精品解析：山东省德州市临邑县2025年九年级第二次练兵考试数学试题

2025年九年级第二次练兵 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数大小比较，先求出各个数的绝对值，然后再比较大小，得出结果即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴在数轴上表示的点距离原点最远的是4． 故选：D． 2. 下列四个前沿的AI大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．确定中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式及合并同类项．因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体上面看到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：从物体上面看到的图形是：   故选：． 5. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 6. 已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 详解】解：根据函数图象可知， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 8. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵八个方位将圆形八等分（图2中的点， ∴正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的南偏西的角度是； 故选：C． 9. 如图，直角坐标系中，正方形的顶点C和D都在x轴上，点B在双曲线上，连接，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质．设正方形的边长为a，则，可得，从而得到点B的坐标为，再由反比例函数图象上点的特征可求出a的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的面积为． 故选：C 10. 如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论： ①GH⊥BE； ②HO∥BG，HO=BG； ③点H不在正方形CGFE的外接圆上； ④△GBE∽△GMF． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图1， ∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形， ∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴∠BEC=∠BGH， ∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE， ∴∠BEC+∠HDE=90°， ∴GH⊥BE． 故①正确； （2）∵GH是∠EGC的平分线， ∴∠BGH=∠EGH， 在△BGH和△EGH中， ， ∴△BGH≌△EGH（ASA）， ∴BH=EH， 又∵O是EG的中点， ∴HO是△EBG的中位线， ∴HO∥BG，HO=BG， 故②正确； （3）由（1）得△EHG是直角三角形， ∵O为EG的中点， ∴OH=OG=OE， ∴点H在正方形CGFE的外接圆上， 故③错误； （4）如图2，连接CF， 由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上， ∴∠HFC=∠CGH， ∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°， ∴∠FMG=∠GBE， 又∵∠EGB=∠FGM=45°， ∴△GBE∽△GMF． 故④正确， 故选C． 考点：四边形综合题． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 报告显示，2025年2月，的访问量达到5.247亿次，超过了的访问量．其中数据5.247亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：5.247亿； 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【详解】 = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13. 2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为元，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元，根据题意列出方程即可． 【详解】设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元 根据题意得，． 故答案为：． 14. 已知a，b是关于x一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据一元二次方程的解和根与系数之间的关系，得到，，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：1． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，先根据三角形的面积公式可得，然后利用三角形的中位线定理可得，，从而可得，，进而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：18． 16. 如图，，，，，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，，都在反比例函数的图象上，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，过作轴于，则有，即可得到的横纵坐标相同，据此根据反比例函数解析式可得，进而可得，求出直线的解析式为：，证明，可求出直线的表达式是，则可求出，进而可得；同理可得，以此类推可知，，据此可得答案． 【详解】解：过作轴于， ∵是等腰直角三角形，且斜边为， ∴， ∴的横纵坐标相同， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴直线的解析式为：， ∵，都是等腰直角三角形， ∴ ∴， 的表达式的次项系数与的表达式的一次项系数相同， 设的表达式的表达式为， 将代入， ， 直线的表达式是， 联立，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ……， 以此类推可知，， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x满足方程． 【答案】（1）；（2），当时， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、分式的化简求值和解一元二次方程，熟练掌握实数的运算法则和分式的化简方法及一元二次方程的解法是解题的关键， （1）根据负数指数幂、绝对值和分数负指数幂的运算方法计算即可得到答案 （2）根据分式的化简方法将分式化简，再利用“十字相乘”法将一元二次方程因式分解，求出一元二次方程的根，代入验证即可求得分式的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ∵ ∴ 解得：或， 当时，分母，分式无意义，舍去； 当时，原式． 18. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，得出，再由勾股定理求出，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得：，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力领数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）： （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良学生约为_______人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________； （5）请为做好近视防控提一条合理的建议． 【答案】（1）抽样调查； （2）； （3）； （4）； （5）建议学校加强电子产品进校园及使用的管控． 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； （5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可． 本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案：抽样调查； 【小问2详解】 解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是， ∴这组数据的中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：调查数据中，视力低于的人数有：（人）， ∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为： （人） 故答案为：； 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率是：， 故答案为：； 【小问5详解】 解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控． 20. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 21. 德州扒鸡闻名全国，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉全国的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． （1）求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ （2）该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元 （2）该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，根据购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，列出不等式组，求出的范围，设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设购买A品牌扒鸡的单价为x元，购买B品牌扒鸡的单价为y元，则根据题意， 得， 解得； 答：购买A品牌扒鸡的单价是115元，购买B品牌扒鸡的单价是95元； 【小问2详解】 设购买A品牌扒鸡a盒，则购买B品牌扒鸡盒，根据题意，得 ，解得， 设销售完两种品牌扒鸡获得的利润为w元，则 ， ，则w随a的增大而减小， 当时，w值最大，最大值为， 此时； 答：该超市购买A品牌扒鸡60盒，B品牌扒鸡40盒时，销售完两种品牌扒鸡获得的利润最大，最大利润为7800元． 22. 如图，内接于，为的直径，延长至点D，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角得到，进而得到，圆周角定理，得到，进而得到，等量代换得到，即，即可得证； （2）根据，得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”． （1）请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是________，二次函数的“零点”是________； （2）已知二次函数是“零点函数”（a，b，c是常数，）．若，，函数的“零点”是，，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式； （3）已知抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． ①求m的值． ②点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求h的值． 【答案】（1）1；2或4 （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，求二次函数和一次函数与x轴的交点坐标，正确理解“零点函数”和“零点”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个函数中，函数值为0时自变量的值即可得到答案； （2）根据题意可得，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得，进而可得，据此可推出，再由已知条件 可得，据此代入求解即可； （3）①先求出函数的顶点坐标，进而得到函数的顶点横坐标，再根据对称轴计算公式即可求出答案；②根据题意可得，，则可推出，据此结合已知条件求出t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴一次函数的“零点”是1； 在中，当时，解得或， ∴二次函数的“零点”是2或4； 【小问2详解】 解：∵二次函数是“零点函数”，且函数的“零点”是，， ∴，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∵， ∴， ∵函数与x轴的两个交点之间的距离为8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 在中，当，， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵与y轴的交点在正半轴上， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：①∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线的顶点横坐标为2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 24. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①1；②；（2）；；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，则，通过证明，即可得出结论； （2）根据可得，根据，得出，即可证明，即可得出结论； （3）先求出的长度，根据点M为中点，可得，根据是直角三角形，可求出，从而得到，最后根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①1；②． （2）；，理由如下： 在矩形中，， ∵，则， ∴， 同理在中， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：；． （3）由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：． ∴或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第二次练兵 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（ ） A. B. C. 0 D. 4 2. 下列四个前沿的AI大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 已知一次函数与（m，n为常数，）图象如图所示，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 8. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直角坐标系中，正方形的顶点C和D都在x轴上，点B在双曲线上，连接，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 10. 如图，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论： ①GH⊥BE； ②HO∥BG，HO=BG； ③点H不在正方形CGFE的外接圆上； ④△GBE∽△GMF． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 报告显示，2025年2月，的访问量达到5.247亿次，超过了的访问量．其中数据5.247亿用科学记数法表示为________． 12. 因式分解：______． 13. 2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为元，则可列方程为___________． 14. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为______． 16. 如图，，，，，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，，都在反比例函数的图象上，则的坐标是________． 三、解答题（本大题有8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x满足方程． 18. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力领数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）： （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________； （5）请为做好近视防控提一条合理的建议． 20. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔高度． 21. 德州扒鸡闻名全国，远销海外，被誉为“天下第一鸡”，是享誉全国的特色产品．某超市计划采购A、B两种品牌扒鸡，已知购买1盒A品牌扒鸡和1盒B品牌扒鸡共需210元；购买2盒A品牌扒鸡和3盒B品牌扒鸡共需515元． （1）求A、B两种品牌扒鸡的单价各是多少元？ （2）该超市预算不超过11300元采购A、B两种扒鸡共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种扒鸡的售价均为185元/盒，如何安排采购量才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，内接于，为的直径，延长至点D，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”． （1）请写出下列函数“零点”：一次函数的“零点”是________，二次函数的“零点”是________； （2）已知二次函数是“零点函数”（a，b，c是常数，）．若，，函数的“零点”是，，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式； （3）已知抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． ①求m的值． ②点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求h的值． 24. （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：① ___________；②的度数为___________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $