精品解析：2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考二诊数学试题

西南大学附中初2025届九下二诊 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 2025年5月 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，结果为负数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数定义，求一个数的绝对值，化简多重符号，先求出绝对值，化简多重符号，最后根据正负数的定义求解即可． 【详解】解：．0不是正数也不是负数，故该选项不符合题意； ．是正数，故该选项不符合题意； ．是正数，故该选项不符合题意； ．是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列博物馆的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图是轴对称图形，不中心对称图形，故本选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 4. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， ∵的周长为5， 的周长， 故选：C． 6. a是的整数部分，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算、不等式的性质等知识点，估算出的整数部分是解题的关键． 根据无理数估算出的整数部分，然后利用不等式的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即a的值为3． 故选B． 7. 如图，用大小完全相同的正六边形和正三角形能够进行拼接，彼此之间既不留下空隙，又不互相重叠，称为平面镶嵌．其中第①个图案中有10条边，第②个图案中有14条边，第③个图案中有18条边，……，按此规律排列下去，第⑥个图案中边的总数为（ ） A. 26 B. 30 C. 34 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：能根据所给图形发现图案的边数依次增加4是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图案的边数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图案可知： 第①个图案中有10条边，； 第②个图案中有14条边，； 第③个图案中有18条边，； ……， 按此规律排列下去， 第⑥个图案中边的总数为， 故答案为：B． 8. 如图，在中，直径交于点F，过点O且与互相垂直，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，列式计算解答即可． 【详解】解：连接， 则， ∴， ∵过点O且与互相垂直，， ∴，， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9. 如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，可得，，证明，如图，延长交于，证明，可得，，进一步求解，从而可得答案． 【详解】解：∵在边长为5的正方形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 如图，延长交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，掌握数字规律是解题的关键． 由规律得出每个单项式串次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，由第二个单项式串的和等于5，得，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；可判断②，写出前几个单项式串，总结出规律可判断③．即可得解． 【详解】解：①第1个单项式串：1，x，y，(最高次数为1)， 第2个单项式串：1，x，x，，y，(最高次数为2)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，，，y， (最高次数为3)， 第4次个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，，，，，y， (最高次数为5)； 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：5，故①符合题意， ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，则，，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；故②不符合题意， 第1个单项式串：1，x，1，(1个x和0个)， 第2个单项式串：1，x，x，x，1，(3个x和0个)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，x，x，1， (5个x和2个)， 第4个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，x，，x，x，1，（7个x和4个）； 由上可知，第n个单项式串：个x和个， 第2025个单项式串中，有个x和个． 故③符合题意， 综上．符合颗意的有①③．共2个， 故答案为：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式二次根式时，被开方数非负． 由于是分母，由此得到，由此即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：依题意得， ． 故答案为：． 12. 二十四节气是古人对自然时间与农业生产关系的精准把握．小白购买了四张二十四节气的书签，其中有“秋分”两张，“夏至”和“立冬”各一张，其中随机抽取两张，两张是不同节气的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查树状图或列表法求概率，列表得到所有等可能的情况数，用符合题意的情况数除以总的情况数即可求出答案． 【详解】解：设秋分”两张分别为,“夏至”和“立冬”各一张分别为，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有12中等可能的结果，其中两张是不同节气的结果有10种， ∴两张是不同节气的概率为 故答案为：． 13. 如图，在等腰中，，点D为边上一点，且满足，若，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是关键．证明，得到， ，得到，证明，则，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为： 14. 小李同学联系快递员寄A、B两种物品各20个，分别装在甲、乙两个完全相同的快递盒里，A物品每个重，B物品每个重．因为小李同学一时疏忽，导致两个快递盒内的物品虽然数量正确，但部分物品装混了，快递员取件称重时发现甲快递盒比乙快递盒重，则甲快递盒中有_______个物品装错． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品．先分别表示出甲乙两盒的总重量，然后再以甲快递盒比乙快递盒重列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品． 甲盒总重量为， 乙盒总重量为． 根据题意， 整理得：， 解得： 则甲快递盒中有2个物品装错， 故答案为：2． 15. 如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图：，由同弧所对的圆周角相等可得，再根据折叠的性质可得，，，进而得到、，再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，由勾股定理可得；如图：连接，设该圆的半径为r，则，由勾股定理可得，再求得；如图：过F作，则，证明可得、；再证明，可得，即；然后再证明可得，进而完成解答． 【详解】解：如图：， ∵， ∴， ∵平行四边形ABCD， ∴， ∴， ∵将线段AD沿DE翻折，点A恰好能落在点B处， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴，即，解的：， ∴ 如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由勾股定理可得：，即，解得， ∵，， ∴， 如图：过F作，则， ∴， ∴，， ∴，解得：；， ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 16. 将一个四位数的个位数字截去得到，再将减去个位数字的倍，得到的差记作，如果是的倍数，则称是一个“截尾数”．例如：四位数5508，，，是“截尾数”，则最小的“截尾数”是_______．若“截尾数”是的倍数，且能被整除，则满足条件的“截尾数”的最大值为_______． 【答案】 ①. 1003 ②. 7854 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程的解，根据新定义分析设四位数 ，截去个位后得到 ，根据定义，，且  需为 17 的倍数，根据题目要求得出最小最大值，即可求解． 【详解】解：设四位数 ，截去个位后得到 ，根据定义，，且  需为 17 的倍数 最小，则，， ∴ ∵为 17 的倍数，， ∴ ∴最小时，， 因此，最小的“截尾数”为 1003，  是 7 的倍数，且  能被 15 整除 设 ，则  需为 15 的倍数，即 （ 为正整数）， ∴ 且需为7的倍数 ∴是的倍数， ∴是的倍数， 又∵， 则， ∴，，对应的四位数 ， 满足条件的最大“截尾数”为 7854 故答案为：1003，7854 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解：， ∴所有整数解的和为：． 18. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 【答案】（1）见解析 （2），，，大 【解析】 【分析】此题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是关键． （1）按照角平分线的作图方法作图，再作线段等于已知线段即可； （2）证明，则，由得到． 【详解】（1）如图即为所求， （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较大．（填“大”或“小”）． 故答案为：，，，大 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、算术平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂和分母有理化等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原式，再计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂化简a，然后把a的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. 为了解学生对网络安全的掌握情况，某校举办了网络安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于10分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．．B． C．，D．4），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34， 34，34，38，40，40，42，46，46，46，50． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：32，32，35，36，36，38，38． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 33 34 a 八年级 33 b 42 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的网络安全知识竞赛成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次网络安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析 （3）人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数分析即可得出结果； （）对应总人数乘以参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，即可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34，34，34，38，4010，42，46，46，46，50． 出现次数最多的是34，故众数是， 八年级竞赛成绩中，A．有人， B．有人， C．的成绩为：32，32，35，36，36，38，38． ∵中位数为第10名和11名成绩的平均数，即35，36的平均数， ∴， 由题意可得，， 即, 故答案为：，， 【小问2详解】 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是人． 21. 列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． （1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ （2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？ 【答案】（1）2400,5400 （2）安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具 【解析】 【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，解方程即可． （2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得， 解方程，得 故． 答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个． 【小问2详解】 解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的根， 故， 答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具． 22. 如图，在长方形中，，，动点P、Q从点A同时出发，点P沿方向运动，点Q沿方向运动，到达点C时均停止运动，且在运动过程中始终保持（或与重合）．设点P运动的路程为x，点Q运动的路程为，长方形的周长与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）图像见详解；性质：在取值范围内，随的增大而增大；性质：在取值范围内，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，与几何图形的综合，平行线分线段成比例定理，结合图形正确进行分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，分两种情况：当点P、Q分别在边上时，当点P、Q分别在边上时，结合图形求出关于x的函数表达式，由题意可直接写出关于x的函数表达式； （2）根据列表、描点、连线的步骤可画出函数图像，结合图像即可描述函数的性质； （3）根据图像列出方程，求出交点横坐标即可得x的取值范围． 【小问1详解】 解：当点P、Q分别在边上时，如图， ， ， ，，点P运动的路程为x，点Q运动的路程为， ， ； 当点P、Q分别在边上时，如图， ， ， ，， ，， 点P运动的路程为x，点Q运动的路程为， ，， ， ； 综上所述，； 由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：对于，时，时， 过点，画线段（不含原点）可得的图像， 对于，时，时， 过点，画线段可得的图像， 对于， 列表如下： 2 3 4 6 6 4 3 2 描出点，，，， 如图所示： 性质：在取值范围内，随的增大而增大； 性质：在取值范围内，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图像可得，当时， 解得（舍去），， 时，x的取值范围为． 23. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2）能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，，解得，即可求解； （2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴海里； 【小问2详解】 解：过点作于点O， 在中，，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得，得到，再待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，作交轴于，令交于，则可求出直线的解析式为，从而可得，证明，由相似三角形的性质可得，即当最大时，取得最大值，设且，则，求出的最大值即可，此时，，得出、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得，即的最小值为的长，求出直线的解析式为，联立得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）利用平移求出新抛物线解析式为，联立，得出；再分两种情况：当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则；当点在直线的下方时，延长交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作交轴于，令交于， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设且，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，此时的值也最大， 当时，，即， ∴， ∴、关于轴对称， 连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴的最小值为的长， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， ∴，即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵原抛物线为，直线的解析式为， ∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的下方时，延长交于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）当取得最小值时的面积为． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西南大学附中初2025届九下二诊 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 2025年5月 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，结果为负数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在下列博物馆的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 6. a是的整数部分，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，用大小完全相同的正六边形和正三角形能够进行拼接，彼此之间既不留下空隙，又不互相重叠，称为平面镶嵌．其中第①个图案中有10条边，第②个图案中有14条边，第③个图案中有18条边，……，按此规律排列下去，第⑥个图案中边的总数为（ ） A 26 B. 30 C. 34 D. 38 8. 如图，在中，直径交于点F，过点O且与互相垂直，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（ ） A B. C. D. 10. 已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数有意义，则自变量x的取值范围是_______． 12. 二十四节气是古人对自然时间与农业生产关系的精准把握．小白购买了四张二十四节气的书签，其中有“秋分”两张，“夏至”和“立冬”各一张，其中随机抽取两张，两张是不同节气的概率为_______． 13. 如图，在等腰中，，点D为边上一点，且满足，若，则的长度为_______． 14. 小李同学联系快递员寄A、B两种物品各20个，分别装在甲、乙两个完全相同快递盒里，A物品每个重，B物品每个重．因为小李同学一时疏忽，导致两个快递盒内的物品虽然数量正确，但部分物品装混了，快递员取件称重时发现甲快递盒比乙快递盒重，则甲快递盒中有_______个物品装错． 15. 如图，平行四边形的顶点A、B、D在上，交于点F，连接并延长交AB于点E，将线段沿翻折，点A恰好能落在点B处，连接交于点N，若，，则______，______． 16. 将一个四位数的个位数字截去得到，再将减去个位数字的倍，得到的差记作，如果是的倍数，则称是一个“截尾数”．例如：四位数5508，，，是“截尾数”，则最小的“截尾数”是_______．若“截尾数”是的倍数，且能被整除，则满足条件的“截尾数”的最大值为_______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 18. 我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了解学生对网络安全的掌握情况，某校举办了网络安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于10分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．．B． C．，D．4），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34， 34，34，38，40，40，42，46，46，46，50． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：32，32，35，36，36，38，38． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 33 34 a 八年级 33 b 42 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的网络安全知识竞赛成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次网络安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 21. 列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个． （1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？ （2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具生产任务？ 22. 如图，在长方形中，，，动点P、Q从点A同时出发，点P沿方向运动，点Q沿方向运动，到达点C时均停止运动，且在运动过程中始终保持（或与重合）．设点P运动的路程为x，点Q运动的路程为，长方形的周长与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$