精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年高三第二学期5月数学模拟练习卷

2025学年第二学期高三年级 数学学科 模拟练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，解得，得， ， ，. 2. 不等式 的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为 则，解得， 所以不等式 的解集为. 3. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 4. 已知向量，若，则实数的值为______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】因为向量， ，所以，解得． 故答案为： 5. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，因点在直线上，故当且仅当时，取得最小值，由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为点在直线上， 则当且仅当时，取得最小值， 即. 故答案为：. 6. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由得，解得， 所以. 7. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积. 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆， 如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 8. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 9. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 10. 是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知的全排列有种，进而判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可． 【详解】由题意可知的全排列有种， 因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 所以对应概率为． 故答案为：． 11. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】每次投掷，到达终点的概率为，不能到达终点的概率为， ，，，， ， 设①， ②， 则①②得 ， 所以， 所以. 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离的最值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则，显然这两球相交； 故， ， 故的取值范围为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 15. 在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（ ）（注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题意结合给定定义得到椭圆方程，进而求出底面面积，最后利用棱锥的体积公式表示出体积，再利用导数求解最小值即可. 【详解】由题意可知圆柱面的半径为1，如图，截得的椭圆半短轴长即为圆柱面的半径1． 对半轴长：在中，必能找到与平面垂直，所以， 设．则由几何关系得，故椭圆方程为， 如图，椭圆有唯一内接正方形，故令，得到， 故底面面积为，，则，． 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，故D正确. 故选：D． 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则 （*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得 ， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，内切圆的面积为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解； (2)利用等面积法可得，从而得，再根据余弦定理，联立方程组求出，从而可求三角形的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 因为，所以． 所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 因为内切圆的面积为，所以内切圆半径． 由于，所以，① 由余弦定理得，， 即，② 联立①②可得，即， 解得或（舍去）， 所以． 18. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，连接和，证明四边形为平行四边形， 可得，再由线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法求解即可 【小问1详解】 图二中，取线段的中点为，连接和， ∵点为的中点， ∴且； 由题易知：且， ∴且； ∴四边形为平行四边形， ∴； ∵平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 由题知：在图一中，、都是正三角形，且点为的中点， 则有，，，， 此时； 设三棱锥的高为，则，则， 即点到平面的距离为1，而，故平面； 则可以建立如图所示的空间直角坐标系， 且，，，， 则，，； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 则， 设二面角的平面角为， 则 19. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立检验的思想即可下结论； （2）根据和事件的运算与条件概率的计算公式求解即可； （3）根据正态分布求得，结合二项分布的均值与方差公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，，，， 故. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 故， 即. 20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求出点E的轨迹的方程； （2）又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可求得； （3）根据三角形面积公式化简可得，设，由（2）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：. 【小问3详解】 设到直线的距离为， ， ，由（2）可知， ， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 21. 已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． （1）若，求集合； （2）若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； （3）若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知求得，解不等式即可求解； （2）的解集为，进而得方程有重根及，据此求解即可． （3）记，必要性，则有，由题意可得的单调性，可得结论；充分性，时，结合已知可得函数在处取得极大值，进而可得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 由，得，解得，所以． 【小问2详解】 存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． 【小问3详解】 记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程有两个二重根，进而得到恒成立，从而可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高三年级 数学学科 模拟练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，则__________ 2. 不等式 的解集为_______. 3. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 4. 已知向量，若，则实数的值为______ . 5. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 6. 已知，则______． 7. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 8. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 9. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 10. 是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为___________． 11. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 12. 正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 15. 在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（ ）（注：若正方形的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）． A. B. C. D. 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，内切圆的面积为，求的面积． 18. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 19. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； （2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； （3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，记点E的轨迹为．以线段中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求出点E的轨迹的方程； （2）又点M在线段的延长线上，且，过点的直线与交于A，B两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）在（2）的条件下，设直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A，B的点，且平分，求的取值范围． 21. 已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． （1）若，求集合； （2）若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； （3）若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $