ，∴∠ＡＨＦ＝∠ＢＥＦ＝９０°， 由（１）知，ＡＤ＝ＡＦ，∴ＤＨ＝ＦＨ， 在△ＡＦＨ和△ＢＦＥ中， ∠ＡＨＦ＝∠ＢＥＦ， ∠ＡＦＨ＝∠ＢＦＥ， ＡＦ＝ＢＦ { ， ∴△ＡＦＨ≌△ＢＦＥ（ＡＡＳ）， ∴ＦＨ＝ＥＦ，∴ＤＨ＝ＦＨ＝ＥＦ， 在Ｒｔ△ＢＥＦ中，∵ＢＦ 槡＝ １３，ＢＥ＝２， ∴ＥＦ＝ ＢＦ２－ＢＥ槡 ２＝３，∴ＤＥ＝３ＥＦ＝９． １０．解：（１）ＢＥ＝ＡＤ；【解法提示】如题图①，∵将线段 ＣＤ绕点 Ｄ顺时针旋转α得到线段 ＥＤ，∴∠ＣＤＥ＝α，ＤＣ＝ＤＥ，∵α ＝６０°，∴∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ＝６０°，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ和 △ＤＣＥ都是等边三角形，∴ＢＣ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＤＣＥ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°，∴∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ，∴△ＢＣＥ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）， ∴ＢＥ＝ＡＤ． （２）不成立，理由如下：如题图②，∵将线段ＣＤ绕点Ｄ顺时 针旋转α得到线段ＥＤ， ∴∠ＣＤＥ＝α，ＤＣ＝ＤＥ， ∵α＝９０°，∴∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形， ∴ＣＥ 槡＝２ＣＤ，ＢＣ 槡＝２ＡＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝４５°， ∴ＣＥＣＤ 槡＝２＝ ＢＣ ＡＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ， ∴△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，∴ＢＥＡＤ＝ ＣＥ ＣＤ 槡＝２，∴ＢＥ 槡＝２ＡＤ； （３）①当点Ｄ在△ＡＢＣ内部时，如解图①，过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ ＢＥ交ＢＥ的延长线于点Ｍ， 易得四边形ＣＤＥＭ是正方形，∴ＣＭ＝ＥＭ＝ＤＥ＝２， ∵△ＡＢＣ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形，ＡＢ＝３，ＤＥ＝２， ∴ＢＣ 槡＝３２，ＣＥ 槡＝２２， 在Ｒｔ△ＢＭＣ中，ＢＭ＝ （槡３２） ２ 槡 －２ ２ 槡＝ １４， ∴ＢＥ 槡＝ １４－２， 由（２）知，△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，ＢＥ 槡＝２ＡＤ，∴ＡＤ 槡 槡＝７－２； ②当点 Ｄ在△ＡＢＣ外部时，如解图②，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＢＥ 于点Ｆ，易得四边形ＣＤＥＦ是正方形，∴ＣＦ＝ＤＥ＝２， 同理可得△ＢＣＥ∽△ＡＣＤ，∴ＢＣＡＣ＝ ＣＥ ＣＤ＝ ＢＥ ＡＤ， 即 槡 ３２ ３ ＝ 槡２２ ２ ＝ ＢＥ ＡＤ，∴ＢＥ 槡＝２ＡＤ， 在Ｒｔ△ＢＦＣ中，ＢＦ＝ （槡３２） ２－２槡 ２ 槡＝ １４， ∴ＢＥ 槡＝ １４＋２，∴ＡＤ 槡 槡＝７＋２． 综上所述，ＡＤ的长为槡 槡７－２或槡 槡７＋２． 图① 　　 图② 第１０题解图 加练５　直角三角形 １．Ａ　２．Ｂ 第３题解图 ３．Ｄ　【解析】如解图，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ｙ轴 于点Ｄ，∵ＯＡ＝ＯＢ＝１，∴△ＡＯＢ是等腰 直角三角形，∴∠ＡＢＯ＝４５°，∵∠ＡＢＣ＝ ９０°，∴∠ＣＢＤ＝４５°，∴△ＣＢＤ是等腰直 角三角形，∵ＢＣ 槡＝２２，∴ＣＤ＝ＢＤ＝２，∴ ＯＤ＝２＋１＝３，∴Ｃ（２，３），第一次旋转得 到点Ｃ的坐标为（３，－２），第二次旋转得到的坐标为（－２                                                                      ， ９２ 乾卷加练·河南数学 数 学 加练４　等腰三角形 （每年必涉及，但不单独考查） 一、选择题（每小题３分） （猜押第９题） １．如图，在△ＡＢＣ中，以点 Ａ为圆心，ＡＣ长为 半径作弧交ＢＣ于点 Ｄ，再分别以点 Ｂ和点 Ｄ为圆心，大于１２ＢＤ的长为半径作弧，两弧 分别交于点Ｍ和点Ｎ，作直线ＭＮ，交ＡＢ于 点Ｅ．若△ＡＤＥ的周长为１５，ＡＣ＝７，则 ＡＢ 的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２４河南省师大附中九上期末）如图，点Ｐ 是等边△ＡＢＣ的边ＢＣ上的一点，连接ＡＰ．将 △ＡＢＰ绕点Ａ逆时针旋转６０°得到△ＡＣＱ，连 接ＰＱ．若∠ＡＰＣ＝１０８°，则∠ＰＱＣ＝（　　） Ａ．１２° Ｂ．１４° Ｃ．２４° Ｄ．２６° ３．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ为等腰 直角三角形，∠ＢＡＣ＝９０°，点 Ａ（－１，０）， Ｂ（０，－４），将△ＡＢＣ向上平移一个单位长 度后，点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（４，１） Ｂ．（３，１） Ｃ．（４，２） Ｄ．（３，２） 第３题图 　　　　 第４题图 （猜押第１０题） ４．如图，在△ＯＡＢ中，ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝ １２０°，点 Ｃ为 ＯＢ的中点，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ｙ 轴，垂足为 Ｄ．将△ＯＣＤ向右平移，当点Ｃ的 对应点Ｃ′落在ＡＢ边上时，点Ｄ的对应点Ｄ′的 坐标为 （　　） Ａ．（２，槡２） Ｂ．（２，槡３） Ｃ．（３，槡２） Ｄ．（３，槡３） ５．【全角度考法探究———针对坤卷第 １０题】 （２０２４驻马店市八上期末）如图，等边三角 形ＡＢＣ的顶点 Ａ（１，１），Ｂ（３，１），规定把 △ＡＢＣ“先沿ｘ轴翻折，再向右平移２个单位 长度”为一次变换，这样连续经过２０２４次变 换后，等边三角形ＡＢＣ的顶点Ｃ的坐标为 （　　） 　第５题图 Ａ．（４０４８， 槡１＋３） Ｂ．（４０４８， 槡－１－３） Ｃ．（４０５０， 槡１＋３） Ｄ．（４０５０， 槡－１－３） 二、填空题（每小题３分） （猜押第１４题） ６．（２０２４驻马店市八上期末）如图，在 ３×３ 的正方形网格中，Ａ，Ｂ两点都在小正方形 的顶点上，如果点 Ｃ也是图中小方格的顶 点，且△ＡＢＣ是等腰三角形，那么点 Ｃ 有　　　个． 第６题图 　　 第７题图 （猜押第１５题） ７．（２０２４漯河市召陵区一模）如图，△ＡＢＣ是 边长为４的等边三角形，点 Ｄ为高 ＢＦ上的 一个动点，连接 ＡＤ，将 ＡＤ绕点 Ａ顺时针旋 转６０°得到 ＡＥ，连接 ＥＣ，ＥＦ，当△ＣＥＦ是直 角三角形时，ＥＦ的长为　　　　                                                                  ． ９７ 乾卷加练·河南数学 数 学 ８．（２０２４新乡市八上期中改编）如图，在△ＡＢＣ 中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝１６ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，Ｑ是 △ＡＢＣ边上的一个动点，点Ｑ从点Ｂ出发沿 Ｂ→Ｃ→Ａ的方向运动，且速度为每秒２ｃｍ， 设运动时间为ｔ秒，当△ＢＣＱ是以ＢＣ或ＢＱ 为底边的等腰三角形时，ｔ的值为　　　　． 第８题图 三、解答题 （猜押第１８题） ９．（９分）（２０２４洛阳市八上期末）如图，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为 ＣＡ延长线上一点， ＤＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，交ＡＢ于点Ｆ． （１）求证：△ＡＤＦ是等腰三角形； （２）若 ＡＦ＝ＢＦ 槡＝ １３，ＢＥ＝２，求线段 ＤＥ 的长． 第９题图 （猜押第２３题） １０．（１０分）在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，顶 角度数为α，点Ｄ是平面内一点，连接ＣＤ， 将ＣＤ绕点Ｄ顺时针旋转α得到线段ＥＤ， 连接ＣＥ，ＢＥ，ＡＤ． （１）如图①，当α＝６０°时，则线段ＢＥ与ＡＤ 的数量关系为：　　　　； （２）如图②，当 α＝９０°时，（１）中的结论还 成立吗？请说明理由； （３）在（２）的前提下，若 ＢＥ∥ＣＤ，ＡＢ＝３， ＤＥ＝２，请直接写出线段ＡＤ的长． 第１０题图                                                                       ０８