专题05 分式与分式方程（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 分式与分式方程 题型概览 题型01分式 题型02 分式的运算 题型03 分式方程及应用题 ( 题型01 ) 分式 一、单选题 1．（2024八年级上·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·专题练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）已知分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 3．（23-24八年级上·甘肃省兰州市红古区·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·二模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·甘肃省白银市·期中）将分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 6．（21-22八年级上·甘肃省酒泉市第二中学·期中）如果分式的值等于0，那么的值为（    ） A．不存在 B． C．4 D．－4 二、填空题 7．（甘肃省张掖市甘州区）若分式的值是零，则的值为 ． 8．（甘肃省兰州市城关区兰州树人中学）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 9．（23-24八年级上·甘肃省天水市·期末）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 10．（2024·甘肃省酒泉市第二中学·二模）分式在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ． 三、解答题 11．（22-23八年级下·甘肃省兰州市第十一中学·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ ( 题型02 ) 分式的运算 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）计算：（　 　） A．2 B． C． D． 2．（23-24八下·甘肃省天水市·期末）计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 二、解答题 3．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）先化简，再求值：，再从0，1，2中选一个恰当的数代入求值． 4．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 5．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）先化简：，然后再从，，0，1，2中，选择一个你喜欢的数代入求值． 6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）先化简，再求值：．其中． 7．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）已知，求的值． 9．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）先化简，再求值：，其中． 10．（23-24八下·甘肃省平凉市崆峒区·期末）化简求值：，其中 11．（23-24八下·甘肃省天水市·期末）化简：． 12．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）先化简：，再从中选一个你喜欢的值代入计算． 13．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）先化简，再求值：，其中． ( 题型01 ) 分式方程及应用题 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 5．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C． D． 7．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木万棵．可列方程是（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D．2 9．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（  ） A． B． C． D． 11．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）当 时，解分式方程会出现增根． 13．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）若方程有增根，则的值是 ． 14．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）当 时，关于的方程会产生增根． 三、解答题 15．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该干货的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干货共盈利多少元？ 16．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）解方程：． 17．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． (1)求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ (2)若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 18．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）解分式方程： (1) (2) 19．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 20．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）解方程：． 21．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）解方程： (1)； (2)． 22．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 23．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）解分式方程：． 24．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 25．（23-24八下·甘肃省陇南市成县·期末）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买两种树苗在学校栽种．已知1棵种树苗比1棵种树苗贵5元，用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同． (1)求购买1棵种树苗和1棵种树苗各需多少元； (2)若该校计划购买两种树苗共150棵，且种树苗的数量不少于种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 26．（23-24八级下·甘肃省天水市·期末）计算： (1)解分式方程：； (2)化简：． 27．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）解方程：． 28．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）解方程：＝2﹣． 29．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式与分式方程 题型概览 题型01分式 题型02 分式的运算 题型03 分式方程及应用题 ( 题型01 ) 分式 一、单选题 1．（2024八年级上·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·专题练习）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）已知分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．直接利用分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，分析得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：且， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级上·甘肃省兰州市红古区·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意； B、，原变形正确，符合题意； C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意； D、，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·二模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故选：B． 5．（21-22八年级上·甘肃省白银市·期中）将分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】将x变为2x，y变为2y计算后与原式比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的x、y的值同时扩大到原来的2倍为， ∴分式的值不变， 故选C． 【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变． 6．（21-22八年级上·甘肃省酒泉市第二中学·期中）如果分式的值等于0，那么的值为（    ） A．不存在 B． C．4 D．－4 【答案】D 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：m=-4． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 二、填空题 7．（甘肃省张掖市甘州区）若分式的值是零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件：分子为且分母不为、含绝对值的方程，熟练掌握分式的值为及有意义的条件是解题关键．根据分式的值为及有意义的条件判断即可． 【详解】解：由题得且， 解得：， 故答案为：． 8．（甘肃省兰州市城关区兰州树人中学）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·甘肃省天水市·期末）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不等于零，即可得出答案，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：式子意义， ， 解得：， 故答案为：． 10．（2024·甘肃省酒泉市第二中学·二模）分式在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】分式在实数范围内有意义， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23八年级下·甘肃省兰州市第十一中学·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负 【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得0， 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：无解； 解不等式组(2)得：， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键． ( 题型02 ) 分式的运算 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）计算：（　 　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24八下·甘肃省天水市·期末）计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 二、解答题 3．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）先化简，再求值：，再从0，1，2中选一个恰当的数代入求值． 【答案】，时，－1 【分析】先计算括号中的异分母分式加减法，再计算乘除法，最后将恰当的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴当时，原式． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 4．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先计算式子中括号内的加减法，再算括号外的除法，将式子化简后，再讨论原式有意义的条件，从而选择合适的数代入求值． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 5．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）先化简：，然后再从，，0，1，2中，选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】x+1，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，平方差公式，完全平方公式应用．根据题意先计算括号内的分式，再将括号外分式因式分解进行整理，最终相加即可得到本题化简结果，再将使分式有意义的值代入即可求得本题答案． 【详解】解： ； ∵， ∴，， ∴当时， 原式． 6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分，利用平方差公式将除号前的式子分母通分，将除法变为乘法约分化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）已知，求的值． 【答案】，1 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 利用分式的混合运算法则将化简将，再根据题意得到，将代入化简后的式子求解． 【详解】解： ， ， ， 原式． 9．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 10．（23-24八下·甘肃省平凉市崆峒区·期末）化简求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的除法法则，进行计算，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 11．（23-24八下·甘肃省天水市·期末）化简：． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，注意先做小括号里的，然后再做括号外面的． 【详解】 ． 12．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）先化简：，再从中选一个你喜欢的值代入计算． 【答案】；当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得 【详解】解： ． ∵ ∴当时，原式． 13．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2024 【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则． ( 题型01 ) 分式方程及应用题 一、单选题 1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设乙组每小时植树棵，则甲组每小时植树棵，根据甲组比乙组提前2小时完成列出方程即可． 【详解】解：设乙组每小时植树棵， 由题意得，， 故选：A． 2．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， 原方程的根为． 故选：B． 3．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意． 【详解】方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 4．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键． 先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 5．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 6．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程有增根求参数问题，根据分式方程有增根得，等式两边同时乘，得，再把代入得，进而可求解，熟练掌握分式方程有增根时的值是解题的关键． 【详解】解：分式方程有增根， ， 等式两边同时乘，得：， 将代入得：， 解得：， 故选A． 7．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木万棵．可列方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的应用，设原计划每天种植树木万棵．则实际每天种植棵，根据提前5天完成任务列方程即可． 【详解】解：设原计划每天种植树木万棵．根据题意可得， ， 故选：A． 8．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时， 故的值是3． 故选：． 9．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为， 根据题意得：， 即， 故选：D． 10．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分式方程转化为2m−1−7x＝5（x−1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值． 【详解】解：， 方程两边都乘（x−1）得2m−1−7x＝5（x−1）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−1＝0， 解得x＝1， 当x＝1时，2m−1−7＝0， 解得m＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的意义并能把增根代入由分式方程转化后整式方程求得相关字母的值是解题的关键． 11．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 二、填空题 12．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】6 【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值． 【详解】解：分式方程会出现增根， 则即， 去分母得， 将代入得， 即当时，原分式方程会出现增根． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程． 13．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）若方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键． 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 14．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）当 时，关于的方程会产生增根． 【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】 解： 方程两边同乘以得：， 解得：， ∵原分式方程有增根，即， ∴， 将代入得，得， ∴当时，方程产生增根． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该干货的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干货共盈利多少元？ 【答案】(1)该干货的第一次进价是每千克10元 (2)共盈利3450元 【分析】本题考查了分式方程的应用；解题的关键是找到数量关系，正确列出方程． （1）设该干货的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，根据数量关系列出分式方程即可，最后要检验； （2）求出第一次购进数量，则可求出第二次购进数量，从而由收入减去成本即得利润． 【详解】（1）解：设该干货的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：该干货的第一次进价是每千克10元； （2）解：第一次购进的数量为：（千克）， 第二次购进的数量为：（千克）， 则盈利为：（元）． 答：超市销售完这种干货共盈利元． 16．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）解方程：． 【答案】无解 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 掌握相应的运算法则，公式是解题的关键． 【详解】将原方程整理，得： ， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 将代入，得： ， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 17．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书．若购买1本《北上》比1本《牵风记》进价少20元；若用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同． (1)求每本《北上》和每本《牵风记》各为多少元？ (2)若该校购进《牵风记》的本数比购进《北上》的本数的2倍还多5本，且《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，则该校有几种购货方案？ 【答案】(1)每本《北上》40元，每本《牵风记》60元 (2)共有三种购买方案，见解析 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每本《牵风记》元，则每本《北上》元，根据用1200元购买《北上》与用1800元购买《牵风记》的本数相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买本《北上》，则购买本《牵风记》，根据《北上》的本数不少于17本，购进《北上》和《牵风记》的总费用不超过3340元，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每本《牵风记》元，则每本《北上》元 由题意得：，解得： 经检验，是分式方程的根，且符合题意，此时 答：每本《北上》40元，每本《牵风记》60元． （2）解：设购买本《北上》，则购买本《牵风记》 ，解得： 为正整数， 共有三种购买方案：①购买17本《北上》，购买39本《牵风记》 ②购买18本《北上》，购买41本《牵风记》 ③购买19本《北上》，购买43本《牵风记》． 18．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键． （1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可． （2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可． 【详解】（1）解：原方程化为． 方程两边同时乘上得：． 移项，合并，得：． 检验：将代入， 是原方程的解． （2）解：， 两边乘最简公分母得：， 展开得：． 合并同类项得：， 解得． 经检验，时，． 原分式方程无解． 19．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； (2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 20．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）解方程：． 【答案】 【分析】题目主要考查解分式方程，根据解分式方程的方程步骤求解，然后检验即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴是方程的解． 21．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)分式方程无解 (2)分式方程无解 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 解得： 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解； （2）解：方程两边同乘，得 解得： 检验：当时， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 22．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】原计划每天种植250棵梨树 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种植棵梨树， 根据题意，得， 解得， 经检验，为原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种植250棵梨树． 23．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）解分式方程：． 【答案】无解 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化成1得：， 经检验：x=3是增根， 原分式方程无解． 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 24．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【答案】30米 【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：引进新设备前工程队每天建造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 25．（23-24八下·甘肃省陇南市成县·期末）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买两种树苗在学校栽种．已知1棵种树苗比1棵种树苗贵5元，用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同． (1)求购买1棵种树苗和1棵种树苗各需多少元； (2)若该校计划购买两种树苗共150棵，且种树苗的数量不少于种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)购买1棵种树苗需要20元，购买1棵种树苗需要15元 (2)当购买种树苗50棵，购买种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元 【分析】（1）设1棵种树苗元，则1棵种树苗元，根据用400元购买的种树苗与用300元购买的种树苗的数量相同，列出分式方程求解即可； （2）设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元，先求出的取值范围，再列出关于的一次函数的解析式，取最小值即可得到结果． 【详解】（1）解：设1棵种树苗元，则1棵种树苗元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买1棵种树苗需要20元，购买1棵种树苗需要15元； （2）解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，购买费用为元， 种树苗的数量不少于种树苗的一半， ， ， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，去的最小值，最小值为， 此时，， 答：当购买种树苗50棵，购买种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元． 【点睛】本题主要卡超了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量或不等关系是解题的关键． 26．（23-24八级下·甘肃省天水市·期末）计算： (1)解分式方程：； (2)化简：． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题主要考查分式方程与分式的运算， （1）根据分式方程的解法，将原方程转化为整式方程即可求出答案，注意分式方程要检验； （2）根据分式的运算法则即可求出答案，注意先做小括号里的，然后再做括号外面的． 【详解】（1）解： 去分母，得． 解得． 经检验，是分式方程的解． （2） ． 27．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：，     ∴分式方程的解为． 28．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）解方程：＝2﹣． 【答案】m=4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：m-1=2（m-3）+1， 去括号得：m-1=2m-6+1， 解得：m=4， 检验：当m=4时，m-3=1≠0， ∴分式方程的解为m=4． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 29．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，然后根据用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同，列出方程求解即可； （2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，然后求出W关于m的关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元， 答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W， 由题意得， ∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根， ∴， ∴， ∵， ∴W随着m的增大而增大， ∴当m=450时，W有最小值， ∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出相应的式子求解． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$