湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题

长郡梅溪湖中学高二下学期数学期末模拟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．若是的增函数,则的取值范围是 A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（    ）（参考数据） A．0.72 B．0.70 C．0.68 D．0.66 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意两个不等的实数，都有，则a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若为钝角，则 10．如图是函数的部分图像，则（    ） A． B．在区间单调递增 C．直线是曲线的对称轴 D．的图像向左平移个单位得到函数的图像 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则t的最小值为2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.函数上的点到直线的最短距离是 ． 13.已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 14.小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台利用大数据推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 16.在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 17.已知向量，，记函数. (1)求使成立的x的取值集合； (2)已知，均为锐角，，，求的值. 18.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 （1）求，； （2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ （3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为，求的数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19.已知函数（a为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡梅溪湖中学高二下学期期末模拟 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】， ，所以.故选：C. 2．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 3．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，且 ，是奇函数，排除选项C和D； 当时，，排除选项A； 故选：B 4．若是的增函数,则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A【详解】由于函数是的增函数， 则函数在上是增函数，所以，，即； 且有，即，得， 因此，实数的取值范围是，故选A. 5．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为为的中点，可得， 所以.故选： C. 6．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（    ）（参考数据） A．0.72 B．0.70 C．0.68 D．0.66 【答案】D【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则，所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为．故选：D． 7．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，所以，故，即，因为，而，所以，故，综上，故选：D 8．已知函数，若对任意两个不等的实数，都有，则a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B【详解】不妨设，因为，所以．构造函数，所以，所以在单调递增， 故在恒成立，即在恒成立．令，则．令，则，解得，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． ，即．所以a的最大值为.故选：B.. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若为钝角，则 【答案】BD 【详解】角的终边经过点，可得，，， 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，若为钝角，，且，又因为在单调递增，所以，故D正确.故选:BD. 10．如图是函数的部分图像，则（    ） A． B．在区间单调递增 C．直线是曲线的对称轴 D．的图像向左平移个单位得到函数的图像 【答案】AC 【详解】A项：由图象可得，解得，所以，故， 由周期及图象知：，将代入可得，解得， 又，所以，所以，A正确； B项：当，即时，单调递增， 因为，B错误； C项：令，解得，当时，，C正确； D项：的图象向左平移个单位，得到，D错误． 故选：AC 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.函数上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【详解】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于， 由且，令，∴，解得（舍）或， ∴切点为，故最短距离为.故答案为： 13.已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围． 【详解】函数的图象如图所示： 因为方程有且只有两个不相等的实数根， 所以图象与直线有且只有两个交点即可， 当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点，可得， 故答案为：． 14.小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台利用大数据推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率为________． 答案　解析　设事件A表示电商平台第一次给小李推送某商品，她购买了此商品，则事件表示电商平台第一次给小李推送某商品，她未购买此商品，事件B表示电商平台第二次给小李推送某商品，她购买了此商品，则事件表示电商平台第二次给小李推送某商品，她未购买此商品，由P(A)＝可知P()＝1－P(A)＝，由P(B|)＝可知P(|)＝1－P(B|)＝，由P(B|A)＝可知P(|A)＝1－P(B|A)＝， 电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率P()＝P(A)P(|A)＋P()P(|) ＝×＋×＝. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：为偶函数，， 又为奇函数，， ，① ，即，② 由得：，可得. （2）解：， 所以，， 令，因为函数、在上均为增函数， 故在上单调递增，则， 设，，对称轴， ①当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得：或（舍）； ②当时，在上单调递增， ，解得：，不符合题意. 综上：. 16.在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(2) 【详解】（1）解：由及正弦定理可得， 即， 即， 、、，则，所以，， ，则，所以，，故. （2）解：由余弦定理可得， 所以，， ，则为锐角，故， 因此，. 17.已知向量，，记函数. (1)求使成立的x的取值集合； (2)已知，均为锐角，，，求的值. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由知， ， ，， 解得，； （2），， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以                 . 18.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 （1）求，； （2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ （3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为，求的数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），；（2）不能有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）. 【详解】解：（1）由已知，该校有女生400人，故， 得，从而. （2）作出列联表如下： 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 . 所以不能有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关. （3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率， 所以，且，. 故的数学期望. 19.已知函数（a为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，， 所以，，故曲线在点处的切线方程为． （2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，从而得到，即，又，故，且 令，则， ，所以在上单调递减，所以，即的值域为，所以的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$