专题06 平行四边形（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编
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内容正文：
专题06 平行四边形
题型概览
题型01平行四边形
题型02 中位线
题型03 多边形的内角和与外角和
(
题型01
) 平行四边形
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在中，，用无刻度的直尺和圆规在的边上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是( )
A． B．
C． D．
3．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
5．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为（ ）
A．11 B．14 C．9 D．10
8．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，在中，，则的度数是（ ）
A．117° B．63° C．37° D．27°
二、填空题
9．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ．
10．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．
11．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是 ．
三、解答题
12．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
13．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在四边形中，，，，，，，点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动．当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）；
(2)若的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)若点P从点A以1cm/s的速度沿A→D→C→B方向运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿C→B→A→D方向运动．在P、Q运动过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
14．（23-24八下·甘肃省龙南县礼县一中等校·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点．
(1)求证：；
(2)若，求平行四边形的周长．
15．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
16．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，的周长是10，求四边形的周长．
17．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
18．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且．
(1)求的度数；
(2)若，求和之间的距离．
19．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且．
(1)如图1，若是等边三角形，，求的面积；
(2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：．
20．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，求的周长．
21．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？
22．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，在△ABC中，点分别在边上，已知四边形是平行四边形．
23．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在中，，，，分别是，，与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
24．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，AE∥DC，AB＝DC．求证：∠B＝∠C．
25．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在中，分别以为斜边向内作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．证明：四边形为平行四边形．
26．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
(
题型02
) 中位线
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
2．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
3．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在△ABC中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将△ABC分割后拼接成长方形，若，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
4．（23-24八下·甘肃省平凉市静宁县城关初中教育集团·期末）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
5．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
7．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为________．
8．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为 ．
9．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，某花木场有一块四边形的空地，其各边的中点为、、、，测得对角线，，如果用篱笆围成四边形场地，则需篱笆总长度是 ．
10．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为 ．
11．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ．
12．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为 ．
13．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
14．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则 ．
三、解答题
15．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
16．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形．
17．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是菱形．
18．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
19．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
(1)求证：2EF=CD；
(2)当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论．
20．（23-24八下·甘肃省陇南市成县·期末）如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．
21．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
(
题型01
) 多边形的内角和与外角和
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得五边形，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威二十一中联片教研·期末）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
5．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）如图，在四边形中，，则的度数为 ．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，连接正八边形的对角线、，则的度数为 ．
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专题06 平行四边形
题型概览
题型01平行四边形
题型02 中位线
题型03 多边形的内角和与外角和
(
题型01
) 平行四边形
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数，依据平行线的性质，即可得到的度数，进而求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴=
故选：B．
2．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在中，，用无刻度的直尺和圆规在的边上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，等腰三角形的性质，利用平行四边形的性质、中垂线与角平分线的尺规作图逐一判断即可得．
【详解】解：A选项中，，则为等腰三角形，不符合题意；
B选项中，作的是的垂直平分线，，则是等腰三角形，无法推导是等腰三角形，符合题意；
C选项中，作的是的垂直平分线，，则为等腰三角形，不符合题意；
D选项中，是的角平分线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴，
∴则是等腰三角形，符合题意；
故选：B．
3．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长．
【详解】∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
4．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解．
【详解】解：根据翻折可知：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线定理等知识，在中，，，结合两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等性质解题即可．掌握相关知识是解题关键．
【详解】在中，，
。
，
，
，
，
故选：A．
7．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为（ ）
A．11 B．14 C．9 D．10
【答案】A
【分析】先证明，，再根据求出，即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用．
8．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，在中，，则的度数是（ ）
A．117° B．63° C．37° D．27°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边互相平行得到，再由平行线的性质即可得到．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
9．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴当时， 是为矩形，
故答案为∶ （答案不唯一）．
10．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】44
【分析】作出辅助线，利用同底等高的两个三角形面积相等，阴影图形的面积即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
【详解】解：如图，连接，
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为．
故答案为：44．
11．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，首先证明，根据点坐标即可推出点坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】解：∵点坐标为，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
故答案为：．
三、解答题
12．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过C作交延长线于点E．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析；(2)22
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质，得出，再结合勾股定理列式计算，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：在平行四边形中，，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长．
13．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在四边形中，，，，，，，点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动．当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）；
(2)若的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)若点P从点A以1cm/s的速度沿A→D→C→B方向运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿C→B→A→D方向运动．在P、Q运动过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)存在，或．
【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”即可解答；
（2）根据三角形的面积公式得到，代入即可得到S与t的函数关系式，再根据点P、Q的运动时间得到t的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①点P在边上，点Q在边上，当时，四边形是平行四边形；②点P在边上，点Q在边上，当时，四边形是平行四边形；构造方程求解即可．
【详解】（1）由题意，得，
∴
故答案为：，
（2）∵
即S与t的函数关系式为；
点P从点A运动到点D所需时间为：，
点Q从点C运动到点B所需时间为：，
∵当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴自变量t的取值范围为：
（3）分两种情况讨论：
①点P在边上，点Q在边上，如图①，
∵，即，
∴当时，四边形是平行四边形．
∵，，
∴
解得：
②点P在边上，点Q在边上，如图②，
∵，即，
∴当时，四边形是平行四边形．
∵，
，
∴
解得：
综上所述，当或时，以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查列代数式，求函数解析式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，读懂题意，理解动点问题，掌握分类讨论思想是解题的关键．
14．（23-24八下·甘肃省龙南县礼县一中等校·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点．
(1)求证：；
(2)若，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析；(2)14
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
（1）根据平行四边形的对边平行得出，又，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，即，
又点，分别是边，的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
平行四边形的周长．
15．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各定理是解题的关键：
（1）证明，推出，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得，由此得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即的长为．
16．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，的周长是10，求四边形的周长．
【答案】(1)见详解；(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质：
（1）根据平行四边形的性质得出，，推出，证出即可；
（2）由平行四边形的性质得出，，，由线段垂直平分线的性质得出，由已知条件得出，即可得出的周长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
∴，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
∵的周长是10，
，
∴的周长．
17．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)；(2)；(3)或或或．
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）证明是等边三角形即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题；
（3）分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
如图，过点C作于点K，则，
∴，
；
（3）解：如图③所示：
，
当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
①当时，，，
，解得：；
②当时，，，
，解得：；
③当时，，，
，解得：；
④当时，，，
，解得：；
或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
18．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且．
(1)求的度数；
(2)若，求和之间的距离．
【答案】(1)；(2)6
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由平行四边形对边平行得到，再由三角形内角和定理得到，据此推出，解之即可；
（2）由（1）可得到，据此求出的长，进而求出平行四边形的面积，再根据等面积法求出答案即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
设和之间的距离为h，
∴，
∴，
∴和之间的距离为6．
19．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且．
(1)如图1，若是等边三角形，，求的面积；
(2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（）由等边三角形的性质和角平分线的定义可得出，，从而可得出．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，即可求解；
（）延长到，使得，连接．通过等腰三角形的判定和平行四边形的判定，即可证明，，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是平分线，是平分线，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
∵是等腰直角三角形，、是角平分线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义以及平行四边形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
20．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论；
（）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解；
本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
21．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？
【答案】(1)；(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形
【分析】（1）证明是等边三角形即可求得答案；
（2）根据平行四边形的性质得到，，进一步推算出，换算得到，最后根据等边三角的性质求出面积即可；
（3）若四边形是平行四边形，则，分别根据四种情况建立方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如下图所示，
∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴C到的距离为，
∴；
（3）解：∵平行四边形，
∴，，
若四边形是平行四边形，
则，
当时，，，
∴，
解得，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴，
解得秒；
当时，，，
∴，
解得秒；
当时，，，
∴，
解得秒；
综上所述：当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、一元一次方程的应用、以及分类讨论的数学思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，在△ABC中，点分别在边上，已知四边形是平行四边形．
【答案】见解析；
【分析】想办法证明EF∥AB即可解决问题；
【详解】证明：，
.
，
.
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查证明平行四边形，熟练掌握平行的性质及定义是解题关键.
23．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在中，，，，分别是，，与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，欲证明，只要证明四边形是矩形即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵分别平分，
∴．
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
24．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，AE∥DC，AB＝DC．求证：∠B＝∠C．
【答案】详见解析
【分析】先证明四边形AECD是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得出AE＝DC，进而得出∠AEB＝∠C，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠AEB，进而得出∠B＝∠C．
【详解】证明：∵BC∥AD，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝DC，AE∥DC，
∴∠AEB＝∠C，
∵AB＝CD，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠C．
【点睛】考查平行四边形判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质得出AE＝DC．
25．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）如图，在中，分别以为斜边向内作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．证明：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，利用平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得到，并证明，得到，即可证明四边形为平行四边形．
【详解】∵四边形为平行四边形
∴
∵为等腰直角三角形
∴，
同理，，
∴，
，即
∴
∴
又∵
∴四边形为平行四边形．
26．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质．欲证明，只要证明四边形是矩形即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，
．
，分别平分，，
．
，
同理：，，
，
四边形是矩形，
．
(
题型02
) 中位线
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
2．（23-24八下·甘肃省兰州市十九中教育集团·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】根据，点E是的中点，，可知是等边三角形，得出，，进而得出，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得，即可说明是否平分，然后说明是的中位线，可判断和的关系，再根据点O是的中点，得，由点E是的中点，得，进而得，然后根据平行四边形的性质得，即可判断④，得出答案．
【详解】∵，点E是的中点，
∴.
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴是平分．
则①②正确；
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
∴．
则③正确；
∵点O是的中点，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∴．
由平行四边形的性质得，
∴，
即．
则④不正确．
所以正确的有①②③.故选：C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键．
3．（23-24八下·甘肃省武威市武威第七中学·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在△ABC中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将△ABC分割后拼接成长方形，若，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：点，分别为，的中点，
是△ABC的中位线，，
，
在和中，
，
，
∴，
长方形的面积为：，
的面积是48，
故选：B．
4．（23-24八下·甘肃省平凉市静宁县城关初中教育集团·期末）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
5．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出．
【详解】解：过A作于K，
在菱形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，负值舍去，
∵G、H分别为、的中点，
∴，
∵垂线段最短，
∴当F和K重合时，最小，也最小，
∴的最小值为，
故选：D．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，过点A作于点N，证是等腰直角三角形，得，再由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作于点N，
四边形是平行四边形，，
，
，
是等腰直角三角形，
设，
即，
，
E、F分别为的中点，
是的中位线，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点G与点N重合时，的最小值为，
的最小值为．
故选：D．
二、填空题
7．（23-24八下·甘肃省陇南市多校联考·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，若，，则的长为________．
【答案】3
【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
【详解】解：∵点D、E分别是边，的中点，
∴是△ABC的中位线，
∵，
∴．
∵，D是的中点，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
8．（23-24八下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为 ．
【答案】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A1B1=AC，B1C1=AB，A1C1=BC，从而得到△A1B1C1是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．
【详解】∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，
∴A1B1=AC，B1C1=AB，A1C1=BC，
∴△A1B1C1的周长=△ABC的周长=×3=，
依此类推，△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×=，
则△A5B5C5的周长为=，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．
9．（23-24八下·甘肃省陇南市武都区·期末）如图，某花木场有一块四边形的空地，其各边的中点为、、、，测得对角线，，如果用篱笆围成四边形场地，则需篱笆总长度是 ．
【答案】/18米
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理分别求出、，根据四边形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵、、、分别为四边形各边的中点，
∴、、、分别为△ABC、、、的中位线，
∴，，，，
∴四边形总长度，
故答案为：．
10．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为 ．
【答案】6.5
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答．
根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据矩形的性质解答即可．
【详解】∵O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，
∴
∵，四边形是矩形
∴
∴
故答案为：．
11．（23-24八下·甘肃省兰州市城关区兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是△ABC的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．（23-24八下·甘肃省定西市安定区·期末）已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为 ．
【答案】/3厘米
【分析】此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，首先根据菱形的性质可得再根据三角形中位线定义和性质可得，进而得到答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
13．（23-24八下·甘肃省定西市临洮县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质定理，根据平行四边形的性质得到，结合平分，推出，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得到，再利用三角形中位线的性质求出，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
三、解答题
15．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解；
（2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可．
（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
∴、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得：，，，，，；
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行多边形是矩形，
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．
（3）解：∵四边形中，，，且，
∴；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
即四边形的面积是．
【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
16．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见详解
【分析】由平行四边形的性质得出，，再证明为的中位线，得出，，再由为的中点，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴为的中位线，
∴，，
又∵为的中点，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
17．（23-24八下·甘肃省平凉市庄浪县·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）先根据三角形中位线定理得出，再根据平行四边形的判定得出结论；
（2）利用直角三角形的性质得出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定得出结论．
【详解】（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，即，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）点是边的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，菱形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在△ABC中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，由，，分别是，，的中点，则，，根据平行四边形的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，，分别是，，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
19．（23-24八下·甘肃省定西市岷县·期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
(1)求证：2EF=CD；
(2)当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD性质得出BF=DF ，根据点E是BC的中点，得出EF是△BCD的中位线即可；
（2）先证CD=BC，得出ABCD是菱形，再证ABCD是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴BF=DF ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF//CD，EF=CD，即2EF=CD；
（2）证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，
∵2EF=CD，2EF=BC，
∴CD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD是菱形，
∵EF⊥BC，EF//CD，
∴CD⊥BC即∠BCD=90度，
∴ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，菱形判定，矩形判定，正方形判定，掌握平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，菱形判定，矩形判定，正方形判是解题关键．
20．（23-24八下·甘肃省陇南市成县·期末）如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为边的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，即，
．
21．（23-24八下·甘肃省酒泉市第二中学·期末）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析，（2）41
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=NB．
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
(
题型01
) 多边形的内角和与外角和
一、单选题
1．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得五边形，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，领补角互补及三角形内角和定理，根据领补角互补得到及，结合平行线的性质得到，最后根据三角形内角和即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
，
，，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
2．（23-24八下·甘肃省武威市凉州区武威二十一中联片教研·期末）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正边形的一个外角为，
∴的值为；
故选A
3．（23-24八下·甘肃省白银市·期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
【详解】解：正八边形的内角和为：
故选A．
二、填空题
4．（23-24八下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
【答案】/18度
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数．
【详解】解：在正五边形中，，
，
在正方形中，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，
，
，
故答案为：．
5．（23-24八下·甘肃省兰州市中国科学院兰州分院中学·期末）如图，在四边形中，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和等于，与边数无关是解题的关键．
根据四边形的外角和等于，得到与相邻的外角度数，即可求出的度数．
【详解】解：多边形的外角和为，
且，
与相邻的外角，
，
故答案为：．
6．（23-24八下·甘肃省兰州市红古区·期末）如图，连接正八边形的对角线、，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则可得到，再由圆周角定理即可得到．
【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，
∴，
∴，
故答案为：．
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