期末专题07 集合逻辑向量复数不等式（5大题型33题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题07 集合与常用逻辑用语、平面向量与复数、 不等式与基本不等式（5大题型33题） 题型概览 题型01 集合 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 题型05 不等式及基本不等式 ( 题型01 ) 集合 1．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 ( 题型02 ) 常用逻辑用语 8．(23-24高二下·湖南郴州·期末)设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 复数 11．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 13．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 14．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)已知为虚数单位，则的共轭复数为 . 15．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知复数满足，则复数等于（    ） A．1 B． C．3 D． 16．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知是虚数单位，复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点分别为，则复数（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知复数（为虚数单位），则（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 19．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)已知复数，则当 时，复数对应的点在虚轴上. 20．(23-24高二下·湖南张家界·期末)（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是纯虚数 ( 题型04 ) 平面向量 21．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知向量，，若，则实数 ． 22．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知平面向量，，若，则 . 23．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知非零向量，，若，则实数 . 24．(23-24高二下·湖南岳阳·)已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·湖南张家界·期末)在中，，为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知M，N是圆O上的两点，若，则（    ） A．3 B． C．9 D． 27．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知为坐标原点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 28．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 29．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．    (1)求； (2)求的坐标； (3)若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． ( 题型0 5 ) 不等式及基本不等式 30．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 31．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知函数的两个零点分别为，若三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32．(23-24高二下·湖南张家界·期末)记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 33．(23-24高二下·湖南·期末)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题07 集合与常用逻辑用语、平面向量与复数、 不等式与基本不等式（5大题型33题） 题型概览 题型01 集合 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 题型05 不等式及基本不等式 ( 题型01 ) 集合 1．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】化简集合，再由交集运算得解. 【详解】求解，得或 即或 所以集合或， 则. 故选：B 2．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据并集和补集的定义直接计算即可. 【详解】由题意得，所以， . 故选：A 3．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 所以的子集个数为8. 故选：C. 4．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据对数函数单调性解不等式可得，进而可得. 【详解】由不等式， 得，解得， 所以， 又， 所以， 故选：D. 5．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】由交集概念求解. 【详解】根据题意，. 故选：C 6．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】先求得集合中元素具体的范围，再求. 【详解】，则， 故选：C 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据进行求解. 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. ( 题型02 ) 常用逻辑用语 8．(23-24高二下·湖南郴州·期末)设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定成立， 而当时，不一定成立，如， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：B 9．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面， 若，且，但如果直线与不相交， 则不能得到，从而不能推出； 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面， 若，由于，，， 则，又，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】由题意可列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】“在上单调递增”当且仅当，即当且仅当， 换言之，“在上单调递增”的充要条件是. 故选：B. ( 题型03 ) 复数 11．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 12．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。 【详解】解法一：设复数, 则，化简得， 故，即①，② 此时，对于选项中的值，代入： 若，则，符合要求， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 综上可得 故选：A 解法二：由可得， 故，故或， 由于为虚数，故， 故虚部为1， 故选：A 13．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用复数运算法则求解． 【详解】解：为虚数单位， 复数， 则的虚部为． 故选：B． 14．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)已知为虚数单位，则的共轭复数为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义，即可求出结果. 【详解】因为，所以的共轭复数为， 故答案为：. 15．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知复数满足，则复数等于（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用复数的除法运算求解，根据复数模的定义求解即可. 【详解】由题可知， 故. 故选：D. 16．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知是虚数单位，复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】由， 得. 故选：D. 17．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点分别为，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】先求出，然后求出 即可得出结果． 【详解】由题可得，所以， ， 故选：A． 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知复数（为虚数单位），则（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】先得到，从而求得. 【详解】，所以， 故选：C. 19．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)已知复数，则当 时，复数对应的点在虚轴上. 【答案】 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】先化简复数再根据条件得出参数的关系即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故答案为：. 20．(23-24高二下·湖南张家界·期末)（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是纯虚数 【答案】BCD 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念可得，再根据复数的几何意义可判断各选项. 【详解】由， 得， 设，则， 所以， 所以，解得， 即，A选项错误； 则，B选项正确； 且复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，C选项正确； 为纯虚数，D选项正确； 故选：BCD. ( 题型04 ) 平面向量 21．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知向量，，若，则实数 ． 【答案】/ 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 22．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】先根据向量垂直得坐标公式求出，再根据向量的模的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 故， 所以. 故答案为：. 23．(23-24高二下·湖南张家界·期末)已知非零向量，，若，则实数 . 【答案】 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据向量垂直的坐标表示可列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又， 所以， 又，即 所以， 故答案为：. 24．(23-24高二下·湖南岳阳·)已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量， 则向量在向量上的投影向量是 . 故选：A. 25．(23-24高二下·湖南张家界·期末)在中，，为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据向量的线性运算及共线定理可得参数值，进而可得解. 【详解】 由已知，则， 又为线段的中点， 所以， 所以， 即，， 所以， 故选：C. 26．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知M，N是圆O上的两点，若，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】利用圆的中点弦的性质，再结合数量积的运算律求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图， 则， 所以. 故选：B 27．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知为坐标原点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】设，得出点的轨迹方程为0.集合，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，计算得出结果. 【详解】设， 点的轨迹方程为0. 又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离， . 故选：B. 28．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 【答案】BCD 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解A，根据投影向量可得，即可求解B，根据共线关系即可求解C，根据数量积的坐标运算，结合辅助角公式以及三角函数的性质即可求解D. 【详解】因为向量， 对于A，由得，解得，故A错误； 对于B，由在上的投影向量为，得， 而，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则，所以， 因此，解得，所以存在，使得，进而，故C正确； 对于D，因为，而， 所以当时，的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 29．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．    (1)求； (2)求的坐标； (3)若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意可得， ， - ； （2），，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； （3）设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. ( 题型0 5 ) 不等式及基本不等式 30．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】首先根据公差不为0的等差数列满足，结合等差数列的下标和定理得出，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 31．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知函数的两个零点分别为，若三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据题意可得是方程的两个不等实根，则有，不妨设，且由可得，再由题意列方程可求出，从而可求出，进而可求出不等式的解集. 【详解】因为函数的两个零点分别为， 所以可得是方程的两个不等实根， 所以， 所以，不妨设， 因为三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列， 所以可以成等差数列，可以成等比数列， 或可以成等差数列，可以成等比数列， 所以，解得，， 所以， 所以化为， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故选：D 32．(23-24高二下·湖南张家界·期末)记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】假设最小值为t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判断即可. 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 33．(23-24高二下·湖南·期末)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$