2025年普通高等学校招生考试前沿押题卷第4套数学试题

2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合M={z∈Zx-2z-3≤o,N={(2)'≥则 A.-3∈(M∩N) B.-1∈(M∩N) C.2∈(M∩N) D.3∈(M∩N) 2已知复数：为纯虚数，则实数口的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知向量a=(-1,入)，b=(2,1),若(2a一b)⊥(a+2b),则实数A的值为 A.2或-2 B-2或号 C.2或2 D.-2或-名 4.函数f(x)=log.(x一2ax)在区间[1，十∞)上单调递诚的一个必要不充分条件为 A.a∈(0,7 B.a∈(0,2) C.a∈(0,1) D.aE(z.1) 5.已知抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点为F,直线1：y=(:-)与C在第一象限交于点M,点M在C 的准线上的射影为N,则△MNF的面积为 A.2p B.3p* C.22p D.23p 6.某地区2023年全年月平均温度y(单位：℃)与月份1之间近似满足y=Asin(行十g)十(A>0,-< P<0).已知该地区2月份的月平均温度为一1℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为 32℃，则该地区12月份的平均温度为 A.-12℃ B.-10℃ C.-9℃ D.-6℃ 7.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h,且四个顶点均在球O的球面上.若2a十h=9,则当正三棱 锥P-ABC的体积最大时，球O的表面积为 A.8π B.16π C.18π D.36x 8.若函数fx)=心(：>0)与函数gx)=一2x十x十a的图象存在公切线，则实数a的取值范围是 A.(1,+o∞) B.(0,1] C.(-o∞，0) D.(-∞，1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知f(r)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，x)=0C≤1则 e-,x>1, A.f(0)=0 B.f(2)+f(-3)<0 C.f(x)的值域为[-1,1] D.方程f(x)=a最多有2个解 1/6页 10.已知随机变量X的分布列如下表所示，若随机变量Y=aX十b(a>0,b∈R),E(Y)=2.4,D(Y)= 3.24,则 0 1 0.10.30.4 A.a=2 B.b=1 C.b=-1 D.P(Y≥1)=0.9 11.已知数列{a.}的前n项和S。=(入一1)×3"十2μ（λ≥0,4≥0），则 A.{a.}的通项公式为an=2(a-1)×3"-1 B若a.)是等比数列.则加的最大值为日 C.存在入，4，使得{a.}是等差数列 D.当n≥2，入≠1时，存在正整数st,r,使得a,a,a,成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.cos10 sin20-2c0s20° 13.4名男医生和2名女医生去3个社区进行义诊活动，每个社区必须安排2名医生，则女医生不分在同一 组的方法种数为.（用数字作答） 4已知双曲线C,无-1(@>0，b>0)的左、有焦点分别为F1,F,以线段F,F,为直径的圆与C在 轴的上方分别交于P,Q两点，且IF:Fz|=2PQ|,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 文化振兴是全力推进乡村振兴和乡村发展内生动力的重要源泉，为提升乡亲们的文化素养，需要为其提 供高质量的文化讲座和公益演出等.某村庄在实施乡村振兴时，统计了2018一2022年连续5年在文化振兴 方面每年的投入资金，如下表所示： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份序号x 2 5 投人资金y/万元 22 26 32 37 43 (1)求y与x的线性相关系数r(结果精确到0.001)，并据此判断y与x的相关性的强弱； (2)求y关于x的经验回归方程，并求出2024年投入资金的预测值（结果保留整数）. 2(x,-x)(y-) 附：①相关系数：r ;②经验回归方程y=a十x的斜率和截距的最小二乘估 /②(x,-x)2(y,-y) 2(x,-x)(y,-y) 计分别为= ,a=y一bx:③参考数据：√2820≈53.1. 2(x:-x) 2/6页 16.(15分) 记S.为数列{an}的前n项和，已知S.十2n十4=2+2. (1)证明：数列{a.十2}是等比数列； (2)记T,为数列+2}的前n项和，求T。 aa 3/6页 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABCA1B:C1中，AC⊥BC,AC=1,BC=AA1=2,D,E分别为棱AA1,B,C1的中 点，记过点D,B,C1的平面与平面ABC的交线为l, (1)证明：A:E∥l； C2②)在棱BB,上是否存在点P(不与端点重合)，使得平面PA,E与平面BDC,夹角的正弦值为 C 4/6页 18.(17分) 已知函数f(x)=ex-ae,a∈R. (1)讨论∫(x)在区间(1，十∞)上的单调性； (2)若f(x)的零点为x1,x2,设x1<x2,证明：x1十x2>2. 5/6页 19.(17分) 巨知椭圆C,二+X=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F:,点M为C的短轴的一个端点，△MF,F 为等边三角形，面积为3，直线1，过点F1且与C相交于A,B两点，过坐标原点O且与1垂直的直线1：与 C相交于P,Q两点. (1)求C的方程； (2)求四边形APBQ面积的最大值. 6/6页2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 10 11 答案 B D A B A B D ACD ACD BC 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每 【解析】由题意知a>0,且a≠1，则f(x)= 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 log(x2-2a.x)的定义域为{x|x<0或x>2a}. 求的。 令g(x)=x2-2ax,则g(x)在区间(-∞，0)上单调 1.已知集合M={x∈Z|x2-2x-3≤0}，N= 递减，在区间(2a,十∞)上单调递增.由复合函数的性 {(合)≥刘则 质可知，当a>1时，f(x)在区间（一c∞，0）上单调递 减，在区间(2a,十c∞)上单调递增，所以f(x)在区间 A.-3∈(M∩N) B.-1∈(M∩N) [1,+c∞)上不可能单调递减；当0<a<1时，f(x)在 C.2∈(M∩N) D.3∈(M∩N) 区间（一∞，0）上单调递增，在区间(2a,十∞)上单调 【答案】B 【解析】由x2-2x一3≤0，得-1≤x≤3.因为x∈Z, 递减，所以0<2a<1,即0a<号，所以fx)在区间 所以M=(-1,01,2,31由(2)≥1，得x≤0，所 [1,十∞)上单调递减的充要条件为0<a<,则A 以N=(一∞，0]，则M∩N=(-1,0},即B正确，A, 是充分不必要条件，B为充要条件，C为必要不充分 C,D错误 条件，D为既不充分也不必要条件. 2.已知复数x= 为纯虚数，则实数á的值为 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l: A.-2 B.-1 C.1 D.2 y=5(x-号)与C在第一象限交于点M,点M在 【答案】D C的准线上的射影为N,则△MNF的面积为 2-ai_(2-ai)(1-i 【解析】因为x=1+ 2=2-a A.2p B.3p2C.22p2D.23b2 (1+i)(1-i) 2 【答案】B a十2：为纯虚数，所以2-a=0a十2≠0，即a=2. 2 【每标夜IMFI-a,由题意得M名+号，。)，所 3.已知向量a=(-1,A),b=(2,1),若(2a一b)⊥ (a+2b),则实数A的值为 以()'=2p(号+号）整理得3a-40-4p= A.2或-2 B.-2或2 2 c.2或号 D-2政-号 0,解得a=2p或a=-了p(合去).由抛物线的定义 知|MF|=|MN|,又∠FMN=60°，所以△MNF是 【答案】A 边长为2p的等边三角形，所以S20=号× 【解析】由题意可知(2a一b)·(a十2b)=0.因 为2a-b=(-4,2λ-1)，a+2b=(3,A+2),所以 -4×3+(2A-1)(入十2)=0，整理得2λ2+3λ-14= IMFP×sn60=×(2p)rx9=5p 2 6.某地区2023年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t 0,解得入=2或入=-乙. 4.函数f(x)=log(x2-2ax)在区间[1，十c∞)上单调 之间近似清是y=Asim(行+P)十k(A>0,一x< 递诚的一个必要不充分条件为 m<0).已知该地区2月份的月平均温度为一1℃， Aa∈() 全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为 B.ae(0.) 32℃，则该地区12月份的平均温度为 A.-12℃ B.-10℃ C.a∈(0,1) D.a(合) C.-9℃ D.-6℃ 【答案】C 【答案】A ·20· 【解析】由题意可知直线t=6是曲线y= 抛物线y-g红)在点B处的切钱方程为y十- Asim(石+9)十是的一条对称轴，所以6×若十 n-a=(-n+1)(x-n),即y=(-n十1)x+ 甲=2r十2，k∈乙，即9=2x-受，及∈乙.又-< [e"=-n+1, n2+a,则 1 g<0,即g=-受所以y=Asm(行-登）十质= (1-m)e-x+o. 由et=-n十1， 得m=ln(1-n).因为m>0,所以ln(1一n)>0,即 一A09(后)十表，国为全年月平均温度的最大值为 n<0,则[1-lh1-n)]1-n)=2+a(*).◆ 32℃，所以A十k=32①，又当t=2时，y=-1,所 1-n=t,则t>1,所以(*)式等价于(1-lnt)t= 以-Ac0后×2）十k=-1,所以A-2张=2②.由 21-)2+a,所以a=(1-1n)1-21-) 1 ①@解得A=22,k=10,所以y=-2c0s(行t）+ 令a()=(1-n0r-号专1-r(:>1),则 10,则当1=12时，y=-22c0s(6×12）+10= h'(t)=-1+(1-lnt)+(1-t)=-1nt-t+1, 则h'(t)在区间(1，十∞)上单调递减，所以 -12(℃). h'(t)<h'(1)=0,所以五(t)在区间(1，十∞)上单调 7.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h,且四 递减，所以h(t)<h(1)=1,即a<1. 个顶点均在球O的球面上.若2a十h=9,则当正三棱 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每 锥P-ABC的体积最大时，球O的表面积为 小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 A.8 B.16元 C.18π D.36π 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 【答案】B 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， 【解析】设等边三角形ABC的中心为G,连接PG, AG,则PG⊥平面ABC,即PG=h,则V三战PABc= f(x)= 丘，0<x≤1则 e-,x>1, acX-号×号XaX血60XA-得ch- 1 11 A.f(0)=0 B.f(2)+f(-3)<0 3 9 a(9-2a).令fa)=a2(9-2a),0<a<号，则 C.f(x)的值域为[一1,1] D.方程f(x)=a最多有2个解 f'(a)=-6a2+18a=6a(3-a),则当0<a<3时， 【答案】ACD fa)>0,fa)单调递增，当3<a<号时，fa)< 【解析】因为f(x)的定义域为R,则f(x)十 f(-x)=0,令x=0,则f(0)=0,故A正确；因为 0,f(a)单调递减，所以f(a)在a=3处取得极大值， f(x)在区间(1，+)上单调递减，所以f(2)> 即最大值，为f(3)=27,故当a=h=3时，正三棱锥 f(3),则f(2)十f(-3)=f(2)-f(3)>0,故B错 的体积取得最大值.当正三棱锥P-ABC的体积最大 误；因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1， 时，周为AG-号×ABXn60=号X3×号-， +∞)上单调递减，所以当x>0时，f(x)取得极大位 1,当x→十∞时，f(x)→0，且f(x)>0,所以当 所以R=AG2+(h-R)2,即R2=(3)2+(3- x∈(0，十∞)时，f(x)∈(0,1].根据奇函数的性质可 R)2,解得R=2,故球O的表面积为4πR2=16π. 知，f(x)的值域为[一1,1]，故C正确：由数形结合可 1 8,若函数f(x)=e(x>0)与函数g(x)=-之x+ 知，当a∈(-c∞，-1)或a∈(1，十∞)时，方程 f(x)=a无解；当a=0或a=士1时，方程f(x)=a x十a的图象存在公切线，则实数a的取值范围是 有1个解；当a∈(-1,0)或a∈(0,1)时，方程 A.(1,+∞) B.(0,1] f(x)=a有2个解，故D正确. C.(-∞，0) D.(-∞，1) 10.已知随机变量X的分布列如下表所示，若随机变量 【答案】D Y=aX+b(a>0,b∈R),E(Y)=2.4,D(Y)= 【解析】设公切线与f(x),g(x)的图象分别相切于 3.24,则 点A(m,e),Ba,-+n十a小由fz)=e可 得f'(x)=e,则曲线y=f(x)在点A处的切线方 0.1 0.3 0.4 程为y一e=e"(x-m),即y=ex十(1m)e"; A.a=2 B.b=1 1 C.b=-1 D.P(Y≥1)=0,9 由g(x)=-2x+x+a,可得g'(x)=-x+1,则 【答案】ACD 21· 【解析】由分布列可得0.1十0.3十0.4十m=1,解13.4名男医生和2名女医生去3个社区进行义诊活动， 得m=0.2,所以E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+ 每个社区必须安排2名医生，则女医生不分在同一 3×0.2=1.7,D(X)=(0-1.7)2×0.1+(1-1.7)2× 组的方法种数为 .(用数字作答) 0.3+(2-1.7)2×0.4+(3-1.7)2×0.2=0.81.因为 【答案】72 Y=aX+b(a>0,b∈R),所以E(Y)=aE(X)+ 【解析】将4名男医生和2名女医生平均分成3组 b=1.7a十b=2.4,D(Y)=a2D(X)=0.81a2=3.24, 解得a=2,b=一1，故A,C正确、B错误；随机变量 去3个社区的方法种数为CCC×A,其中2名女 A Y的分布列如下表所示，由分布列可知P(Y≥1)= P(Y=1)+P(Y=3)+P(Y=5)=0.9,故D正确. 医生分在同一组的方法种数为CCXA,所以2名 A Y -1 1 3 5 女医生不分在同一组的方法种数为CCC A ×A 0.10.30.40.2 11.已知数列{a,}的前n项和S。=(入一1)×3十 CxA=90-18=72. A 2μ(1≥0,4≥0)，则 A.{am}的通项公式为am=2(入-1)×3-1 14. 已知双面线C号-若=1a>0,6>0)的左，右焦 且若a,是等比数列，则加的最大值为写 点分别为F1,F2,以线段F1F,为直径的圆与C在 x轴的上方分别交于P,Q两点，且|FF:|=2PQ|, C.存在入，4，使得{an}是等差数列 D.当n≥2，入≠1时，存在正整数s,t,r,使得 则C的离心率为 a,a,,a,成等差数列 【答案】3+1 【答案】BC 【解析】设C的焦距为2c,点P位于第一象限，根据 【解析】由S.=(入一1)×3+2μ，得当n≥2 双曲线的对称性可知，PQ∥F1F2.因为|F:F|= 时，am=S。-S.-1=(1-1)×3"十24-（入-1）X 2PQ|,所以|OF2|=|PQ|,且OF:∥PQ,连接 3"-1-24=2(1-1)×3m-1,又a1=S1=3(入-1)+ OP,OQ,PF2,则四边形OQPF2为平行四边形.又 2μ，当1=以=1时，a1不满足a。=2(入一1)×3m-1 IOF2|=|OQ|,所以四边形OQPF2是边长为c的 故A错误：若{am}是等比数列，由A知3（入 菱形.又|OP=c,所以∠POF:=60°，则点P的坐标 1)十24=2（入-1），整理得1+2μ=1.因为4 合X8<分×生)=司当且仅当-2，中 为（台）则P=(管+)广'+()= √3c.又|PF2|=c,由双曲线的定义知|PF:|一 =子A=号时，等号成立，放B正确：当A=1 。1 1PF|=2a,即3c-c=2a,所以S=√5+1. 时，Sn=2u,则a1=24,所以a2=a:=…=am=0, 当且仅当=0时，an=0,所以存在入=1，以=0，使 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 得{am}是等差数列，故C正确；当n≥2时，a,a,a, 成等差数列，则2a:=a,十a,,即4（入一1）X 15.(13分) 3-1=2(入-1)×3-1+2(-1)×3-.因为A≠1， 文化振兴是全力推进乡村振兴和乡村发展内生动 所以2×3-1=3-1十3-1，整理得3-十3-4=2.不 力的重要源泉，为提升乡亲们的文化素养，需要为其提 妨令s<1<r,则r-t≥1，所以3r-≥3.又3->0， 供高质量的文化讲座和公益演出等，某村庄在实施乡村 所以3一t十3"一=2不成立，故D错误. 振兴时，统计了2018一2022年连续5年在文化振兴方面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 每年的投入资金，如下表所示： 12.c0s10° sin20-2cos20°= 年份 2018年2019年2020年2021年2022年 年份序号x 1 2 3 4 5 【答案】1 5n20-2c0s20°=c0s10°-2sim20°c0s20 投人资金y/万元 22 26 32 37 43 【解析】cos10 sin 20 (1)求y与x的线性相关系数（结果精确到 cos10°-sin40° cos10°-sin(30°+10) 0.001),并据此判断y与x的相关性的强弱； sin20° sin 20 (2)求y关于x的经验回归方程，并求出2024年投 cos10°- 2cos10° 2n10° 200s 10*3 1 sn10 入资金的预测值（结果保留整数）. sin 20 sin 20 (x:-x)(y:一可) 附：①相关系数：r= =1 sin(30°-102=1. sin20° 2(x4-z)22(y:-) ·22· ②经验回归方程y=a十x的斜率和截距的最小二乘估 (2)解：因为十2 20+1 计分别为名= 2(x-x)(y- anQs+1 (2+1-2)(2+2一2) ,a=y-b元；③参考数 公(：-) 2+1-22+2-2 (8分) 据：√/2820≈53.1. 所以T.=+2+a:+2 …+0十2 1 ala? anan+l 22-2 解：(1)因为x= 51+2+3+4+5)=3, (1分) 1 11 1 1 2-2十2-22-2+…+2-22*-2 (13分) 可-号(2+26+32+37+48)=32. (2分) =22-见 11 (15分) (x,-x)(y:-)=(-2)X(-10)+(-1)× 17.(15分) 1 (-6)+1×5+2×11=53, (3分) 如图，在直三棱柱ABC (x-x)2=(-2)2+(-1)2+12+2=10, A1B,C1中，AC⊥BC,AC=1, =1 BC=AA1=2,D,E分别为棱 (4分) AA1,B,C1的中点，记过点D,B, 2y.-=(-10+(-6+5+1=282. C1的平面与平面ABC的交线为l. (1)证明：A1E∥1： (5分) (2)在棱BB1上是否存在点P(不与端点重合)，使 2(x:-z)0y:- 所以r i= 53 得平面PA,E与平面BDC,夹角的正弦值为号？ √10×√/282 (1)证明：如图，延长C1D,CA,并交于点G,连 53 53.7≈0.998， 接BG, 由G,B∈平面ABC,且G,B∈平面BDC1,得线段 所以y与x的相关性较强， (6分) BG所在直线为1. (2分) 2(x:-x)0y:-） 在Rt△DA:C1和Rt△DAG中， (2)国为6= 53 =5.3,(7分) 因为A1D=AD,∠A:DC1=∠ADG,∠DA:C1= (x-) 10 ∠DAG, =1 所以a=y-bx=32-5.3×3=16.1, 所以Rt△DA:C1≌Rt△DAG, 则y=5.3x+16.1, 则GA=A1C1=AC, (10分) 即A为GC的中点. (3分) 当x=7时，y=5.3×7+16.1≈53， 取BC的中点为H,连接AH,EH,则AH∥BG. 所以该村庄2024年在文化振兴方面投入资金的预 图为B1E=EC1, 测值约为53万元. (13分) 所以EH∥CC1,且EH=CC. 16.(15分) 由CC1∥AA1,且CC1=AA1, 记S.为数列{am}的前n项和，已知S.+2n十 4=2m+2. 得EH∥AA1,且EH=AA,, 所以四边形AA1EH为平行四边形， (1)证明：数列{am十2}是等比数列： 所以A1E∥AH, (2)记T.为数列，十2) 的前n项和，求T 所以A1E∥BG,即A1E∥1. (6分) lanan+i (1)证明：因为S.十2n十4=2"+8， 所以S。=2+2一2n一4， 当n≥2时，am=S.-Sm-1=(2+3-2n-4)- (2+1-2n十2-4)=2+1-2. (2分) 又a1=S1=2满足a.=2m+1-2, 所以{a.}的通项公式为a.=2m+1一2， (4分) 则a.十2=2+1. G 因为02=2，a4十2=4 a.+2 (2)解：在枝BB:上存在点P,使得平面PA:E与 所以数列{am十2}是以4为首项，2为公比的等比 争面BDC,夫角的正孩值为行 (7分) 数列. (6分) 由已知可知CA,CB,CC1两两垂直， ·23 则以C为坐标原点，CA,CB,CC:所在直线分别为 综上，当a≤0时，f(x)在区间(1，十∞)上单调 x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系，如图所示， 递增： 由AC=1,BC=AA1=2, 当0<a<1时，f(x)在区间(1,1一lna)上单调递 得D(1,0,1),B(0,2,0),C1(0,0,2),E(0,1,2) 增，在区间(1一lna,十c∞)上单调递减； A1(1,0,2). 当a≥1时，f(x)在区间(1，+∞)上单调递减. 设P(0,2,a),0<a<2, (6分) 则DB=(-1,2,-1),C1D=(1,0,-1),A1龙- (2)证明：由f(x)=0,得4=三 (-1,1,0),A1P=(-1,2,a-2) ee (8分) 设平面BDC1的法向量为m=(x,y,z), ◆ge-吉尉g)=1号 C1D·m=0 则 即-=0， 当x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增； DB·m=0,{-x十2y-之=0. 当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，(10分) 令x=1,得y=x=1, 所以g(x)在x=1处取得极大值，也即最大值， 则平面BDC1的一个法向量为m=(1,1,1).(9分) 设平面PA:E的法向量为n=(x',y',x), 为g1=月 AE·n=0 则 即厂x+y=0, 当x→一∞时，g(x)→一∞，当工→十∞时，g(x)→ A:P·n=0,-x'+2y+(a-2)z'=0. 0,且g(x)>0, 令x=1,得y=1,2=2-a 1 作出g(x)的图象，如图所示 别年面PA,E的一个法向量为n=112己a) (10分) 因为平面PA1E与平面BDC1夹角的正孩值为 所以|cos(m,n）|= m·n TmIn 由图可知x1∈(0,1)，x:∈(1，十∞). 要证x1十x2>2,只需证x2>2-x1. l2+a 22 因为2一x1>1,当x>1时，g(x)单调递减， (12分) 所以只需证g(x)<g(2-x1). 5×2+(-a 3 因为g(x1)=g(x2), (14分) 整理得4a2-4a-3=0, 所以只需证g(x1)<g(2-x1). 令G(x)=g(x)-g(2-x),0<x<1, 解得a= 2（舍去)， 则G'x)=1-2+x-1-1-2 g-(e2-s-1）. e-= 所以在棱BB1上存在点P,且BP=号使得平面 因为0<x<1,所以e2-x-1>0,1-x>0, 即G'(x)>0, PA,E与平面BDC,夹角的正孩值为号 (15分) 所以G(x)在区间(0,1)上单调递增， 18.(17分) 所以G(x)<G(1)=0, 已知函数f(x)=ex一ae,a∈R. 则g(x2)=g(x1)<g(2一x1), (1)讨论f(x)在区间(1，十∞)上的单调性； 所以x2>2一x1, (2)若f(x)的零点为x1,x2,设x1<x2,证明：x1十 故x1十x2>2. (17分) x2>2. 19.(17分) (1)解：因为f(x)=ex一ae,所以f'(x)=e一ae. (1分) 已知椭圆C号+若=1a>6>0)的左，右袋点分 ①当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在区间(1，+∞)上 别为F1,F2,点M为C的短轴的一个端点，△MFFg 单调递增； (2分) 为等边三角形，面积为3，直线11过点F:且与C相交 ②当a>0时，由f'(x)=0,得x=1-lna, 于A,B两点，过坐标原点O且与l1垂直的直线12与C 当1-lna≤1，即a≥1时，若x∈(1，十∞)，则 相交于P,Q两点. f'(x)<0,f(x)单调递减： (1)求C的方程： 当1-lna>1,即0<a<1时，若x∈(1,1-lna), (2)求四边形APBQ面积的最大值. 则f'(x)>0,f(x)单调递增：若x∈(1一lna,+),则 解：(1)由题意知|MF1|=|MF,|=a,|F,F,|=2c. f'(x)<0,f(x)单调递减. (5分) 因为△MF:F:为等边三角形，所以a=2c.(2分) ·24· 1 又S△M1F:= asin60°=3，解得a=2, 12/1+12(1+) 3+4k2 3十4k2 (10分) 所以c=2a=1, 因为直线1：的方程为y=一 , 则b2=a2-c2=3, g+ =1 所以C的方程为4十3-1， (6分) 4 联立 得x2 12k 12 1 4十3k,则y2= 4+32 (2)设A(x1,y1),B(x2y2), y=- k, 当直线1的斜率不存在时，由4十3=1 所以|PQ1=2√x2+y2=45× 1十e W4十3kF, x=一1， 解得y=土号所以1AB1=3 则Sg边有APBQ 号×ABIXIPQI 又|PQ|=2a=4, ×121+) 3+46X4v3X 1十+k2 2 4+3k2 所以S地形APBQ= ×AB1XPQ1=6: (7分) =24√3× (1十k) (12分) 当直线l1的斜率为零时，|AB|=2a=4,|PQ|= (3十4k2)2(4十3k2) 2b=23, 令1+k2=t(t>1), 所以S四迪形APBQ二 专×1 AXIPQ1=458分 则S司热布APBO= 243× t √(41-1)2(3t+1) 当直线1的斜率存在且不为零时，设直线1的方 13 1 程为y=(x十1)，k≠0. 24w3× 48t3-8t2-5t+1 =24W3X 851 x2y2 8、 t 联立 4+3=1, 810 y=(x+1), 令f)=48-9-是+日则fe)= t t3 得(3十4k2)x2+8k2x+4k2-12=0. 3 8x2+10t-3(2t+3)(4t-1) 因为△=64k-4(3+4k2)(4k2-12)=144(1+ t t 2)>0, 当t>1时，f'(t)>0, 8k2 4k2-12 所以f(t)在区间(1，十∞)上单调递增， 所以x1十x1=一3十4坡2x 3+4k2 所以f(t)>f(1)=36, 则|AB|=√1十kX√(x1十z2)一4x1x2= 所以Sa0<4厅X =45. +x V3+4驴4X经12 64k9 3十4k2 =1+ 综上，四边形APBQ面积的最大位为4√3，(17分)