10.3三角形的角平分线、高与中线（7大题型提分练）（题型专练）数学新教材冀教版七年级下册

10.3三角形的角平分线、高和中线 题型一 做三角形的高 1．在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线段，垂直，交的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 2．若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部， 那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 3．如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在中，于点， ∴的边上的高是， 故选：C． 4．如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据三角形高的定义即可解答． 【详解】解：如图，钝角中，边上的高是． 故选C． 5．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)画出边上的高线； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题主要考查了平移作图，画三角形的高，网格中求三角形面积，解题的关键是掌握平移的性质，正确作出． （1）根据点B的对应点可以确定向下平移1个单位，向左平移了7个单位，确定出和的位置，连接即可； （2）找到格点，连接、即可； （3）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，线段即为所求， （3）解：由题意得，． 题型二 三角形高有关的计算 1．在中，为边上的高，，，则 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是，分类讨论思想是解题的关键．分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵为边上的高， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，∵为边上的高， ∴， 又∵ ∴， ∴； 故答案为：或． 2．如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 3．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 4．如图，在直角三角形中，，，，，，． (1)点到的距离是______；点到的距离是________． (2)求点到的距离． 【答案】(1)； (2)点到的距离为． 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 【详解】（1）解：点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； （2）解：设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 题型三 根据三角形中线求长度 1．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 故答案为：． 3．已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依据三角形中线的定义，即可得到，再根据的周长比的周长大6，即可得出与的差为6． 【详解】解：是的边上的中线， ， 的周长比的周长大6， ， 即， 故答案为：6． 4．如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 5．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型四 根据三角形中线求面积 1．如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键． 根据三角形中位线的性质可得，同理可得即可解答． 【详解】解：， ∴是的中线， ∴， 又是的中点， ． 故选D． 2．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解： ，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 4．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，，得，又点为中点，则，，设，从而有，解出即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：12． 5．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，点到的距离为2， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：8． 题型五 三角形重心的概念 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，据此判断即可，熟记三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心， 故选：． 2．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 3．的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图，三角形的中线与三角形的重心的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形中线的定义以及网格的特点找到的中点，即可求解； （2）根据网格的特点作出上的中线，交点即为所求； 【详解】（1）解：如图，点为所求作点． （2）如图，点为所求作点 题型六 三角形角平分线的定义 1．下列语句中，是定义的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了定义的概念：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； 、语句为两点间的距离的定义，符合题意； C、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； D、语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，不符合题意； 故选：B． 2．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由． 【答案】是的角平分线，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可知，再根据“两直线平行，内错角相等”可知，易得，即可证明结论． 【详解】解：是的角平分线，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 题型七 三角形角平分线有关的角度计算 1．如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 【详解】解： 平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 2．如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 又∵平分， ∴． ∴， 又∵ ∴· ∴． 3．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键． 首先由角平分线的概念得到，根据三角形内角和定理得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴ ∵， ∴ 又∵． ∴ 故选：B． 4．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 5．如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 1．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是的高， ∴ ，， 是的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 2．如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 3．如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解： ， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 4．如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积可得，，再根据图形面积之间的关系可得，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的两条中线， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 6．如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵的周长为，， ∴设，则， ∵是的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 7．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画射线，交直线于点； (3)点到直线的距离为线段______的长度； (4)比较线段和线段长度的大小______，并说明理由______； (5)将三角形沿着直线方向向上平移个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形 ，并计算其面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 (5)图见解析， 【分析】本题考查了利用网格作图、垂线段最短以及点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线特点作图即可； （2）根据网格的特点和平行线特点作图即可； （3）根据点到直线的距离的概念解答； （4）根据垂线段最短解答； （5）根据平移规律画出，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：， 点到直线的距离为线段的长度 （4）解：， ， 理由：垂线段最短； （5）解：如图，即为所求， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3三角形的角平分线、高和中线 题型一 做三角形的高 1．在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 2．若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 5．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)画出边上的高线； (3)的面积为 ． 题型二 三角形高有关的计算 1．在中，为边上的高，，，则 2．如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 3．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    4．如图，在直角三角形中，，，，，，． (1)点到的距离是______；点到的距离是________． (2)求点到的距离． 题型三 根据三角形中线求长度 1．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 2．如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 3．已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 4．如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 5．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 题型四 根据三角形中线求面积 1．如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 2．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 3．如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 4．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ． 5．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则 ． 题型五 三角形重心的概念 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 3．的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 题型六 三角形角平分线的定义 1．下列语句中，是定义的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 2．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 3．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 4．如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由． 题型七 三角形角平分线有关的角度计算 1．如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图在中，，，平分，于点E，求的度数． 3．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 5．如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 1．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数． 4．如图，，是的两条中线，，交于点G．的面积是2，则阴影部分面积和是 ． 5．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 6．如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 7．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画射线，交直线于点； (3)点到直线的距离为线段______的长度； (4)比较线段和线段长度的大小______，并说明理由______； (5)将三角形沿着直线方向向上平移个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形 ，并计算其面积______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$