2025年普通高等学校招生考试前沿押题卷第2套数学试题

2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 L.已知全集U=R,集合M=(xx一x>0},N={xlx<a}.若(CM)SN,则实数a的取值范围是 A.(-∞，0) B.(-o∞，0] C.(1,+∞) D.[1,+o∞) 2。若=，则在复平面内，复数x对应的点位于 A.直线y=x上 B.直线y=一x上 C.直线y=2x上 D.直线y=一2x上 3.已知随机变量X,Y满足X一N(μ，o),Y~N(一2，o),若P(X≤1)=P(X≥5)，P(0≤Y≤2)=0.6， 则P(X≥4)= A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 4.设a=0.80.4,b=l0g.0.8,c=log0.9,则a,b,c的大小关系是 A.b>c>a B.a>c>b C.b>a>c D.a>b>c y 5.已知双曲线C:。,三1(a>0,6>0)的右焦点为F,A是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点 延长线段AF与C的另一条渐近线交于点B.若O为坐标原点，lAB|=221OA|,OB|=3OA,则C 的渐近线方程为 y=t3, B.y=±22 2 C.y=士√2x Dy= 21 6.我国南北朝时期的数学家祖附提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是夹在两个平 行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等.由圆C:(x一2)2十y”=1绕y轴旋转一周得到的几何体叫做圆环体（如图 ①).记为2：构造底面半径为1，母线长为4π的横放的圆柱体（如图②），记为T.根据祖啦原理，通过考察 P可以得到2的体积，则2的体积是 0 ① A.4π2 B.8x2 C.12π D.16x 1/6页 5 7.在△ABC中，sin(A-C)= 6,tanA+4tanC=0,则B= A.6 c π D.6 8.已知函数f)=ln(任-刂-ar+2a有3个零点，则实数a的取值范图是 A.(1,+∞) B.(2,+o∞) C.(-0∞，-1) D.(-∞，-2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某企业生产了一批M型零件.为测试零件的内径尺寸（单位： ↑频率组距 60 mm)是否达标，利用简单随机抽样，从中抽取了100个零件 进行检测，得到零件内径尺寸的数据，并绘制了如图的频率 45- 4.0--- 分布直方图.根据此图，对M型零件内径尺寸的样本数据进 3.0 行估计，则 2.0 A.众数为25.01 1.0 B.中位数为25 0V24.9024.9424.9825.0225.0625.10内径尺寸mm C.80%分位数为25.03 D.在区间[24.94,25.06)内的零件个数小于70 10.已知0，A,B,C是同一平面内的四点，且10A1=1OB1=1,10元1=5,0A.O0心=3，OB.0C=4,1∈ R,则 A.当点A,B在直线OC的两侧时，OA·OB=0 B.当点A,B在直线OC的同侧时，OA.OB=2别 25 C.当点A,B在直线OC的两侧时，OC-tOA-OB的最小值为3 D.当点A,B在直线OC的同侧时，100OB=75OA+7O 11.如图，四边形ABCD,ACEF分别为正方形、矩形，平面ACEF⊥平面ABCD,G 是DF的中点，M是棱AB上一点，且满足BM=2AM,N是△BDF内的一点， AB=AF=1,则 A.直线AG与DE所成的角为90 B.CF⊥平面BDE D C.平面AEG与平面AEF的夹角为60° D.AN+MN的最小值为3,2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12。若(x一>）广的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中xy项的系数 为 (用数字作答) l3.记各项均为正数的数列{a.}的前n项积为e"”,则当lna:lna4+1的值最小时，对应k的一个 值是 4,已知椭圆C:。石+1a>b>0)的左，右焦点分别为F,F2过点F:且斜率为-的直线与C交 A,B两点.若AF1⊥F1Fz,则C的离心率为 :线段AB的垂直平分线与x轴交于点D,则 BF: DF: 2/6页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A一C=90°，且√2sinB=sin(C+45°). (1)求cosC: (2)设b=√7，求△ABC的面积. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C,中，平面BCC,B1⊥平面ABC,AC⊥AB,AC=AB,BC=CC,=2, ∠BCC,=60°，过AA1的平面与BC,B:C,分别交于点D,D1, (1)证明：四边形ADD1A,为平行四边形： (2)若CD=入DB,则当入为何值时，直线BC,与平面ADD1A,所成角的正弦值最大？ C D D 3/6页 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为I,P是C上在第一象限内的点，且直线PF的倾斜 角为60°，点P到1的距离为1. (1)求C的方程； (2)设直线x=7与C交于A,B两点，D是线段AB上一点（异于A,B两点），H是C上一点，且DH∥ :箱若平行四边形DEMN的三个顶点E,M,N均在C上，DH与EV交于点G,证明：G为定值 4/6页 18.(17分) 已知甲、乙、丙三人做投掷硬币的游戏，由甲先投第一次，然后根据规则进行传递.每个人进行投掷时，若 投出正面，则下一次由其后面的第一个人投：若投出反面，则由其后面的第二个人投（约定甲后面是乙，乙后 面是丙，丙后面是甲，…) (1)求第3次由甲投的概率； (2)设第n次由甲、乙、丙投的概率分别为M,N,Q,试比较M,N,Q的大小. 5/6页 19.(17分) 已知函数f(x)=e-3ae', (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x≥2时，f(x)+ax≥0，求实数a的取值范围. 6/6页2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 选择题答案速查 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D A A C BD ACD BC 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每 3. 已知随机变量X,Y满足X一N(u,c2),Y一N(a一2， 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 σ2)，若P(X≤1)=P(X≥5)，P(0≤Y≤2)=0.6，则 求的。 P(X≥4)= 1.已知全集U=R,集合M={x|x2-x>0},N={x A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 x<a}.若(CuM)三N,则实数a的取值范围是 【答案】B A.(-∞，0) B.(-∞，0] C.(1,+∞) 1+5 D.[1,+c∞) 【解析】由P(X≤1)=P(X≥5)，得u= 2 =3,则 【答案】C 【解析】由M={xx<0或x>1},得CuM={x|0≤ Y~N(1,c2).由P(0≤Y≤2)=0.6，得P(Y≥2)= x≤1}.因为(CM)二N,所以a>1. 0.2.因为XN(3,c2),Y一N(1,o2),所以随机变量 X,Y对应的正态密度曲线的形状相同，其对称轴分 2.若=，则在复平面内，复数：对应的点位于 别为直线x=3,x=1,从而P(X≥4)=P(Y≥2)= A.直线y=x上 B.直线y=一x上 0.2. C.直线y=2x上 D.直线y=一2x上 4. 设a=0.8-o,4,b=l1og.s0.8,c=log0.40.9,则a,b,c的 【答案】A 大小关系是 【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则乏=a一bi,由 A.b>c>a B.a>c>b x=i,得a十bi=b十ai,根据复数相等的定义，得a= C.b>a>c D.a>b>c b,所以在复平面内，复致之对应的点位于直线y= 【答案】D x上. 【解析】因为a=0.8-04>0.8=1,b=1og0.50.8< 7 1oga.s0,5=1,所以a>b.又l0go.s0.8 logo.40.8 10go.40.5 1ogo.40.8 1og0.40.4 =logo40.8>log40.9,即b>c,所以a> C2,00 b>c. ② 5.已知双曲线C:一一1(a≥0，b≥0)的右焦点为角 7.在△ABC中，sin(A-C)= 6,tanA+4tanC=0,则 F,A是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点， B= 延长线段AF与C的另一条渐近线交于点B,若O为 坐标原点，IABI=2√21OA1,1OB|=3|OA|,则C A B C. 3 的渐近线方程为 【答案】A A.y=±32 2 By=±22 【解析】由已知，得A为钝角，B和C均为锐角.设 2 sin Acos C=x,cos Asin C=y,sin(A-C)= C.y=±W2x D.y=±2 5 【答案】D 得x一y=后；由tanA十4tanC=0,得x十4y=0,解 【解析】由题意，得|OA2十|AB|2=|OB|2,所以 得x=号y=- 2 OA⊥AB,tan∠AOB=2√2.由∠AOB=2∠AOF,得 6,所以sinB=sin(A+C)=x+ 2tan∠AOF 1-tan2∠AOF =2√2，解得tan∠AOF= 号-言所以B= a∠A0F=一E(舍去)，所以名-竖从而C的新 &.已知函数fx)=n(任--ax+2a有3个零点， a 则实数a的取值范围是 近线方程为y=士)文、】 A.(1,+c∞) B.(2,+c∞) 6.我国南北朝时期的数学家祖脂提出了著名的原理： C.(-∞，一1) D.(-∞，-2) “幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是夹在两个 【答案】C 平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的 【解析】将y=f(x)的图象向左平移2个单位长度， 任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等.由圆C:(x一2)2+ 可得通数g)=fx十2)=n多行-ax的国来， y2=1绕y轴旋转一周得到的几何体叫做圆环体（如 图①)，记为2；构造底面半径为1，母线长为4π的横 所以原题转化为面数gx)=n多行一ax有3个 放的圆柱体（如图②），记为·根据祖啦原理，通过考 2一王图 察T可以得到2的体积，则2的体积是 零点”，即研究直线y=ax与函数h(x)=ln2+立 4 象交点的个数问题.因为h(x)的定义城为（一2,2）， 2+王十1m2+x 且h(-x)+h(x)=ln2-z n2-2=1n1=0所 ① ② 以为奇画数周为()-·（份引- 2-x A.4π2 B.8π2 C.12r D.16r 岩·a十=不0，所以A）在区间 一4 4 【答案】A 【解析】用距离圆心C为h(0≤h≤1)的水平平面去 (一2,2)上为减函数，且曲线y=h(x)在，点(0,0)处的 截2，得到横截面，如图①，则其横裁面面积为S。= 2-x 切线方程为y=一x.当x=0时，l血2十王 =一x;当 xX|DAI2-xX|DB|2=π(2+√1-h)2-π(2- √1-h)2=8π√/1-h2.用距离01O:为h的水平平 0<x<2时，1m3行<-：当-2<x<0时， 面去裁T,得到阴影部分的截面，如图②，则工的戴面 In 面积为Sr=4π×2/1-h2=8元√1一h.又夹在圆环 2二工>一x,作出h(x)的图象，如图.由图可知 2+x 体和横放圆柱体下的两平行平面的距离都为2，所 以符合祖啦原理的条件，所以2的体积等于T的体 当a<-1时，直线y=ax与函数h(x)=ln 一艺的图 2+x 积，即Vn=Vr=rX12×4π=4x2. 象有3个交，点，故实数a的取值范围是（一∞，一1）. 8 【解析】设∠AOC=a,∠BOC=A,由OA·OC=3, O耐1=1,0心=5，得c0s6=号m。=青：由 O成.0花=4,10i1-1.01=5,得cos8-台 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每 s如月=子当点AB在直线OC的两侧时，如图 小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ①，c0sa=sin,所以a+月=2，即O1.0成=0，故 9.某企业生产了一批M型零件，为测试零件的内径尺 A正确，O心-tOA-O1=√-3)+9，所以当 寸（单位：mm)是否达标，利用简单随机抽样，从中抽 t=3时，1OC-tOA-OB|的最小值为3，故C正 取了100个零件进行检测，得到零件内径尺寸的数 确：当点A,B在直线OC的同侧时，如图②， 据，并绘制了如图的频率分布直方图根据此图，对M 型零件内径尺寸的样本数据进行估计，则 cos(a-B)=cos acos B+sin asin- 若所以Oi· 频率组距 6.d O丽=器放B错误：设Oi=10成+以0元，则 5.0 Oi.Od=OA.O心+uO心， 4=3λ+254， 4.0 即 3.0 Oi.OA=λOA+uOA.0元， 2.0 1.0 A=3 41 得 所以100OB=750A+70元，故 024.9024.9424.9825.0225.0625.10内径尺寸mm 7 A.众数为25.01 μ=100 B.中位数为25 D正确. C.80%分位数为25.03 D.在区间[24.94,25.06)内的零件个数小于70 【答案】BD 【解析】由频率分布直方图，得内径尺寸在区间 [24.98,25.02)内的零件最多，众数就是该区间的中 点，即为25，故A错误；因为(4十5.5)×0.04=0.38， 0 0.38十6×0.04=0.2>0.5，所以中位数位于区间 ① 11. [2498,25020内，且2498+0a4×00-8 如图，四边形ABCD, =25, ACEF分别为正方形、矩 故B正确：因为0.62十5×0.04=0.82，所以80%分位 形，平面ACEF⊥平面 数位于区间[25.02,25.06)内，且25.02+0.04× ABCD,G是DF的中点，M 0,8-062=25.056,故C错误；(5+6+5.5)为 是棱AB上一点，且满足 0.82-0.62 BM=2AM,N是△BDF 0.04=0.66,100×0.66=66<70,故D正确. 内的一点，AB=AF=1,则 10.已知0，A,B,C是同一平面内的四点，且1OA1= A.直线AG与DE所成的角为90 10B1=1,|oC1=5,0A.0C=3,0i.0C=4,t∈ B.CF⊥平面BDE R,则 C.平面AEG与平面AEF的夹角为60 A.当点A,B在直线OC的两侧时，OA·O庐=0 DAN+N的最小值为 B当点4，B在直线0C的同侧时，O·O-引 【答案】BC C.当点A,B在直线OC的两侧时，|OC-tOA 【解析】由平面ACEF⊥平面ABCD及AF⊥AC, OB的最小值为3 得AF⊥平面ABCD.又由AF∥CE,得CE⊥平面 ABCD,所以CE=BC=CD=AD=AB=AF=1, D.当点A,B在直线OC的同侧时，100OB 750A+70C DE=DF=EF=AC=BD=BF=BE=√2.因为G 【答案】ACD 是DF的中点，所以AG=专(A市+正)= ·9 2(BC+C)=号正，从而AG∥BE,所以∠BED 【解析】(：一2)”的展开式中第3项、第9项的 是直线AG与DE所成的角或补角.因为△BDE是 二项式系数分别为C,C,根据题意，得C=C,则 等边三角形，所以∠BED=60°，故A错误；因为 n=2十8=10，从而x-8y-7=x7y3,故所求项的系 C京，BD=(AF-AC)·(AD-AB)=AF· AD-AC.AD-A京·AB+AC·AB=0-2× 数为c品×(-》广=-15， 13.记各项均为正数的数列{a.}的前n项积为em- 1X号-0+反X1×号-0，所以CFLBD,.同理可 则当In a:ln a+1的值最小时，对应是的一个 值是 得C京，Di=0,即CF⊥DE.又BD∩DE=D,所 【答案】4或5（填写其中的一个即可） 以CF⊥平面BDE,同理可得AE⊥平面BDF,故 【解析】由a1a2a:…an-!·an=e-,得a1aga B正确；由AB⊥AD,AB⊥AF,AD∩AF=A,得 …a-1=en-》-a-(n≥2)，则an=e10-u(n≥2). AB⊥平面ADF,所以FG⊥AB.因为FG⊥AG, 又当n=1时，a1=e适合a.=e0-n,所以an= AG∩AB=A,所以FG⊥平面ABEG,即平面 e30-如，则lna.=10一2n.当k≤4时，lnak>0; ABEG的一个法向量为FG.由BD⊥CE,BD⊥ 当k=5时，lna=0;当≥6时，lna。<0,所以 AC,AC∩CE=C,得BD⊥平面ACEF,可得平面 当k≤3或k≥6时，In a:In a+1>0;当k=4或= ACEF的一个法向量为BD.又FG·BD=(AG 5时，lna.lna+1=0.综上，k=4或k=5. A)·(AD-AB)=AG.AD-AF,AD-A店· A正+店，A正=号-0-0+0=号所以1o(元， 14已知椭国C芹+若=1a>60)的左：右熊点分 别为P,F,过点R,且斜率为-是的直线与C交 动1-亮哥-合从5牛台AG与 于A,B两点，若AF1⊥F:F2,则C的离心率 AEF的夹角为60°，故C正确；如图，设AE∩平面 为 :线段AB的垂直平分线与x轴交于点 BDF=H,在AE上作点A关于点H对称的，点为 BF2 A:,连接HB,HD,HF,连接A1M交平面BDF于 D,则DF2 点N,则(AN+MN)mm=A,M.由AH⊥平面 【答案】之 5 BDF及AD=AB=AF,得HD=HB=HF,则H 为等边三角形BDF的中心，由V枝ABDF= 【解析】设|F:F,=2c,由AF1⊥F,Fz,得A-c, 的)由直线AB的针率方-是得=是 3 即2(a2-c2)=3ac,两边同除以a2,得2e+3e- 解得AH= 3,从而AA,=2AH=23 在 3 2=0,解得e=号或。=一2（合去）.设AB的中点为 △AAM中，c0s∠BAE=写，由奈弦定理，释 E∠A,R=0,则cos9-言，AP:=lE= cos A,M:= 1 3+g-2x =1,即A1M= 3 2X5-号连接BF,在△BF,中，设BF:- 4 1,故D错误。 n,由椭圆的定义，得引BF:|=2a一n=4c一n.由余弦 定理，得(4c-n)2=n2+(2c)2-2n×2c× os-,解得a-票所以EF-hP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 号×-需晋×票-号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说 12.若(x一2）的展开式中第3项与第9项的二项式 明、证明过程或演算步骤。 系数相等，则该展开式中x一3y一？项的系数 15.(13分) 为 .(用数字作答) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 【答案】一15 知A-C=90°，且√2sinB=sin(C+45). ·10 (1)求cosC: 所以AD:∥AD, (5分) (2)设b=√7，求△ABC的面积. 所以四边形ADD1A1为平行四边形. (6分) 解：(1)由A=C+90°，得B=180°-A-C=90° (2)解：如图，取BC的中点O,连接OC1,OA, 2C,则sinB=cos2C (1分) 由BC=CC1=2及∠BCC1=60°，得△BCC1为等 又W2sinB=sin(C+45), 边三角形， 所以2sinB=sinC十cosC, (2分) 所以OC:⊥BC. 即2cos2C=sinC+cosC, 文平面BCC1B,⊥平面ABC,平面BCC1B,∩平面 即cosC-snC=号(sinc+cosC. (3分) ABC=BC,OC:C平面BCC1B1, 所以OC1⊥平面ABC. 由sinC+cosC>0,解得cosC-sinC=2 1 又OAC平面ABC,所以OC:⊥OA, (4分) 由AC⊥AB及AC=AB, 又cos2C+sin2C=1, 得△ABC为等腰直角三角形， 解得inC=7-或inC=二7-1（含去， 所以OA⊥BC (8分) 4 4 以O为坐标原点，OA,O,OC的方向分别为x 从而c0sC=7+1 轴、y轴、之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 4 (6分) 标系， (2)由A=C+90°，得sinA=cosC, 则0(0,0,0)，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0), 结合2sinB=sinC+cosC,得2sinB=sinC+ C(0,0w3), sin A, 所以BC1=(0,-1,W),AA1=CC=(0,1,N3). 由正弦定理，得2b=a十c. (8分) (10分) 又b=√7，所以c=27-a 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C, 设D(0,t,0)(-1≤t≤1)，则AD=(-1,t,0). (11分) 即(2,7-a)=a3+7-2W7ax7+1, 4 设平面ADD1A1的法向量为m=(x,y,z), 解得a=√7+1， (11分) m·AA1=0, 则 即 y+√3x=0, 1 m·AD=0,-x+y=0. 所以△ABC的面积为2 absin C=?×(W7+1)X 令y=5,得x=3tz=一1， 7×7-1-3w万 4 41 (13分) 所以平面ADDA1的一个法向量为m=(3t, 16.(15分) 3,-1). (13分) 如图，在三棱柱ABC 设直线BC1与平面ADD1A:所成的角为0， AB1C1中，平面BCC1B1⊥平 面ABC,AC⊥AB,AC=AB, 则sin0=1cos(m,BC)1=lm·BC ImBC, BC=CC1=2,∠BCC1=60°，过 1-2w51 3 AA1的平面与BC,B1C1分别交 2√/3t2+4w/3t+4 于点D,D1. (1)证明：四边形ADD:A:为平行四边形： 所以当t=0,即D为BC的中点时，(sin)mx 3 2 (2)若CD=λDB,则当入为何值时，直线BC1与平 故当A=1时，直线BC1与平面ADD1A1所成角 面ADD:A:所成角的正弦值最大？ 的正弦值最大。 (15分) (1)证明：图为AA1∥BB1,BB1C平面BCC1B1, AA1丈平面BCC1B:, 所以AA:∥平面BCC1B1. (2分) 又AA1C平面ADD1A1,平面ADD1A:∩平面 BCC1B1=DD1,所以AA1∥DD1. (3分) 因为平面ABC∥平面A1B:C1,平面ADD:A1∩平 面A:B1C1=A1D1,平面ADDA,∩平面ABC=AD, ·11 17.(15分) 所以DH的中点坐标为 已知抛物线C:y2=2px(力>0)的焦点为F,准线为 1,P是C上在第一象限内的点，且直线PF的倾斜角为 即G为DH的中点， 60°，点P到l的距离为1. GH 1 IGHI 所以D可-2，故D可为定值. (15分) (1)求C的方程： (2)设直线x=?与C交于A,B两点，D是线段 18.(17分) AB上一点（异于A,B两点），H是C上一点，且DH∥ 已知甲、乙、丙三人做投掷硬币的游戏，由甲先投第 x轴.若平行四边形DEMN的三个顶点E,M,N均在C -次，然后根据规则进行传递.每个人进行投掷时，若投 出正面，则下一次由其后面的第一个人投；若投出反面， 上，DH与EN交于点G,证明86为定值 则由其后面的第二个人投（约定甲后面是乙，乙后面是 (1)解：根据抛物线的定义，得|PF|=1. (1分) 丙，丙后面是甲，…). 过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q, (1)求第3次由甲投的概率； (2)设第n次由甲、乙、丙投的概率分别为M,N,Q, 则Fa1=2,PQ1-9 试比较M,N,Q的大小. 又F(名0）所以P(+号} 解：(1)设事件A:=“第i次甲投”，B:=“第i次乙 (3分) 投”，C,=“第i次丙投”，i∈N” 根据题意得P(A1)=1,P(B1)=0,P(C1)=0. 代入y=2px,得()广=2p×(侵+2) (1分) 整理得4p2十4p一3=0， 甲先投，若甲投出正面，则第2次由乙投：若甲投出 解得p=一（合去）或p=号， 1 反面，则第2次由丙投， 1 故C的方程为y2=x. (6分) 所以P(A:)=0,P(B,)=P(C:)=z: (2)证明：设D(7,t),显然，EN与x轴不平行， (3分) 设直线EN的方程为x=my十n,E(x1,y1) Pa,B)=PA,1C,)-号 N(x2,y2), 所以P(A:)=P(B:)P(Ag|B:)+P(C)· 联立=x, 得y2-my-n=0, pa,c-x号+x2-号 (6分) x=my十n, 则△=m2十4n>0,且y1+y2=1. (8分) (2)由题意，对于任意的i,都有P(A.)十P(Bn)十 因为四边形DEMN为平行四边形， P(C.)-1.P(A.IB.)-.P(A.IC.-- 所以M正=ND, (7分) 即(x1-xM,y1一y)=(7-x2t-y:), (9分) 所以P(A.)=P(Bn-1)P(A.|B.-1)十P(Ca-1)· 所以x1一xM=7一x2y1一yM=t一y?: 所以ya=y1十y2一t=m一1， P(A.IC.)-P(B.)+P(C). xM=x1十x2-7=my1十n+yg+n-7=m(y1十 y1)+2-7=m2+2n-7, 则Pa,)-[P(B.-)+P(C.-]=2[1- 即M(m2+2n-7,m-t). (11分) PA1,即PA.)-日号PA）①.（9分剂 由点M在C上，得(m一t)2=m2+2n-7, 设①可化为P(An)-x=g[P(A.-)-x] 解得n= 2+7 (12分) 2 一mt 整理得P(An)=x-qx十gP(A.-1）②. 所以直线EN的方程为x=my+十？ 1 一2t, 2 2 9= 2 比较①②的系数，得 解得 即x=m(y-)+1 1 2 x一gx= 1 2 r= 所以直线EN选生) (13分) 所以①可化为PA,)- -pa引 将y=t代入y2=x,得H(t2,t), (10分) ·12· 当n=2时，P(A.)=0,P(A-1)=1,也满足上式， ①若a≤0，则g'(x)>0,从而g(x)在区间[2， 所以pA,)一司引是有秀方PA,)-号-号公比 十c∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(2)=e-3ae2+2a2>0,即g(x)≥ 为一 的等比能列， 0恒成立，此时符合题意。 (8分) ②若a>0,g'(x)=2(e*-ea)(e-eh壹)， 当x<n号或x>lha时，gx)>0: 当h号<x<na时，g'x)<0, 则M-号+号×()” (11分) 所以gx)在区同(-c∞，ln受)和(Ina,十o)上单 同理可得P(B.)=吉P(A)+号P(Ce) 调递增，在区同(n受，lna)上单调递减. (9分) ≥21N=言-号×}， (12分) (1)若lna<2,即0<a<e2, 则当x≥2时，g'(x)>0,从而g(x)在区间[2， P(C)=PA+2P(Bm≥2，且Q- 十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(2)=e-3ae2+2a2=(e2-2a)· 合号×() (13分) (e2-a)≥0， 当m为奇时，M=号+号×（合）>号N 郎得0Ca≤号， Q=号言×()<号所以M>N=Q, 中当0心a≤号时特合题高 (10分) 当m为偶数时，M-号-号×（份）<合，N (i)若1n号<2<na,即e<a<2e,当2<x< lna时，g'(x)<0;当x>lna时，g'(x)>0, Q=+号×（）>号，所以M<N-Q, (17分) 所以g(x)在区间(2，lna)上单调递减，在区间 (lna,十co)上单调递增， 19.(17分) 所以x=lna是g(x)的极小值点，也即最小值点， 已知函数f(x）=ex一3ae. 即g(x)m=g(lna)=a2(lna-2)≥0， (1)讨论f(x)的单调性； 此时g(x)≥0恒成立，符合题意： (12分) (2)当x≥2时，f(x)+a2x≥0，求实数a的取值 范围。 ()若2<1n2,即a>2e2, 解：af'x)=2e-3ae=2e(e-),(2分) 当2x<n号或x>lna时，g'(x)>0; 当a≤0时，f'(x)>0,则f(x)在区间(-∞，十∞) 当ln名<x<ina时，g'(x)<0, 上为增函数； (3分) 当a>0时，f'(x)=2e(e-e￥)， 所以gx)在区间(2，n2)和(1na,+∞)上单调 当x<n受时，f(x)<0:当z>h受时， 递增，在区间(n?na上单调递减， f'(x)>0, 所以x=ln受是g(x)的极大值点，x=ha 所以fx)在区间（一60，ln受）上单调递减，在区 是g(x)的极小值点， (14分) 问（血受+∞）上单调递增， 要使gx)≥0恒成立，只需g(2)≥0， (6分) lg(lna)≥0， (2)设g(x)=e2-3ae+a2x, 即《e-2a)e二a)≥0，解得a≥e {a2(1na-2)≥0， 则当x≥2时，g(x)≥0恒成立， 又a>2e,所以当a>2e2时符合题意. (16分) g'x)=2e-3ae+a2=2e-a(e-受） 综上，实数a的取值范国为(-6∞，写]U[2,十o)。 (7分) (17分) ·13·