八年级（下）期末必考题型专项复习【32大考点】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【32大考点】 【华东师大版】 【考点1 分式】 2 【考点2 分式的基本性质】 2 【考点3 分式的运算】 3 【考点4 解分式方程】 4 【考点5 分式方程的应用】 5 【考点6 变量与函数】 6 【考点7 函数的图象】 7 【考点8 正比例函数的图象】 9 【考点9 一次函数的图象】 9 【考点10 一次函数的性质】 10 【考点11 待定系数法求一次函数解析式】 11 【考点12 一次函数与方程、不等式】 12 【考点13 一次函数的应用】 13 【考点14 反比例函数的图象】 15 【考点15 反比例函数的性质】 16 【考点16 用反比例函数解决问题】 16 【考点17 平行四边形的性质】 18 【考点18 平行四边形的判定】 19 【考点19 平行四边形的判定与性质】 20 【考点20 菱形的性质】 21 【考点21 菱形的判定】 23 【考点22 菱形的的判定与性质】 24 【考点23 矩形的性质】 25 【考点24 矩形的判定】 26 【考点25 矩形的判定与性质】 27 【考点26 正方形的性质】 29 【考点27 正方形的判定】 30 【考点28 正方形的判定与性质】 31 【考点29 平均数、中位数、众数】 33 【考点30 方差】 33 【考点31 统计量的选择】 34 【考点32 数据的分析】 35 【考点1 分式】 【例1】（24-25八年级·甘肃定西·期末）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．5 C． D．0 【变式1-1】（24-25八年级·天津西青·期末）若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级·重庆万州·期中）在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25八年级·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点2 分式的基本性质】 【例2】（24-25八年级·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【变式2-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【变式2-2】（24-25八年级·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【考点3 分式的运算】 【例3】（24-25八年级·湖北荆州·期末）已知：． (1)当时，比较与的大小，并说明理由； (2)设，若是整数，求的整数值． 【变式3-1】（24-25八年级·山西吕梁·期末）先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值． 【变式3-2】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【变式3-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：， 原式． 方法2：，将分式的分子，分母同时除以得， 原式 (1)“方法1”中运用了“分式””这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 【考点4 解分式方程】 【例4】（24-25八年级·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【变式4-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【变式4-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【考点5 分式方程的应用】 【例5】（24-25八年级·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【变式5-1】（24-25八年级·山东临沂·期末）大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 【变式5-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【变式5-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． (1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ (2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______． 【考点6 变量与函数】 【例6】（24-25八年级·山西朔州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为    【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【变式6-3】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【考点7 函数的图象】 【例7】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 【变式7-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点8 正比例函数的图象】 【例8】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值为 ． 【变式8-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式8-2】（24-25八年级·广东梅州·期末）已知y与x成正比例，且时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a． 【变式8-3】（24-25八年级·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【考点9 一次函数的图象】 【例9】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【变式9-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【变式9-2】（24-25八年级·江苏苏州·期末）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______用“”连接 【变式9-3】（24-25八年级·四川成都·期末）已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点． 画出函数的图象； 点的坐标为______，当 ______时，； 求的面积． 【考点10 一次函数的性质】 【例10】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数，如表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是(    ) A. 随的增大而增大 B. 该函数的图象经过一、二、三象限 C. 一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移个单位长度得到 D. 该函数的图象与轴的交点是 【变式10-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）若，是一次函数的图像上的两个点，则与的大小关系是           填“”，“”或“” 【变式10-2】（24-25八年级·安徽铜陵·期末）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为          ． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数． 在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； 若，当时，求的取值范围． 若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【考点11 待定系数法求一次函数解析式】 【例11】（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【变式11-1】（24-25八年级·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【变式11-2】（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点，与y轴相交于点B． (1)求出m的值． (2)过点B作直线与x轴的正半轴相交于点C，且，求直线的解析式． 【变式11-3】（24-25八年级·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线 中a和b的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求m的值． 【考点12 一次函数与方程、不等式】 【例12】（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【变式12-1】（24-25八年级·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【变式12-2】（24-25八年级·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式12-3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点13 一次函数的应用】 【例13】（24-25八年级·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，图中______； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？ 【变式13-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【变式13-2】（24-25八年级·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【变式13-3】（24-25八年级·江西抚州·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 【考点14 反比例函数的图象】 【例14】（24-25八年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，，绕点A逆时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（   ） A． B．4 C． D．3 【变式14-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如果点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x1＞x2时，y1＜y2，那么函数y=的图象位于第 象限． 【变式14-2】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式14-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求的面积． 【考点15 反比例函数的性质】 【例15】（2025·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【变式15-1】（24-25八年级·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【变式15-2】（24-25八年级·天津·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25八年级·广东广州·期末）已知函数为反比例函数． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于第__________象限；在每一个象限内，y随x的增大而__________； (3)当时，函数的最大值为__________，最小值为__________． 【考点16 用反比例函数解决问题】 【例16】（24-25八年级·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式16-1】（2025·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【变式16-2】（24-25八年级·山西吕梁·期末）小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表： (1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？ 【变式16-3】（24-25八年级·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【考点17 平行四边形的性质】 【例17】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ． 【变式17-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式17-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【考点18 平行四边形的判定】 【例18】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【变式18-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【变式18-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【变式18-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； (2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【考点19 平行四边形的判定与性质】 【例19】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式19-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【变式19-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 ． 【变式19-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 【考点20 菱形的性质】 【例20】（24-25八年级·山东东营·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 【变式20-1】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，求的度数． 【变式20-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． (1)求对角线的长度； (2)若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）在菱形中，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点对应的点分别为，所在直线分别与直线，直线相交于点． (1)观察猜想：如图1，当线段经过点时，线段与线段的数量关系是________，线段与线段的位置关系是________； (2)探究证明：如图2，当不经过点时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：若，的长为，当线段与直线垂直时，请直接写出的长． 【考点21 菱形的判定】 【例21】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式21-1】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号） 【变式21-2】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． (1)求证：； (2)E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【变式21-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【考点22 菱形的的判定与性质】 【例22】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，．若，，则四边形的周长为 ． 【变式22-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【变式22-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【考点23 矩形的性质】 【例23】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，平行四边形中，E，F分别是边的中点，连接，，若四边形是矩形，则 的值为（     ） A．1 B． C．     D． 【变式23-1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式23-2】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为 ． 【变式23-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【考点24 矩形的判定】 【例24】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式24-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式24-2】（2025·江苏常州·一模）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【变式24-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【考点25 矩形的判定与性质】 【例25】（24-25八年级·贵州黔南·期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式25-1】（24-25八年级·江苏·期末）如图，四边形中，，，点A到边的距离为5，则四边形的面积为 ．      【变式25-2】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 【变式25-3】（24-25八年级·山东青岛·单元测试）如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【考点26 正方形的性质】 【例26】（24-25八年级·四川广安·期末）如图（1），已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，把正方形边长按原法延长一倍得到（如图2），以此下去……，正方形的面积为（    ） A．125 B．500 C．600 D．625 【变式26-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式26-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【变式26-3】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，四边形是正方形，以点为坐标原点，分别在轴，轴上，点在边上，点的坐标为，点在边的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，连接和，且． (1)求证：垂直平分； (2)求正方形的边长； (3)求点的坐标． 【考点27 正方形的判定】 【例27】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（    ） A．两个方案都能 B．小聪的方案 C．小明的方案两个方案都不能 【变式27-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【变式27-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【变式27-3】（24-25八年级·山东枣庄·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【考点28 正方形的判定与性质】 【例28】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（    ）    A．4 B． C．8 D．16 【变式28-1】（24-25八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时， ． 【变式28-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式28-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 【考点29 平均数、中位数、众数】 【例29】（24-25八年级·四川成都·期末）某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试测试，他们的各项测试成绩如表所示，根据要求，学校将笔试、面试得分按6：4的比例确定各人的最后成绩，然后录用得分最高的候选人，最终被录用的是 ． 项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 80 70 75 面试 80 90 85 【变式29-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）若个数，，…的平均数是，则，，…，的平均数是 ． 【变式29-2】（2025·江苏南京·二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人． 年龄 13 14 15 16 频数 28 22 23 【变式29-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于 ． 成绩（分） 20 30 40 50 60 70 90 100 次数（人） 2 3 5 6 3 4 【考点30 方差】 【例30】（24-25八年级·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（   ） A． B． C． D． 【变式30-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 【变式30-2】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）一组数据的方差是，平均数是，则另一组数据的方差和平均数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式30-3】（24-25八年级·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 【考点31 统计量的选择】 【例31】（24-25八年级·江苏无锡·期末）某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（     ） A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数 C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号 【变式31-1】（24-25·湖北荆州·八年级·期末）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差 【变式31-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式31-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋双，各种尺码的销售量统计如下： 尺码/ 销量/双 由此你能给这家鞋店提供的进货建议是 . 【考点32 数据的分析】 【例32】（24-25八年级·四川达州·期末）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．    请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少? （3）如果该县共有八年级学生人，请你估计“活动时间不少于天”的大约有多少人？ 【变式32-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A x＜155 B 155≤x＜160 C 160≤x＜165 D 165≤x＜170 E x≥170 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在　 　组，中位数在　 　组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有　 　人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？    【变式32-2】（24-25八年级·山东潍坊·期中）山青养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，统计了它们的质量（单位：kg），并绘制出如下的统计图1和图2．    请根据以上信息解答下列问题： （1）图1中m的值为　 　； （2）统计的这组数据的众数是　 　；中位数是　 　； （3）求出这组数据的平均数，并估计这2500只鸡的总质量约为多少kg． 【变式32-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分； (3)请估计全校2000名学生中书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【32大考点】 【华东师大版】 【考点1 分式】 2 【考点2 分式的基本性质】 3 【考点3 分式的运算】 5 【考点4 解分式方程】 9 【考点5 分式方程的应用】 13 【考点6 变量与函数】 16 【考点7 函数的图象】 18 【考点8 正比例函数的图象】 22 【考点9 一次函数的图象】 24 【考点10 一次函数的性质】 28 【考点11 待定系数法求一次函数解析式】 30 【考点12 一次函数与方程、不等式】 34 【考点13 一次函数的应用】 38 【考点14 反比例函数的图象】 44 【考点15 反比例函数的性质】 48 【考点16 用反比例函数解决问题】 50 【考点17 平行四边形的性质】 55 【考点18 平行四边形的判定】 60 【考点19 平行四边形的判定与性质】 63 【考点20 菱形的性质】 69 【考点21 菱形的判定】 76 【考点22 菱形的的判定与性质】 81 【考点23 矩形的性质】 85 【考点24 矩形的判定】 89 【考点25 矩形的判定与性质】 93 【考点26 正方形的性质】 98 【考点27 正方形的判定】 102 【考点28 正方形的判定与性质】 107 【考点29 平均数、中位数、众数】 113 【考点30 方差】 116 【考点31 统计量的选择】 118 【考点32 数据的分析】 119 【考点1 分式】 【例1】（24-25八年级·甘肃定西·期末）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．5 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为为分子为零、分母不为零成为解题的关键． 根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，解得：． 故选A． 【变式1-1】（24-25八年级·天津西青·期末）若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故选：D 【变式1-2】（24-25八年级·重庆万州·期中）在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式， 故，为分式， 故选B． 【变式1-3】（24-25八年级·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 【考点2 分式的基本性质】 【例2】（24-25八年级·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 【考点3 分式的运算】 【例3】（24-25八年级·湖北荆州·期末）已知：． (1)当时，比较与的大小，并说明理由； (2)设，若是整数，求的整数值． 【答案】(1)，理由见详解 (2)4或或或 【分析】本题考查分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作差法比较分式的大小即可； （2）先根据分式的减法运算，求出，再根据是整数，也是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 依题意， ， ， ， ． （2）解：∵． ∴ 均为整数， 的值为，， ∴的值为， 即 得； 即 得； 即 得； 即 得； 的整数值为4或或或． 【变式3-1】（24-25八年级·山西吕梁·期末）先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先把括号内通分，再把分子、分母分解因式约分化简，然后从中取一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴且， 又∵m为满足的整数， ∴或1， 当时，原式， 当时，原式． 【变式3-2】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 【变式3-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：， 原式． 方法2：，将分式的分子，分母同时除以得， 原式 (1)“方法1”中运用了“分式””这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 (2)解题过程见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题干中的解题过程即可求得答案； （2）利用分式的性质变形后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变； （2）解：原式， ， 原式 ． 【考点4 解分式方程】 【例4】（24-25八年级·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 【变式4-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 【变式4-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查新定义运算的含义，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．运用定义运算代入计算可得，再计算即可；运用定义运算代入得到，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 的值为． 故答案为：； 【变式4-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 【考点5 分式方程的应用】 【例5】（24-25八年级·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 【变式5-1】（24-25八年级·山东临沂·期末）大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 【答案】小明和小军所乘坐高铁的速度分别是 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小军所乘坐的高铁速度为，根据小军比小明早到达临沂北站列方程求解即可． 【详解】解：设小军所乘坐的高铁速度为，则小明所乘坐的高铁速度为，由题意得，， 解得， 经检验原分式方程的解为， ， 答：小明和小军所乘坐高铁的速度分别是． 【变式5-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【答案】10米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案． 【详解】解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：施工队原计划每天修建保通便道10米． 【变式5-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． (1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ (2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______． 【答案】(1)商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元； (2)①；② 【分析】此题考查分式方程的应用，整式加减的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键． （1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可； （2）①两种商品共花费4500元，据此列方程并解方程即可；②设购入件甲种商品，总费用为元，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元， 由题意可得， ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； 当时，， 答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元； （2）①根据题意可得， 解得 答：的值为； ②设购入件甲种商品，总费用为元， 根据题意可得，， ∵的值与无关， ∴， 解得， ∴（元） 故答案为： 【考点6 变量与函数】 【例6】（24-25八年级·山西朔州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为    【答案】9 【分析】根据题意，得到小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为，将代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，； 故答案为：9． 【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的列出函数关系式． 【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据此条件即可求出x的范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0，是解题关键． 【变式6-2】（24-25八年级·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 【考点7 函数的图象】 【例7】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为13，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选C． 【变式7-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， 开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大； 接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐减小； 选项符合题意， 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理与三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形外角的定义与性质是解题的关键． 根据三角形的外角的定义与性质进行表示即可． 【详解】解：设l与，相交于点G、F， 由图可得，，， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式7-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D． 【考点8 正比例函数的图象】 【例8】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 【变式8-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、第四象限， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项B符合题意． 故选：B． 【变式8-2】（24-25八年级·广东梅州·期末）已知y与x成正比例，且时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，将，代入，求出k值即可； （2）将代入（1）中函数关系式中，即可求出a值． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）∵点在函数关系式为的图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数解析式，正比例函数图象上的点，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 【变式8-3】（24-25八年级·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 【考点9 一次函数的图象】 【例9】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A  【分析】由解析式可知一次函数函数的图象经过第一、二，三象限，即可判断． 【详解】解：一次函数中，，， 一次函数函数的图象经过第一、二，三象限， 点在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、三象限， 大致为： 当时，直线经过第一、二、三象限，直线经过第二、四象限，大致为： 综上，选项符合题意． 故选： 【变式9-2】（24-25八年级·江苏苏州·期末）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______用“”连接 【答案】  【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：由一次函数图象可知：． 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级·四川成都·期末）已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点． 画出函数的图象； 点的坐标为______，当 ______时，； 求的面积． 【答案】（1）函数图象见解答； （2），； （3）．  【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象； 根据函数的图象即可解答； 由点，的坐标可得出，的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 点的坐标为， 当时，； 故答案为：，； 点的坐标为，点的坐标为， ，， 的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标并画出函数图象是解题的关键． 【考点10 一次函数的性质】 【例10】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数，如表是与的一些对应数值，则下列结论中正确的是(    ) A. 随的增大而增大 B. 该函数的图象经过一、二、三象限 C. 一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移个单位长度得到 D. 该函数的图象与轴的交点是 【答案】D  【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入直线解析式得到，解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移个单位长度得到，该选项错误，不符合题意； D、当时，，函数图象与轴的交点是，该选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，平移，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式10-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）若，是一次函数的图像上的两个点，则与的大小关系是           填“”，“”或“” 【答案】  【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，判断即可． 【详解】因为，是一次函数的图像上的两个点， 且时， 所以随的增大而减小， 因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级·安徽铜陵·期末）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为          ． 【答案】  【详解】解：当时，随增大而减小， 当时，， 当时，，当时，， 此函数解析式为； 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数． 在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； 若，当时，求的取值范围． 若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键． 由一次函数图象的增减性解答． （2） 若，则一次函数，根据增减性即可求出最值． （3）根据一次函数的性质列不等式计算即可． 【详解】(1)解：若随的增大而增大，则， 解得，． (2)解：若，则一次函数， 由于，所以随的增大而减小； 所以当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 所以的取值范围为； (3)解：由题意得，， 解得，． 【考点11 待定系数法求一次函数解析式】 【例11】（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 【变式11-1】（24-25八年级·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 【变式11-2】（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点，与y轴相交于点B． (1)求出m的值． (2)过点B作直线与x轴的正半轴相交于点C，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形，（1）把代入求解即可； （2）由（1）得，直线的解析式为，求得，，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点， ∴把代入得，， 解得； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 【变式11-3】（24-25八年级·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线 中a和b的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求m的值． 【答案】(1) (2)的值为1 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据“k倍伴随线”的定义即可得到答案； （2）先根据“k倍伴随线”的定义得到直线的“2倍伴随线”，再把代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴直线的“3倍伴随线”的函数表达式为． （2）解：直线的“2倍伴随线”的函数表达式为． 在中，令， 得， 解得：， ∴的值为1． 【考点12 一次函数与方程、不等式】 【例12】（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式． （1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可； （2）根据函数图象及交点坐标即可解答． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ， 将点的坐标代入，得， 解得：； （2）解：由图象可知，当时，， 不等式的解集为． 【变式12-1】（24-25八年级·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 【变式12-2】（24-25八年级·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 【变式12-3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，与不等式的关系，一次函数图象平行的问题，相交的问题，利用数形结合是解题的关键． 当，则点在直线上，当直线经过点时，，解得，再分类讨论，画图分析即可． 【详解】解：当，则点在直线上， 当直线经过点时，， 解得：，此时，符合题意，如图： 当时，此时不符合题意，如图： 当时，此时符合题意，如图： 当时，直线与直线平行，符合题意，如图： 当时，直线与直线在右侧会相交，不符合题意， 综上：当时，时，对于x的每一个值，正比例函数的值都大于一次函数的值， 故选：C． 【考点13 一次函数的应用】 【例13】（24-25八年级·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，图中______； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？ 【答案】(1)70，300 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； （2）解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍． 【变式13-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） (2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； （2）解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 【变式13-2】（24-25八年级·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【答案】(1)30 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据单价总价数量，即可解决问题． （2）函数表达式单价数量，与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （3）画出函数图象后，根据在下面即可解决问题． 【详解】（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克（元） 故答案为：30； （2）解：由题意知 由图可得，当时，； 当时，设， 将和代入， 得， 解得， ∴， ∴， （3）解：函数的图象如图所示， 由， 解得， ∴点的坐标为； 由， 解得， ∴点的坐标为； 由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围是． 【变式13-3】（24-25八年级·江西抚州·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1)A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； (2)购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可； （2）设所需费用为W，则，利用函数增减性可知：当时，W取最小值，此时元． 【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元， 则由题意可知： ， 解之得：， ∴A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； （2）解：设所需费用为W，则由已知可得：， 由可知W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取最小值，此时元， ， 故最省钱的方案是：购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 【考点14 反比例函数的图象】 【例14】（24-25八年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，，绕点A逆时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，求反比例函数的解析式． 过点B作轴于点D，根据图形旋转的性质得出，再由定理得出，故可得出B点坐标，进而得出k的值． 【详解】解：过点B作轴于点D，如图， 绕点A逆时针旋转得到， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，C两点的坐标分别为，， ，， ∴， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 【变式14-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如果点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x1＞x2时，y1＜y2，那么函数y=的图象位于第 象限． 【答案】二、四 【分析】根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵当x1>x2时，y1＜y2， ∴k＜0， ∴函数y=的图象在二、四象限， 故答案为二、四． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【变式14-2】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键，设点，可得到，，再根据，从而可求得的值，即得到的值． 【详解】解：设点，由题可得： ∴， ∵点，在正比例函数的图象上， ∴点，关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式14-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数关系式为 (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键． （1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式； （2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴， ， ， 中，， ， 将代入反比例函数，得，解得：， 反比例函数关系式为， 将，代入一次函数，得 ，解得：， 一次函数关系式为； （2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，， ， ． 【考点15 反比例函数的性质】 【例15】（2025·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 【变式15-1】（24-25八年级·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式得出函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式15-2】（24-25八年级·天津·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质反比例函数图象上点的坐标特征，，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质解答． 先判定出反比例函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，再判定点在第四象限，，在第二象限，根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，，都在反比例函数的图象上， 点在第四象限，，在第二象限， ，， ， 故选：D． 【变式15-3】（24-25八年级·广东广州·期末）已知函数为反比例函数． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于第__________象限；在每一个象限内，y随x的增大而__________； (3)当时，函数的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】(1)y＝ (2)二、四；增大 (3)10； 【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得k+2=-1，且k-2≠0，解出k的值即可； （2）根据k-2＜0，结合反比例函数的性质可得答案； （3）根据y随x增大而增大可得当x=-3时，y最小，当x=时，y最大，代入求值即可． 【小题1】解：由题意得：k+2=-1，且k-2≠0， 解得：k=-3， ∴k-2=-5， ∴这个反比例函数的解析式为y＝； 【小题2】∵-5＜0， ∴图象在第二、四象限，在各象限内，y随x增大而增大； 故答案为：二、四；增大； 【小题3】当x=-3时，y最小==； 当x=时，y最大==10； 故答案为：10；． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，关键是掌握反比例函数的形式为（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）． 【考点16 用反比例函数解决问题】 【例16】（24-25八年级·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 【变式16-1】（2025·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 【变式16-2】（24-25八年级·山西吕梁·期末）小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表： (1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？ 【答案】(1)电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为； (2)该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （）根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数，设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为，然后代入求解即可； （）由空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害，则，求出范围即可． 【详解】（1）解：根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数， 设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为； （2）解：由， ∵空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害， ∴， ∴， 答：该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值． 【变式16-3】（24-25八年级·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车去上班，见解析 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）解：由得， 当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 【考点17 平行四边形的性质】 【例17】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ． 【答案】68 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，先根据平行四边形的性质，利用证明，设，，则，然后根据勾股定理表示，然后整体代入计算解题． 【详解】解：过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴ ， 故答案为：68． 【变式17-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的平分线，得，由平行四边形的性质得，，即得，得到，即可得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：. 【变式17-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过作，首先证明△是等腰三角形，进而得到，再利用勾股定理计算出的长，进而可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 、的平分线、分别与相交于点、， ， ； （2）解：如图，过作，交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【变式17-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 【考点18 平行四边形的判定】 【例18】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式18-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 【变式18-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 【变式18-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； (2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【详解】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点F是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴，， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 【考点19 平行四边形的判定与性质】 【例19】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，故②正确； 取的中点N，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定和性质． 【变式19-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长． 【详解】（1）证明：是等边的BC边上的高， ， ，                                                         ， ， 为等边三角形，                              ， ， ，                           ， 四边形为平行四边形； （2）解： ．                   为等边三角形， ．                           ， ，                                        四边形的周长为． 【变式19-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形的面积等知识，连接，过A作交的延长线于点M，证四边形是平行四边形，再证，设平行四边形的边上的高为h，则，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过A作交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴， 同理：， ∴S△BDE+S△ADES平行四边形ACFM=6， ∴， 设平行四边形的边上的高为h， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 【变式19-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定可得，，根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行四边形的性质可得，推得，设，则，根据的周长列式求得，根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 设，则， ∴，． ∵的周长为， ∴， 在中，， ∴． 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 【考点20 菱形的性质】 【例20】（24-25八年级·山东东营·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等；由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，再判定四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，由，即可求解；掌握菱形的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 故答案：． 【变式20-1】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，四边形是菱形，四边形是正方形，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 如图：连接，则为正方形与菱形的对角线，再根据正方形、菱形的性质以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接，则为正方形与菱形的对角线， ，， ∵， ∴， ∴． 【变式20-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． (1)求对角线的长度； (2)若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，理解并掌握菱形的性质是解题关键． （1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可； （2）①根据题意，补齐图形即可；②证明四边形为平行四边形，根据直角三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，与相交于点， ，， ， ； （2））①根据题意把图形补充完整： ②， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 三角形的面积． 【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）在菱形中，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点对应的点分别为，所在直线分别与直线，直线相交于点． (1)观察猜想：如图1，当线段经过点时，线段与线段的数量关系是________，线段与线段的位置关系是________； (2)探究证明：如图2，当不经过点时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：若，的长为，当线段与直线垂直时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）延长交于点，根据菱形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，得出，，利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定即可得到答案； （2）同（1）即可得到答案； （3）分两种情况：当在直线的右侧时，当在直线的左侧时；分别利用直角三角形的性质勾股定理，矩形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点， 四边形是菱形， ， 绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， 故答案为：，； （2）解：（1）中的两个结论成立，理由如下， 如图2 四边形是菱形， ， 绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， （1）中的两个结论成立； （3）解：当在直线的右侧时， 如图3，该点作于点， 菱形中，，， ，， 在中，，， ， ， 同理， ， 四边形是矩形， ， 由旋转得：， ； 当在直线的左侧时， 如图4，过点作于点， 同理可得：， ， 综上，当线段与直线垂直时的长为或． 【点睛】本题考查是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【考点21 菱形的判定】 【例21】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答． 根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为，一边与对角线夹角，则另一边与对角线夹角为，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，该选项不符合题意； B．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意； C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，故不是菱形，不符合题意； D．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意； 故选：C． 【变式21-1】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】根据题意可证明，再由可得，再证明得，进而证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的关键． 【变式21-2】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． (1)求证：； (2)E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明； （2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形． 本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，， ，． ， ，即， 为直角三角形，， ． （2）证明：由（1）知为直角三角形． E，F分别是和的中点， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形． 又∵， 平行四边形是菱形． 【变式21-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； 选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是平行四边形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【考点22 菱形的的判定与性质】 【例22】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 【变式22-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质定理． 先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质得出，最后通过证明四边形是菱形，结合菱形的性质，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：20． 【变式22-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)15° 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形； （2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，BO=DO， ∴∠OBF=∠ODE， ∵EF⊥BD， ∴∠BOF=∠DOE=90°， 在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴BF=DE， ∵BFDE， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD为菱形； （2）∵四边形EBFD为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 【变式22-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)菱形，四边相等四边形是菱形 (2)20 【分析】（1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）根据作图可得，垂直平分 ∴， ∵由作图得， ∴ ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等四边形是菱形； （2）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点23 矩形的性质】 【例23】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，平行四边形中，E，F分别是边的中点，连接，，若四边形是矩形，则 的值为（     ） A．1 B． C．     D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由矩形的性质和直角三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】解析：连接， ∵ 四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式23-1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先得出，根据矩形的性质得出，，再得出，进而求出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式23-2】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据面积求线段的长度等知识，设直线交于点，由矩形的性质得，而，则，可证明，得，则，由，求得，于是得到问题的答案，证明是解题的关键． 【详解】解：设直线交于点，如图： ∵四边形是矩形，，对角线交于点， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式23-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中，     ， ∴， ∴． 【考点24 矩形的判定】 【例24】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，由作图可得，即可判断嘉嘉的作法；证明得出，即可判断淇淇的作法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形，故嘉嘉正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故淇淇错误； 故选：A． 【变式24-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 【变式24-2】（2025·江苏常州·一模）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)若，则四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2）解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【变式24-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【考点25 矩形的判定与性质】 【例25】（24-25八年级·贵州黔南·期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积． 【详解】解：如图所示，连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC＝90°， 又∵E是BC的中点， ∴OE＝BE＝CE， 又∵F，G分别是BO，CO的中点， ∴EF⊥OB，EG⊥OC， ∴四边形OGEF是矩形， ∵菱形ABCD的面积为S， ∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S， ∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S． 故选：B．    【点睛】此题考查菱形的性质及中点问题，进而求面积，难度一般． 【变式25-1】（24-25八年级·江苏·期末）如图，四边形中，，，点A到边的距离为5，则四边形的面积为 ．      【答案】25 【分析】过点A作于点D，于点E，通过证明四边形为矩形，进而得出，则四边形的面积 ，即可求解． 【详解】解：过点A作于点D，于点E，    ∵点A到边的距离为5， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有三个角为直角的四边形是矩形，全等三角形对应边相等，面积相等． 【变式25-2】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中线的性质得出，．由角平分线的定义和三角形外角的性质可证，即得出，结合题意即得出，则四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得出，，结合三角形中线的性质证明四边形为平行四边形，得出，即． 【详解】（1）证明：∵在中，，是中线， ∴，， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点F为对角线，的交点， ∴，． ∵是中线， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． 【变式25-3】（24-25八年级·山东青岛·单元测试）如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【考点26 正方形的性质】 【例26】（24-25八年级·四川广安·期末）如图（1），已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，把正方形边长按原法延长一倍得到（如图2），以此下去……，正方形的面积为（    ） A．125 B．500 C．600 D．625 【答案】D 【分析】根据小正方形的面积为1，边长也为1，则的边长为，则的面积为，的边长为，则的面积为，的边长为，则的面积为，猜想规律，的面积为，解答即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，规律猜想，熟练掌握勾股定理，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：根据小正方形的面积为1，边长也为1， 则的边长为，的面积为， 的边长为，的面积为， 的边长为，的面积为， 猜想规律，的面积为， 故正方形的面积为， 故选D． 【变式26-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【变式26-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，连接，在上截取，连接，证明，可得．当时，的值最小．过点M作于点N，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， ∵正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ． 当时，的值最小． 过点M作于点N， ∴， ． 故线段长度的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式26-3】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，四边形是正方形，以点为坐标原点，分别在轴，轴上，点在边上，点的坐标为，点在边的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，连接和，且． (1)求证：垂直平分； (2)求正方形的边长； (3)求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据：，，即可得证； （2）证明，得出，进而根据，，即可求解； （3）根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴垂直平分； （2）解：在正方形中，， 在和中， ， ∴， ∴ ∵点的坐标为， ∴， ∵ ∴ （3）解：∵， ∴ ∴ 又点的坐标为，是的中点 ∴ 【考点27 正方形的判定】 【例27】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（    ） A．两个方案都能 B．小聪的方案 C．小明的方案两个方案都不能 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握折叠（即是轴对称）的性质是解题的关键． 由折叠的方法和对称性质可得：，，再由两种方案的折叠方法可证明四边形是正方形． 【详解】：连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴， 由折叠方法可知：，，、是关于的对称， ∴，，即是的垂直平分线，， 小聪的方案，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； 小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是是正方形； 综上所述：两种方案中折出的四边形为正方形； 故选A． 【变式27-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】D 【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案． 【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形； ②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形； 故选∶ D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式27-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形．理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键． 【变式27-3】（24-25八年级·山东枣庄·期末）如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)或或是等腰直角三角形 【分析】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，于是得到； （2）由为中点，得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【考点28 正方形的判定与性质】 【例28】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点分别是正方形四条边上的点，相交于点，且，，，，则四边形与四边形的面积之和为（    ）    A．4 B． C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形、是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形、、均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形与四边形的面积之和为， 故选：D． 【变式28-1】（24-25八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时， ． 【答案】10 【分析】先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形；证明，，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； ， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式28-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，    点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 【变式28-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证明，再由旋转的性质得到，，则，据此证明，即可证明．          （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是正方形，接着证明得到，则可证明，得到，最后证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，                  ∵， ∴， ∴． （2）解：结论：．                     理由：如图2中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，                 ∵，，， ∴ ∴， ∵，，， ∴，                     ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，平行四边形的性质与判定、矩形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点29 平均数、中位数、众数】 【例29】（24-25八年级·四川成都·期末）某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试测试，他们的各项测试成绩如表所示，根据要求，学校将笔试、面试得分按6：4的比例确定各人的最后成绩，然后录用得分最高的候选人，最终被录用的是 ． 项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 80 70 75 面试 80 90 85 【答案】甲 【分析】根据加权平均数的概念分别计算出三人的得分，从而得出答案． 【详解】解：甲的最后成绩为：(分)， 乙的最后成绩为：(分)， 丙的最后成绩为：(分)， ， 最终被录用的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【变式29-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）若个数，，…的平均数是，则，，…，的平均数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数的定义即可求解，熟练掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解决此题的关键． 【详解】解：∵个数，，…的平均数是， , , ,,…….,平均数 ， 故答案为：4． 【变式29-2】（2025·江苏南京·二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人． 年龄 13 14 15 16 频数 28 22 23 【答案】146 【分析】根据中位数的概念计算即可． 【详解】解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14， ∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2=146（人）． 故答案为：146． 【点睛】本题主要考查了中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息是解答本题的关键． 【变式29-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于 ． 成绩（分） 20 30 40 50 60 70 90 100 次数（人） 2 3 5 6 3 4 【答案】15 【分析】由于全班共有38人，则，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出之值． 【详解】解：∵全班共有38人， ∴， ∵众数为50分， ∴， 当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意； 当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意； 同理当，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意． 则，． 则． 故答案为：15． 【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值． 【考点30 方差】 【例30】（24-25八年级·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求方差，先求出小明再跳两次后成绩的平均数，然后根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，小明再跳两次后成绩的平均数为：， ∵小明6次成绩的方差为， ∴小明8次跳远成绩的方差为：； 故选D． 【变式30-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 【答案】/ 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式，分别计算出原数据和新数据的方差即可得． 【详解】解：原数据的平均数为：， 方差为：； 新数据的平均数为：， 所以方差为： ∴ 故答案为：． 【变式30-2】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）一组数据的方差是，平均数是，则另一组数据的方差和平均数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了方差和平均数的变化规律．根据方差和平均数的变化规律进行解答即可． 【详解】解：一组数据的方差是，平均数是，则另一组数据的方差和平均数分别是，， 故选：B 【变式30-3】（24-25八年级·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 【答案】二 【分析】本题考查了方差的计算公式．根据每个图中的数据先求出平均数再运用方差计算公式求出方差即可． 【详解】解：第一组平均数是， 第一组的方差是； 第二组的平均数是：， 方差是； 第三组的平均数是：， 方差是：； 方差最小的是第二组． 故答案为：二． 【考点31 统计量的选择】 【例31】（24-25八年级·江苏无锡·期末）某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（     ） A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数 C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号 【答案】B 【详解】分析：天虹百货某服装销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大． 解答：解：由于众数是数据中出现最多的数，销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大，所以他最应该关注的是众数． 故选B 【变式31-1】（24-25·湖北荆州·八年级·期末）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差 【答案】B 【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选； 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键． 【变式31-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 【变式31-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋双，各种尺码的销售量统计如下： 尺码/ 销量/双 由此你能给这家鞋店提供的进货建议是 . 【答案】25.5cm尺码的鞋子可以多进一些（答案不唯一，符合实情就行） 【分析】利用众数的意义进行解答即可. 【详解】解：去鞋厂进货时25.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些，这组数据中的众数是25.5，故男鞋中型号25.5cm尺码销售较好，25.5cm尺码的鞋子可以多进一些. 故答案为：25.5cm尺码的鞋子可以多进一些. （答案不唯一，符合实情就行） 【点睛】本题题主要考查了众数的意义，理解众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势的量是解答本题的关键. 【考点32 数据的分析】 【例32】（24-25八年级·四川达州·期末）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．    请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少? （3）如果该县共有八年级学生人，请你估计“活动时间不少于天”的大约有多少人？ 【答案】（1）调查的初一学生人数200人；补图见解析；（2）中位数是4（天），众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有2700人． 【分析】（1）由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数，根据单位1减去其他的百分比求出a的值，由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可； （2）出现次数最多的天数为4天，故众数为4；将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个天数，求出平均数即可得到中位数； （3）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果． 【详解】解：（1）调查的初一学生人数：20÷10%＝200（人）， “活动时间不少于5天”的人数为：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人）， “活动时间不少于7天”的人数为：200×5%=10（人）， 补全统计图如下：    （2）根据中位数的概念，中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天）， 根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）； （3）估计“活动时间不少于5天”的大约有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）． 【点睛】本题考查了频率分布直方图和扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 【变式32-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A x＜155 B 155≤x＜160 C 160≤x＜165 D 165≤x＜170 E x≥170 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在　 　组，中位数在　 　组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有　 　人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？    【答案】（1）B、C；（2）2；（3）332人 【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可； （2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解； （3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解． 【详解】解：∵B组人数最多， ∴众数在B组， 男生总人数为4+12+10+8+6＝40， 按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组， ∴中位数在C组， 故答案为B、C； （2）女生身高在E组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同， ∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%＝2人， 故答案为2； （3）400×+380×（25%+15%）＝180+152＝332（人）． 答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有332人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【变式32-2】（24-25八年级·山东潍坊·期中）山青养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，统计了它们的质量（单位：kg），并绘制出如下的统计图1和图2．    请根据以上信息解答下列问题： （1）图1中m的值为　 　； （2）统计的这组数据的众数是　 　；中位数是　 　； （3）求出这组数据的平均数，并估计这2500只鸡的总质量约为多少kg． 【答案】（1）28；（2）1.8kg，1.5kg；（3）平均数是1.52kg，总质量约为3800kg． 【分析】（1）根据各种质量的百分比之和为1可得m的值； （2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可； （3）根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再乘以总只数即可得出鸡的总质量． 【详解】（1）图①中m的值为100﹣（32+8+10+22）＝28， 故答案为：28； （2）∵1.8kg出现的次数最多， ∴众数为1.8kg， 把这些数从小到大排列，则中位数为＝1.5（kg）； 故答案为：1.8kg，1.5kg； （3）这组数据的平均数是： ×（5×1+11×1.2+14×1.5+16×1.8+4×2）， ＝（5+13.2+21+28.8+8）， ＝1.52（kg）， ∴2500只鸡的总质量约为：1.52×2500＝3800（kg）， 所以这组数据的平均数是1.52kg，2500只鸡的总质量约为3800kg． 【点睛】此题考查统计计算，正确掌握部分百分比的计算方法，众数的定义、中位数的定义，平均数的计算方法是解题的关键. 【变式32-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分； (3)请估计全校2000名学生中书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？ 【答案】(1)，，图见解析； (2)； (3)书写能力等级达到优秀的学生大约有人． 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等级人数及其所占百分比可得总人数，用乘以等级人数所占比例即可得，总人数减去的人数可求出等级的人数，从而补全图形； （2）根据众数、中位数及平均数的定义即可求得答案； （3）利用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可得． 【详解】（1）解：本次抽取的学生共有：（人）， 扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是：， 故答案为：，， 等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：∵及格的人数最多， ∴众数是， 将学生成绩从小到大顺序排列，排在第和第个数分别为， ∴中位数是， 平均数是， 故答案为：； （3）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$