22.7&22.8&22.9 平面向量、平面向量的加法、平面向量的减法（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

22.7&22.8&22.9 平面向量、平面向量的加法、平面向量的减法 题型一 向量的有关概念 1．下列说法中，正确的是（    ） A．平行向量的方向相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向相反 D．方向相反的向量是平行向量 2．如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 4．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 5．如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，相交于点O，那么下列结论中，正确的是（    ） A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与互为相反向量 D．与互为相反向量 7．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 8．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 9．如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    题型二 向量的加法运算 1．已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 2．点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 3．设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 4．计算：＝ ． 5．P是线段上一点，，求t（   ） A． B． C． D． 题型三 向量的减法运算 1．如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 2．如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 3．计算： 4．如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 5．计算： ． 题型四 向量的线性运算 1．已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 5．点是的重心，设 ，那么 关于 和的分解式是 ． 6．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 7．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． 1．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 4．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 5．如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 6．在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 7．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 8．如图，已知点是的重心，过点作，分别交、于点、，如果设，，那么用、表示 ． 9．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 10．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.7&22.8&22.9 平面向量、平面向量的加法、平面向量的减法 题型一 向量的有关概念 1．下列说法中，正确的是（    ） A．平行向量的方向相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向相反 D．方向相反的向量是平行向量 【答案】D 【详解】解：平行向量的方向相同或相反，方向相反的向量是平行向量，方向相同的向量是平行向量；相反向量的方向相反且长度相同，因此方向相反的向量不一定是相反向量，故D正确． 故选：D． 2．如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两个非零向量、方向相反，且， ∴，即．则D选项正确． 故选D． 3．已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 【答案】A 【详解】A、有题意可知，与，方向相同，故选项正确，符合题意；     B、，故选项错误，不符合题意；         C、与 平行，故选项错误，不符合题意；     D、，故选项错误，不符合题意； 故选：A 4．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与是相反的向量，本选项不符合题意； B、与是相反的向量，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，本选项不符合题意． D、与是平行向量，方向相同，不是相反向量，本选项符合题意． 故选：D． 6．在中，相交于点O，那么下列结论中，正确的是（    ） A．与是相等的向量 B．与是相等的向量 C．与互为相反向量 D．与互为相反向量 【答案】D 【详解】解：如图， A．与是相反的向量，故该选项错误，不符合题意； B．与是相反的向量，故该选项错误，不符合题意； C．与是相等的向量，故该选项错误，不符合题意； D．与互为相反向量，故该选项正确，符合题意． 故选D． 7．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【详解】解：由题意得：； 故答案：． 8．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 9．如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【答案】或 【详解】解： ， ， 图中与互为相反向量的向量是或． 故答案为：或． 题型二 向量的加法运算 1．已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 2．点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，则 ∴ 故答案为：． 3．设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵非零向量、，有， ∴， ∴，，与方向相反， 故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意． 故选：A． 4．计算：＝ ． 【答案】 【详解】解：原式， 故答案为：． 5．P是线段上一点，，求t（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 则： ； 故选C． 题型三 向量的减法运算 1．如图，在△ABC中，点D在边上，且．如果，，那么关于、的分解式为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，点D在边上，且． ∴， 又∵ ∴ 故答案为 2．如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【详解】∵正六边形中， ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 4．如果向量、、满足关系式，那么 ．（用向量、表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 题型四 向量的线性运算 1．已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故选：B． 2．如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 3．在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 4．已知向量或是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？ 答： .（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不是平行， 故答案为：不是． 5．点是的重心，设 ，那么 关于 和的分解式是 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示， 连接并延长，交于点， 点是的重心， 点为的中点， 又设， ， ， ， ， 故答案为： ． 6．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点是边中点，点是边上的点，且， ，， ． 故答案为：． 7．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． 【答案】 【详解】解：； 如图，即为所求； 1．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 2．如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 3．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 ， ，故该结论正确，不符合题意； B、 、均为非零向量）， 与是方向相反的向量，故该结论正确，不符合题意； C、 ， ，故该结论正确，不符合题意； D、 ， ，故该结论错误，符合题意． 故选：D． 4．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 【答案】 【详解】解：，， ， 点D是边的中点， ， ， 故答案为：． 6．在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 【答案】 【详解】解：∵ ∴， 即 ， 故答案为：． 7．如图，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点， ∴， ∵点是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知点是的重心，过点作，分别交、于点、，如果设，，那么用、表示 ． 【答案】 【详解】解：连接，并延长交于M，如图， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)；、 (2)见解析 【详解】（1）解：∵点E为中点， ∴， ∵与方向相同，且模一样 ∴与相等的向量是， ∵、与方向相反，且模一样， ∴与互为相反向量的向量是、， 故答案为：；、； （2）解：如图：即为所求： 10．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$