期末专题05 排列组合与二项式定理（6大题型38题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题05 排列组合与二项式定理（6大题型38题） 题型概览 题型01 排列组合综合 题型02 二项式定理及其相关计算 题型03 三项展开式及两个二项式乘积问题 题型04 二项式定理展开式系数问题 题型05 整除和余数问题 题型06 二项式定理解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 排列组合综合 1．(23-24高二下·湖南·期末)学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（    ） A．350 B．700 C．2100 D．4200 2．(23-24高二下·湖南·期末)某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种.（用数字作答） 3．(23-24高二下·湖南·期末)将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（    ） A．78 B．92 C．100 D．122 4．(23-24高二下·湖南·期末)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·湖南·期末)某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（    ）种. A．144 B．72 C．64 D．36 6．(23-24高二下·湖南·期末)通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 8．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（    ） A．84 B．90 C．72 D．78 9．(23-24高二下·湖南·期末)现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答） 10．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（    ） A．7种 B．8种 C．12种 D．14种 11．(23-24高二下·湖南郴州·期末)三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（   ） A．360种 B．540种 C．720种 D．900种 12．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 13．(23-24高二下·湖南·期末)将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　） A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种 14．(23-24高二下·湖南·期末)第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 15．(23-24高二下·湖南·期末)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”. 16．(23-24高二下·湖南·期末)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 17．(23-24高二下·湖南·期末)现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 ( 题型02 ) 二项式定理及其相关计算 18．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 19．(23-24高二下·湖南·期末)已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的有（    ） A．有3项 B．常数项为3 C．所有项的二项式系数和为8 D．所有项的系数和为0 21．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)求的展开式中的系数（    ） A．32 B． C．24 D． 22．(23-24高二下·湖南郴州·期末)若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 ( 题型03 ) 三项展开式及两个二项式乘积问题 23．(23-24高二下·湖南·期末)的展开式中，x7的系数为（    ） A．5 B．7 C．10 D．15 24．(23-24高二下·湖南·期末)的展开式中的系数为 （用数字作答） 25．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)在的展开式中，的系数是（    ） A． B．5 C． D．10 ( 题型04 ) 二项式定理展开式系数问题 26．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 27．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 28．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）已知，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 30．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）若（），则下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 31．(23-24高二下·湖南·期末)设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 32．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 整除和余数问题 33．(23-24高二下·湖南·期末)若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 ( 题型0 6 ) 二项式定理解答题 34．(23-24高二下·湖南·期末)在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 35．(23-24高二下·湖南·期末)已知. (1)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项; (2)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项. 36．(23-24高二下·湖南·期末)已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 37．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 38．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 排列组合与二项式定理（6大题型38题） 题型概览 题型01 排列组合综合 题型02 二项式定理及其相关计算 题型03 三项展开式及两个二项式乘积问题 题型04 二项式定理展开式系数问题 题型05 整除和余数问题 题型06 二项式定理解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 排列组合综合 1．(23-24高二下·湖南·期末)学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（    ） A．350 B．700 C．2100 D．4200 【答案】A 【分析】根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】7门选修课中往意选择3门，共有种选择， 从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法， 故总的选法有种， 故选：A 2．(23-24高二下·湖南·期末)某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种.（用数字作答） 【答案】72 【分析】由已知可得，将安排三人就座看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，利用捆绑法和插空法结合排列数和组合数的计算可得答案. 【详解】由题意，可看成3个坐着人的座位和3个空座位排队， 恰有两个空座位相邻，故和另外一个空座位均不相邻， 先安排3个坐着人的座位，共有种坐法，产生4个空位， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空位捆绑在一起，看做一个元素，有种坐法，然后再从剩余的3个空中选择一个，将剩余的一个空座位安上，有种坐法， 所以共有种坐法. 故答案为：72. 3．(23-24高二下·湖南·期末)将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（    ） A．78 B．92 C．100 D．122 【答案】C 【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解. 【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种， 当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种. 综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是. 同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50. 故不同的分配方法数是. 故选：C 4．(23-24高二下·湖南·期末)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案. 【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法， 若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中， 则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况， 则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为. 故选：B 5．(23-24高二下·湖南·期末)某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（    ）种. A．144 B．72 C．64 D．36 【答案】D 【分析】先安排3个不同的公益广告，再用插入法排2个不同的商业广告即可求总的方法数. 【详解】先排3个不同的公益广告有，每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法， 由分步计数原理共有种方法. 故选：D. 6．(23-24高二下·湖南·期末)通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解. 【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案. 故选：D. 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】B 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】将白球分为两堆，并插空，求出答案. 【详解】除颜色外不考虑球的其他区别，将三个白球分成两堆，只有一种分法， 大小形状完全相同的三个红球排成一排也只有一种排法，三个红球共有4个空， 将白球插空有种可能. 故选：B. 8．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（    ） A．84 B．90 C．72 D．78 【答案】C 【来源】湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题 【分析】先选出两人分别与甲，乙组队，再进行全排列，得到答案. 【详解】除甲和乙外，从剩余的4人中选两人，分别与甲和乙组队，有种情况， 再将分好的3组和3个景点进行全排列，共有种情况， 故不同的安排方法数有. 故选：C 9．(23-24高二下·湖南·期末)现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答） 【答案】12 【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，相加得到结果. 【详解】甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列， 故有种方法， 甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列， 故有种方法， 综上，共有种方法. 故答案为：12 10．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（    ） A．7种 B．8种 C．12种 D．14种 【答案】A 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】先将名学生分为组，第一种情况组人数分别为、，第二种情况组人数分别为、，采用特殊元素分析法求解. 【详解】先把名学生分成组， 第一种情况组人数分别为、， 由于甲不去A乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种， 第二种情况组人数分别为、， 则可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种， 故共有种. 故选：A. 11．(23-24高二下·湖南郴州·期末)三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（   ） A．360种 B．540种 C．720种 D．900种 【答案】C 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】先将老师捆绑成一个团队，再将团队与另外4名同学进行排列，即可得出． 【详解】完成此事分步进行：（1）将老师捆绑成一个团队，有种站法；（2）将团队与另外4名同学进行排列，有种站法； 根据分步计数原理，所以有种不同的站法， 故选:C． 12．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 【答案】A 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，6盏灯有7个空，利用插空法即可求解. 【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏， 6盏灯有7个空格，从7个空格中随机的选5个空格， 因为灯是没有顺序的，所以共有种， 故选：A. 13．(23-24高二下·湖南·期末)将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　） A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种 【答案】C 【分析】将6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，再分别计算每组的安排方法可得答案. 【详解】6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法， 当为1，1，1，3时，有种； 当为2，2，1，1时，有种， 共有种不同的分配方案. 故选：C. 14．(23-24高二下·湖南·期末)第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 【答案】B 【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 15．(23-24高二下·湖南·期末)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”. 【答案】54 【分析】根据给定条件，按含有0、不含0但有相同数字、不含0无相同数字分类，结合排列组合列式计算即得. 【详解】构成“十全十美数”有3类办法， 有一位数字是0的“十全十美数”有个； 不含0但有相同数字的“十全十美数”有个； 不含0无相同数字的“十全十美数”有， 所以符合要求的“十全十美数”有个. 故答案为：54 16．(23-24高二下·湖南·期末)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 【答案】B 【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得. 【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能， 若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能， 故共有种可能. 故选：B. 17．(23-24高二下·湖南·期末)现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 【答案】C 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． ( 题型02 ) 二项式定理及其相关计算 18．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．不存在常数项 B．二项式系数和为1 C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128 【答案】AC 【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得. 【详解】因为展开式的通项公式为， 对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确； 对B，二项式系数和为，故B错误； 对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确； 对D，令，得所有项的系数和为，故D错误； 故选：AC. 19．(23-24高二下·湖南·期末)已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得求出的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出，从而可求出展开式中的常数项. 【详解】因为的展开式中第3项的二项式系数等于36， 所以，得， 因为，所以， 所以展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中的常数项为， 故选：A 20．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的有（    ） A．有3项 B．常数项为3 C．所有项的二项式系数和为8 D．所有项的系数和为0 【答案】BCD 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】对于A：根据二项式定理分析判断；对于B：根据二项展开式的通项公式运算求解；对于C：根据二项式系数之和的结论分析判断；对于D：令，即可得所有项系数之和. 【详解】对A，因为二项式的展开式中共有4项，故A错误； 对B，二项式的展开式中通项为， 令，得， 所以常数项为，故B正确； 对C，因为，所以所有项的二项式系数和为，故C正确； 对D，令，可得所有项的系数和为，故D正确. 故选：BCD. 21．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)求的展开式中的系数（    ） A．32 B． C．24 D． 【答案】B 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项是， 依题意， ， 因此，的系数. 故选：B． 22．(23-24高二下·湖南郴州·期末)若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A ( 题型03 ) 三项展开式及两个二项式乘积问题 23．(23-24高二下·湖南·期末)的展开式中，x7的系数为（    ） A．5 B．7 C．10 D．15 【答案】D 【分析】将原式化简，再根据二项定理的展开项通项公式确定x7的系数. 【详解】因为=， 所以展开式的通项公式为， 当时，，， 则，x7的系数为15. 故选：D 24．(23-24高二下·湖南·期末)的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为： ， 所以的系数为． 故答案为：. 25．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)在的展开式中，的系数是（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】A 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】由组合知识可得展开式中与项的系数，再由多项式乘法公式即可得解. 【详解】由多选式乘法知，只需求出展开式中与项的系数，即可得解， 由组合知识可知，的系数为，项的系数为， 故在的展开式中，的系数是. 故选：A ( 题型04 ) 二项式定理展开式系数问题 26．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二项式定理求出即可. 【详解】令，即， 因此原等式为，项为， 所以. 故答案为： 27．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 【答案】-448 【分析】根据展开式，将配为即可根据二项式定理进行计算. 【详解】由题意知为的展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为. 故答案为：-448. 28．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）已知，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可 【详解】解：由，得 ，则 其展开式的通项公式为， 对于A，令，则，所以A错误， 对于B，令，则，所以B正确； 对于C，在中令，则，所以C错误； 对于D，，所以D正确， 故选：BD 29．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则 . 【答案】4048 【分析】求导赋值可得，直接赋值可得，即可得结果. 【详解】因为， 两边同时求导得， 令，可得， 由， 令，可得； 令，可得； 可得； 所以. 故答案为：4048. 30．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）若（），则下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据赋值法依次判断4个选项即可. 【详解】A选项，令，，对， 令，， 令，， B选项，，∴，错， C选项，，∴，对， D选项，令，， 又，∴，∴，错， 故选：BD. 31．(23-24高二下·湖南·期末)设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解. 【详解】令，所以， 所以原式可变形为， 所以，故正确； 令，则，故正确； 令，则， 令，则，所以，故不正确； 令，则， 所以，故不正确. 故选：. 32．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B ( 题型0 5 ) 整除和余数问题 33．(23-24高二下·湖南·期末)若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 【答案】D 【分析】二项式定理整除问题，把改写成，利用二项式定理展开，再令能被17整除，求出的最小值即可. 【详解】 ， 因为能被17整除， 所以上式中能被17整除即可满足题意， 所以， 即， 所以的最小值为16， 故选：D. ( 题型0 6 ) 二项式定理解答题 34．(23-24高二下·湖南·期末)在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 【答案】(1) (2)； (3)第6项和第7项 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. （2）， 当为整数时为有理项， 即， 则的取值集合为； （3）设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 35．(23-24高二下·湖南·期末)已知. (1)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项; (2)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)，60； (2). 【分析】（1）分别表示出展开式的第3项和第5项的二项式系数，利用相等关系列出方程解出，通过展开式的通项，求出常数项即可； （2）令，结合已知条件，求出所有项的系数之和为，解出，根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为展开式的第3项和第5项的二项式系数相等， 所以，即，， 整理得，解得或（舍）， 所以展开式的通项为， 令，得， 故常数项为. （2）令，得所有项的系数之和为，解得. 由于是偶数，所以展开式中共有5项，且第3项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. 36．(23-24高二下·湖南·期末)已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)1792 (2) 【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解； （2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解. 【详解】（1）由二项式系数和为，则，解得； 则展开式的通项公式为，， 令，解得，所以展开式中含的系数为； （2）由（1）可知，令，且，则， 则展开式中的有理项分别为，，. 37．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【答案】BC 【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D. 【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题. 38．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于ABC选项，由图2中数据特征可得，对于D，左式可由的展开式中的系数得到，故根据以及二项式定理研究展开式中的系数即可求解. 【详解】依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6； 第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2； 所以， 对于A，由上，故A错； 对于B，由图可知， 以此类推可得，故B对； 对于C，由上可知正确，故C对； 对于D，因为， ， 则， 所以根据乘法规则的展开式中的系数为： ， 又， 其通项为， 因为，故展开式中的系数为0， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求证D选项的关键是借助展开式中的系数引出D中左式，进而借助展开式研究得证. / 学科网（北京）股份有限公司 $$