第六章 立体几何初步（4易错+10压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第6章 立体几何初步 01 思维导图 目录 易错题型一　 线面关系判断错误 1 易错题型二　 面面关系判断错误 3 易错题型三　 几何体表面积和体积计算错误 4 易错题型四　 斜二测画法理解错误 7 压轴题型1线面关系有关命题的判断 9 压轴题型2.几何体的外接球和内切球问题 13 压轴题型3. 线面垂直与面面垂直的综合应用 18 压轴题型4.异面直线的判定 23 压轴题型5.判断正方体的截面形状 26 压轴题型6.棱柱的结构特征和分类 30 压轴题型7.面面关系有关命题的判断 31 压轴题型8.线面垂直证明线线垂直 33 压轴题型9.锥体体积的有关计算 37 压轴题型10. 判断面面是否垂直 40 02 易错题型 易错题型一　 线面关系判断错误 例题:下列说法中，正确的有（    ） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 巩固训练 1.已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为 ． ①若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ②若α//β，a⊂α，则a//β； ③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交． 2.设m，n是两条不同的直线，α、ß是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥ß，mα，nß，则m∥n C．若αß=m，nα，n⊥m，则n⊥ß D．若m⊥α，m∥n，nß，则α⊥ß 3.（多选）设l，m，n为不同的直线，为平面，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则l与相交 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错题型二　 面面关系判断错误 例题:已知直线与平面，则能使的充分条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 巩固训练 1.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点，则在平面内过点B的所有直线中（    ） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 (　　) A．1个或2个 B．0个或1个 C．1个 D．0个 易错题型三　 几何体表面积和体积计算错误 例题: 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（    ）    A． B． C．12 D．8 巩固训练 1.正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 3.若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为﹙      ﹚ A．1 B．3 C．2 D． 易错题型四　 斜二测画法理解错误 例题:用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 巩固训练 1.正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（     ） A． B． C． D． 2.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，与轴交于点，其中，，则原图形的面积是（    ） A．24 B． C． D．12 3.已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（    ） A．5 B． C． D． 03 压轴题型 压轴题型1线面关系有关命题的判断 例题:下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 巩固训练 1.下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 2.如图，在下列四个正方件中，A，B为正方件的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是(    ) A． B． C． D． 3.已知直线和平面，给出四个论断：①；②；③；④，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的命题： . 压轴题型2.几何体的外接球和内切球问题 例题:设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，，，且，则球O的体积为（    ） A．48π B． C．12π D． 巩固训练 1.（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为2 D．线段的最大值为 2.如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（    ）    A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为 B．圆台的全面积为 C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为 D．从点经过圆台的侧面到点的最短距离为 3.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论中正确的是 . ①平面平面； ②过点，，的截面可能为五边形； ③的最小值为； ④三棱锥内切球半径最大值为；    压轴题型3. 线面垂直与面面垂直的综合应用 例题:（多选）有下列四个正方体，A，B是正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，其中能得出∥平面的有（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 2.一个三棱锥每个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面射影一定是底面三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 压轴题型4.异面直线的判定 例题:若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是(    ) A．l至少与a，b中一条相交 B．l至多与a，b中一条相交 C．l至少与a，b中一条平行 D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行 巩固训练 1.异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(    ) A．20 B．9 C． D． 2.如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D．与是异面直线 3.[多选]如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（　　） A．直线与直线相交 B．与共面 C．与是异面直线 D．与垂直 压轴题型5.判断正方体的截面形状 例题:如图，在正方体中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（   ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 巩固训练 1.如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是（    ） A．直角三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．梯形 3.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（    ） A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形 压轴题型6.棱柱的结构特征和分类 例题:下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 巩固训练 1.下列命题错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 2.观察下图，分别判断①中的三棱镜和②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对. 压轴题型7.面面关系有关命题的判断 例题:下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 巩固训练 1.平面与平面平行的一个充分条件是（    ） A．上有两条直线与平行； B．上有无数条直线与平行； C．上任一直线与平行； D．上有一直线，且β上有一直线． 2.已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 压轴题型8.线面垂直证明线线垂直 例题:如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 巩固训练 1.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2.如图所示正方体中，与对角面所成的角是（    ）． A． B． C． D． 3.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 压轴题型9.锥体体积的有关计算 例题:已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（    ）（忽略制作过程中的损耗，） A． B． C． D． 2.用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 3.如图，在正四棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．正四棱锥的体积为 D．平面平面 压轴题型10. 判断面面是否垂直 例题:设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 巩固训练 1.给出下列命题：①平行六面体是四棱柱；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③棱台的侧棱延长后交于一点；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（   ）    A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD 3.已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 立体几何初步 01 思维导图 目录 易错题型一　 线面关系判断错误 1 易错题型二　 面面关系判断错误 3 易错题型三　 几何体表面积和体积计算错误 4 易错题型四　 斜二测画法理解错误 7 压轴题型1线面关系有关命题的判断 9 压轴题型2.几何体的外接球和内切球问题 13 压轴题型3. 线面垂直与面面垂直的综合应用 18 压轴题型4.异面直线的判定 23 压轴题型5.判断正方体的截面形状 26 压轴题型6.棱柱的结构特征和分类 30 压轴题型7.面面关系有关命题的判断 31 压轴题型8.线面垂直证明线线垂直 33 压轴题型9.锥体体积的有关计算 37 压轴题型10. 判断面面是否垂直 40 02 易错题型 易错题型一　 线面关系判断错误 例题:下列说法中，正确的有（    ） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】运用直线与平面位置关系辨析即可. 【详解】如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误； 如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确； 对于③显然有无数条所以③错误； 而④，也有可能相交，所以④错误. 故选：B 巩固训练 1.已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为 ． ①若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ②若α//β，a⊂α，则a//β； ③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交． 【答案】② 【知识点】异面直线的判定、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】①③可举出反例，②可以从线面平行的判定进行判断 【详解】①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误； ②由面面平行得a与β没有公共点，故②正确； ③中直线a与平面β有可能平行，故③错误． 故答案为：② 2.设m，n是两条不同的直线，α、ß是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥ß，mα，nß，则m∥n C．若αß=m，nα，n⊥m，则n⊥ß D．若m⊥α，m∥n，nß，则α⊥ß 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或异面，A错； 若α∥ß，mα，nß，则可能平行也可能异面，B错； 若αß=m，nα，n⊥m，如果有，则有，如果没有，则与不一定垂直，C错； 若m⊥α，m∥n，则，又nß，则α⊥ß，D正确． 故选：D． 3.（多选）设l，m，n为不同的直线，为平面，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则l与相交 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线平行、平行公理、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面垂直的定义判断A；利用线面垂直的判定、性质结合平行公理判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由知，直线与平面有唯一公共点，即有l与相交，A正确； 对于B，由线面垂直的判定定理知，没有“m，n相交”的条件，不能推出，B不正确； 对于C，因，则，又，所以，C正确； 对于D，因，则，而，所以，D正确. 故选：ACD 易错题型二　 面面关系判断错误 例题:已知直线与平面，则能使的充分条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、充分条件的判定及性质 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误； 对于B，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B错误； 对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误； 对于D，，存在直线，满足，又，， ，，D正确. 故选：D. 巩固训练 1.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点，则在平面内过点B的所有直线中（    ） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 【答案】D 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】利用面面平行的性质即可得到答案。 【详解】因为直线与点可确定一个平面， 该平面与平面的交线即为在平面内过点B，且与直线平行的直线， 所以只有唯一一条. 故选：D 2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 (　　) A．1个或2个 B．0个或1个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】判断线面平行、补全面面平行的条件 【详解】若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在;故选B. 易错题型三　 几何体表面积和体积计算错误 例题: 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（    ）    A． B． C．12 D．8 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据球和正方体的几何特征，结合勾股定理可求解球半径，由表面积公式即可求解. 【详解】设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即为2，根据截面圆的周长为可得，解得，由题意知，∴该球的表面积为. 故选：A. 巩固训练 1.正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【知识点】正棱柱及其有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】设出正棱柱的各个边长，根据题意列方程求解. 【详解】    根据正四棱柱的定义，正四棱柱有两个正方形作为底面，侧棱和底面垂直的几何体， 如图所示. 设正方形边长为，侧棱长为，依题意得：， 两式相除得到：，即， 当时，联立，解得； 当时，联立，解得. 于是共有两个四棱柱符合题意. 故选：C 2.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【详解】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 3.若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为﹙      ﹚ A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【知识点】球的体积和表面积 【分析】根据球的体积和表面积相等解出半径即可． 【详解】令球的半径为， 由题意得，且，解得，故选B． 【点睛】本题考查球体的体积与表面积公式． 易错题型四　 斜二测画法理解错误 例题:用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案. 【详解】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴， 所以在直观图中∠A′等于45°或135°. 故选：C 巩固训练 1.正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】画出直观图，由此计算出直观图的面积. 【详解】原图中：设是的中点，则，. 直观图中：，， 所以. 故选：D 2.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，与轴交于点，其中，，则原图形的面积是（    ） A．24 B． C． D．12 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据所给的数据求出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积，得到原图形的面积是，得到结果． 【详解】矩形是一个平面图形的直观图，其中，， 直观图的面积是 直观图的面积：原图的面积 原图形的面积是. 故选：B 3.已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解 【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4和3， 斜边上的中线长度为 故选：C 03 压轴题型 压轴题型1线面关系有关命题的判断 例题:下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】利用直线与平面的位置关系，逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线与平面平行，则与平面没有公共点，与平面内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. 故选：B 巩固训练 1.下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 【答案】A 【知识点】判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线与平面平行的定义判断A，根据直线与平面的位置关系判断BCD. 【详解】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 2.如图，在下列四个正方件中，A，B为正方件的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】面面平行证明线面平行、证明面面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】对于选项A：结合已知条件利用线线平行证明面面平行，然后利用面面平行的性质证明线面平行；对于选项BD：利用线线的位置关系即可判断线面的位置关系；对于选项C：利用线面平行的判定定理即可求解. 【详解】对于A选项：过A作正方体的面对角线，且，如下图所示： 由已知条件可知，， 又因为，， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项：连接正方体底面对角线BC和EF，相交于O，且BC与MP交于H，连接ON， 如下图所示： 由上图可知，O为的中点，故， 因为与平面相交，所以也与平面相交，故B错误； 对于选项C：连接NP所在面的正方体的面对角线EF，且，如下图所示： 由已知条件和正方体的结构特征可知，， 因为平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于选项D：连接NP所在面的正方体的面对角线EF，且，如下图所示： 因为EF和NP相交，且平面，所以EF和平面相交， 从而与平面相交，故D错误. 故选：AC. 3.已知直线和平面，给出四个论断：①；②；③；④，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的命题： . 【答案】②③④① 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定，逐个分析①②③④作为结论时是否正确即可 【详解】若①为结论则：当，，时，因为，，则或 ，又，故成立； 若②为结论则：当，，时，因为且，故或 ，结合不能推出，故不成立 压轴题型2.几何体的外接球和内切球问题 例题:设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，，，且，则球O的体积为（    ） A．48π B． C．12π D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由题知球为以2为棱长的正方体的外接球. 【详解】，，，且 球可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为, ，即， 球O的体积. 故选：B. 巩固训练 1.（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为2 D．线段的最大值为 【答案】ABC 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】设正方体的棱长为，即可求出正方体的内切球与外接球半径，进而求出的最小值，由此求出的值，然后对应各选项一一判断即可得出答案. 【详解】设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即． ∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点， ∴，解得， ∴正方体的棱长为2，C正确． 正方体的外接球的表面积为，A正确． 正方体的内切球的体积为，B正确， 线段的最大值为，D错误． 故选：ABC． 2.如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（    ）    A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为 B．圆台的全面积为 C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为 D．从点经过圆台的侧面到点的最短距离为 【答案】ABD 【知识点】余弦定理解三角形、圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】取圆台的轴截面，利用线面角的定义可判断A选项；利用圆台的表面积公式可判断B选项；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圆半径，即为圆台的外接球半径，可判断C选项；将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开，结合余弦定理可判断D选项. 【详解】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，    由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形， 且，，， 在和中，，，， 所以，，所以，， 因为，，，则四边形为矩形，且， 同理可证四边形为矩形，则，且， 所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为， 所以，，则， 所以，，A对； 对于B选项，圆台的全面积为，B对； 对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且， 由勾股定理可得，且， 所以，圆台的外接球直径为，则，B错； 对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：    延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且， 易知、分别为、的中点，所以，， 设，则，则， 在中，，，， 由余弦定理可得， 因此，从点经过圆台的侧面到点的最短距离为，D对. 故选：ABD. 3.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论中正确的是 . ①平面平面； ②过点，，的截面可能为五边形； ③的最小值为； ④三棱锥内切球半径最大值为；    【答案】①④ 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、平面的基本性质的有关计算、证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；找到过点，，的截面截面即可判断②；将将平面沿着折起和平面成为同一个平面，在平面内求判断③；根据等体积法求得三棱锥内切球半径最大值判断④. 【详解】对于①，平面即平面，平面即平面，    在正方体中，平面， 且平面，故平面平面， 即平面平面，①正确； 对于②，由为线段上的动点，且, 即四边形为平行四边形，故过点，，的截面即为四边形，②错误； 对于③，将平面沿着折起和平面成为同一个平面，      则线段的长即为的最小值， 在中，， 则，③错误； 对于④，当P点位于B点时，三棱锥体积最大， 此时其内切球半径最大， 而， 设内切球半径为r，则， 即，④正确， 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：解决的最小值问题，要能将空间两平面展为一个平面来解决，即采用空间问题平面化的方法；解决三棱锥内切球半径最大的问题时要确定三棱锥体积最大时取得，利用割补思想，采用等体积法解决. 压轴题型3. 线面垂直与面面垂直的综合应用 例题:（多选）有下列四个正方体，A，B是正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，其中能得出∥平面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断线面是否垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面平行的判定定理结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为M，N，P分别为其所在棱的中点，所以∥，∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以∥平面，所以A正确， 对于B，如图，连接，交于点，连接，因为四边形为正方形， 所以为的中点，因为为的中点，所以∥，因为与平面交于点， 所以与平面相交，所以B错误， 对于C，如图，连接，因为分别为分别为的中点， 所以∥，∥，因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为平面，， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面，所以C正确， 对于D，如图，连接，因为分别为的中点，所以∥， 因为和平行且相等，所以四边形为平行四边形，所以∥， 所以∥，因为平面，平面， 所以∥平面，所以D正确， 故选：ACD 巩固训练 1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】ABD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确． 【详解】解：矩形，矩形， ，故正确． 若，则平面， 又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直， 故不正确，故不正确； 矩形， ，， 平面，，故正确； 矩形， 由三垂线定理得，故正确； 故选：． 2.一个三棱锥每个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面射影一定是底面三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】三棱锥中，作底面，垂足为，作，垂足为，连接OD，作，垂足为，连接OE，作，垂足为，连接OF，找出二面角的平面角，结合三角形的内心的定义，即可得出结论． 【详解】三棱锥中，作底面，垂足为， 作，垂足为，连接OD，作，垂足为，连接OE，作，垂足为，连接OF，如图． ∵底面，底面，∴， 又，，面，∴底面， ∵面，∴，同理可得， 可得为侧面与底面所成角的平面角，为侧面与底面所成角的平面角，为侧面与底面所成角的平面角， 又，， 所以，即为的内心． 故选：B． 3.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 【答案】B 【知识点】判断线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系， B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断. C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断， D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，. B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误； A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确； C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确； D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 故选：B 压轴题型4.异面直线的判定 例题:若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是(    ) A．l至少与a，b中一条相交 B．l至多与a，b中一条相交 C．l至少与a，b中一条平行 D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行 【答案】A 【知识点】异面直线的判定 【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误. 【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面. 若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对； 当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.    故选：A. 巩固训练 1.异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(    ) A．20 B．9 C． D． 【答案】B 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面，据此即可求解． 【详解】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面， 故过a上任一点与直线b(或直线b上两点)可确定一个平面，∵a上有4个点，故共可确定4个平面； 过b上任一点与直线a(或直线a上两点)可确定一个平面，∵b上有5个点，故共可确定5个平面； 故共可确定9个平面． 故选：B． 2.如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D．与是异面直线 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、异面直线的判定 【分析】根据所给条件和线面关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A，如图所示，连接， 因为点为中点， 所以，在正方体中易得， 所以，故A正确； 对B，如图所示，连接交于点， 连接，与交于点，连接， 在正方体中，易得，， 所以四边形为平行四边形， 则，又为中点， 点在上，则易知点为的中心点， 因为点为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面，故B正确； 对C，如图所示，连接， 在正方体中，易知， 所以平面，又平面， 所以， 又为，中点， 则，又，所以， 所以平面，故C正确； 对D，如图所示，连接， 易知：又， 则，所以与共面，故D错误. 3.[多选]如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（　　） A．直线与直线相交 B．与共面 C．与是异面直线 D．与垂直 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系，异面直线成角的概念，结合几何图形，逐项判断，即可得到结果. 【详解】因为且，所以四边形为梯形，所以与必相交，故A正确． 由几何图形可知，与是异面直线，故B错误， 结合几何图形和异面直线的概念，可知与是异面直线，故C正确． 因为，所以与所成的角就是与所成的角， 又为的中点，为正三角形，所以，即与所成的角为，故D正确． 故选：ACD. 压轴题型5.判断正方体的截面形状 例题:如图，在正方体中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（   ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】对分类讨论，分别画出所对应的截面图形，即可判断； 【详解】解：当，即F与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形 ； 当时，如图2，截面为平行四边形AEGF； 当时，如图3，截面为五边形AEGHF， 当，即F与重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF． 故选：D 巩固训练 1.如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【知识点】判断正方体的截面形状、面面平行证明线线平行 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 2.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是（    ） A．直角三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．梯形 【答案】CD 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据题意，依次作出对应的截面，并判断即可得答案. 【详解】对于A选项，如图1，作出的截面为三角形，但为锐角三角形，不可能为直角三角形，故A选项错误； 对于B选项，如图2，过正方体的一个顶点作截面，可以得到截面为五边形，但该五边形不是正五边形，故B选项错误； 对于C选项，如图3，取各边的中点，连接的截面即为正六边形，故C选项正确； 对于D选项，如图4，所做的截面为梯形，故D选项正确. 故选：CD 3.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（    ） A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形 【答案】BCD 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的几何性质，结合截面的性质、余弦定理进行逐一判断即可. 【详解】如图所示，截面， 设，，， ∴，，， ， 同理，，，即为锐角， ∴为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选； 如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选 如图截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选． 故选：BCD 压轴题型6.棱柱的结构特征和分类 例题:下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误； 【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确； B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误； C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误； D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误. 故选：A 巩固训练 1.下列命题错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 【答案】ABD 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误，用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误，C正确，棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，得到答案. 【详解】棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确； 棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误. 故选：ABD. 2.观察下图，分别判断①中的三棱镜和②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对. 【答案】图①中有1对，图②中有4对互相平行的平面；图①中有1对，图②中有1对可以作为棱柱的底面. 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据三棱柱和六棱柱的性质计数即可. 【详解】根据三棱柱的性质，只有两个底面是互相平行的，根据正六棱柱的性质，可知图②中有四对互相平行的平面，但能够作为棱柱的底面的都是只有一对，分别是ABC-A'B'C'和ABCDEF-A'B'C'D'E'F'. 3.正棱锥的侧面是什么图形？ 【答案】全等的等腰三角形 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】由正棱锥的定义即可求解. 【详解】由正棱锥的定义可知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 压轴题型7.面面关系有关命题的判断 例题:下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据点线面位置关系及平面的基本性质推理判断各个选项； 【详解】对于A，若 ，则 或 故A错误. 对于B，若 ，则 或a与b异面，故B错误. 对于C，若 ，则a上的所有点都是a与平面α的公共点，故a与平面α有无数个公共点，故C正确. 对于D，若，则 或a与平面α相交，若a与平面α相交，则a与α有且只有一个公共点，故D错误. 故选: C. 巩固训练 1.平面与平面平行的一个充分条件是（    ） A．上有两条直线与平行； B．上有无数条直线与平行； C．上任一直线与平行； D．上有一直线，且β上有一直线． 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断. 【详解】对于A，若平面内有两条直线与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误； 对B，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误； 对于C，平面上任一直线与平面平行，则平面内一定有两相交直线与平面平行， 由面面平行的判定定理可得平面与平面平行，故C正确； 对于D，上有一直线，且β上有一直线，当时，平面与平面可能平行或相交，故D错误. 故选：C. 2.已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与 不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断. 【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项A正确， 对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误， 对于选项C：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项C正确， 对于选项D：若，，， 设，， 在平面中作一条直线，则， 在平面中作一条直线，则， ，， 又，，， 故选项D正确， 故选：B. 3.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可 【详解】对于A：，且，则，故A错误； 对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确； 对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误； 对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误； 故选：B 压轴题型8.线面垂直证明线线垂直 例题:如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面垂直的性质即可判断作答. 【详解】依题意，，，则，即都是直角三角形， 又，则，而，，平面，因此，平面， 平面，即，又AD是的斜边上的高，点D与B，C都不重合， 于是得都是直角三角形， 所以给定图中共有8个直角三角形. 故选：D 巩固训练 1.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则ABC的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】首先做出辅助线，根据平面ABD⊥平面BCD以及所作辅助线可得AE⊥平面BCD，进而得到AE⊥BC，利用DA⊥平面ABC，可得到DA⊥BC，通过线面垂直即可证得BC⊥AB，因此可判断三角形的形状. 【详解】作AE⊥BD于E 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD=BD 所以AE⊥平面BCD 又因为BC⊂平面BCD，所以AE⊥BC 而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC 所以DA⊥BC， 又因为AE∩AD=A，所以BC⊥平面ABD 而AB⊂平面ABD，所以BC⊥AB 即ABC为直角三角形. 故选：B. 2.如图所示正方体中，与对角面所成的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的概念及辨析、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】结合正方体性质和线面垂直性质和判定定理可得平面，然后根据线面夹角的定义即可求解. 【详解】由正方体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，所以平面， 故OB为在平面上的射影， 从而为与平面所成的角． 故选：D. 3.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】C 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接，由，，可证平面，利用线面垂直的性质即可证明． 【详解】解：如图，连接，在长方体中，平面，平面，所以， 又，即矩形为正方形， ， ，平面， 平面， 平面， ，故C正确． 对于A：与为异面直线，故A错误； 对于B：因为，显然与平面相交，故与平面相交，即B错误； 对于D：设，连接，不妨令， 所以，，，所以与不相似，故与不垂直，故与平面不垂直，故D错误. 故选：C． 压轴题型9.锥体体积的有关计算 例题:已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：C. 巩固训练 1.在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（    ）（忽略制作过程中的损耗，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据正方体，球及圆锥的体积公式即得. 【详解】由题可知正方体胶泥的体积为， 每个冰激淋胶泥的体积为， 所以12个冰激淋胶泥的体积为， 所以. 故选：B. 2.用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解 【详解】令圆锥底面半径为，则，因此 圆锥的高为： 圆锥的体积 故选：B 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的面积及圆锥的体积，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题 3.如图，在正四棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．正四棱锥的体积为 D．平面平面 【答案】AB 【知识点】证明异面直线垂直、判断面面是否垂直、锥体体积的有关计算 【分析】根据几何体中点线面的位置关系进行逐项判断. 【详解】解： A选项：如图，连，相交于，连，由，，可得平面，故，A选项正确； B选项：由，，可得，故B选项正确； C选项：，可得，故C选项不正确； D选项：过点作直线平行于，取的中点，的中点，连，由可知，为平面与平面的交线，由，，可得为平面与平面的夹角，由，，可知不为直角，故平面与平面不垂直，故D选项不正确. 故选：AB 压轴题型10. 判断面面是否垂直 例题:设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断面面平行 【分析】由线面垂直的判定定理可判断选项A，利用面面平行的判定定理分析选项B，线面垂直的性质定理可判断选项C，面面垂直的判定定理判断选项D. 【详解】解：对于A，符合直线和平面垂直的判定定理，A正确； 对于B，平面，可能相交，B错误； 对于C，符合直线和平面垂直的性质，C正确； 对于D，符合平面和平面垂直的判断定理，D正确； 故选：B． 巩固训练 1.给出下列命题：①平行六面体是四棱柱；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③棱台的侧棱延长后交于一点；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类、判断面面是否垂直、棱柱的结构特征和分类 【分析】对于①，由平行六面体的定义判断即可；对于②，利用面面垂直的判定定理判断；对于③④，由棱台的定义判断 【详解】解：对于①，因为底面是四边形的四棱柱是平行六面体，所以平行六面体是四棱柱，所以①正确； 对于②，设三棱锥中，侧棱，因为交于一点，所以平面,平面,平面，因为平面,平面，所以平面平面，平面平面，同理可得平面平面，所以②正确； 对于③，由棱台的定义可知棱台的侧棱延长后交于一点，所以③正确； 对于④，当用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，所以④错误， 所以正确的有3个， 故选：C 2.在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（   ）    A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD 【答案】C 【知识点】判断面面是否垂直 【分析】由面面垂直的判定定理对选项逐一判断 【详解】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD为矩形 而 平面，平面 平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD 又 平面，平面PBC⊥平面PAB 选项A，B，D可证明 故选：C 3.已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【知识点】证明面面垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理说明即可. 【详解】由面面垂直的判定定理知，任何过的平面都垂直于平面， 所以这样的平面有无数个． 故选：C / 学科网（北京）股份有限公司 $$