加练3 二次函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·河南数学 数 学 加练３　二次函数 （每年考查１－２道，９－１４分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第８或９题） １．如图，已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为 直线ｘ＝２，点Ａ，Ｂ均在抛物线上，且 ＡＢ∥ｘ 轴，其中点Ａ的坐标为（０，４），则点Ｂ的坐标 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（４，２） Ｂ．（４，４） Ｃ．（４，３） Ｄ．（３，４） 第１题图 　　 第４题图 ２．【全角度考法探究———针对坤卷第９题】若 一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象经过第一、二、三 象限，则二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂ的大致图象是 （　　） ３．（２０２４新乡市九上期末）关于二次函数 ｙ＝ （ｘ＋３）２－２，下列说法错误的是 （　　） Ａ．图象的开口方向向上 Ｂ．图象的顶点坐标为（－３，－２），函数的最 小值为－２ Ｃ．图象的对称轴为直线 ｘ＝－３，当 ｘ＜－３ 时，ｙ随ｘ的增大而减小 Ｄ．图象可由抛物线ｙ＝ｘ２向右平移２个单 位长度，再向上平移３个单位长度得到 ４．【全角度考法探究———针对坤卷第 ７题】 （２０２４北京市九下开学考）在平面直角坐标 系ｘＯｙ中，抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）如 图所示，则关于 ｘ的方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝２的 根的情况为 （　　） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．不确定 ５．（２０２４周口市九上期末改编）在二次函数 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋１的图象中，若ｙ随ｘ的增大 而增大，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＞１ Ｂ．ｘ＜１ Ｃ．ｘ＞－１ Ｄ．ｘ＜－１ 　第６题图 ６．如图，小明以抛物线为灵感， 在平面直角坐标系中设计了 一款高ＯＤ为１３的奖杯，杯 体的截面ＡＢＣ是抛物线ｙ＝ ４ ７ｘ ２＋６的一部分，则杯口的 口径ＡＣ长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ 二、填空题（每小题３分） （猜押第１２题） ７．写出一个图象顶点为（１，－２）的二次函数解 析式：　　　　　　　． ８．若抛物线ｙ＝ｍｘ２＋２ｘ＋１与ｘ轴只有一个公 共点，则ｍ的值是　　　　． （猜押第１３题） ９． 优质原创 点Ａ（３，ｎ），Ｂ（５，ｎ）均在抛物线 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上，则ｂ的值为　　　　　． １０．已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ＋３的图象上两个 点的坐标分别为 Ａ（３，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２），则 ｙ１，ｙ２的大小关系为　　　　． １１．（２０２４漯河市九上期末）若抛物线ｙ＝（ｘ＋ １）（ｋ－ｘ）与 ｘ轴有两个交点，则 ｋ的取值 范围是　　　　                                                                  ． ６７ 乾卷加练·河南数学 数 学 三、解答题（每小题１０分） （猜押第２１－２２题） １２．如图，一小球（看作一个点）从斜坡 ＯＡ上 的点Ｏ处抛出，小球的运动轨迹可以用抛 物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ刻画，建立如图所示的 平面直角坐标系，斜坡 ＯＡ可以用直线 ｙ＝ １ ２ｘ刻画，若小球到达的最高点 Ｍ的坐标 为（４，ｍ）． （１）求ｂ和ｍ的值； （２）小球落点为Ａ，求点Ａ的坐标； （３）在斜坡ＯＡ上的点Ｂ处有一棵树（可看 成线段且垂直于ｘ轴），点Ｂ的横坐标为６， 树高为２，小球能否飞过这棵树？请通过计 算说明理由． 第１２题图 １３．【全角度考法探究———针对坤卷第２２题】 “沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味 运动．沙包行进的路线呈抛物线型，经研 究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为 １ｍ，当水平距离为２ｍ时，沙包行进至最 高点２ｍ．建立如图所示的平面直角坐标 系，并设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ ｋ（ａ≠０），其中 ｘ（ｍ）是水平距离，ｙ（ｍ）是 沙包的高度． （１）求抛物线的解析式； （２）若地靶中心到起掷线的距离为５ｍ，设 沙包落地点与地靶中心的距离为 Ｒ（ｃｍ）， 区域与得分对应如下表，请问小航成绩怎 样？并说明理由．（槡２≈１．４１４） 区域 ０≤Ｒ ≤２０ ２０＜Ｒ ≤４０ ４０＜Ｒ ≤６０ ６０＜Ｒ ≤８０ ８０＜Ｒ ≤１００ 得分 ５０分 ４０分 ３０分 ２０分 １０分 第１３题图                                                                       ７７ 乾卷加练·河南数学 数 学 １４．（２０２４新乡市九上期末）直播购物逐渐走 进了人们的生活，电商小莹在网络平台上 对某种运动服进行直播销售，某校九年级 数学兴趣小组经过市场调查，得到该种运 动服每月的销售量与售价的相关信息如 下表： 售价（元／件） １００ １１０ １２０ １３０ … 月销售量（件） ２００ １８０ １６０ １４０ … 已知该运动服的进价为每件６０元，设售价 为每件ｘ元． （１）请用含ｘ的代数式表示：销售该运动服 每件的利润是　　　　元； （２）求月销售量 ｙ（件）与售价 ｘ（元）之间 的关系式； （３）小莹的线下实体商店也销售同款运动 服，为提高市场竞争力，促进线下销售，小 莹决定对该运动服实行降价销售．售价定 为多少元时，当月的利润 Ｗ最大？最大利 润是多少？ １５．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，二次函数 ｙ＝ ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ的图象与一次函数ｙ＝－２ｘ＋ ｂ的图象交于点 Ａ（１，０）和点 Ｂ，点 Ｂ为二 次函数图象的顶点． （１）求二次函数和一次函数的解析式； （２）结合图象直接写出不等式 ａｘ２＋２ａｘ＋ ｃ＞－２ｘ＋ｂ的解集； （３）点Ｍ为二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ图象 上的一个动点，且点Ｍ的横坐标为ｍ，将点 Ｍ向右平移１个单位长度得到点 Ｎ．若线 段ＭＮ与一次函数图象有交点，直接写出 点Ｍ横坐标ｍ的取值范围． 第１５题图 １６．如图，抛物线ｙ１＝ａｘ ２－３ｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴 的交点为Ａ和Ｂ，与ｙ轴的交点为Ｄ（０，４）， 与直线ｙ２＝－ｘ＋ｂ的交点分别为 Ａ和 Ｃ， 且ＯＡ＝ＯＤ． （１）求抛物线的解析式和ｂ的值； （２）在直线ｙ２＝－ｘ＋ｂ上是否存在一点Ｐ， 使得△ＡＢＰ是等腰直角三角形？若存在， 求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由． 第１６题图                                                                       ８７ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ９．（１）解：∵点 Ａ（－１，２）在反比例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＜０）的图 象上， ∴ｋ１＝－１×２＝－２， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝－２ｘ； （２）解：如解图①，点Ｏ′即为所求； 图① 　　　 图② 第９题解图 （３）证明：如解图②，连接 Ｏ′Ａ，Ｏ′Ｂ，点 Ｂ在反比例函数 ｙ＝ －２ｘ的图象上，且点Ｂ到ｙ轴的距离为２，Ａ（－１，２）， ∴点Ｂ的坐标为（－２，１）， ∴ＯＡ＝ （－１）２＋２槡 ２ 槡＝５，ＯＢ＝ １ ２＋（－２）槡 ２ 槡＝５， ∴ＯＡ＝ＯＢ， ∵点Ｏ与点Ｏ′关于直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ对称，Ａ，Ｂ在直线ｙ＝ｋ２ｘ ＋ｂ上， ∴Ｏ′Ａ＝ＯＡ，Ｏ′Ｂ＝ＯＢ，∴Ｏ′Ａ＝ＯＡ＝Ｏ′Ｂ＝ＯＢ， ∴四边形ＯＡＯ′Ｂ是菱形． １０．解：（１）将点Ｄ（２，４）代入ｙ＝ｍｘ中，得ｍ＝８， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝８ｘ， 将Ｅ（ｎ，１）代入ｙ＝８ｘ中，得ｎ＝８，∴Ｅ（８，１）， 将点Ｄ（２，４），Ｅ（８，１）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ中， 得 ２ｋ＋ｂ＝４， ８ｋ＋ｂ＝１{ ，解得 ｋ＝－ １ ２， ｂ＝５ { ， ∴一次函数的解析式为ｙ＝－１２ｘ＋５； （２）反比例函数ｙ＝８ｘ的图象经过矩形ＯＡＢＣ的中心，理由 如下： ∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，∴ＢＣ∥ｘ轴，ＡＢ∥ｙ轴， 又∵Ｅ（８，１），Ｄ（２，４）， ∴Ｂ（８，４），∴矩形ＯＡＢＣ的中心坐标为（４，２）， 将点（４，２）代入ｙ＝８ｘ，得２＝ ８ ４， ∴反比例函数ｙ＝８ｘ的图象经过矩形ＯＡＢＣ的中心； （３）２＜ｘ＜８或ｘ＜０． １１．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过点Ｂ（２，２）， ∴２＝ｋ２，∴ｋ＝４， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝４ｘ； 第１１题解图 （２）如解图，过点 Ｂ作 ＢＨ⊥ｘ轴于 点Ｈ， ∵ＯＢ＝Ｏ′Ｂ，Ｂ（２，２）， ∴ＯＢ＝Ｏ′Ｂ＝ ＯＨ２＋ＢＨ槡 ２ 槡＝２２， ∵ＢＨ⊥ｘ轴，∴ＯＨ＝Ｏ′Ｈ＝ＢＨ＝２， ∴∠ＯＢＨ＝∠Ｏ′ＢＨ＝４５°， ∴∠ＯＢＯ′＝９０°， 由旋转得∠ＡＢＡ′＝∠ＯＢＯ′＝９０°， ∵Ａ（６，０），∴ＯＡ＝６，∴ＡＨ＝４，Ｏ′Ａ＝２， ∴ＡＢ＝ ＡＨ２＋ＢＨ槡 ２ 槡＝２５， ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ△ＡＯ′Ｂ＋Ｓ扇形ＡＢＡ′＝ １ ２×２×２＋ ９０π×（槡２５） ２ ３６０ ＝ ２＋５π． 加练３　二次函数 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｂ　６．Ｂ ７．ｙ＝２（ｘ－１）２－２（答案不唯一）　８．１ ９．８　１０．ｙ１＜ｙ２　１１．ｋ≠－１ １２．解：（１）由题意得－ ｂ ２×（－１２） ＝４，∴ｂ＝４， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ， ∴当ｘ＝４时，ｍ＝－１２×４ ２＋４×４＝８， ∴ｂ＝４，ｍ＝８； （２）由题意，得 ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ， ｙ＝１２ｘ { ， 解得 ｘ＝０，ｙ{ ＝０或 ｘ＝７，ｙ＝７２{ ， ∴点Ａ的坐标为（７，７２）； （３）由题意，当ｘ＝６时，ｙ＝１２ｘ＝３； 当ｘ＝６时，ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ＝６， ∵３＋２＝５，且６＞５，∴小球能飞过这棵树． １３．解：（１）由题图知，抛物线的顶点坐标为（２，２）， ∴抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋２， 把点（０，１）代入解析式得１＝４ａ＋２， 解得ａ＝－１４， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－１４（ｘ－２） ２＋２； （２）小航的成绩为５０分，理由如下： 当ｙ＝０时，－１４（ｘ－２） ２＋２＝０， 解得ｘ１ 槡＝２＋２２，ｘ２ 槡＝－２２＋２（不符合题意，舍去）， 槡∵２＋２２≈４．８２８（ｍ）≈４８３（ｃｍ）， ∴沙包落地点到起掷线的距离约为４８３ｃｍ， ∴沙包落地点与地靶中心的距离约为５００－４８３＝１７（ｃｍ）， ∵０＜１７＜２０                                                                       ， ７２ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ∴小航的成绩应为５０分． １４．解：（１）（ｘ－６０）； （２）由表格中数据可知，月销售量ｙ（件）与售价ｘ（元）满足 一次函数关系， 设月销售量ｙ与售价ｘ的关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 由题意得 １００ｋ＋ｂ＝２００， １１０ｋ＋ｂ＝１８０{ ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝４００{ ， ∴月销售量ｙ（件）与售价 ｘ（元）的函数关系式为 ｙ＝－２ｘ ＋４００； （３）由题意得Ｗ＝（ｘ－６０）（－２ｘ＋４００）＝－２ｘ２＋５２０ｘ－ ２４０００＝－２（ｘ－１３０）２＋９８００， ∵－２＜０，∴当ｘ＝１３０时，Ｗ有最大值，最大值为９８００元， 答：售价定为 １３０元时，当月的利润最大，最大利润是 ９８００元． １５．解：（１）∵一次函数ｙ＝－２ｘ＋ｂ的图象经过点Ａ（１，０）， ∴－２＋ｂ＝０，∴ｂ＝２， ∴一次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ＋２， ∵ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋１）２＋ｃ－ａ， ∴抛物线的顶点Ｂ的坐标为（－１，ｃ－ａ）， ∵一次函数ｙ＝－２ｘ＋２的图象过点Ｂ， ∴ｃ－ａ＝２＋２＝４，∴ｃ＝４＋ａ，∴ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋４＋ａ， 把Ａ（１，０）代入得ａ＋２ａ＋４＋ａ＝０，解得ａ＝－１，∴ｃ＝４＋ ａ＝３， ∴二次函数的解析式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３； （２）观察函数图象可知，不等式 ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ＞－２ｘ＋ｂ的 解集为－１＜ｘ＜１； （３） 槡－３≤ｍ≤－１或１≤ｍ≤槡３．【解法提示】∵点 Ｍ的横 坐标为ｍ，将点Ｍ向右平移１个单位长度得到点Ｎ，∴点Ｎ 的横坐标为ｍ＋１，令－ｍ２－２ｍ＋３＝－２（ｍ＋１）＋２，解得 ｍ 槡＝±３，∴点 Ｍ横坐标 ｍ的取值范围为 槡－３≤ｍ≤ －１ 或１≤ｍ≤槡３． １６．解：（１）∵Ｄ（０，４），∴ＯＤ＝４， ∵ＯＡ＝ＯＤ，点Ａ在ｘ轴的负半轴上，∴Ａ（－４，０）， 把Ａ（－４，０），Ｄ（０，４）代入ｙ１＝ａｘ ２－３ｘ＋ｃ， 得 １６ａ＋１２＋ｃ＝０， ｃ＝４{ ， 解得 ａ＝－１，ｃ＝４{ ， ∴该抛物线的解析式为ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４， 把Ａ（－４，０）代入ｙ２＝－ｘ＋ｂ，得４＋ｂ＝０，解得ｂ＝－４； （２）存在．在ｙ１＝－ｘ ２－３ｘ＋４中， 　第１６题解图 令ｙ１＝０，得－ｘ ２－３ｘ＋４＝０，解得 ｘ１＝ －４，ｘ２＝１， ∴Ｂ（１，０），如解图，设直线 ｙ２＝－ｘ－４ 与ｙ轴交于点Ｇ， 则Ｇ（０，－４），∴ＯＧ＝４， ∵Ａ（－４，０），∴ＯＡ＝４，∴ＯＡ＝ＯＧ， ∴△ＡＯＧ是等腰直角三角形，∴∠ＢＡＣ ＝４５°， 当∠ＡＰ１Ｂ＝９０°时，如解图，过点Ｐ１作Ｐ１Ｈ⊥ｘ轴于点Ｈ， ∵∠ＢＡＰ１＝４５°，∠ＡＰ１Ｂ＝９０°，∴∠ＡＢＰ１＝４５°＝∠ＢＡＰ１， ∴Ｐ１Ａ＝Ｐ１Ｂ，即△ＡＢＰ１是等腰直角三角形， ∵Ｐ１Ｈ⊥ＡＢ，∴ＡＨ＝ＢＨ，即Ｈ是ＡＢ的中点，∴Ｈ（－ ３ ２，０）， ∴点Ｐ１的横坐标为－ ３ ２， 当ｘ＝－３２时，ｙ２＝－（－ ３ ２）－４＝－ ５ ２， ∴Ｐ１（－ ３ ２，－ ５ ２）； 当∠ＡＢＰ２＝９０°时，∠ＡＰ２Ｂ＝∠ＢＡＰ２＝４５°， ∴ＢＰ２＝ＡＢ＝５，∴点Ｐ２的纵坐标为－５， 令－ｘ－４＝－５，解得ｘ＝１，∴Ｐ２（１，－５）． 综上所述，在直线ｙ２＝－ｘ－４上存在点 Ｐ，使得△ＡＢＰ是 等腰直角三角形，点Ｐ的坐标为（－３２，－ ５ ２）或（１，－５）． 加练４　等腰三角形 １．Ｂ　２．Ａ　３．Ｄ ４．Ｂ　【解析】∵ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝１２０°，点Ｃ为ＯＢ的中点，∴ ∠Ｂ＝∠ＯＡＢ＝３０°，ＯＣ＝２，∵∠ＡＯＤ＝９０°，∴∠ＣＯＤ＝３０°，∴ ＣＤ＝１２ＯＣ＝１，ＯＤ 槡＝３，∴点Ｄ的坐标为（０，槡３），将△ＯＣＤ向 右平移，当点Ｃ的对应点Ｃ′落在ＡＢ边上时，点Ｄ的对应点Ｄ′， 如解图，过点Ｃ′作Ｃ′Ｅ⊥ｘ轴于点Ｅ，∴Ｃ′Ｅ＝ＯＤ 槡＝３，∴ＡＥ＝ 槡３Ｃ′Ｅ＝３，∴ＯＥ＝４－３＝１，∴是将△ＯＣＤ向右平移了２个单位 长度，∴点Ｄ的对应点Ｄ′的坐标为（２，槡３）． 第４题解图 　　　 第５题解图 ５．Ｃ　【解析】过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，如解图，∵Ａ（１，１）， Ｂ（３，１），∴ＡＢ＝２，∵△ＡＢＣ是等边三角形，ＣＨ⊥ＡＢ，∴ＡＣ＝ ＡＢ＝２，ＡＨ＝１２ＡＢ＝１，∴ＣＨ＝ ＡＣ ２－ＡＨ槡 ２ 槡＝３，∴Ｃ（２，１＋ 槡３），把△ＡＢＣ“先沿ｘ轴翻折，再向右平移２个单位长度”可 得Ｃ的对应点坐标为（２＋２， 槡－１－３）；再做一次同样的变 换可得Ｃ的对应点坐标为（２＋２×２， 槡１＋３）；做第三次变换 可得Ｃ的对应点坐标为（２＋２×３， 槡－１－３），…，∴连续经 过２０２４次变换后，等边三角形ＡＢＣ的顶点Ｃ的对应点坐标 为（２＋２×２０２４， 槡１＋３），即（４０５０， 槡１＋３）． ６．３　【解析】当ＡＢ为腰时，如解图①，点Ｃ有２个；当ＡＢ为底 时，如解图②，点Ｃ有１个，综上所述，点Ｃ共有３个． 　　 第６                                                                       题解图 ８２