21 重庆市渝中区2023～2024学年下期九年级二调考试-【智乐星中考】2025年重庆中考数学真题汇编（Word)

21．重庆市渝中区2023～2024学年度下期九年级二调考试 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里． 1．实数－2的倒数是( ) A．2 B．－2 C．－ D. 2．若两个相似三角形对应边上的高之比为2∶3，则它们的面积之比为( ) A．2∶3 B.∶ C．3∶2 D．4∶9 3．如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是( ) 3题图 A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定 4．如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，OM分别是入射光线、反射光线和法线．若∠POM＝2∠POB，则∠AOQ的度数为( ) 4题图 A．18° B．20° C．30° D．36° 5．估计×(－)的值应在( ) A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第③个图案有10个正六边形，第④个图案有13个正六边形，…，按此规律，第⑨个图案中含有的正六边形个数为( ) 6题图 A．25 B．28 C．31 D．34 7．如图①，将A4纸(矩形PQMN)沿QE折叠，使点P的对应点P1落在QM上．如图②，再沿∠EQM的角平分线QF折叠，发现点E刚好与点M重合，说明A4纸的长与宽的比为( ) 7题图 A.∶1 B.∶ C.∶2 D．(＋1)∶ 8．如图，∠ABC的边BA经过点O且与⊙O相交于点E，F，BC与⊙O相切于点D.若∠ABC＝m°，则∠FDC的度数为( ) 8题图 A．(180－3m)° B．(90－2m)° C．(90－m)° D．(45＋m)° 9．如图，直线y＝－2x与双曲线y＝交于点P和点Q，点M在x轴上，且MP⊥MQ.若△PMQ的面积为8，则k的值为( ) 9题图 A．－4 B．－2 C．－8 D．－4 10．由5个数组成的数列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可生成一个新数列S1，称为一次变换．将数列S1重复上述操作可生成新数列S2，称为二次变换．按照此方法经过n次操作可生成数列Sn，如数列S0：(5，－2，3，－2，2)，经过一次变换生成新数列S1：(1，2，1，2，1)，经过二次变换生成新数列S2：(3，2，3，2，3)…以下说法，正确的个数是( ) ①数列S0(2，－5，－3，－2，2)，经过一次变换生成新数列S1：(2，1，1，1，2)； ②至少存在一个数列S0经过n(n≥2)次变换生成新数列Sn：(1，3，2，1，1)； ③所有数列S0经有限次变换都能得到数列Sn(n≥1)与数列Sn＋1相同，且数列Sn共有15种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11．计算：|－3|＋(－)－1＝________． 12．已知菱形的边长是4 cm，则菱形的周长是________ cm. 13．苏州素有“园林之城”的美誉，其四大名园：沧浪亭、狮子林、拙政园、留园，分别代表着宋、元、明、清四个朝代的艺术风格．小明一家准备节假日期间前往苏州游玩，感受苏州园林文化，他们想在四大名园中任意选择两个名园游玩，则选到拙政园和留园的概率是________． 14．某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件216件，第三天揽件253件．若设第二天、第三天的日平均增长率为x，则可列方程为______________． 15．如图，△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝PN.若点P的坐标为(1，0)，点N的坐标为(4，6)，则点M的坐标为________． 15题图 16．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以点B为圆心，BO长为半径画弧交AB于点E，交BC于点F，再以点D为圆心，DO长为半径画弧交AD于点H，交DC于点G.若AB＝4，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π) 16题图 17．如果关于x的分式方程－3＝有非负整数解，且关于y的不等式组的解集是y＞3，那么符合条件的所有整数a的值之和为________． 18．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，且百位上的数字小于千位上的数字，则称该数为凹对称数．如：四位数3 223是凹对称数，四位数5 323，2 442均不是凹对称数．根据以上信息可知，最小的凹对称数是________；将凹对称数m的千位和个位上的数字分别与百位和十位上的数字对调得到的数m′称为m的凸对称数．已知凹对称数n＝1 000x＋100y＋10y＋x的凸对称数为n′.设F(M)＝，F(N)＝，若F(M)被5除余2，且F(N)－F(M)＋18x＝36，则凹对称数n的值是________． 三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上． 19．计算： (1)(a－1)(a＋3)＋a(a－2)； (2)(1－)÷. 20．学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF.(要求：只保留作图痕迹) 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E，F分别是AB，AC的中点．求证：DE＝DF. 证明：∵点E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE＝AB，AF＝AC. 20题图 ∵AB＝AC， ∴①__________． ∵AD平分∠BAC， ∴②__________． ∵AD＝AD， ∴△ADE≌③__________(SAS)， ∴DE＝DF. 小雯进一步研究，发现角平分线AD上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点④__________． 21．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用440元购进甲的数量是用180元购进乙的数量的2倍，每件甲的进价比每件乙的进价多8元． (1)甲、乙两种型号布偶每件进价分别是多少元？ (2)该超市共购进甲、乙两种型号布偶200个，然后将甲、乙两种型号布偶的售价分别定价为60元和50元，全部销售完后共获利3 040元，则购进甲种型号布偶多少个． 22．某校有甲、乙两个校区，其中初三年级甲校区有250名学生，乙校区有350名学生．两个校区所有初三学生都参加了中招模拟体测．为了解模拟体测成绩情况，从甲、乙两个校区各随机抽取40名学生，对他们本次成绩进行了收集、整理、描述和分析．成绩(均为整数，单位：分)分成4个等级，合格：30≤x＜35；中等：35≤x＜40；良好：40≤x＜45；优秀：45≤x≤50.下面给出了部分信息： 甲校区成绩优秀等级统计表 分数 47 48 49 50 人数 3 10 7 8 乙校区成绩优秀等级统计表 分数 45 46 47 48 49 50 人数 3 2 2 3 14 6 两个校区成绩分析表 校区 平均数 中位数 众数 方差 满分率 甲 46.2 48 a 20.21 m% 乙 46.2 b 49 20.98 15% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a＝________，b＝________，m＝________； (2)你认为哪个校区本次体测成绩更好？请说明理由；(写出一条理由即可) (3)估计本次体测成绩为满分的人数约有多少人？(结果四舍五入，保留整数) 22题图 23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点C出发，沿折线C→B→A的方向移动，设点P移动的路程为x，△ACP的面积为y. (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出它的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出△ACP的面积为3时x的值． 23题图 24．如图，小敏家A和快递点C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西53°方向，距离小敏家500米处，且在快递点C的北偏西30°方向上． (1)求超市D到直线AB的距离； (2)已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①A→D→C；②A→B→C.请计算说明哪条路线短．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，≈1.73) 24题图 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和点B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段DE位于第四象限，且在线段BC上移动，EF∥y轴交抛物线于点F，连接DF.若DE＝，求△DEF的面积的最大值及此时点E的坐标； (3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过(2)中△DEF的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线BC相交于另一点K.点P为新抛物线上的一个动点，当∠PEK和∠PKE中，其中一个角与∠ACB相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 26．已知△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点F. (1)如图1，求证：AE＝EF； (2)如图2，EG∥AC，且∠CGE＝45°，猜想线段BD，CD，CG之间有何数量关系，并证明你的猜想； (3)若AE＝3，AC＝3，点P是AB边上一动点(点P与点E重合除外)，连接FP，将△PEF绕点P顺时针旋转90°得到△PE′F′，连接BF′，CE′.当BF′最小时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.重庆市渝中区2023～2024学年度下期 九年级二调考试 1 2 3 4 5 C D A C B 6 7 8 9 10 B A D C B 1.C　【考点】倒数的定义. 【解析】－2的倒数为－. 2.D　【考点】相似三角形的性质. 【解析】∵两个三角形对应边上的高之比为2∶3， ∴它们的面积之比为（)2＝. 3.A　【考点】平行投影与中心投影的判别. 【解析】太阳光线为平行线，则晷针在晷面上形成的投影为平行投影. 4.C　【考点】角度的计算. 【解析】∵OM为法线，∠POM＝2∠POB， ∴2∠POB＋∠POB＝90°，∴∠POB＝30°. ∵PO，OQ分别是入射光线和反射光线，∴∠AOQ＝∠POB＝30°. 5.B　【考点】二次根式的计算、二次根式的估值. 【解析】原式＝－1. ∵16＜24＜25，∴4＜＜5，∴3＜－1＜4. 6.B　【考点】图形规律的探索. 【解析】第①个图案有4＝3×1＋1个正六边形， 第②个图案有7＝3×2＋1个正六边形， 第③个图案有10＝3×3＋1个正六边形， 第④个图案有13＝3×4＋1个正六边形，… 由以上可推断第n个图案有3n＋1个正六边形， 则第⑨个图案有3×9＋1＝28个正六边形. 7.A　【考点】翻折变换（折叠问题)、矩形的性质. 【解析】如题图①.∵四边形PQMN是矩形， ∴∠P＝∠PQM＝∠M＝∠N＝90°. ∵将矩形PQMN沿QE折叠，点P的对应点P1落在QM上，∴∠EP1Q＝∠P＝90°，P1Q＝PQ， ∴∠MP1E＝90°， ∴四边形PQP1E和四边形EP1MN都是矩形，PQ＝P1E＝MN，∴P1Q＝P1E， ∴EQ＝＝P1E＝MN. 如题图②.∵沿∠EQM的角平分线QF折叠，点E与点M重合，∴EQ＝MQ，∴MQ＝MN， ∴＝＝，即MQ∶MN＝∶1， ∴A4纸的长与宽的比为∶1. 8.D　【考点】切线的性质. 【解析】如图，连接OD. ∵∠ABC＝m°，BC与⊙O相切于点D，OD为⊙O的半径， ∴∠BDO＝∠ODC＝90°， ∴∠BOD＝（90－m)°. ∵OF＝OD， ∴∠ODF＝∠OFD＝×（90－m)°＝（45－m)°， ∴∠FDC＝90°－（45－m)°＝（45＋m)°. 9.C　【考点】一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、直角三角形. 【解析】∵直线y＝－2x与双曲线y＝交于点P和点Q，∴点P和点Q关于原点对称， ∴点O为线段PQ的中点. ∵PM⊥MQ，∴∠PMQ＝90°，∴OP＝OM＝OQ. ∵S△PMQ＝8，∴S△POM＝×8＝4. 设点P的坐标为（a，－2a)（a＜0)，易知OP＝OM＝－a，∴S△POM＝×（－2a)×（－a)＝4， 解得a＝－2（正值舍去)， ∴点P的坐标为（－2，4)， ∴k＝－2×4＝－8. 10.B　【考点】新定义. 【解析】数列S0：（2，－5，－3，－2，2)中，2出现两次，－5，－3，－2各出现一次，∴经过一次变换生成新数列S1：（2，1，1，1，2)，故①正确. 设数列S0经n（n≥2)次变换生成新数列Sn，若Sn＝（1，3，2，1，1)，则Sn－1中数的个数是1＋3＋2＋1＋1＝8，这与数列由5个数组成相矛盾，故②错误. 若数列S0中的5个数都相同，则经过n次变换后得到的数列Sn为（5，5，5，5，5)； 若数列S0中的5个数，3个相同，2个不同，或2个相同，3个不同，则经过n次变换后得到的数列Sn为（2，2，3，3，3)，（2，3，2，3，3)，（2，3，3，2，3)，（2，3，3，3，2)，（3，2，2，3，3)，（3，3，2，2，3)，（3，3，3，2，2)，（3，2，3，2，3)，（3，2，3，3，2)，（3，3，2，3，2)，共是10种不同的结果； 若数列S0中的5个数，4个相同，1个不同，则经过n次变换后得到的数列Sn为（4，4，4，4，1)，（4，4，4，1，4)，（4，4，1，4，4)，（4，1，4，4，4)，（1，4，4，4，4)，共5种不同的结果； 若数列S0中的5个数都不相同，则经过n次变换后得到的数列Sn为（5，5，5，5，5)， ∴所有数列经过有限次变换都能得到Sn与数列Sn＋1相同，且数列Sn共有16种不同的结果，故③错误. 综上所述，正确的有1个. 11.1　【考点】实数的运算. 【解析】原式＝3－2＝1. 12.16　【考点】菱形的性质. 【解析】∵菱形的边长为4 cm且各边都相等， ∴菱形的周长为4×4＝16 （cm). 13.　【考点】用列表法或画树状图求概率. 【解析】设沧浪亭、狮子林、拙政园、留园分别为a，b，c，d.画树状图如图. 由树状图知共有12种等可能的结果，其中选到拙政园和留园的结果有两种，则选到拙政园和留园的概率为＝. 14.216（1＋x)2＝253　【考点】一元二次方程的实际应用. 【解析】由题意可得216（1＋x)2＝253. 15.（－5，3)　【考点】全等三角形的判定与性质. 【解析】如图，过点M作MA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B. ∵∠MPN＝90°， ∴∠MPA＋∠BPN＝90°. ∵∠BPN＋∠PNB＝90°， ∴∠MPA＝∠PNB. 又∵PM＝PN， ∴△MPA≌△PNB（AAS)， ∴MA＝PB，AP＝NB. ∵点N的坐标为（4，6)，点P的坐标为（1，0)， ∴NB＝AP＝6，PB＝MA＝3， ∴OA＝5， ∴点M的坐标为（－5，3). 16.16－4π　【考点】不规则阴影部分的面积、正方形的性质. 【解析】∵四边形ABCD为正方形，AB＝4， ∴BD＝AB＝4，∴OB＝OC＝BD＝2， ∴S阴影＝4×4－2×＝16－4π. 17.－4　【考点】分式方程的解、一元一次不等式组的整数解. 【解析】解分式方程－3＝得x＝. ∵关于x的分式方程－3＝有非负整数解， ∴a＋6≥0且a为偶数，即a≥－6的偶数. 由于分式方程的增根为x＝2， 当x＝2时，即＝2，解得a＝－2，∴a≠－2. 解关于y的不等式a－3y≤1－2y得y≥a－1， 解关于y的不等式＞6＋y得y＞3. ∵关于y的不等式组的解集是y＞3， ∴a－1≤3，即a≤4，∴－6≤a≤4的偶数且a≠－2， ∴符合条件的所有整数a的值之和为－6－4＋0＋2＋4＝－4. 18.2 112　3 223或5 335　【考点】新定义. 【解析】由题意可得最小的凹对称数是2 112； ∵n＝1 000x＋100y＋10y＋x， ∴n′＝1 000y＋100x＋10x＋y，∴F（N)＝＝＝9x－9y. 设m＝1 000a＋100b＋10b＋a（a＞b，1≤a，b≤9，a，b为整数)，则m′＝1 000b＋100a＋10a＋b， ∴F（M)＝＝9a－9b＝9（a－b). ∵F（M)被5除余2，∴F（M)的个位的数字为2或7. ∵a＞b，1≤a，b≤9，a，b均为整数， ∴a－b＝3或a－b＝8，∴F（M)＝27或72. ∵F（N)－F（M)＋18x＝36， ∴9x－9y－27＋18x＝36或9x－9y－72＋18x＝36， ∴3x－y＝7或3x－y＝12，∴x＝或x＝. ∵x＞y，1≤x，y≤9，x，y为整数， ∴x＝3，y＝2或x＝5，y＝3， ∴凹对称数n的值是3 223或5 335. 19.【考点】整式运算、分式的化简. 解：（1)原式＝a2＋3a－a－3＋a2－2a＝2a2－3.4分 （2)原式＝· ＝.8分 20.【考点】全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、作图——复杂作图. 解：补全图形如下. 6分 ①AE＝AF；②∠EAD＝∠FAD；③△ADF；④到两腰中点的距离相等.10分 21.【考点】分式方程的实际应用、一元一次方程的实际应用. 解：（1)设甲种型号布偶每件进价是x元，则乙种型号布偶每件进价是（x－8)元. 由题意得＝2×，解得x＝44， 经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意， ∴x－8＝44－8＝36. 答：甲种型号布偶每件进价是44元，乙种型号布偶每件进价是36元.5分 （2)设购进甲种型号布偶y个，则购进乙种型号布偶（200－y)个. 由题意得（60－44)y＋（50－36)（200－y)＝3 040， 解得y＝120. 答：购进甲种型号布偶120个.10分 22.【考点】统计图表的综合、数据分析、用样本估计总体. 解：（1)48　 48.5　203分 （2)我认为甲校区本次体测成绩更好. 理由如下：∵两个校区体测成绩的平均数相同，均为46.2，甲校区体测成绩的方差20.21小于乙校区体测成绩的方差20.98， ∴甲校区本次体测成绩更好.（答案不唯一) 6分 （3)250×20%＋350×15%≈103（人). 答：估计本次体测成绩为满分的人数约有103人. 10分 23.【考点】几何动态题. 解：（1)y＝4分 （2)如图. 性质：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；当4＜x＜9时，y随x的增大而减小.8分 （3)2或.10分 24.【考点】解直角三角形的实际应用——方向角. 解：（1)如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E. 在Rt△AED中，AD＝500米，∠DAE＝53°， ∴DE＝AD·sin 53°≈500×0.8＝400（米)， ∴超市D到直线AB的距离约为400米.4分 （2)路线①短. 理由：如图，延长CN交DE于点F. 由题意得CF⊥DE，CF＝BE，EF＝BC，DC＋BC＝500米， ∴∠DFC＝90°. ∵∠DCF＝30°， ∴CD＝2DF. 设BC＝EF＝x米，则CD＝（500－x)米. ∵DE＝400米， ∴DF＝DE－EF＝（400－x)米，∴500－x＝2（400－x)， 解得x＝300， ∴BC＝300米，CD＝200米，DF＝100米， ∴CF＝BE＝＝＝100（米). 在Rt△AED中，AD＝500米，∠DAE＝53°， ∴AE＝AD·cos 53°≈500×0.6＝300（米)， ∴AB＝AE＋BE＝（300＋100)米， ∴路线①的总路程＝AD＋CD＝500＋200＝700（米)， 路线②的总路程＝AB＋BC＝300＋100＋300≈773（米). ∵700＜773，∴路线①短.10分 25.【考点】二次函数的综合. 解：（1)由题意得抛物线的函数表达式为y＝a（x＋2)·（x－4)＝a（x2－2x－8)＝ax2－2ax－8a＝ax2＋bx－4，则－8a＝－4，解得a＝， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－4.3分 （2)由（1)知y＝x2－x－4，令x＝0，得y＝－4， ∴点C（0，－4).由点B，C的坐标知直线BC的表达式为y＝x－4，则直线BC和x轴坐标轴的夹角为45°. ∵DE＝，∴D，E的横坐标差为1. 设点D（m，m－4)，则点E（m＋1，m－3)， 点F（m＋1，m2－)， S△DEF＝EF·（xE－xD)＝×（m－3－m2＋)×1＝（－m2＋m＋)＝－（m－1)2＋1. ∵－＜0，故△DEF的面积有最大值， ∴当m＝1时，△DEF的面积的最大值为1，此时点E（2，－2).7分 （3)点P的坐标为（3，－)或（0，2)或（－4，22)或（－1，).10分 提示：如图，过点B作BH⊥AC于点H. 由点A，B，C的坐标得AC＝，AB＝6，OC＝4，BC＝4， 则S△ABC＝AB·OC＝AC·BH， 即6×4＝BH， 解得BH＝， ∴HC＝＝， 则sin∠ACB＝＝，tan∠ACB＝3. ∵抛物线沿射线CB方向平移， ∴可设抛物线向右平移m个单位长度，向上平移m个单位长度， 则新抛物线的表达式为y＝（x－m)2－（x－m)－4＋m， 将点E的坐标代入上式得－2＝（2－m)2－（2－m)－4＋m， 解得m＝－2（舍去)或m＝2， 则新抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2. 由点C，E的坐标得CE＝2， 由直线BC的表达式知∠OCE＝45°. ①当∠PEK＝∠ACB时，即tan∠PEK＝tan∠ACB＝3. 如图，设直线PE交y轴于点N，作NH⊥CE于点H. 在△NEC中，tan∠NEC＝tan∠PEK＝3，∠OCE＝45°， 设NH＝3x＝CH，则HE＝x，NC＝3x， 则CE＝3x＋x＝4x＝2， ∴x＝，∴NC＝3x＝3， ∴点N（0，－1). 由点E，N的坐标得直线NE的表达式为y＝－x－1， 联立解得x＝2（舍去)或x＝3， ∴点P（3，－)； 当点P在x轴上方时， 同理可得直线P′E的表达式为y＝－2（x－2)－2＝－2x＋2， 联立解得x＝2（舍去)或x＝0， 即点P′（0，2)； ②当∠PKE＝∠ACB时，∵∠PEK＝∠ACB＝∠PKE， 则直线KP过点K且分别和PE或P′E平行， 故直线KP（KP′)的表达式为y＝－2（x－6)＋2或y＝－（x－6)＋2， 同理可联立联立 解得x＝－4或x＝－1（不合题意的值已舍去)， ∴点P（－4，22)或（－1，). 26.【考点】几何综合. （1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝90°. ∵∠BFE＝∠CFD，∴∠EBF＝∠ECA. ∵∠ABC＝45°，∴∠BCE＝45°，∴EB＝EC， ∴△BEF≌△CEA（ASA)，∴AE＝EF.3分 （2)解：BD＝CD＋CG. 证明：如图，过点C作CN⊥EG于点N，设EG与BD交于点K. ∵EG∥AC，BD⊥AC，∴EG⊥BD，∴∠BKE＝90°， ∴∠EBK＋∠BEK＝90°. 由（1)知∠BEC＝90，∴∠NEC＋∠BEK＝90°，∴∠EBK＝∠NEC. 又∵EB＝EC，∴△BKE≌△ENC（AAS)，∴BK＝EN，EK＝CN. ∵∠CGE＝45°，CN⊥EG，∴∠CNG＝90°，∠NCG＝45°，∴CN＝NG＝CG. ∵∠DKN＝∠BDC＝∠CNK＝90°，∴四边形KNCD是矩形，∴KD＝CN，KN＝CD. ∵BD＝BK＋KD＝EN＋CN＝EK＋KN＋CN＝KN＋2CN， ∴BD＝CD＋CG.8分 （3)解： .10分 提示：如图，当点P分别与点A，B重合时，连接F1，F2.. ∵点P在AB上运动，且AB与EF的夹角为∠PEF＝90°，为固定值，∴点F的运动轨迹为线段F1，F2，且F1F2⊥BC，∴F1F2与BC的交点即为点F′，此时BF′最小. ∵AE＝3，AC＝3， ∴EC＝＝6. ∵∠ABC＝45°，∴BE＝EC＝6，∴BC＝12. 连接AF，则∠FAF1＝90°.由（1)知AE＝EF， ∴∠EAF＝45°，∴∠F1AM＝45°.∵∠ABC＝45°，F1F2⊥BC，∴∠BMF′＝45°， ∴∠AMF1＝45°. 过点F′作F′G⊥AB于点G，则∠ABC＝∠BF′G＝45°，∴BG＝GF′. 易证△FEP≌△PGF′（AAS)，∴EF＝GP＝AE＝3，GF′＝PE＝BG. ∵BE＝BG＋GP＋PE＝6，∴2BG＋3＝6， ∴GF′＝PE＝BG＝， ∴BP＝，BF′＝3，C′F＝BC－BF′＝12－3＝9. 过点E′作E′H⊥BC于点H，则∠F′HE′＝90°. 易证四边形MGF′E′为矩形，∴∠GF′E′＝90°，E′F′＝3，∴∠E′F′H＝90°－∠BF′G＝45°， ∴E′H＝F′H＝3，∴CH＝6，∴CE′＝＝3， ∴＝＝. 【错题反思】 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1，T2，T3，T4，T5，T6，T7，T11，T12，T13，T19，T20 再接再厉鼓舞你 T8，T14，T15，T21，T22 伤筋动骨磨炼你 T9，T16，T17，T23，T24 学霸登顶恭喜你 T10，T18，T25，T26 核对完答案后，将错题做重点反思.对应的考点如果还有不明白的地方，可回到教材或复习资料中再深入学习一遍. 学科网（北京）股份有限公司 $$