10.2三角形的内角和外角（6大题型提分练）（题型专练）数学新教材冀教版七年级下册

10.2三角形的内角和外角 题型一 三角形内角和的证明 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 3．如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 4．我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 5．已知如图，，，，则的度数为 ． 6．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 题型三 三角形内角和定理的应用 1．如图，，点D在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．一等腰三角板和一直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 4．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 5．如图，已知，则等于 ． 6．在中，若，，则 ， ． 题型四 三角形外角的定义与性质 1．如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、分别在、上，，是的外角，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，若，，则 ． 5．如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 6．如图，已知，为的边上的一点，且，．那么 ． 题型五 三角形折叠的角度问题 1．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    2．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 3．如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 4．如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则 °． 题型六 三角形按角的分类 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 2．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 1．一副三角尺按如图所示的位置摆放（直角顶点重合，两条直角边分别共线），则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”． (1)在中，，是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 3．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 4．用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 5．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2三角形的内角和外角 题型一 三角形内角和的证明 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 3．如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴ ． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 4．我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 5．已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型三 三角形内角和定理的应用 1．如图，，点D在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角、余角的关系，利用余角的关系，对顶角的关系，求解即可． 【详解】解：延长交于点E，如图， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．一等腰三角板和一直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰直角三角形性质、平行线性质及邻补角定义等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 结合等腰直角三角形性质，先由三角形内角和定理求出，再由平行线性质及邻补角定义，数形结合即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形内角和定理可知， 由平行线性质可知， ， 故选：A． 3．如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，标注角与顶点，平行线，证明，，结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，标注角与顶点，平行线， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 4．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 5．如图，已知，则等于 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出． 【详解】解：如图，连接．设与交于点， ， ， ，，， ， 故答案为：． 6．在中，若，，则 ， ． 【答案】 50 100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定义，以及角的数量关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：50，100 题型四 三角形外角的定义与性质 1．如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：由三角形的外角性质，得． 因为，， 所以． 故选B． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．首先根据平行线的性质，可求得，再根据三角形外角的性质即可求得． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：A． 3．如图，在中，、分别在、上，，是的外角，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 4．如图，，若，，则 ． 【答案】60度/ 【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质．利用平行线的性质可得，利用三角形外角的定义和性质可得，代入数值即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 6．如图，已知，为的边上的一点，且，．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角定理、三角形外角的性质，首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 题型五 三角形折叠的角度问题 1．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 2．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 3．如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质，平角性质．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则 °． 【答案】94 【分析】先根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 题型六 三角形按角的分类 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 2．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 3．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 1．一副三角尺按如图所示的位置摆放（直角顶点重合，两条直角边分别共线），则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了三角形外角的性质，三角板中的角度计算，根据三角板中的角度结合三角形外角的性质求出，再根据邻补角定义即可求解． 【详解】解：如图，根据题意可知，，， 在中，运用外角性质可得， ． 故选：D． 2．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”． (1)在中，，是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1) 是“三倍角三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）解：∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②当时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答：中最小内角的度数为或． 3．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点M在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 4．用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 5．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$