22.8 平面向量的加法 讲义2023-2024学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

《22.8 平面向量的加法》讲义 同学们，咱们现在是八年级啦，在沪教版的数学课本里，咱们学到了四边形这一章节，今天呢，咱们就来好好讲讲平面向量的加法。这就像是我们在生活中，把不同方向的力量或者东西合在一起一样，可有趣啦。 一、向量的初步认识 1、 什么是向量呢 向量啊，就像是一个带着方向的箭头。比如说，咱们在操场上看到一个小朋友从操场的这头往那头跑，他跑的这个过程啊，就可以看成是一个向量。这个向量呢，既有他跑的距离，这就是向量的大小，也有他跑的方向，是从这边到那边。向量在数学里是一个很特别的东西，和咱们以前学的普通数字可不一样。普通数字就只有大小，比如说5就是5，没有方向。但是向量不行，向量得既有大小又有方向才完整。 我给大家讲个我自己的经历吧。有一次我去放风筝，风从东边吹来，我要让风筝往西飞，这个时候风的力量就可以看成是一个向量，它有大小，就是风的强度，还有方向，是从东往西。我放风筝拉着线的这个力呢，也是一个向量，这两个向量就会互相影响。如果风的向量很大，我拉风筝的力向量不够大，风筝就会被风吹得乱跑啦。 2、 向量的表示 那向量在数学里怎么表示呢？咱们通常用有向线段来表示向量。就像画一条小线段，然后在一端加上一个箭头。比如说，我们可以在本子上画一条线段，一端标上A点，一端标上B点，箭头指向B点，那这个向量就可以写成向量AB。这里的顺序很重要哦，如果写成向量BA，那方向就反啦，就像你从家去学校和从学校回家，虽然距离一样，但是方向完全相反。 二、平面向量加法的定义 1、 现实中的例子 咱们先来想一个生活中的例子。假设有两只小蚂蚁，一只小蚂蚁从A点往B点爬，这就是一个向量，我们把它叫做向量a。另一只小蚂蚁从B点往C点爬，这又是一个向量，叫做向量b。那这两只小蚂蚁爬的总的效果呢，就好像是从A点直接到C点爬一样，这个从A点到C点的向量，就是向量a和向量b的和。这就像是我们把两个小力量合起来变成一个大力量一样。 2、 数学上的定义 在数学上啊，我们说，已知向量a和向量b，在平面内任取一点A，作向量AB等于向量a，再作向量BC等于向量b，那么向量AC就叫做向量a与向量b的和，记作向量a ＋ 向量b ＝ 向量AC。这就像是我们把两个有方向的小线段按照顺序连接起来，然后得到一个新的有方向的线段。 三、平面向量加法的三角形法则 1、 怎么操作 这个三角形法则啊，就是根据我们前面说的向量加法的定义来的。还是拿我们的小蚂蚁来说吧。先画第一个向量，比如说向量a，从A点到B点。然后呢，从B点开始画第二个向量b，到C点。那这个时候，连接A点和C点的向量就是向量a和向量b的和。就像我们搭积木一样，一块一块按照顺序搭起来，最后得到一个新的形状。在画的时候啊，要注意箭头的方向，一定要按照顺序来，不能乱画哦。 2、 实际的计算例子 比如说，我们有一个向量a，它在平面直角坐标系里，A点坐标是(1, 2)，B点坐标是(3, 4)，那这个向量a的坐标表示就是(3 1, 4 2) ＝ （2, 2)。再假设有一个向量b，B点坐标是(3, 4)，C点坐标是(5, 6)，那向量b的坐标表示就是(5 3, 6 4) ＝ （2, 2)。那按照三角形法则，向量a ＋ 向量b的坐标就是(2 ＋ 2, 2 ＋ 2) ＝ （4, 4)。这里我们就通过坐标计算出了两个向量相加的结果。就像我们把两个小包裹的东西合到一个大包裹里一样，把坐标对应相加就好啦。 四、平面向量加法的平行四边形法则 1、 法则的原理 这个平行四边形法则啊，也很有趣。我们还是在平面内任取一点A，作向量AB等于向量a，再作向量AD等于向量b，然后以AB和AD为邻边作平行四边形ABCD。那这个时候，对角线AC就是向量a与向量b的和。这就像是我们把两个向量当成平行四边形的两条邻边，然后它们合起来的效果就是这个平行四边形的对角线。 2、 对比三角形法则 那这个平行四边形法则和三角形法则有什么不一样呢？其实啊，它们本质上是一样的。只不过三角形法则是把向量一个接一个地连起来，而平行四边形法则是通过作平行四边形来得到向量的和。比如说，我们还是用前面小蚂蚁的例子，如果我们用平行四边形法则来表示向量a和向量b的和，我们就可以想象把两只小蚂蚁的爬行路线当成平行四边形的两条邻边，那它们总的效果就是平行四边形的对角线。 五、向量加法的运算律 1、 交换律 就像我们以前学的加法交换律一样，向量加法也有交换律。也就是说，向量a ＋ 向量b ＝ 向量b ＋ 向量a。这是什么意思呢？还是拿我们的小蚂蚁来说吧。不管是第一只小蚂蚁先爬然后第二只小蚂蚁再爬，还是第二只小蚂蚁先爬然后第一只小蚂蚁再爬，最后总的效果是一样的，都是从起始点到终点的这么一个过程。 2、 结合律 向量加法还有结合律呢。就是(向量a ＋ 向量b)＋向量c ＝ 向量a+（向量b ＋ 向量c)。我们可以想象有三只小蚂蚁，第一只小蚂蚁从A点到B点，这是向量a，第二只小蚂蚁从B点到C点，这是向量b，第三只小蚂蚁从C点到D点，这是向量c。不管是先把第一只和第二只小蚂蚁的路程合起来，再加上第三只小蚂蚁的路程，还是先把第二只和第三只小蚂蚁的路程合起来，再加上第一只小蚂蚁的路程，最后小蚂蚁从A点到D点的总路程是一样的。 六、向量加法的应用 1、 在几何中的应用 在几何里啊，向量加法可有用了。比如说，我们要证明一个四边形是平行四边形。如果我们知道这个四边形的四条边对应的向量，我们就可以通过向量加法来判断。如果向量AB ＝ 向量DC，那这个四边形就是平行四边形。因为向量AB和向量DC相等，就说明它们的大小和方向都一样，就像两条平行且相等的边一样。 2、 在物理中的应用 在物理里向量加法也很常见。比如说力的合成。我们知道一个物体受到两个力的作用，这两个力就可以看成是两个向量。那这两个力合起来的效果，就是这两个向量相加的结果。就像我们推一个箱子，如果有两个人从不同方向推，那箱子最终移动的方向和速度，就和这两个人推箱子的力向量相加的结果有关。 七、课程重点和难点 1、 重点 重点呢，就是要理解平面向量加法的定义，掌握三角形法则和平行四边形法则，还有向量加法的运算律。这就像是我们盖房子，这些就是房子的地基和柱子，如果这些没掌握好，后面的知识就像在摇摇欲坠的房子里放东西一样，很容易倒。 2、 难点 难点就是如何准确地运用这些法则和运算律去解决实际问题。比如说在几何证明里，怎么找到合适的向量来进行加法运算，在物理里，怎么把实际的力转化成向量然后进行加法计算。这就需要大家多做练习，多思考，就像我们学骑自行车一样，一开始总是掌握不好平衡，但是多骑几次就好啦。 同学们，平面向量的加法就像我们生活中的很多事情一样，把不同的部分合起来，就能得到一个新的结果。希望大家通过今天的学习，能更好地掌握这部分知识哦。 学科网（北京）股份有限公司 $$