精品解析：山西省怀仁市第四中学校2024-2025学年下学期九年级数学三模试题

2025年山西省初中学业水平学情调研测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 下列气象生活指数图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 路况指数 B. 运动指数 C. 过敏指数 D. 穿衣指数 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，中央有一个贯通上下的圆孔，是中国古代的一种礼仪重器．观察如图所示的玉琮模型，得到的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点射入，折射光线从点射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2x﹣x2＝_____． 12. 八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是________． 13. 信息小组通过编程设计个机器人队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为________． 14. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 15. 如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 18. 健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： （1）补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； （2）小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； （3）食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 19. 截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件? 20. 守护鸟巢，护佑生命之家，共创和谐生态．在爱鸟护鸟活动中，爱心小组计划为喜鹊搭建鸟巢．为了解喜鹊巢穴自身的高度，同学们到森林公园进行实地测量，方法如下：如图，在距离大树底部点米的点处，利用测角仪测得鸟巢底部点的仰角，在点处测得鸟巢顶部点的仰角，点，之间的距离为米，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂直线上．请根据以上信息，求鸟巢高度的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： （1）推理论证：请补全材料中的证明过程； （2）类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）深入思考：如下图，按材料中方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 22. 综合与实践 问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果：小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）． 小明：停车距离反应距离制动距离，即． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据： 40 50 60 70 80 8 10 12 14 16 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 问题解决： （1）根据小智收集实验数据可知，反应距离是行驶速度的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为________； （2）求停车距离与行驶速度之间函数关系式； （3）某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点，，的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点，．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山西省初中学业水平学情调研测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 2. 下列气象生活指数图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 路况指数 B. 运动指数 C. 过敏指数 D. 穿衣指数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除计算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．利用二次根式的相关运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A中，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故选项A不符合题意； B中，，计算正确，故选项B符合题意； C中，，计算错误，故选项C不符合题意； D中，，计算错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，中央有一个贯通上下的圆孔，是中国古代的一种礼仪重器．观察如图所示的玉琮模型，得到的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，从物体上面看物体得到的平面图形就是物体的俯视图，从而确定答案，注意看得见的棱用实线、看不见的棱用虚线． 【详解】解：根据题意结合图形，从上方看组合体，得到的俯视图是， 故选：A． 5. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点射入，折射光线从点射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等等知识．先求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数，方差作决策，理解表格信息，熟练掌握方差的意义是关键．根据平均数的大小，方差的含义进行判定即可． 【详解】解：∵平均数：， ∴先从平均数角度出发，选择甲或丁； ∵方差：， ∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁， 故选：D． 7. 墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 9. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，连接，交于点，连接，，可得过圆心，，进一步求解，结合可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵正八边形内接于， ∴过圆心，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2x﹣x2＝_____． 【答案】x（2﹣x） 【解析】 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：2x﹣x2 ＝x（2﹣x）， 故答案为：x（2﹣x）． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解．解题的关键是掌握提公因式法因式分解的方法，注意因式分解要彻底． 12. 八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有名学生，随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，根据随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵随机调查了名学生，其中有名学生去过八路军太行纪念馆， ∴在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是， 故答案为：． 13. 信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．先根据点，的坐标建立平面直角坐标系，再结合图形得出答案． 【详解】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系 由图可知机器人的坐标是， 故答案为：． 14. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，根据平行四边形的性质得出，然后解三角形确定，，得出，过点A作于点M，过点E作于点N，设，利用全等三角形的判定和性质得出，，根据解三角形及各边之间的关系得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 过点A作于点M，过点E作于点N， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握有理数的混合运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用理数的混合运算法则计算即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）27 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 18. 健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： （1）补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； （2）小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； （3）食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 【答案】（1），补图见解析 （2）见解析 （3）套餐综评得分较低，建议：套餐要更加关注营养搭配 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，中位数，众数，熟练掌握这些定义及其应用是解题的关键． （1）从两个统计图可知，求出套餐3分占比和4分人数再补全图形即可； （2）根据条形统计图的数据分析结论即可； （3）求出加权平均数后再给出建议即可． 【小问1详解】 解：套餐3分占比， 套餐4分人数（人）， 补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下： 【小问2详解】 解：不唯一，如：①套餐价格满意度中位数为3分，小于套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ②套餐价格满意度众数为3分，小于套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ③套餐价格满意度平均数为分，等于套餐价格满意度平均数分，所以从平均数角度看，，套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的； ④给套餐打5分，4分，3分的人共有人，给套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于套餐，所以套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的． 【小问3详解】 解：套餐得分分， 套餐得分（分）， 因为， 所以，套餐综评得分较低． 建议：答案不唯一，例如：套餐要更加关注营养搭配． 19. 截至年月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还解决了旺季人手短缺的问题．某邮政快递运营区现有名揽投员，为驿站提供快递配送服务．现计划在该运营区试点投放辆无人车，和揽投员组成“工作搭子”已知该运营区旺季期间日均投递总量不低于件，每位揽投员日均投递量是每辆无人车日均投递量的，则旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为多少件? 【答案】至少为件 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键．设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件，根据数关系列式求解即可． 【详解】解：设旺季期间每辆无人车的日均投递量为件， 根据题意，得：， 解得：． ∵为整数， ∴的最小值为． 答：旺季期间每辆无人车的日均投递量至少为件． 20. 守护鸟巢，护佑生命之家，共创和谐生态．在爱鸟护鸟活动中，爱心小组计划为喜鹊搭建鸟巢．为了解喜鹊巢穴自身的高度，同学们到森林公园进行实地测量，方法如下：如图，在距离大树底部点米的点处，利用测角仪测得鸟巢底部点的仰角，在点处测得鸟巢顶部点的仰角，点，之间的距离为米，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂直线上．请根据以上信息，求鸟巢高度的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点M，根据得，根据得，再由可求出答案． 【详解】解：延长交于点， 根据题意得，，四边形、四边形均为矩形． ∴，， 在中，，， ∴， ∴（米）， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：鸟巢高度的长约为米． 21 阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： （1）推理论证：请补全材料中的证明过程； （2）类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）图见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质以及勾股定理的应用以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式和矩形和正方形的性质的运用． （1）由题意连接，先求出和，再利用勾股定理求出，进而根据正方形和矩形的面积即可证明； （2）根据题意在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求；然后连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出，从而可得为边的正方形的面积，然后根据等腰三角形的三线合一可得的长，利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可证明； （3）由题意连接，，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，进而即可得出的值． 【小问1详解】 解：连接， ， ， ， ， 点是半圆的圆心， ， ， 四边形为正方形， ， 中，由勾股定理得：， ， ， 又， ； 小问2详解】 解：如图，在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求； 证明：如图，连接， 设，，则， ∴， ∵点是半圆的圆心， ∴， ∴， ∴是边上的高， ∴， ∵中，， ∴以为边的正方形的面积为， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴的面积为， ∴以为边的正方形与的面积相等， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（1）已知：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即， ， 解得或 (不符合题意，舍去)， 又， 或(不符合题意，舍去)， ， ． 故答案为：． 22. 综合与实践 问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果：小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）． 小明：停车距离反应距离制动距离，即． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据： 40 50 60 70 80 8 10 12 14 16 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 问题解决： （1）根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为________； （2）求停车距离与行驶速度之间的函数关系式； （3）某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 【答案】（1）一次； （2） （3）小王没有超速，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数、二次函数的综合运用是关键． （1）根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大，设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到与v的函数关系式为，由，得到，即可求解； （3）当时，，停车距离为时的车速小于，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大， ∴反应距离是行驶速度的一次函数， 设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，把代入得， ∴， 解得，， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为：， 故答案为：一次；； 【小问2详解】 解：设与的函数关系式为， ∵图象经过点， ∴， 解得，， ∴与v的函数关系式为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：没有超速，理由如下： 当时，， ∵， ， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴停车距离为时的车速小于， ∴小王没有超速． 23. 综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点，，的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点，．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形；（2）①，理由见详解；②线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，则，又，得四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是菱形，由此即可求解； （2）①根据平移得到，，即，根据翻折得到，则，所以，即，由此即可求解； ②根据题意得到，分类讨论：如图所示，点在线段上时，，是直角三角形；如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点；根据锐角三角函数的计算，数形结合分析求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）①，理由如下， ∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，）， ∴， ∴，即， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，点在线段上时，，是直角三角形， ∵， ∴， 设，， ∴， 根据平移折叠，及（1）证明可得，，， ∴是等腰三角形，， 由①可知，，， ∴，即点是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点， 同理，， ∴，设， ∴，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，图形平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握矩形的性质，图形变换的性质，锐角三角函数的计算方法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$