加练2 反比例函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 数学加练 加练１　一次函数 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ａ　４．ｙ＝ｘ＋２（答案不唯一）　５．（－７，０） ６．ｘ＜２　７．（２，１） ８．解：（１）设温度计的读数 ｙ（℃）和实际温度 ｘ（℃）满足的函 数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 由题意，得当ｘ＝０时，ｙ＝３；当ｘ＝１００时，ｙ＝８７， ∴ ３＝ｂ， ８７＝１００ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝０．８４，ｂ＝３{ ， ∴温度计的读数ｙ（℃）和实际温度 ｘ（℃）满足的函数关系 式为ｙ＝０．８４ｘ＋３； （２）令ｙ＝ｘ，则ｘ＝０．８４ｘ＋３，解得ｘ＝１８．７５， ∴实际温度为１８．７５℃时，温度计的示数与实际温度相同． ９．解：（１）设 Ａ种汴绣产品购进 ｘ件，则 Ｂ种汴绣产品购进 （１００－ｘ）件， 根据题意得１８０ｘ＋８５（１００－ｘ）＝１４２００，解得ｘ＝６０， ∴１００－ｘ＝４０， 答：Ａ种汴绣产品购进６０件，Ｂ种汴绣产品购进４０件； （２）设Ａ种汴绣产品打ｍ折，根据题意得 （２５０×０．１ｍ－１８０）×６０＋（１２０×０．８－８５）×４０≥３１４０， 解得ｍ≥９， 答：Ａ种汴绣产品最低打９折． １０．解：（１）１００，１０，９；【解法提示】根据图象可知，会员卡的价 格为１００元，设一块石料标价为 ａ元，根据题意得０．７ａｘ＋ １００＝７ｘ＋１００，解得ａ＝１０，∴ｙ２＝０．９×１０ｘ＝ｋｘ，∴ｋ＝９． （２）（５０，４５０），当购买５０块石料时，甲、乙两个商家所需费 用相同；【解法提示】设 Ａ（ｘ，ｙ），则 ｙ＝７ｘ＋１００， ｙ＝９ｘ{ ， 解得 ｘ＝５０， ｙ＝４５０{ ，∴点Ａ的坐标为（５０，４５０），该点所表示的实际意 义是当购买５０块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均 为４５０元． （３）当ｙ１＝８００时，７ｘ＋１００＝８００，解得ｘ＝１００； 当ｙ２＝８００时，９ｘ＝８００，解得ｘ＝ ８００ ９≈８８．９， ∵ｘ为正整数，∴选择乙商家可以购买８８块石料， ∵１００＞８８，∴选择甲商家购买的石料数量会更多． １１．解：（１）设“导航卫星”模型进价为每个ｘ元，则“长征火箭” 模型进价为每个（ｘ＋１０）元，依题意得１００ｘ ＝ １００ ｘ＋１０＋５，解 得ｘ＝１０（负值已舍去）． 经检验，ｘ＝１０是原方程的解，且符合题意， ∴ｘ＋１０＝１０＋１０＝２０， ∴“导航卫星”模型进价为每个１０元，“长征火箭”模型进 价为每个２０元； （２）①∵购买“长征火箭”模型 ａ个，则购买“导航卫星”模 型为（２００－ａ）个． ∴ｗ＝（３０－２０）ａ＋（１５－１０）（２００－ａ）＝５ａ＋１０００； ②∵购进“长征火箭”模型的数量不超过“导航卫星”模型 数量的 １ ３， ∴ａ≤ １３（２００－ａ），解得ａ≤５０． ∵ｗ＝５ａ＋１０００，５＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， ∴当ａ＝５０时，ｗｍａｘ＝５×５０＋１０００＝１２５０（元）． ∴当购进“长征火箭”模型５０个时，销售完这批模型可以 获得最大利润，最大利润为１２５０元． 加练２　反比例函数 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．－６　５．－５（答案不唯一） 第６题解图 ６．２　【解析】如解图，设ＡＤ与ｘ轴交于 点Ｅ，ＣＤ与ｙ轴交于点 Ｆ，ＢＣ与 ｘ轴 交于点Ｈ，∵四边形 ＡＢＣＤ为正方形， 其中心与坐标原点 Ｏ重合，且正方形 的一组对边与 ｘ轴平行，∴四边形 ＯＥＤＦ为正方形，ＯＥ＝ＯＨ，∵点 Ｐ的 坐标为（２ａ，ａ），∴ＯＨ＝２ａ，ＰＨ＝ａ，且 ａ＞０，∴ＯＥ＝ＯＦ＝ ２ａ，根据反比例函数图象的对称性可知 Ｓ阴影 ＝Ｓ正方形ＯＥＤＦ＝４， ∴２ａ·２ａ＝４，解得 ａ＝１（负值已舍去），∴点 Ｐ的坐标为 （２，１），∵点Ｐ在反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象上，∴ｋ＝ １×２＝２． ７．０＜ｘ＜１或ｘ＞２　【解析】∵反比例函数ｙ１＝ ｍ ｘ（ｘ＞０）的图 象与一次函数ｙ２＝－ｘ＋ｂ的图象交于Ａ，Ｂ两点，其中Ａ（１， ２），∴ｍ＝２，ｂ＝３，∴反比例函数的解析式为 ｙ＝２ｘ，一次函 数的解析式为ｙ＝－ｘ＋３，令 ２ｘ＝－ｘ＋３，整理得 ｘ ２－３ｘ＋ ２＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝２，∴点 Ｂ的坐标为（２，１）．由图象可 知，当ｙ１＞ｙ２时，ｘ的取值范围是０＜ｘ＜１或ｘ＞２． ８．（１）解：∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过点Ａ（２，４）， ∴４＝ｋ２，∴ｋ＝８， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝８ｘ； （２）解：如解图，射线ＯＤ即为∠ＡＯＢ的平分线； 第８题解图 （３）证明：如解图，∵ＯＤ为∠ＡＯＢ的 平分线， ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＤ， ∵直线ｌ垂直平分线段ＯＡ， ∴ＯＣ＝ＡＣ， ∴∠ＡＯＤ＝∠ＯＡＣ， ∴∠ＡＯＢ＝２∠                                                                   ＯＡＣ． ６２ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ９．（１）解：∵点 Ａ（－１，２）在反比例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＜０）的图 象上， ∴ｋ１＝－１×２＝－２， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝－２ｘ； （２）解：如解图①，点Ｏ′即为所求； 图① 　　　 图② 第９题解图 （３）证明：如解图②，连接 Ｏ′Ａ，Ｏ′Ｂ，点 Ｂ在反比例函数 ｙ＝ －２ｘ的图象上，且点Ｂ到ｙ轴的距离为２，Ａ（－１，２）， ∴点Ｂ的坐标为（－２，１）， ∴ＯＡ＝ （－１）２＋２槡 ２ 槡＝５，ＯＢ＝ １ ２＋（－２）槡 ２ 槡＝５， ∴ＯＡ＝ＯＢ， ∵点Ｏ与点Ｏ′关于直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ对称，Ａ，Ｂ在直线ｙ＝ｋ２ｘ ＋ｂ上， ∴Ｏ′Ａ＝ＯＡ，Ｏ′Ｂ＝ＯＢ，∴Ｏ′Ａ＝ＯＡ＝Ｏ′Ｂ＝ＯＢ， ∴四边形ＯＡＯ′Ｂ是菱形． １０．解：（１）将点Ｄ（２，４）代入ｙ＝ｍｘ中，得ｍ＝８， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝８ｘ， 将Ｅ（ｎ，１）代入ｙ＝８ｘ中，得ｎ＝８，∴Ｅ（８，１）， 将点Ｄ（２，４），Ｅ（８，１）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ中， 得 ２ｋ＋ｂ＝４， ８ｋ＋ｂ＝１{ ，解得 ｋ＝－ １ ２， ｂ＝５ { ， ∴一次函数的解析式为ｙ＝－１２ｘ＋５； （２）反比例函数ｙ＝８ｘ的图象经过矩形ＯＡＢＣ的中心，理由 如下： ∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，∴ＢＣ∥ｘ轴，ＡＢ∥ｙ轴， 又∵Ｅ（８，１），Ｄ（２，４）， ∴Ｂ（８，４），∴矩形ＯＡＢＣ的中心坐标为（４，２）， 将点（４，２）代入ｙ＝８ｘ，得２＝ ８ ４， ∴反比例函数ｙ＝８ｘ的图象经过矩形ＯＡＢＣ的中心； （３）２＜ｘ＜８或ｘ＜０． １１．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过点Ｂ（２，２）， ∴２＝ｋ２，∴ｋ＝４， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝４ｘ； 第１１题解图 （２）如解图，过点 Ｂ作 ＢＨ⊥ｘ轴于 点Ｈ， ∵ＯＢ＝Ｏ′Ｂ，Ｂ（２，２）， ∴ＯＢ＝Ｏ′Ｂ＝ ＯＨ２＋ＢＨ槡 ２ 槡＝２２， ∵ＢＨ⊥ｘ轴，∴ＯＨ＝Ｏ′Ｈ＝ＢＨ＝２， ∴∠ＯＢＨ＝∠Ｏ′ＢＨ＝４５°， ∴∠ＯＢＯ′＝９０°， 由旋转得∠ＡＢＡ′＝∠ＯＢＯ′＝９０°， ∵Ａ（６，０），∴ＯＡ＝６，∴ＡＨ＝４，Ｏ′Ａ＝２， ∴ＡＢ＝ ＡＨ２＋ＢＨ槡 ２ 槡＝２５， ∴Ｓ阴影部分 ＝Ｓ△ＡＯ′Ｂ＋Ｓ扇形ＡＢＡ′＝ １ ２×２×２＋ ９０π×（槡２５） ２ ３６０ ＝ ２＋５π． 加练３　二次函数 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｂ　６．Ｂ ７．ｙ＝２（ｘ－１）２－２（答案不唯一）　８．１ ９．８　１０．ｙ１＜ｙ２　１１．ｋ≠－１ １２．解：（１）由题意得－ ｂ ２×（－１２） ＝４，∴ｂ＝４， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ， ∴当ｘ＝４时，ｍ＝－１２×４ ２＋４×４＝８， ∴ｂ＝４，ｍ＝８； （２）由题意，得 ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ， ｙ＝１２ｘ { ， 解得 ｘ＝０，ｙ{ ＝０或 ｘ＝７，ｙ＝７２{ ， ∴点Ａ的坐标为（７，７２）； （３）由题意，当ｘ＝６时，ｙ＝１２ｘ＝３； 当ｘ＝６时，ｙ＝－１２ｘ ２＋４ｘ＝６， ∵３＋２＝５，且６＞５，∴小球能飞过这棵树． １３．解：（１）由题图知，抛物线的顶点坐标为（２，２）， ∴抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋２， 把点（０，１）代入解析式得１＝４ａ＋２， 解得ａ＝－１４， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－１４（ｘ－２） ２＋２； （２）小航的成绩为５０分，理由如下： 当ｙ＝０时，－１４（ｘ－２） ２＋２＝０， 解得ｘ１ 槡＝２＋２２，ｘ２ 槡＝－２２＋２（不符合题意，舍去）， 槡∵２＋２２≈４．８２８（ｍ）≈４８３（ｃｍ）， ∴沙包落地点到起掷线的距离约为４８３ｃｍ， ∴沙包落地点与地靶中心的距离约为５００－４８３＝１７（ｃｍ）， ∵０＜１７＜２０                                                                       ， ７２ 乾卷加练·河南数学 数 学 加练２　反比例函数 （每年考查１－２道，３－１２分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第５或６题） １．反比例函数ｙ＝ｍｘ（ｍ＞０，ｘ＞０）的图象位于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ２．（学科综合）杠杆原理也称为“杠杆平衡条 件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩 （力与力臂的乘积）大小必须相等，即Ｆ１·Ｌ１＝ Ｆ２·Ｌ２．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都 不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力Ｆ 与力臂Ｌ满足的函数关系是 （　　） 第２题图 Ａ．正比例函数关系 Ｂ．一次函数关系 Ｃ．反比例函数关系 Ｄ．二次函数关系 ３．已知反比例函数 ｙ＝－２ｘ的图象经过点 Ａ（２，ｙ１），Ｂ（１，ｙ２），Ｃ（－３，ｙ３），则关于 ｙ１， ｙ２，ｙ３大小关系正确的是 （　　） Ａ．ｙ１＞ｙ２＞ｙ３ Ｂ．ｙ２＞ｙ１＞ｙ３ Ｃ．ｙ１＞ｙ３＞ｙ２ Ｄ．ｙ３＞ｙ１＞ｙ２ 二、填空题（每小题３分） （猜押第１１题） ４．（２０２４安阳市九上期末改编）已知点Ｍ（－２， ｍ）在反比例函数ｙ＝１２ｘ的图象上，则 ｍ的值 是　　　　． ５．若反比例函数 ｙ＝ｋ＋３ｘ的图象，在每个象限 内，ｙ都随 ｘ的增大而增大，则 ｋ的值可以 是　　　　（写出一个即可）． （猜押第１３题） ６．（２０２４新郑市九上期末）如图，已知正方形 ＡＢＣＤ的中心与坐标原点 Ｏ重合，且正方形 的一组对边与ｘ轴平行，点Ｐ（２ａ，ａ）是反比 例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象与正方形ＡＢＣＤ 边ＢＣ的一个交点，若图中阴影部分的面积 之和为４，则ｋ的值为　　　　． 第６题图 　　 第７题图 ７．（２０２４驻马店市九上期末改编）如图，反 比例函数 ｙ１＝ ｍ ｘ（ｘ＞０）的图象与一次函 数ｙ２＝－ｘ＋ｂ的图象交于 Ａ、Ｂ两点，其中 Ａ（１，２），当 ｙ１ ＞ｙ２ 时，ｘ的 取 值 范 围 是　　　　． 三、解答题（每小题９分） （猜押第１８－２１题） ８．如图，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过 点Ａ（２，４），连接 ＯＡ，直线 ｌ垂直平分线段 ＯＡ交ｘ轴正半轴于点Ｂ． （１）求反比例函数的表达式； （２）请用无刻度的直尺和圆规作出∠ＡＯＢ的 平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （３）若直线 ｌ与（２）中所作的角平分线相交 于点Ｃ，连接ＡＣ，求证：∠ＡＯＢ＝２∠ＯＡＣ． 第８题图                                                                  ４７ 乾卷加练·河南数学 数 学 ９．（２０２４信阳市九下开学考）如图，一次函数 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ的图象与反比例函数 ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＜ ０）的图象交于第二象限的点Ａ，Ｂ，与ｘ轴负 半轴交于点Ｃ，其中点Ａ的坐标为（－１，２）， 点Ｂ到ｙ轴的距离为２． （１）求反比例函数的解析式； （２）请用无刻度的直尺和圆规作出点 Ｏ关 于直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ（ｋ２≠０）的对称点 Ｏ′（要 求：不写作法，保留作图痕迹）； （３）点Ｏ，Ａ，Ｂ与（２）中的点 Ｏ′组成四边形 ＯＡＯ′Ｂ．求证：四边形ＯＡＯ′Ｂ是菱形． 第９题图 １０．（２０２４漯河市九上期末）如图，已知四边形 ＯＡＢＣ是矩形，反比例函数ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０）和 一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象交于点 Ｄ（２，４），Ｅ（ｎ，１），且点 Ｄ，Ｅ分别在 ＢＣ， ＡＢ上． （１）求一次函数和反比例函数的解析式； （２）请判断反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象是否经 过矩形ＯＡＢＣ的中心，并说明理由； （３）请直接写出关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞ｍｘ 的解集． 第１０题图 １１．【全角度考法探究———针对坤卷第１９题】 如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，Ａ（６，０）， Ｂ（２，２），反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象 经过点Ｂ． （１）求反比例函数的表达式； （２）将△ＯＡＢ绕点 Ｂ逆时针旋转得到 △Ｏ′Ａ′Ｂ，点 Ｏ′恰好落在 ＯＡ上，请求出图 中阴影部分的面积． 第１１题图                                                                       ５７