专题07 一次函数 （12大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题07 一次函数 题型概览 题型01正比例函数 题型02求一次函数自变量或函数值 题型03判断一次函数图像 题型04一次函数图像与坐标轴交点问题 题型05画一次函数图像 题型06一次函数图像平移问题 题型07判断一次函数的增减性 题型08比较一次函数值的大小 题型09求一次函数解析式 题型10由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型11由两条直线的交点求不等式的解集 题型12两直线交点与二元一次方程组的解 ( 题型01 ) 正比例函数 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若关于的函数是正比例函数，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建三明·期末）在下列函数中，正比例函数是(   ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点，均在直线（k为常数且）上，则a的值为 ． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建·期末）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 6．（23-24八年级下·福建·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由． ( 题型02 ) 求一次函数自变量或函数值 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列各点中，不在直线上的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点 ． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 9 7 5 3 4 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为3时，输出的y值为________； (2)求当时解析式． 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数的图象上，求点的坐标． 11．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由． ( 题型03 ) 判断一次函数图像 12．（24-25八年级上·福建三明·期末）已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线经过，则 ． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． ( 题型0 4 )一次函数图像与坐标轴交点问题 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 16．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知直线经过点，交y轴于点A． (1)求k的值； (2)若点B为该直线上一点，且的面积为3，求点B的坐标． 18．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线与，轴分别交于点A，，直线与，轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，求证：四边形是平行四边形． 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)求直线的解析式； (2)若点P为x轴上一动点，的面积为8，求点P的坐标． 20．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． ( 题型0 5 )画一次函数图像 21．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图像． (2)当自变量取何值时，函数与的值相等?这个函数值是多少? 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数的图象经过点和点，O为坐标原点． (1)求该一次函数的表达式，并画出图象； (2)点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 24．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数 (1)在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点和都在该函数图像上，请比较n与q的大小． 25．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象经过点，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）．    ( 题型0 6 )一次函数图像平移问题 26．（23-24八年级下·福建泉州·期末）将直线向上平移2个单位长度后，得到的直线解析式是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·福建泉州·期末）将直线平移，使之经过点，则平移后的函数解析式为 ． 28．（23-24八年级下·福建福州·期末）将直线向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·福建福州·期末）将正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 ． 30．（23-24八年级下·福建·期末）已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点． ( 题型0 7 )判断一次函数的增减性 31．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 32．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知点，在一次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 33．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）请写出符合以下条件的一个函数的解析式 ．①过点；②当时，y随x的增大而增大． 34．（23-24八年级下·福建漳州·期末）点是直线上的两点，则 ．（填“”，“”或“”) 35．（23-24八年级下·福建莆田·期末）【课本原型】人教版八年级下期数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数图象上有两点和，当时，求m的取值范围． ( 题型0 8 )比较一次函数值的大小 36．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知直线经过两点，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·福建泉州·期末）直线上有三个点， ， ．则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·福建·期末）已知点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） ( 题型0 9 )求一次函数解析式 40．（23-24八年级下·福建莆田·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为，，则直线AB的解析式为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别在轴，轴上，点的坐标是，连接，若，则直线的解析式是 ． 43．（23-24八年级下·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，直线向下平移三个单位后经过点，则的值为（    ） A．5 B．3 C．0 D． 44．（23-24八年级下·福建·期末）一次函数的图像于轴、轴分别交于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为 ．    ( 题型 10 )由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 45．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）一次函数 （是常数）的图象经过两点，则关于的不等式 的解集是 ． 48．（23-24八年级下·福建泉州·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集是 ． ( 题 型11 )由两条直线的交点求不等式的解集 51．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数与正比例函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 52．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知两个一次函数与()的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．      53．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，一次函数与的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 54．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知直线与直线相交于点 (1)求直线与直线的解析式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 55．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若直线与（1）的函数图象交于点，则关于x的不等式的解集为______． ( 题 型12 )两直线交点与二元一次方程组的解 56．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数与的图象交于，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 57．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 58．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数与（，是常数）的图象的交点横坐标是，则关于，的方程组，的解是 ． 59．（23-24八年级下·福建·期末）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ．    61．（23-24八年级下·福建·期末）已知二元一次方程组的解为,则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建·期末）等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 3．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（　　）． A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系中，，，则坐标原点O关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对于正比例函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象从左到右呈上升趋势 B．函数的图象经过第一、三象限 C．函数的图象与y轴正半轴的夹角为 D．图象向上平移2个单位后的表达式为 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建·期末）兄弟两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向跑步米，且过程中各自保持匀速． 已知弟弟先出发秒． 在跑步过程中，兄弟两人之间的距离（米）与哥哥出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则图中表示的是 米 7．（23-24八年级下·福建·期末）新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限． 三、解答题 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜上发生反射，D为入射点，反射光线与直线相交于点E．若，，． (1)________（填“”“”或“”）； (2)若，求点E的坐标； (3)若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜的高度． 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过，，三点，点在轴上方，点在轴正半轴上，且，连接，，已知． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)分别在线段，上取点，，使得轴；在轴上取一点，连接，，．探究：是否存在点，使得，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴，y轴交于点A，B，x轴上--点C在点A右侧，且． (1)求点A的坐标；． (2)将点C向下平移2个单位长度得到点D，若，求k的值；． (3)已知过点C的直线分别与线段，交于E，F两点，若，求k与n之间的等量关系． 14．（23-24八年级下·福建福州·期末）设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线于点P． (1)如图1，当时，求点P的坐标________； (2)当时，记点，点Q是y轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点M在直线x=3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连．在运动过程中，直线交x轴于点N，求出与的数量关系． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数 题型概览 题型01正比例函数 题型02求一次函数自变量或函数值 题型03判断一次函数图像 题型04一次函数图像与坐标轴交点问题 题型05画一次函数图像 题型06一次函数图像平移问题 题型07判断一次函数的增减性 题型08比较一次函数值的大小 题型09求一次函数解析式 题型10由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型11由两条直线的交点求不等式的解集 题型12两直线交点与二元一次方程组的解 SHAPE \* MERGEFORMAT 正比例函数 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，把形如 的函数叫作正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵ 关于 的函数 是正比例函数， ∴ ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建三明·期末）在下列函数中，正比例函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的识别．熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如 ，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，是一次函数，不是正比例函数； B、 ，是一次函数，不是正比例函数； C、 ，是正比例函数； D、 ，是二次函数，不是正比例函数； 故选C． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点 ， 均在直线 （k为常数且 ）上，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查正比例函数的图象，将 代入 ，求出 的值，再将 代入，求出 的值即可． 【详解】解：把 ，代入 ，得 ， ∴ ， 把 代入 ，得： ； 故答案为：4． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点 ， ， 都在正比例函数 的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据 可得， 随 的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵点 ， ， 都在正比例函数 的图象上， ， ∴ 可得， 随 的增大而减小， ∴ . 故选：B． 5．（23-24八年级下·福建·期末）关于函数 ，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．当 时， ， ∴函数 的图象不经过点 ，故不符合题意； B．∵ ， ∴函数 的图象经过第二、四象限，故符合题意； C．∵ ， ∴y随x的增大而减小，故不符合题意； D．当 时， ，故不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级下·福建·期末）已知 与 成正比例，当 时， ． (1)求 与 的函数表达式； (2)试判断点 是否在（1）中的函数图像上，请说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数的图像上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设 ，再由当 时， ，求出 的值即可得解； （2）当 时，求出 的值，与 进行比较即可． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 与 成正比例， 设 ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 与 的函数表达式为 ； （2）点 不在（1）中的函数图像上，理由如下： 在 中，当 时， ， 点 不在（1）中的函数图像上． SHAPE \* MERGEFORMAT 求一次函数自变量或函数值 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列各点中，不在直线 上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将各个选项的坐标代入函数解析式，计算即可得出答案． 【详解】解：A、当 时， ，故 在直线 上，不符合题意； B、当 时， ，故 在直线 上，不符合题意； C、当 时， ，故 不在直线 上，符合题意； D、当 时， ，故 在直线 上，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对任意实数m，直线 经过一个定点，这个定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将解析式变形为 ，结合题意得出 ，计算即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵对任意实数m，直线 经过一个定点， ∴ ， ∴ ，此时 ， ∴定点为 ， 故答案为： ． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 9 7 5 3 4 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为3时，输出的y值为________； (2)求当 时解析式． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、求函数值等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）把 代入 中即可求出y的值即可； （2）将 和 代入 中即可求出解析式． 【详解】（1）解：由示意图知当 时， , 令 ，则 ． 故答案为：6． （2）解：由示意图知当 时， , 将 和 代入得， ，解得： ， 所以当 时解析式为 ． 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ． (1)求该函数的表达式； (2)若点 在该函数的图象上，求点 的坐标． 【答案】(1)该函数的表达式为 (2)点 的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将 代入一次函数解析式求出 的值即可得解． 【详解】（1）解：将 代入 中，得 解得 ∴该函数的表达式为 （2）解：∵点 在该函数的图象上 ∴ 解得 ∴点 的坐标为 ． 11．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，一次函数 的图象经过 ， 两点． (1)求一次函数的解析式； (2)试判断点 是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和求一次函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据）（1）所求，求出当 时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：把 ， 代入 得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为 ， （2）解：点 不在该函数图象上，理由如下： 在 中，当 时， ． ∴ 不在该函数图象上． SHAPE \* MERGEFORMAT 判断一次函数图像 12．（24-25八年级上·福建三明·期末）已知一次函数 ， 随 的增大而减小，且 ，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． ，图象过第一，三象限； ，图象过第二，四象限． ，图象与 轴正半轴相交； ，图象过原点； ，图象与 轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解： 一次函数 ， 随着 的增大而减小， ， 又 ， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线 经过 ，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是将点的坐标代入． 把点 代入 即可得答案． 【详解】解：把点 代入 得， ， 故答案为：3． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）若一次函数 的图象经过点 ， ． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点 是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． 【答案】(1) (2)点 不在函数图象上，而在直线下方 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象， （ ）利用待定系数法解答即可求解； （ ）把 代入（ ）得到的函数表达式中，求出 的值，与点 的纵坐标比较即可判断； 【详解】（1）将 ， 代入 ， 可得： ， 解得： ， 故所求一次函数表达式为 ； （2）解：当 时， ， ∵ ， ∴点 不在函数图象上，而在直线下方． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数图像与坐标轴交点问题 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数 的图象向上平移 个单位后，与 轴、 轴分别相交于 两点，则 的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点 坐标，从而求得 的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数 的图象向上平移 个单位， ∴平移后得解析式为 ， 当 时， ；当 时， ； ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 的面积等于 ， 故答案为： ． 16．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟知一次函数图像上各点的坐标一定满足此函数解析式是解答本题的关键． 求一次函数图像与x轴的交点坐标，令 ，求出x值即可． 【详解】解：根据题意， 当 时， ， 解得： ，即一次函数的图象与轴的交点坐标是 ， 故选：B． 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知直线 经过点 ，交y轴于点A． (1)求k的值； (2)若点B为该直线上一点，且 的面积为3，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程，根据点A、B的坐标及 的面积求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把 代入解析式求得 ，设点B坐标为 ，利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线 经过点 ， 把点 代入得， ， 解得 ； （2）解：把 代入 得， ， ∴ ， 设点B坐标为 ， ∵ 的面积为3， ∴ ， 解得 ， ∴点B坐标为 或 ． 18．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线 与 ， 轴分别交于点A， ，直线 与 ， 轴分别交于点 ， ． (1)求直线 的解析式； (2)若点 在直线 上，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，坐标与图形及平行四边形的判定， （1）用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）先求出 ，求出四边形 四个顶点坐标进行证明． 【详解】（1）解：设直线 的解析式分别为 ， 将点 代入 ， 可得 ， 解得 ， ； （2）解：点 在直线 上， 把 代入 ，则 ， ， 直线 与 ， 轴分别交于点 ， ， 当 时， ，即 ， 当 时，解得 ，即 ， 如下图： 轴， ， 四边形 是平行四边形． 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线 与x轴，y轴分别交于点 ，点 ． (1)求直线 的解析式； (2)若点P为x轴上一动点， 的面积为8，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 或 ． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征， （1）先利用 轴上点的坐标特征得到 ，解得 ，则 点坐标为 ，然后利用待定系数法求直线 的解析式； （2）设 点坐标为 ，利用三角形面积公式得到 ，然后解方程求出 ，从而得到 点坐标． 【详解】（1）解： 在 轴上， ， 解得 ， 点坐标为 ， 把 ， 分别代入 得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）设 点坐标为 ， 的面积为8， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 ， 点坐标为 或 ． 20．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ； (3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3) 或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数 的图象如图： 令 ，解得 ，令 ，则 ， ∴直线与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当 时，y的取值范围为 ， 故答案为： ； （3）解：将直线 沿y轴平移3个单位长度得 ，即 或 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 画一次函数图像 21．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数 ． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若 和 是一次函数 图象上的两点，比较 和 的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) ，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出 时， ， 时， ，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出 随 的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当 时， ，当 时， ， 列表如下： 描点，该函数的图象如下： （2）∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∵ ， ∴ ． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数 ． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图像． (2)当自变量 取何值时，函数 与 的值相等?这个函数值是多少? 【答案】(1)见解析 (2)当自变量 时，函数 与 的值相等，这个函数值是2 【分析】本题主要考查画一次函数图像，由图像确定函数函数值： （1）运用列表，描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图像，便可以得到自变量的值和函数值． 【详解】（1）解：列表得， ⋯ 0 2 ⋯ ⋯ 0 ⋯ 描点，连线得： （2）解：解：列表得， ⋯ 0 5 ⋯ ⋯ 5 0 ⋯ 描点，连线得：（如上图） 由图像可得，两条直线相交于点 ， 所以，当自变量 时，函数 与 的值相等，这个函数值是2 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数 的图象经过点 和点 ，O为坐标原点． (1)求该一次函数的表达式，并画出图象； (2)点 在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 【答案】(1) ，见解析 (2)点 在该函数图象的上方，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，画一次函数图象： （1）利用待定系数法求出对应的一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）求出当 时y的值，若该值大于 ，则点 在一次函数图象下方，若小于 ，则点 在一次函数图象下方，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点 和点 代入 中得： ， ∴ ， ∴该一次函数解析式为 ， 函数图象如下所示： （2）解：点 在该函数图象的上方，理由如下： 在 中，当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴点 在该函数图象的上方． 24．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数 (1)在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点 和 都在该函数图像上，请比较n与q的大小． 【答案】(1)见解析 (2) ． 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线，对一次函数 取两点 、 ，过这两点作直线即可； （2）将点 和 分别代入一次函数 之中求出p，q，然后再比较大小即可． 【详解】（1）解：对于 ， 当 时， ， 当 时， ， 过点 和 作直线即为一次函数 的图象，如图所示．    （2）解： ，理由如下： 将点 和 分别代入 ， 得 ， ， ∴ ． 25．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数 的图象经过点 ，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）．    【答案】 ，图象见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及画一次函数的图象，由点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用五点法画出该函数的图象，此题得解． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ， ∴ 解得： ∴ 列表如下， 描点、连线，画出函数图象，如图所示    SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数图像平移问题 26．（23-24八年级下·福建泉州·期末）将直线 向上平移2个单位长度后，得到的直线解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，根据“上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：直线 向上平移2个单位长度后，得到的直线解析式是 ，即 ． 故选：C． 27．（23-24八年级下·福建泉州·期末）将直线 平移，使之经过点 ，则平移后的函数解析式为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查一次函数图象平移，根据平移前后 值不变，设平移后解析式为 ，把 代入即可求解． 【详解】解：设平移后解析式为 ，把 代入得： ， 解得 ， 平移后解析式为 ； 故答案为： ． 28．（23-24八年级下·福建福州·期末）将直线 向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的平移，根据题意以及解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：∵ 向下平移3个单位， ∴ ． 故选：B． 29．（23-24八年级下·福建福州·期末）将正比例函数 的图象沿 轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律得出答案即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将正比例函数 的图象沿 轴向上平移3个单位长度， ∴所得直线对应的函数表达式为 ， 故答案为： ． 30．（23-24八年级下·福建·期末）已知直线 ，将直线 向上平移5个单位后经过点 ，将直线 向下平移5个单位后经过点 ，那么直线 向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点 ． 【答案】 左 4 【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点 ，列得关于m的方程，解方程即可． 【详解】已知直线 则该直线向上平移 个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 原直线向下平移 个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 解方程组 得 ， ∴ 设它向左平移m个单位后过点 过点 即 解得： 即直线向左平移 个单位后过点 ， 故答案为：左， ． 【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 判断一次函数的增减性 31．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图是函数 的图象，则下列结论正确的有 ．①当 时， 随 的增大而减小；②若点 在该图象上，则点 必在该图象上；③点 ， 在该函数图象上，若 ，则 ；④若无论 为何值，关于 的方程 都有解，则 的取值范围是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由函数 的图象可知，当 时， 随 的增大而减小，故选项结论正确； ②函数 的图象关于 对称，点 在该图象上，且点 与点 也关于 对称，所以点 必在该图象上，故选项结论正确； ③要使 ，即 ，解得 ，故选项结论不正确； ④要使方程 都有解，即 与 有交点，所以无论 为何值，方程都有解，所以 的取值范围是 ，故选项结论正确； 故答案为：①②④． 32．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知点 ， 在一次函数 的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减少即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数 ， ， ∴y随着x的增大而减小． ， ∴ ， 故选：A． 33．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）请写出符合以下条件的一个函数的解析式 ．①过点 ；②当 时，y随x的增大而增大． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性．如果函数为一次函数，由②可知， ，再根据①过点 ，写出一个函数解析式即可． 【详解】解：当该函数为一次函数时， ∵当 时，y随x的增大而减小， ∴可设直线的解析式为 ， ∵过点 ， ∴ ， 解得： ， ∴该函数的解析式可以是 ， 故答案为： ．（答案不唯一） 34．（23-24八年级下·福建漳州·期末）点 是直线 上的两点，则 ．（填“ ”，“ ”或“ ”) 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断一次函数值的大小，根据 可得出y随x的增大而减小，比较自变量的大小即可得出答案 【详解】解：∵ ， ∴y随x的增大而减小， ∵点 是直线 上的两点，且 ， ∴ ， 故答案为： ． 35．（23-24八年级下·福建莆田·期末）【课本原型】人教版八年级下期数学课本 ，原题为：“画出函数 的图象”． 【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数 的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 0 … （1）a的值为____________； （2）在下图中画出该函数的图象； 【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项） A．函数图象关于y轴对称 B．当 时，y随x的增大而增大 C．当 时， D．函数图象与x轴围成图形的面积为4 【深入探究】函数 图象上有两点 和 ，当 时，求m的取值范围． 【答案】【初步探究】（1） ；（2）见解析；【数学思考】BD；【深入探究】 【分析】本题考查利用已学一次函数有关知识，探究求新函数解析式，画函数图象，研究函数的性质，注意数形结合．掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【初步探究】（1）由表知，当 时， ；当 时， ，把它们代入函数式 中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出 时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； 【数学思考】根据所画函数图象，逐项分析解答即可； 【深入探究】由图象知， 的图象关于直线 对称，易得P、Q两点关于直线 对称，由此得 ，即 ，代入 ，得q的取值范围，根据q的范围结合函数图象即可确定m的范围． 【详解】解：【初步探究】（1）由表知，当 时， ；当 时， ，把它们代入函数式 中，得： ，解得： ， 故函数解析式为 ； 当 时， ； 故答案为： ； （2）根据表中的数据，描点、连线，画图如下； 【数学思考】解：根据所画函数图象 函数图象关于直线 对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当 时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当 时，即 ，解得： 或 ，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于 ， 则函数图象与x轴围成图形的面积为 ，故D正确； 故选：BD； 【深入探究】解：由图象知， 的图象关于直线 对称， 和 ， P、Q两点关于直线 对称， ， 即 ，代入 ， 即 ， 解得： ； 当 时， ；当 时， ； 而当 时，函数有最小值 ，且 ， 故m的取值范围为 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 比较一次函数值的大小 36．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知直线 经过 两点，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质．由 ，利用一次函数的性质，可得出 随 的增大而减小即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ 随 的增大而减小 又∵直线 经过 两点，且 ∴ ． 故选：B． 37．（23-24八年级下·福建泉州·期末）直线 上有三个点 ， ， ．则 ， ， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”是解题的关键．由 ，利用一次函数的性质可得出 值随 值的增大而减小，结合 可得出 ，此题得解． 【详解】解： ， 值随 值的增大而减小． 又 ， ． 故选：A． 38．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数 的图象经过点 ， ， ，若 ，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由 可知 随 的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到 ． 【详解】解： 一次函数 的图象经过点 ， ， ，若 ， 随 的增大而减小， 时， ，且 ， ， 故选：D． 39．（23-24八年级下·福建·期末）已知点 和点 在一次函数 的图象上，则 ．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） 【答案】< 【分析】根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为 ， ∴该一次函数的函数值随x的增大而增大， ∵−3<1， ∴ ， 故答案为：<． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性． SHAPE \* MERGEFORMAT 求一次函数解析式 40．（23-24八年级下·福建莆田·期末）定义：点 为平面直角坐标系内的点，若满足 ，则把点A叫做“零点”，例如 都是“零点”．当 时，直线 上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键． 由题意：当 时，直线 上有“零点”，所以直线 与线段 有交点，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断． 【详解】解：由题意得：直线 与线段 有交点，其中 ， 当直线 经过 时， ， 当直线 经过 时， ， ∴m的取值范围为： ， 故选：B． 41．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为 ， ，则直线AB的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，勾股定理，等边对等角等知识，在 上取一点 ，连接 ，使得 ，得到 ，求得 ， ，从而求出 ，再用待定系数法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点 ， ∴ ， 在 上取一点 ，连接 ，使得 ，如图： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点 ， 设直线 的解析式为： ， 把点 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 故选：A． 42．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点 分别在 轴， 轴上，点 的坐标是 ，连接 ，若 ，则直线 的解析式是 ． 【答案】 【分析】由 ， ，判断 是等腰直角三角形，作 的外接圆，连接 ，如图所示，得到点 在 上，从而确定 是直角三角形，设 ，则 ， ，由两点距离公式，结合勾股定理列方程求解得到 ，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，即 是等腰直角三角形， 作 的外接圆，连接 ，如图所示： EMBED Equation.DSMT4 ， 点 必在 上，下面加以说明： 假设点 不在 上，分两种情况，如图所示： 在左图中，由圆周角定理可得 ， 又 是 的一个外角，得到 ，与 矛盾； 在右图中，由圆周角定理可得 ， 又 是 的一个外角，得到 ，与 矛盾； 综上所述，点 必在 上，则 ， ， ，则 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理可得 ，即 ，则 ， ， 设直线 的解析式是 ，将 代入得到 ， 直线 的解析式是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、两点距离公式、勾股定理、待定系数法确定函数关系式等知识，数形结合，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 43．（23-24八年级下·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，直线 向下平移三个单位后经过点 ，则 的值为（    ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，用待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出 ，再用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：直线 向下移三个单位则直线变为 ， 又∵ 经过点 ， ∴ ， 解得： ， 故选：B． 44．（23-24八年级下·福建·期末）一次函数 的图像于 轴、 轴分别交于点 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点， 是 上一动点．当 周长最小时，点 的坐标为 ．    【答案】 【分析】作 点关于 中的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 的值最小，根据中点坐标公式求出 、 点的坐标，再求出直线 的解析式，再求出与 轴的交点坐标即可． 【详解】解：作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，如图所示： ， ，即当 三点共线时， 的值最小， 长为定值， 当 的值最小时， 周长最小， ， ，点 ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， 设直线 为 ，把 ， ，代入得 ，解得 ， ， 令 ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的图像、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中 点的确定及求出直线 的解析式是解题关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 45．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式 的解集是 ，则下列各点可能在一次函数 图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据不等式 的解集是 ， ∴一次函数 图象大致如图， 根据图象可知一次函数 与 轴交点为 ， ∴根据一次函数的图象及性质可得点 有可能在 图象上， 故选： ． 46．（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线 交坐标轴于两点，则不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．看在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可以看出，x轴下方的函数图象所对应自变量的取值为 ， ∴不等式 的解集是 ． 故选：C． 47．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）一次函数 （ 是常数）的图象经过两点 ，则关于 的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象以及一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数 （ 是常数）的图象经过两点 ，画出函数图象，结合函数图象，求解即可． 【详解】解：一次函数 （ 是常数）的图象经过两点 可得图象如下： 根据图象可得：不等式 的解集为 ． 故答案为： 48．（23-24八年级下·福建泉州·期末）一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，则关于 的不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用一次函数图象求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点问题，利用 的图象与 轴的交点坐标为 的结果，代入到不等式 结合 的取值范围即可求解． 【详解】解： 的图象与 轴的交点坐标为 ， 可得： ，即 ， ， ， ， ，即 ， 故选：D． 49．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式 的解集是 ，则下列各点可能在一次函数 的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键． 【详解】解：根据不等式 的解集是 可得一次函数 的图象大致为： 点 在直线的上方，点 在直线的下方，点 在直线的下方， 可能在一次函数图象上的是 ． 故选：A． 50．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，则关于 的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：当 时，函数 的图象在x轴上方， ∵一次函数 的图象与 轴交于点 ， ∴不等式 的解集为 ， 故答案为： ． SHAPE \* MERGEFORMAT 由两条直线的交点求不等式的解集 51．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数 与正比例函数 的图象如图所示，则不等式的 解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象可知 时， 的函数图象在 的下方，从而可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可看出当 ，直线 的图象在正比例函数 的图象的下方，故不等式 ．即 ， 故不等式的 解集是 ． 故答案为： ． 52．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知两个一次函数 与 ( )的图象相交于点 ，则关于 的不等式 的解集是 ．      【答案】 【分析】本题考查求一次函数图象的性质，根据两直线交点 的坐标，利用图象法得出不等式的解集即可，熟练掌握利用图象法求不等式解集是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 过 ，且纵坐标为 ， ∴ ，解得： ， ∴点 ， ∴不等式 的解集为 ， 故答案为： ． 53．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则不等式 的解集是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．结合函数图象写出 在 上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数 与 的图象相交于点A，点A的横坐标为2， ∴由图象可得，关于 的不等式 的解集为 ． 故答案为： ． 54．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知直线 与直线 相交于点 (1)求直线 与直线 的解析式； (2)结合图象直接写出不等式 的解集． 【答案】(1)直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题和一次函数与一元一次不等式的关系，读懂图象，弄清一次函数图象的交点与解析式的关系和一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． （1）把点P的坐标分别代入直线 与直线 的函数解析式，解方程即可； （2）利用函数图象，写出直线 在直线 的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：因为点P是两条直线的交点，所以把点 分别代入直线 ： 与直线 ： 中，得： ， 解得 ， ． ∴直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ； （2）当 时， 的图象在 的上方， 所以，不等式 的解集是 ． 55．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）已知 与 成正比例，当 时， ． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若直线 与（1）的函数图象交于点 ，则关于x的不等式 的解集为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用函数图象解不等式； （1）设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意先画出两个函数的简易图象，再结合图象可得 的解集； 【详解】（1）解：∵ 与 成正比例， ∴设 ， 当 时， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 整理得： ； （2）解：如图，直线 与（1）的函数图象交于点 ， ∴关于x的不等式 的解集为 ； SHAPE \* MERGEFORMAT 两直线交点与二元一次方程组的解 56．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数 与 的图象交于 ，则关于 的方程组 的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】∵一次函数 与 的图象交于点 ， ∴一次函数 与 的图象交于点 ， ∴关于 的方程组 的解为 ， 故选：A． 57．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线 与直线 的交点的横坐标为2，则关于 ， 的二元一次方程组 的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键．由已知条件求得图象的交点坐标为 ，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解． 【详解】解：当 时， 交点为 ， 方程组 的解为 故选：A． 58．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数 与 （ ， 是常数）的图象的交点横坐标是 ，则关于 ， 的方程组 ，的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的图象交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解： 一次函数 与 ， 是常数）的图象的交点横坐标是 ， ， 一次函数 与 ， 是常数）的图象的交点坐标是 ， 方程组 的解 ． 故答案为： ． 59．（23-24八年级下·福建·期末）一次函数 和 的图象如图所示，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数 和 的图象交于点 ， ∴方程组 的解是 ， 故选：B． 60．（23-24八年级下·福建·期末）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解为 ．    【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出 的值，进而得到 点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解： 直线 经过点 ， ， 解得 ， ， 关于 的方程组 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 61．（23-24八年级下·福建·期末）已知二元一次方程组 的解为 ,则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－ x－1的交点坐标为 ． 【答案】(－4，1) 【详解】试题分析：∵二元一次方程组 的解为 ， ∴直线l1：y=x+5与直线l2： 的交点坐标为（﹣4，1）， 故答案为（﹣4，1）． 考点：一次函数与二元一次方程（组）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 和第一象限内的 （ 轴， ）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被 的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图 可得，直线经过 时移动的距离为 ，经过 时移动的距离为 ，经过 时移动的距离为 ，可得 ，当直线经过点 时，交 于点 ，过 作 垂足为点 ，如图所示：求解 ，直线 为 ，则从点 到点 的平移可理解为：先向上移动 个单位，再向右移动 个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图 可得，直线经过 时移动的距离为 ，经过 时移动的距离为 ，经过 时移动的距离为 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 当直线经过点 时，交 于点 ，过 作 垂足为点 ，如图所示： ∵ 轴， ， ∴ ， 设直线 为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 为 ， ∴从点 到点 的平移可理解为：先向上移动 个单位，再向右移动 个单位， ∴当 时，则 ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·福建·期末）等腰三角形 中， ，记 ，周长为 ，定义 为这个三角形的坐标．如图所示，直线 ， ， 将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形 ，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形 ，其坐标可能位于区域IV中； ③若三角形 是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；    A．①③ B．①②③ C．②③ D．① 【答案】A 【分析】设 ，则 ，根据 ，利用不等式的性质得出 ，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边得出 ，利用不等式的性质得到 ，即可判断②；根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出 ，即可判断③，从而得到答案． 【详解】解：如图，在等腰三角形 中， ，记 ，周长为 ，   ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 对于任意等腰三角形 ，其坐标位于直线 的上方，不可能位于区域I中，故①说法正确，符合题意； 三角形任意两边之和大于第三边， ，即 ， ， 对于任意等腰三角形 ，其坐标位于直线 的下方，不可能位于区域IV中，故②说法错误，不符合题意； 若三角形 是等腰直角三角形，则 ， ， ， ， ，即 ， 若三角形 是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（　　）． A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF 【答案】B 【分析】求出当点E与点D重合时，即x=0时EC、AE、EF、BF的长可排除C、D；当点E与点C重合时，即x=2时，求出EC、AE的长可排除A，可得答案． 【详解】当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2， ∵∠A=60°，∠AEF=30°， ∴∠AFD=90°． 在Rt△ADF中，AD=2， ∴AF= AD=1，EF=DF= ． ∴BF=AB-AF=1，结合图象可知C、D错误； 当点E与点C重合时，即x=2时， 如图，连接BD交AC于H， 此时EC=0，故A错误； ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， ∴∠DAC=30°， ∴ ， ∴AE=2AH=2 ，故B正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义利用排除法求解是解此题的关键． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）平面直角坐标系 中， ， ，则坐标原点O关于直线 对称的点 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：易得 ，再结合直角坐标系可得 ，再根据轴对称的性质 ，再根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而证明四边形 是正方形得到 即可解答． 【详解】解：如图：∵ ， ， ∴ , ∴ ， ∵坐标原点O关于直线AB对称的点 ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）对于正比例函数 ，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象从左到右呈上升趋势 B．函数的图象经过第一、三象限 C．函数 的图象与y轴正半轴的夹角为 D．图象向上平移2个单位后的表达式为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，正比例函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及平移的规律对四个选项逐个进行判断即可得出结论，熟练掌握正比例函数的性质以及平移的规律是解题的关键． 【详解】解： 正比例函数 中 ， 图象经过二、四象限， 随着 的增大而减小，函数的图象从左到右呈下降趋势，故 、 错误； 函数 的图象图象与 轴正半轴的夹角为 ， 函数 的图象与 轴正半轴的夹角不是 ，故 错误； 函数 图象向上平移2个单位后得 ，故 正确． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建·期末）兄弟两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向跑步 米，且过程中各自保持匀速． 已知弟弟先出发 秒． 在跑步过程中，兄弟两人之间的距离 （米）与哥哥出发的时间 （秒）之间的关系如图所示，则图中 表示的是 米 【答案】 【分析】兄弟两人在直线跑道上同起点，哥哥出发的时，兄弟两人之间的距离20，弟弟先出发5秒，可求出弟弟的速度，80秒时，兄弟之间距离最大，兄弟两人在直线跑道上同终点、说明兄到达终点，兄跑步400米，可求兄的速度=路程÷时间80，用 追上弟弟，用速度差乘以时间等于20，可求出 ，后来用60秒兄弟的距离差求b即可． 【详解】兄弟两人在直线跑道上同起点，哥哥出发的时，兄弟两人之间的距离20， 弟弟先出发5秒，V弟= =4米/秒， 80秒时，兄弟之间距离最大，兄弟两人在直线跑道上同终点、说明兄到达终点，兄跑步400米， V兄=400÷80=5米/秒， 秒时，兄追上弟， ， ， 80秒时兄到终点， ， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查两者之间最大距离问题，抓住图形获取信息（ ，0）处表示兄追上弟，（80，b）表示兄到终点是解题关键． 7．（23-24八年级下·福建·期末）新定义：[a，b]为一次函数 (a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限． 【答案】二． 【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限. 【详解】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数， ∴y＝3x+m﹣2是正比例函数， ∴m﹣2＝0， 解得：m＝2， 则1﹣m＝﹣1，1+m＝3， 故点（1﹣m，1+m）在第二象限． 故答案为二． 【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值. 三、解答题 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系 中，直线 分别与 轴、 轴交于 两点． 的坐标分别为 、 ，其中 ． (1)试判断四边形 的形状，并说明理由； (2)若点 关于直线 的对称点分别为 、 ． 当 时，若 的面积为 ，试求 的值； 当点 恰好落在 轴上时，试求： 与 的函数关系式． 【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析； (2) EMBED Equation.DSMT4 或 ； EMBED Equation.DSMT4 与 的函数关系式为 ． 【分析】（ ）由 得 ， ，又 、 ，再根据坐标系的坐标特点 ， ，从而求解； （ ） 连接 ，由对称性质可知 ，则 ，再由 ，得出关于 的方程，解出方程即可； 连接 ，设 ，由 ， ， ，通过等面积法得 ，，然后由勾股定理和解方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由： 由 得：当 时， ；当 时， ， ∴ ， ， ∵ 、 ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形； （2） 如图，连接 ， 由对称性质可知： ， ∴ ， 由（ ）得： ， ， 、 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，整理得： ， 解得： 或 ； 如图，连接 ， ∵当点 恰好落在 轴上， ∴ ， 设 ，由 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， 由对称可知 ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，整理得： ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 当 时， 舍去， ∴ 与 的函数关系式为 ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的判定，勾股定理，同角的余角相等，垂直平分线的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜 上发生反射，D为入射点，反射光线 与直线 相交于点E．若 ， ， ． (1) ________ （填“ ”“ ”或“ ”）； (2)若 ，求点E的坐标； (3)若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜 的高度． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）由题意可知，反射角等于入射角，即可求解； （2）延长 交 轴于点 ，过点 作 直线 于点 ，直线 与 轴交于点 ，证明四边形 是矩形，得到 ， ，根据图形与坐标，得到 ， ，证明 和 是等腰直角三角形，得到 ， ，即可得出点E的坐标； （3）当点 与点 重合时，得出 ，利用待定系数法，得到直线 的解析式为 ，进而求得 ；当点 与点 重合时，同理得出 ，再根据点E移动的路径长，求得 ，即可得到答案． 【详解】（1）解： 反射角等于入射角， ， 故答案为： ； （2）解：如图，延长 交 轴于点 ，过点 作 直线 于点 ，直线 与 轴交于点 ， ， ， 轴，即 轴， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 和 是等腰直角三角形， ， ， ， 点E的坐标为 ； （3）解：如图，作直线 ，当点 与点 重合时，令反射光线 与直线 交于点 ，过点 作 直线 于点 ， ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 ，解得： ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点E的坐标为 ， 当点 与点 重合时，令反射光线 与直线 交于点 ， 同理可得， ，直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ， 点E移动的路径长为12， ， ， 平面镜 的高度为 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的实际应用，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【模型建立】 （1）如图1，等腰直角 中， ， ，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，求证： ≌ ． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将直线 绕点 顺时针旋转 至直线 ，求直线 的函数表达式； （3）直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上的动点，平面内有一点 ．试探究 能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点 的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或 或 或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由 ， ，得 ，又 ，可得 ，根据 可证 ； （2）过点 作 交 于点 ，过点 作平行于 轴的直线 过点 、点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，由将直线 绕点 顺时针旋转 至直线 ，可得 ， 是等腰直角三角形，即可得 ，有 ， ，求出 ， ，可得点 的坐标为 ，用待定系数法得直线 的函数表达式为 ； （3）求出 ，设 ，又 ，分当 、 、 为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）解：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作平行于 轴的直线 ，过点 、点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ， 将直线 绕点 顺时针旋转 至直线 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得， ， ， ， 直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ， 设 的函数表达式为 ，将 ， 代入 得： EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， 直线 的函数表达式为 ； （ ）解： 能成为等腰直角三角形，理由如下： 在 中，令 得 ， ， 设 ，又 ， 当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，如图： ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， ； 当 为直角顶点时，过 作 轴交 轴于 ，过 作 于 ，如图： 同理可得 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， ； 当 为直角顶点， 在 轴负半轴时，过 作 轴于 ，如图： ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， ； 当 为直角顶点， 在 轴正半轴时，过 作 轴于 ，如图： 同理可得 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， ； 综上所述，当点 的坐标为 或 或 或 时， 为等腰直角三角形． 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴交于点A，B，点 在直线 上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且 ，求直线 的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线 上一动点，过点E作 轴交直线 于点Q， 轴， 轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边 为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为 ；点B的坐标为 ； (2)直线 的表达式为 (3)存在，当点E的坐标为 或 时，四边开形 为正方形 【分析】（1）分别将 、 代入 即可解答； （2）如图，过点 作 轴于点 ．先求出P点坐标，再求出 、 的长，然后根据 求得C点坐标，再运用待定系数法即可解答； （3）如图2，设点 的坐标为 ，可得Q点纵坐标，再代入 可得Q点得坐标，然后表示出 、 的长，再令其相等求解即可． 【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，          ∴点B的坐标为 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴点A的坐标为 ． （2）解：∵点 在直线 上， ∴ ， ∴点P的坐标为 ． 如图，过点P作 轴于点H． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． ∴ 设直线 的表达式为 ． 将 ， 代入， 得 解得 直线 的表达式为 ． （3）解：存在，E的坐标为 或 ，理由如下： ∵ 轴， 轴 ∴ ∵ 轴 ∴四边开形 为矩形 如图2，设点E的坐标为 ， ∵ 轴， ∴点Q的纵坐标也为 ． 把 代入 ，得 ，解得 ． ∴点Q的坐标为 ∴ ， ． ∵当 时，矩形 为正方形， ∴ ，解得 或 ． 当 时， ；当 时， ， ∴当点E的坐标为 或 时，四边开形 为正方形． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定系数法、正方形的性质成为本题的关键． 12．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像经过 ， ， 三点，点 在 轴上方，点 在 轴正半轴上，且 ，连接 ， ，已知 ． (1)求直线 的解析式； (2)求点 的坐标； (3)分别在线段 ， 上取点 ， ，使得 轴；在 轴上取一点 ，连接 ， ， ．探究：是否存在点 ，使得 ，且 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段 的表达式 (2)点D的坐标为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形综合； （1）利用待定系数法求直线 的解析式； （2）根据三角形面积公式得到 到 的距离等于 点到 的距离的 倍，即 点的纵坐标为 ，然后利用直线 的解析式计算函数值为 所对应的自变量的值，从而得到 点坐标． （3）先求出直线 的表达式,再求出点 的坐标为 ，根据 ，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点 代入 ， 得 解得 线段 的表达式 （2）∵ ，且点 在 轴正半轴上， 点 ， 设点 的坐标为 ，如图，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ， 则 即 ，解得 ， 点 的坐标为 （3）存在，点 的坐标为 ，设直线 的表达式为 将点 代入 ，得 ，解得 直线 的表达式 ． 已知点 在线段 上，设点 的坐标为 ，则 ， 轴，且点 在 上 将 代入 ，得， ，解得 ． 点 的坐标为 如图所示，当 为直角顶点时， ，过点 作 轴，交 于点 ， ∴点 为 的中点，且 ，点 的坐标为 ， ， ， 解得 ， ∴点 的坐标为 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 分别与x轴，y轴交于点A，B，x轴上--点C在点A右侧，且 ． (1)求点A的坐标；． (2)将点C向下平移2个单位长度得到点D，若 ，求k的值；． (3)已知过点C的直线 分别与线段 ， 交于E，F两点，若 ，求k与n之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数 与x轴交于点 ，令 ，则 ，再根据 ，即可求出 的值，得到点 坐标； （2）先求出点 坐标为 ，得到 ，根据x轴上一点 在点 右侧，且 ，得 ，即可得 ，过点D作DM⊥y轴于点M，则 ，得到 ，根据勾股定理得 ，列出方程 ，解方程求解，再取 的值即可； （3）根据“直角三角形的两个锐角互余”，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，可得， ， ，整体代入可得 ，即可求得 ，进而得到 ，如图2，将点C向上平移2个单位得到点 ，连接 ， ， ，易证得 ，得到 ， ，通过等量代换，即可得 ，进而得到 ，再根据“等边对等角”，得 ，即可得 ，根据平行线判定“内错角相等，两直线平行”证得 ，然后根据平行四边形判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证得四边形 是平行四边形，进而得到 ， 最后将 代入 ，可得 ， ，即可得到 与 的等量关系． 【详解】（1）解：令 ，则 ， ∴ ， ∵ ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ． （2）解：将 代入 ，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵x轴上一点 在点 右侧，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ∵将点 向下平移2个单位长度得到点 ， ∴ ， 如图1，过点D作 轴于点M，则 ，    ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ，     解得 ， ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 如图2，将点C向上平移2个单位得到点 ，连接 ， ， ，    ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， EMBED Equation.DSMT4 ，     ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 将 代入 ，得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点的综合问题，坐标系中的点平移，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解三角形，利用点的平移、添加辅助线构造全等三角形，得到等边等角，灵活运算平行四边形判定与性质找到 与定长 相等． 14．（23-24八年级下·福建福州·期末）设直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线 交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线 于点P． (1)如图1，当 时，求点P的坐标________； (2)当 时，记点 ，点Q是y轴负半轴上一点，且 ，连接 ．试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点M在直线x=3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连 ．在运动过程中，直线 交x轴于点N，求出 与 的数量关系． 【答案】(1) (2)直线 经过定点 ．理由见解析 (3)当 时， ；当 时， ． 【分析】（1）先求得 ，得出 ，在y轴正半轴上取点 ，过点E作 轴，使 ，且点F在第一象限，利用待定系数法得直线 的解析式为 即可解答； （2）过点P作 轴于K，可证得 ，得出 ,即 ，由题意得 ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ,由于 时， ，故直线 经过定点 ； （3）设点M的运动时间为t秒，则 ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，可得 ，当 时，点N在点D的右侧，可得 ，故 ；当 时，点N在点D的左侧，可得 ，故 ． 【详解】（1）解：当 时， ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ，解得： ， ∴ ， ∴ ， 如图1：在y轴正半轴上取点 ，过点E作 轴，使 ，且点F在第一象限， ∴ ， 设直线 的解析式为 ,把 ， 代入， 得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 当 时， ， ∴ ． 故答案为： ． （2）解：直线 经过定点 ．理由如下： ∵直线 与x轴交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， 如图2：过点P作 轴于K， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由题意知点P的横坐标为3， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∴ , ∴ ， ∵点Q是y轴负半轴上一点，且 ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ,把 代入， 得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ 时， ， ∴直线PQ经过定点 ． （3）解：如图，OB=OD=3，设点M的运动时间为t秒，则 ， 设直线 的解析式为 ，则 , ∴ ， ∴ ， 当 时， ，解得： ， ∴ ； 如图：当 时，点N在点D的右侧， ∴ , ∴ ， ∴ 又∵ , ∴ , ∴ ,即： ； 如图：当 时，点N在点D的左侧， 则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 综上所述，当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法、一次函数的图象和性质、一次函数与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形解题是关键． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 题型12 2 / 13 $$