2025年普通高等学校招生考试前沿押题卷第6套数学试题

2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（六）》 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 选择题答案速查 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A B C D B BC BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每3.仓廪实，天下安保障国家粮食安全是一个永恒课题， 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 任何时候这根弦都不能松.某地一年内主要粮食产量 求的。 如图所示，则下列结论错误的是 1. 已知集合A={x|3x2一10x十3<0}，B={x ◆产量万吨 1og(x一2)≤1}，则A∩B= A(3 B(4) 110 2 C.(2,3) D.( 74 【答案】C 【解折】国为集合A={z号<x<3,B=(x2< 0玉米大豆小麦水稻花生种类 A. 主要粮食产量的众数为83万吨 x≤4}，所以A∩B={x|2<x<3} 2.已知x+2i=1+5i,则z B.主要粮食产量的中位数为83万吨 A号- B.5i C.主要粮食产量的第80百分位数为92万吨 D.主要粮食产量的平均数为88.4万吨 C.3+i D.3-i 【答案】C 【答案】D 【解析】由条形图知，主要粮食产量的众数为83万 【解析】设z=a十bi(a,b∈R),则三=a一bi,所 吨，故A正确；主要粮食产量的数据按从小到大的顺 以x+2i=a+bi+2(a-bi)i=a+2b+(b+2a)i,因 序排列为74,83,83,92,110，则中位数为83万吨，故 为之+2=1十51，所以十26=1解得=3， B正确；因为5×80%=4，所以主要粮食产量的第80 b+2a=5, 6=-1， 故x=3一i. 百分位数为号×(92+10)=101（万电》，故C辑误： 。31- 主要粮食产量的平均数为号(74+83十83十92+ 7.已知M,N为园C:(x-2)2+(y-3)2=6上的两个 动点，且△CMN为等边三角形，P(xo,y。)为线 110)=88.4(万吨)，故D正确. 段MN的中点，则|x。一y。一4|的最小值为 4.设等比数列{am}的前n项和为S。,若S:= 4 A.√2 B.C. D.2 7 a十a:十a,=2,则Sg-a= 【答案】D 【解析】由题意知圆C的圆心为(2,3)，半径为√6，因 A-号 c号 D.16 为△CMN为等边三角形，所以|MN|=√6，所以 【答案】A P(,,)的轨连是以C为国心，3为半径的围，轨 【解析】设等比数列{a.}的公比为q,由题意得 2 7 7 S=a1十a:十a:=年，a:十a:十a:=2所以 递方程为，-2)+(-3)=号周为1-0 a十a+a:=a9+ag+as9=g=2.由a1十a:十 4到=2×z-。-4,--4可以看作点 a1十a:十a3a:十a2十a3 a,=a11+g+g)=7a:=子，得a1=,别S: P(x0:y)到直线x一y一4=0的距离，由圆的性质 可得点P(x0,yo)到直线x一y一4=0的距离的最小 a1-g_年x1-60 1 值为2-3-432 √2 2 =2,所以x。一y一4的最 1-g a,=ag=}× 小值为2. 1 64=16,所以5。-a,=-4 8.某校社团成员用一块边长为2√2的正方形铁片制作 5.某校运动会为了增加趣味性，增设了“三人四足”接力 一个底座，如图①，E,F,G,H分别为正方形各边的 比赛，每班派2支队伍共6人参加比赛，要求3人组 中点，沿EF,FG,GH,HE把△BEF,△CFG, 成一队，2支队伍中各有一位老师，且老师必须在中 △DGH,△AHE折起，使它们与半平面EFGH所成 间位置，2位同学分列老师左右.某班现有2位老师和 的二面角均为60°，如图②，在底座上放置一个体积为 5位同学想参加此项活动，若不考虑2支队伍的参赛 顺序，则不同的参赛方案有 号的球0，则球心O到底面EFGH的距离为 A.60种B.120种C.240种 D.480种 【答案】B 【解析】由题意知2位老师一人带领一队，共有 1种分组方法：从5位同学中选出4人平均分组，共有 CCC号=30种分组方法：2支队伍中，2位同学的位 置可以交换，有AA=4种方法，故由分步乘法计数 ② 原理可得共有120种参赛方案。 C33 6.已知x>0,y>0,则“x>y”是“1g三>2-2”的 A号 B.3 2 D.2√3 【答案】B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 【解桥】设球0的年径为，则号-号解得1 C.充要条件 由题意知底面EFGH为正方形，且边长为2，在 D.既不充分也不必要条件 Rt△BEF中，取EF的中点M,连接BM,可得 【答案】C BM⊥EF,且BM=1.在Rt△DGH中，取GH的中 【解析】因为1g三>2一2，所以1gx-2-> 点N,连接DN,BD,可得DN⊥GH,且DN=l.作 截面图如图，过点O作OQ⊥MN于点Q,交BD于 18y-2.令f)=1gx-2=gx-(侵广易得 点P,由二面角为60°可得∠DNM=∠BMN=60° 在等腰梯形DBMN中，由BM=DN=I,MN=2,得 f(x)在区间(0，十∞)上单调递增.又f(x)>f(y), 所以x>y.当x>y>0时，f(x)>f(y),即 BD=1,P0-=在R△0PD中.0D-1,PD= 1gx-2>1gy-2,电即1g号>2-27，所以 所以0P三，所以0Q=3,即球心0到底面 “x>y”是“1g名>2一2y”的充要条件. EFGH的距离为√3. ·32· ）=case+)=- 3,故B正确；设t=a十 3,cost=-22 ,所以 cos2a-5）=60s(2i-2x)=c0s21=1-2sinm: 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每 7 小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 cos(2a-6）-cos(2-）=sin2r=2sint· 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 cos t=- 42 9.解释变量x与响应变量y之间的取值如下表所示，其 9 ,故C,D正确。 经验回归方程为y=10一2.1x,则 11.若a>0,b>0,a十2b=4,则 x 3456 7 A日+号的最小值为号 y42 m-2 n A.m的值一定为-0.5 Ba2+6的最小值为号 B.m+n=-6.5 C.√a+1+√26的最大值为√/10 C.当n=一6时，样本数据(7，n)的残差为一1.3 D.当x-10时，响应变量y的值一定为一11 D.a一元的最大值为3 【答案】BC 【答案】AC 【解析】由表格数据得=3+4+5+6+？=5，了 5 【解标】图为a>0,6>0,a+26-4,所以+ b 4+2+m一2+2=4+m十n,将样本点的中心(5， 5 5 (日+)a+26)-5+2+会)≥是当且 4十m十n 5 代入经验回归方程y=10一2.1x中， 仅当a=b=青时，等号成立，故A正确：a2十6= 得m十n=一6.5，故A错误、B正确；当x=7时，y= 10一2.1×7=一4.7，所以当n=一6时，样本数据(7， （4-262+8-582-16+16=56-号)广+号所 n)的残差为-1.3，故C正确；当x=10时，响应变量 y的预测位为一11，故D错误. 以当6-号时，a+取得最小位号故B错 10.已知a∈（sma十sn管-)-9则 误；（√/a+I+√25）2=a+1+2b+2/(a+1)·26= 5+2/(a+1)·25≤5+a+1+2b=10,当且仅 A.sin a22-3 6 B如（管-）-2 3 当a十1=26，即0=26=号时，等号成主，所以 c.os2a-}-号 Doa-）=-4 Va++2历的最大值为V而，故C正确：a一26 1 【答案】BCD 【解标们国为如e十sm(行-)-号所以如a十 4-26-元=4-(26+元)≤2当且仅当26-元 1 1 即a=3,6=2时，等号成立，所以a一26的最大值 cos a= 为2，故D错误。 sno+后)=号，即sn(e+看)-g周方ae 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)满足：①f(x十y)=f(x)f(y): (受小，所以a+管∈（管）则o(e+) @当x≠y时，f)-f2>0:③f1)<4,则满 x一y 足上述3个条件的一个函数解析式为 【答案】f(x)=2*(答案不唯一) 行0e+)-B2,成A能误图为a+音十 【解析】根据题意，由条件①可知f(x)为指数函数， 6 由条件②可知f(x)为增函数，结合条件③可知函数 君-a=受所以sim(肾-e）-sm(管-。 可以是f(x)=2(底数介于1到4之间的指数函数 都符合). ·33· 13.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD= 所以S△BGD= 2AB=4,M,N分别为AD,BC的中点，P为边CD BC·CD=1. (3分) 上的一点，则BM·NP的最大值为 设三棱锥M-BCD的高为h, 【答案】5 因为V三枝维DMBC=V头枝作MBCD= SaD·h= 1 【解析】因为BC=2AD=2AB=4,所以梯形 2 ABCD的高为√3.以N为坐标原点，BC,NM所在 3hs 9 直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图， (5分) 则B(-2,0),M(0,3),N(0,0),C(2,0),D(1 所以春=导 √3).设CP=λCD,a∈[0,1]，则Np=N元+C产= 在直角梯形ABCD中，由AD=3,CD=2,BC=1, N元+1CD=(2-A,5λ)，BM=(2,3),所以 得AB=2w2. 因为SA⊥底面ABCD,ABC底面ABCD, BM.NP=4-2A+3入=4+A,则当A=1时，BM: 所以SA⊥AB,所以BS=√AB2十SA=3. NP取得最大值5. 国为务架所以MB-号X8=2 (7分) (2)因为AD,CD,SA两两垂直，所以以D为坐标 原点，DA,DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D 与SA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图， 14.已知点P是曲线y=ln(x+2)一x2上一动点，点Q 是直线3x-y十8=0上一动点，则|PQ的最小 值为 【答案】30 5 【解析】令f(x)=ln(x+2)一x2,则f'(x)= 则D(0,0,0),C(0,2,0),A(3,0,0),S(3,0,1), 1 +22x(x>-2).令f'(x)=3,解得x=-1或 B(1,2,0), =-2(合去.又f-10=-1,所以与直线3x 所以AB=(-2,2,0),DC=(0,2,0),D5=(3,0, 1),B5=(2,-2,1). (10分) y十8=0平行且与曲线y=ln(x十2)一x2相切的直 线的切点为（一1，一1），则|PQ|的最小值是切 由1)如成-号破， 点（一1，一1）到直线3x一y+8=0的距离，所以 所以A应=A店+B应=AB+名B5=(一2,2,0)十 1PQ|的最小值为-3+1+8L_30 W9+1 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), 明、证明过程或演算步骤。 则·DC=0, 2y=0, 15.(13分) 即 如图，在四棱锥S n·D5=0,3x+z=0. ABCD中，底面ABCD为 令x=-3,得x=1,y=0, 则平面SCD的一个法向量为n=(1,0,一3). 直角梯形，AD∥BC,CDL (11分) AD,SA⊥底面ABCD, 设直线AM与平面SCD所成角为B, AD=3,CD =2,BC= SA=1,点M在棱BS上， 则sin0=|cos〈AM,n〉|= 1AM·n AMInI 且三棱维DMBC的体积为号。 (1)求MB的长： 230 (2)求直线AM与平面SCD所成角的正弦值. 15 3 X/10 解：(1)因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC CD⊥AD,所以CD⊥BC. 因为CD=2,BC=1, 故直线AM与平面SCD所成角的正弦值为2，@ 15 (13分) ·34· 16.(15分) 第四届冬季青年奥运会将于2024年在韩国举行， 由题意知P(A)=p,P,)-1-p,PA:)-号 甲、乙两人备战滑雪空中技巧项目，训练中他们挑战某 所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1) 个高难度动作，每人均挑战2次，每次挑战结果只有成功 和失败两种结果。 PA:1A,)=p(+号)+1-p)(+0)-贵十 (1)若甲、乙两人每次挑战成功的概率分别为3： 1 113 10201 (12分) 号记X为两人挑战成功的意次数，求随机变量X的分 解得p= 1 (15分) 布列与数学期望； 17.(15分) (2)经过教练的指导，甲挑战成功的概率有所改变， 假设第1次成功的概率为p,若第1次挑战成功，则第2 已知数列a+1a,的前n项和为+ 1 次挑战成功的概率为p十号：者第1次挑战失败，则第2 (1)求{an}的通项公式； 次挑战成功的概率为p十。，已知甲第2次挑，成功的 (2)设b,=a+,数列{b}的前n项和为S。,证 an 概率为品求p, 明8.-<是 (1)解：由题意得2a1+3a2+…十(n+1)a。= 解：(1)由题意得X的所有可能取位为0,1,2,3,4， (1分》 ① 则Px=0)=C×1-号)广×C×(1-) 1 当n=1时，a1=2 (2分) 25 1 当n≥2时，2a,+3a:+…+ma-1=2(n-1)+ pX==c×号×(1-)×c×(1-号)'+ 7m-)@. c×-)×cx号×1-号)- 0-@,将u+1a,=7+分 2(n-1)2 px=2)=C×号×(-专)×C×号×(1 2(n-1)=n, )+cx1-)'×c×(号)'+c×(号)×c× 所以am= 十，当n=1时也符合， (6分) 1-)=器 所以数列{a}的通项公式是an=” n+1 (分) Px=3)=c×号×(1-)×c×()°+c× 一”+7，得6。=0=n+1)2 (2)证明：由a- n(n+2) (付×c×x1-号)=器 岁-1+- n(n+2) (9分) PX=)=c×()'×C×(号)'=活 所以S,=6+b:+…十6.=0+[(1-号)十 则X的分布列为 0 1 2 3 4 合-)+（合-）++（品）+（层 28 73 28 25 225 5 225 (5分) (13分) 所以E(X)=0× 28 73 28 5+1×行+2×2%5+3×25+ 422 4×225-15 (7分) 所以a+-++ (2)设事件A:为“甲在第i次挑战成功”，其中i= 1,2 (15分) ·35· 18.(17分) 所以f(x)在区间(0，Q十1)上单调递增，在区 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F, 间(a十1，十∞)上单调递减. (3分) M(2,-4)为C上一点，直线1：x=my十t与C交于A, 综上，当a≤-1时，f(x)在区间(0，十∞)上单调 B两点，且满足MA⊥MB,O为坐标原点. 递减； (1)求OM·MF的值： 当a>一1时，f(x)在区间(0，a+1)上单调递增， (2)设直线OA,OB的斜率分别为1，k,当m∈ 在区间(a十1，十c∞)上单调递减. (6分) [1,2]时，求1十k2的取值范围， (2)证明：由(1)知当a∈(0,1]时，f(x)在区间 解：(1)因为M(2,-4)为C上一点， (0,a十1)上单调递增，在区间(a十1，十c∞)上单调递减， 所以（一4）2=4p,解得力=4， 所以f(x)m=f(a+1)=(a+1)ln(a+1)-(a十 故C的方程为y2=8x, (2分) 1)-b. (8分) 所以F(2,0),OM=(2,-4),M下=(0,4)， 又f(x)的最大值恒为正数， 所以(a+1)1n(a+1)-(a十1)-b>0恒成立， 故OM.M币=-16. (6分) 所以b<(a+1)1n(a+1)-(a+1)恒成立， (2)设A(x1y1),B(xy:), 即ab<a(a+1)1n(a+1)-a(a+1)恒成立.(9分) 联立=8x,得y-8my一8影=0， 令g(a)=a(a+1)ln(a+1)-a(a+1)=(a2+ z=my+t, a)·ln(a+1)-a2-a,a∈(0,1]， 则△=64m2+32t>0,y1十y2=8m,y1y2=一81， 所以x1x2= y1y2)2 则ga)=(2a+1)n(a+1D+a十a-2a-1= =t2,x1+x2=m(y1+y2)十 a+1 64 (2a+1)ln(a+1)-a-1. 2t=8m2+2t. (8分) 令h(a)=(2a+1)ln(a+1)-a-1,a∈(0,1]， 因为MA⊥MB,所以MA·Mi=0 所以(x1-2)(x2-2)+(y1十4)(y2十4)=0， 则h'a)=2ina+1)+2at-1=2na+1）- a+1 即x1x2-2(x1+x:)+4+y1y:+4(y1+y:)十 16=0, a+7+1, 所以t2-16m2-4t+4-8t+32m+16=0, 显然h'(a)在区间(0,1]上单调递增. 整理得(t-6)2=(4m一4)2， 因为h'(0)=0,所以h'(a)>0恒成立， 解得t=10-4m或t=4m+2(舍去)， (12分) 即h(a)在区间(0,1]上单调递增. (12分) 所以，+：=兰+兰=8+8=8十2 因为h(0)=-1<0,h(1)=3ln2-2>0, yiy2 即g'(0)<0,g'(1)>0, 8m_8 4 所以g'(a)在区间(0,1)上存在唯一零点m, t 4m-10 (14分) 5 2 即g'(m)=0, 72 所以g(a)在区间(0，m)上单调递减，在区间(m,1] 周为m∈1,2]，所以2-是∈[-3，-]， 上单调递增， 所以g(a)mn=g(m)=(m2+m)ln(m+1)-m2- 所以：+：∈[-8，-] m,m∈(0,1)， (15分) 因为(2m+1)1n(m+1)-m-1=0, 即1十k:的取值范国是[一8，-专] (17分) 所以h(m+1-， 2m+1 19.(17分) (m2+m)(m+1) 已知函数f(x)=(a+1)lnx-x一b(a,b∈R). 则g(a)mn= 2m+1 -m2一m= (1)讨论f(x)的单调性： m (2)当a∈(0,1]时，f(x)的最大值恒为正数，证 2m+1-m2. 明，a6≤-号 令p(m)= 2m+1-m,m∈(0,1)， m (1)解：'x)=a+1-1=a+1)-工(z>0, x 则p'm）=二4n二5m-2m<0. (2m+1) (1分) 所以伞(m)在区间(0,1)上单调递减， ①当a≤-1时，f'(x)<0,则f(x)在区间(0 十∞)上单调递减： (2分) 则9(m>9a-号-1=-号 ②当a>-1时，当0<x<a+1时，f'(x)>0;当 2 (17分) x>a+1时，f'(x)<0, 所以ab≤- ·36·2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（六）》 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={x3x2-10x+3<0},B={x|1og2(x-2)≤1}，则A∩B= A(传3) C.(2,3) 2.已知之+2i=1+5i,则x= Ag B.3-5i C.3+i D.3-i 3.仓廪实，天下安保障国家粮食安全是一个永恒课题，任何时候这根弦都不能松，某地一年内主要粮食产量 如图所示，则下列结论错误的是 ↑产量/万纯 110------ 92 83 0玉米大豆小麦水稻花生种类 A.主要粮食产量的众数为83万吨 B.主要粮食产量的中位数为83万吨 C.主要粮食产量的第80百分位数为92万吨 D.主要粮食产量的平均数为88.4万吨 7 4.设等比数列{an}的前n项和为S,若S=a十a,十a=2,则S。一a; A号 D.16 5.某校运动会为了增加趣味性，增设了“三人四足”接力比赛，每班派2支队伍共6人参加比赛，要求3人组 成一队，2支队伍中各有一位老师，且老师必须在中间位置，2位同学分列老师左右.某班现有2位老师和 5位同学想参加此项活动，若不考虑2支队伍的参赛顺序，则不同的参赛方案有 A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 6.已知x>0y>0.则>y是g号今21-2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1/6页 7.已知M,N为圆C:(x一2)2+(y一3)=6上的两个动点，且△CMN为等边三角形，P(xoy)为线段 MN的中点，则x。-y。一4的最小值为 A.√2 3√2 B.2 D.2 8.某校社团成员用一块边长为2√2的正方形铁片制作一个底座，如图①，E,F,G,H分别为正方形各边的 中点，沿EF,FG,GH,HE把△BEF,△CFG,△DGH,△AHE折起，使它们与半平面EFGH所成的二 面角均为60，如图②，在底座上放置一个体积为”的球O,则球心O到底面EGH的距离为 ①D ② A B.√3 e D.23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.解释变量x与响应变量y之间的取值如下表所示，其经验回归方程为y=10一2.1x,则 6 -2 A.m的值一定为-0.5 B.m十n=-6.5 C.当n=一6时，样本数据(7，n)的残差为一1.3 D.当x=10时，响应变量y的值一定为一11 10.已知a(后ma+n(g-a)=号则 A.sin a= 22-√3 6 &mg-)=- 3 co(2a-）-号 D.os(2a-）=-4g 9 11.若a>0,b>0,a+2b=4,则 A+号的最小值为号 B。2+6的最小值为号 C.√a+1+√2b的最大值为√I0 1 D.a一26的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数fx)满足：①f(x+y)=f(x)/y):@当x≠y时，f)-f>0:③f)<4,则满足上 x一y 述3个条件的一个函数解析式为 13.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,M,N分别为AD,BC的中点，P为边CD上的 一点，则BM·NP的最大值为 2/6页 14.已知点P是曲线y=ln(x+2)一x2上一动点，点Q是直线3x-y+8=0上一动点，则|PQ的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,CD⊥AD,SA⊥底面ABCD,AD=3, CD=2,BC=SA=1,点M在棱BS上，且三楼锥D-MBC的体积为号. (1)求MB的长； (2)求直线AM与平面SCD所成角的正弦值. 7) 3/6页 16.(15分) 第四届冬季青年奥运会将于2024年在韩国举行，甲、乙两人备战滑雪空中技巧项目，训练中他们挑战某 个高难度动作，每人均挑战2次，每次挑战结果只有成功和失败两种结果， E战成功的概率分别为3，二，记X为两人挑战成功的总 布列与数学期望； (2)经过教练的指导，甲挑战成功的概率有所改变，假设第1次成功的概率为p,若第1次挑战成功，则第 2次挑战成功的概率为p十号：若第1次挑战失败，则第2次挑战成功的概率为p十。，已知甲第2次挑战成 13 功的概率为20，求户， 4/6页 17.(15分) 已知数列(a+1Da.的前n项和为2+号 (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=4,+,数列{b.}的前n项和为S。,证明：S,一n<子 3 a 5/6页 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,一4)为C上一点，直线l:x=my+t与C交于A,B 两点，且满足MA⊥MB,O为坐标原点 (1)求OM·M下的值； (2)设直线OA,OB的斜率分别为是1，k2,当m∈[1,2]时，求k1十k:的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=(a十1)lnx-x-b(a,b∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a∈(0,1]时，f(x)的最大值恒为正数，证明：ab≤-名 31 6/6页