期末专题01 解析几何（7大题型45题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 解析几何（7大题型45题） 题型概览 题型01 直线方程 题型02 圆的方程及应用 题型03 圆锥曲线基本量的求解 题型04 离心率问题 题型05 最值问题 题型06 解析几何多选题（多考点综合） 题型07 求直线方程（解答题） 优选提升题（解答题）） ( 题型01 ) 直线方程 1．(23-24高二下·湖南邵阳海谊中学·期末)已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 2．(23-24高二下·湖南·期末)“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 3．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； （2）设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得. 【详解】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 4．(23-24高二下·湖南·期末)已知三个顶点是，， (1)求BC边上的垂直平分线的直线方程： (2)求点A到BC边所在直线的距离及的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用坐标求解，利用垂直关系求得BC边上的垂直平分线的斜率为：，再求解BC的中点D的坐标，即得解； （2）利用点到直线距离公式求解点A到BC边所在直线的距离，即为的高，的底边长为，求解即可 【详解】（1）∵，，∴， 则BC边上的垂直平分线的斜率为： 又BC的中点D的坐标为， 所以BC边的中垂线所在的直线方程为：，即为 （2）直线BC的方程为：，即 则点到直线的距离为： ， 故面积为 ( 题型02 ) 圆的方程及应用 5．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般式方程与标准式方程之间的转化即可求解. 【详解】由圆，整理可得：， 则圆的半径为. 故答案为： 6．(23-24高二下·湖南·期末)圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程进行判断即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为2， 所以圆的方程为. 故选：A. 7．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．10 D．3 【答案】B 【分析】先根据圆心坐标求出的值，再求圆的半径. 【详解】化简得 由题得，所以圆的半径为，所以 故选：B 8．(23-24高二下·湖南·期末)圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程得出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆的圆心坐标， 所以圆心到直线的距离为. 故选:D. 9．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可求出圆的半径． 【详解】由，得， 故切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为. 又因为与圆相切， 所以的半径，解得或， 所以圆的半径为或. 故选：C 10．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 11．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知为坐标原点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】设，得出点的轨迹方程为0.集合，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，计算得出结果. 【详解】设， 点的轨迹方程为0. 又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离， . 故选：B. 12．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）下列命题错误的是：（   ） A．两平行直线与之间的距离是 B．若点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是或 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若，则直线被圆所截得的弦长为1 【答案】BC 【分析】利用两平行直线间的距离公式、斜率公式、直线与圆的位置关系、弦长公式运算即可得解. 【详解】对于选项A，直线即为， 由平行直线距离公式得两直线间距离为，故A正确； 对于选项B，如上图，直线l过点且与线段相交， ∵，， ∴l的斜率k的取值范围是，故B错误； 对于选项C，∵点在圆外， ∴，则. 又∵圆的圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相交，故C错误； 对于选项D，由题意，圆的半径，圆心为， 圆心到直线的距离为， ∵，∴，则， ∴， ∴直线被圆所截得的弦长为，故D正确； 故选：BC. 13．(23-24高二下·湖南·期末)若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出直线过定点坐标及曲线所表示的图形，再数形结合即可得解. 【详解】解：由题意可得直线：即，所以直线恒过定点，曲线：图象为以为圆心，2为半径的上半圆（包含轴部分）， 它们的图象如图所示： 当直线过点时，它们有两个交点，此时， 当直线与上半部分圆相切时，有一个交点，此时， 由图象可知，若直线与曲线有两个不同的交点，则， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，2为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为，根据两点距离的几何意义求解即可. 15．(23-24高二下·湖南·期末)已知直线被圆截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 【答案】(1)； (2)相交. 【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据直线方程的特征求出直线l所过的定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可. 【详解】（1）由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为． ∵圆心C到直线的距离为， 直线被圆C截得的弦长为， ∴，解得或1． ∵，∴， 故圆C的方程为； （2）∵l的方程可化为， ∴ 解得即l恒过定点． ∵圆心为， ∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交． 16．(23-24高二下·湖南·期末)已知直线，，圆以直线的交点为圆心，且过点 (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)求圆上的点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先联立直线得到圆心坐标，利用两点之间距离公式得到半径，再写出圆的方程即可； （2）根据题意得到.再解方程即可； （3）首先利用圆心到直线的距离再加上半径求解即可. 【详解】（1）联立直线，即. 圆的半径， 所以圆的方程为：. （2）因为直线与圆相切， 到直线的距离， 解得. （3）到直线的距离， 所以圆上点到直线距离的最大值为. ( 题型03 ) 圆锥曲线基本量的求解 17．(23-24高二下·湖南·期末)椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆， ，所以短轴长为. 故选：B. 18．(23-24高二下·湖南·期末)双曲线的焦距为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程，得出，计算出，即可求出焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4. 故选：D 19(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【解答】解：因为双曲线为， 所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故选：． 20．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】由对数的运算求得，由抛物线的准线方程，可得所求． 【详解】解：由函数过定点，可得， 解得：， 则抛物线， 即的准线方程是． 故选：D． ( 题型04 ) 离心率问题 21．(23-24高二下·湖南·期末)椭圆＝1的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程得到a＝2，b＝,求出，由离心率的公式可得椭圆的离心率. 【详解】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝， ∴c＝＝1 ∴e＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据椭圆方程求椭圆的离心率，属于基础题. 22．(23-24高二下·湖南·期末)若椭圆的离心率为，则 . 【答案】2或 【分析】根据焦点的位置分类讨论，结合离心率的计算公式可得答案. 【详解】当时，焦点在轴上，则，， 则； 当时，焦点在轴上，则， 则. 故答案为：2或. 23．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】直接代入点到直线距离公式求出，再求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 24．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】利用椭圆的标准方程及其参数的关系即可得出结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C． 25．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可. 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 26．(23-24高二下·湖南·期末)设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 【答案】 6 【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，进而求得的面积. 【详解】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为， 则，由双曲线的定义可得， 所以，，由勾股定理得， 即有，∴. 设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t， 则，则, 解之得 又由内切圆圆心的横坐标为2，得， 故.    故答案为：，6 27．(23-24高二下·湖南·期末)如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解. 【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即， 由双曲线，可得，渐近线方程为，即， 可得，且， 因为直线，可得， 又因为，所以即， 代入双曲线方程，可得，整理得， 所以，可得，即， 所以离心率. 故选：A. 28．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】/0.5 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】设，由和，得，，再由且椭圆C的离心率为，解出，可计算. 【详解】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等. ( 题型0 5 ) 最值问题 29．(23-24高二下·湖南·期末)已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 【答案】7 【分析】将曲线可变形为可得，进而可得的方程为，设点在准线上的投影为，抛物线的定义结合几何性质分析求解. 【详解】曲线可变形为 令，解得， 可知曲线恒过点， 因为在抛物线上，则，解得， 所以的方程为，可知的焦点为，准线为， 又因为，可知点在抛物线内， 设点在准线上的投影为，则， 因为， 当且仅当与的准线垂直时，等号成立， 所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7． 故答案为：7. 30．(23-24高二下·湖南·期末)若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算. 【详解】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 31．(23-24高二下·湖南·期末)抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值. 【详解】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点， 设直线方程为，联立得，， 设，， 则， 故，， 故， ，，故过的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 联立与得 ， 故 ， 故， ，则， 故， 其中，由在上单调递增， 故当，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 32．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为 . 【答案】2 【分析】设出直线的方程，根据焦点三角形的周长求解出的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的求解出的关系式，然后表示出面积并结合基本不等式求解出面积的最小值. 【详解】设直线方程为， 因为的周长为，所以，且， 所以，所以椭圆， 联立可得， 所以，所以， 又因为与坐标轴交于， 所以， 取等号时， 所以面积的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用直线与椭圆的相切关系寻找参数之间关系，根据相切关系可得，由此得到参数的关系，对后续求解面积的最小值起化简作用. ( 题型0 6 ) 解析几何多选题（多考点综合） 33．(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可. 【详解】设该双曲线标准方程为，则. 对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意； 对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，， 可解得，符合题意； 对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意； 对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意， 故选：ABD. 34．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知曲线，则（    ） A．曲线在第一象限为双曲线的一部分 B．曲线的图象关于原点对称 C．直线与曲线没有交点 D．存在过原点的直线与曲线有三个交点 【答案】AC 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】分，，和四种情况，得到曲线在各个象限上的曲线方程，得到答案. 【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为， 当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分； 当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为， 当时，曲线没有图象. 由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确，D错误. 故选：AC 35．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】BCD 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 36．(23-24高二下·湖南·期末)在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中r1，r2为正常数，满足或，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（    ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 【答案】BCD 【分析】两圆圆心距C1C2＝4，当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切；当r1+r2＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论． 【详解】解：根据题意圆，半径r1，圆，半径r2，所以，设圆P的半径为r， （1）当，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切， ①均内切时，，此时， 当时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线， 当时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上． ②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时． 此时P点的轨迹是与①相同． ③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切， |PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2， 与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得， 此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样． （2）当，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切， ④均内切时轨迹和①相同． ⑤均外切时轨迹和①相同 ⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切， |PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2 此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得， 此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 故选：BCD． 【点睛】本题考查动点的轨迹问题，圆与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的定义的应用，解答本题的关键是根据动圆圆心与已知圆的圆心距离，的和与差与，间的关系，结合椭圆与双曲线的定义进行分析 37．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 【答案】BC 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据题意推理得到点的轨迹方程，作出其图象，可判断A错误；对于B，利用函数的奇偶性定义即可判断；对于C，利用作差法易得结论成立；对于D，构造函数，通过取值判断即得在且时不能恒大于0即得. 【详解】因直线的斜率存在，故. 由可得，，整理可得， 因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设， 因，， 故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于，求出动点满足的轨迹方程，再运用函数的奇偶性定义，通过作差比较法判定图象上相关点的范围即可. 38．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项. 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. ( 题型0 7 ) 求直线方程（解答题） 39．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆及直线． (1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； (2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用，即可求得实数t的取值范围； （2）根据题意，把点到直线距离的最大值，转化为与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，由（1）可得直线或直线与椭圆相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆没有公共点，所以， 解得或，所以实数t的取值范围为. （2）解：由题意，点到直线距离的最大值， 等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离， 由（1）中，，解得或， 此时直线或直线与椭圆相切， 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）； 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）， 综上可得，所求直线的方程为或. 40．(23-24高二下·湖南·期末)双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程． （2）设弦的两端分别为，，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程． 【详解】（1）∵椭圆的焦点为，  ∴ ∵一条准线方程为，，解得，∴， ∴双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，．则有： ． 弦中点为，． 故直线的斜率． 则所求直线方程为：． 41．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 42．(23-24高二下·湖南·期末)已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，根据条件建立等式，化简即可求出结果； （2）设，联立方程，消得到，由韦达定理得，利用条件，即可得到或，即可证明结果； （3）根据条件得出和的中点重合，即可证明结果. 【详解】（1）设，由题有，化简得到， 所以曲线的轨迹方程为. （2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在，设，，， 由，消得到， 则，， ， 化简整理得到，得到或， 当时，，直线过定点与重合，不合题意， 当，，直线过定点，所以直线过定点. （3）由（2）知，， 所以的中点坐标为， 又易知直线直线是双曲线的渐近线，设， 由，消得到， 所以，，得到的中点坐标为， 所以的中点与的中点重合，设中点为， 则，从而有. 43．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 【答案】(1)， (2)或或 (3)不存在，理由见解析. 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）根据焦半径可求出抛物线方程进而可求； （2）设点的坐标为根据的面积为1，得出边上的高为，利用到直线的距离公式可得，，再把点的坐标代入抛物线方程即可求解； （3）将转化为以为直径的圆与准线的位置关系来进行判断. 【详解】（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为 点在抛物线上可得，故 （2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：， 所以，， 直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：， 化简得：，由于点在抛物线上，即， 代入条件可得：， 可以得到或， 解这个方程可以得到或， 代入拋物线方程可以得到：或或 综上所述，点的坐标有三个可能的值： （3）不存在，理由如下： 因为由（1）（2）知点，则的斜率为， 所以平行于的两个点分别记为，其斜率， 所以可得 则的中点， 若，则点在以为圆心，为半径的圆上， 到准线的距离等于，因为 所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所设的点横纵坐标关系等. 44．(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）由渐近线的倾斜角为，可得，从而可求出离心率，则可得，代入双曲线方程，再结合可求得，从而可求出双曲线的方程； （2）设的方程为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，从而可表示出两点的坐标，然后化简计算即可. 【详解】（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为， 所以，所以， 又，即在上，所以， 所以，故的方程为. （2）由（1）得，设， 由题意知的斜率不为0，设的方程为， 代入的方程并整理，得， 则， 所以，且. 直线的方程为，令，得，故， 直线的方程为，令，得，故， 所以 所以为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定值问题，（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简后，再利用根与系数的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 45．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）设直线方程并联立双曲线方程，用弦长公式可解. （2）（i）将面积分别表示出来，后转化为函数问题解决． （ii）运用圆的性质，将四点共圆问题转化为数量积和直线垂直问题. 【详解】（1）设， 结合题意知直线斜率不为0，设直线，因为直线与双曲线右支相交， 故， 联立双曲线方程，得， 则， 故， 即，解得，或（舍去）， 因此，从而直线的方程为. （2）（i）若，则， 由（1）可知，， 此时； 当时，设，直线， 由（1）同理可知， 故 注意到 ， 令，则， 令， 综上可知，的取值范围是. （ii）先证明为的垂心，只需证明， 注意到，， 而 ， 同理， ， 因此，又，故为的垂心，因此， 再证明四点共圆，即只需证明：. 因为关于原点对称，则， 同理可得； 则，即， 因此，因此四点共圆. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 解析几何（7大题型45题） 题型概览 题型01 直线方程 题型02 圆的方程及应用 题型03 圆锥曲线基本量的求解 题型04 离心率问题 题型05 最值问题 题型06 解析几何多选题（多考点综合） 题型07 求直线方程（解答题） 优选提升题（解答题）） ( 题型01 ) 直线方程 1．(23-24高二下·湖南邵阳海谊中学·期末)已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2．(23-24高二下·湖南·期末)“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 4．(23-24高二下·湖南·期末)已知三个顶点是，， (1)求BC边上的垂直平分线的直线方程： (2)求点A到BC边所在直线的距离及的面积. ( 题型02 ) 圆的方程及应用 5．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 6．(23-24高二下·湖南·期末)圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．10 D．3 8．(23-24高二下·湖南·期末)圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 9．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 10．(23-24高二下·湖南·期末)已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知为坐标原点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 12．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）下列命题错误的是：（   ） A．两平行直线与之间的距离是 B．若点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是或 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若，则直线被圆所截得的弦长为1 13．(23-24高二下·湖南·期末)若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 14．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 15．(23-24高二下·湖南·期末)已知直线被圆截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 16．(23-24高二下·湖南·期末)已知直线，，圆以直线的交点为圆心，且过点 (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)求圆上的点到直线的距离的最大值． ( 题型03 ) 圆锥曲线基本量的求解 17．(23-24高二下·湖南·期末)椭圆的短轴长为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·湖南·期末)双曲线的焦距为（    ） A． B． C．2 D．4 19(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 离心率问题 21．(23-24高二下·湖南·期末)椭圆＝1的离心率是 ． 22．(23-24高二下·湖南·期末)若椭圆的离心率为，则 . 23．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 24．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·湖南·期末)设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 . 27．(23-24高二下·湖南·期末)如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．3 28．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . ( 题型0 5 ) 最值问题 29．(23-24高二下·湖南·期末)已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 30．(23-24高二下·湖南·期末)若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．(23-24高二下·湖南·期末)抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 32．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为 . ( 题型0 6 ) 解析几何多选题（多考点综合） 33．(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 34．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知曲线，则（    ） A．曲线在第一象限为双曲线的一部分 B．曲线的图象关于原点对称 C．直线与曲线没有交点 D．存在过原点的直线与曲线有三个交点 35．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 36．(23-24高二下·湖南·期末)在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中r1，r2为正常数，满足或，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（    ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 37．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 38．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 ( 题型0 7 ) 求直线方程（解答题） 39．(23-24高二下·湖南·期末)已知椭圆及直线． (1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； (2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 40．(23-24高二下·湖南·期末)双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 41．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 42．(23-24高二下·湖南·期末)已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 43．(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 44．(23-24高二下·湖南·期末)已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 45．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点. (1)若，求直线的方程， (2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.     （i）设和的面积分别为，求的取值范围； （ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆. / 学科网（北京）股份有限公司 $$