精品解析：广西壮族自治区贵港市平南县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

广西壮族自治区贵港市平南县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 考试时间：120分钟；命题人：蒙志华 第I卷（选择题） 一、单选题（每题只有一个最佳选项，每题5分，共40分） 1. 已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“复数为实数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 4. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 二、多选题（每题有两个或三个正确选项，每题6分，共18分） 9. 下列命题中为真命题的有（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D. 球体是旋转体的一种类型 10. 给出以下四个命题，其中为真命题是（ ） A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数也是奇函数 D. 函数在上是单调增函数 11. 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则有两解 C. 面积最大值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 13. 如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中，______；图形的面积为______． 14. 已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 四、解答题 15. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 16. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 17. 在中，角的对边分别为的面积为，满足. （1）求的值； （2）若，求的周长. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. （1）求值，并证明为奇函数； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广西壮族自治区贵港市平南县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 考试时间：120分钟；命题人：蒙志华 第I卷（选择题） 一、单选题（每题只有一个最佳选项，每题5分，共40分） 1. 已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 2. 设，则“”是“复数为实数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 4. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面的平行及垂直进行判断． 【详解】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 7. 有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差. 故选：C 8. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 二、多选题（每题有两个或三个正确选项，每题6分，共18分） 9. 下列命题中为真命题的有（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D. 球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【解析】 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD 10. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ） A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数也是奇函数 D. 函数在上是单调增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D. 【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误； 对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确； 对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确， 对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误. 故选：BC. 11. 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则有两解 C. 面积的最大值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，即，得, 且，则，则有一解，故A正确； B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误； C.由余弦定理，，当时等号成立， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.由，则，，且，得， 所以，, 所以的范围是，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与平行，所以，则所以． 考点：向量共线． 13. 如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中，______；图形的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空先由直观图求出梯形的高和面积，再由原图与直观图的面积关系计算可得. 【详解】由斜二测画法可知； 由图可得梯形的高为， 所以梯形的面积， 则平面图形的面积为. 故答案为：2；3. 14. 已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 详解】令，由，即或，解得或， 当时，解得或；当由，解得， 即函数的所有零点所构成的集合为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分段函数应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力. 四、解答题 15. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【答案】（1） （2）74 （3）2，4，8. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可； （3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74. 【小问3详解】 评分低于70分的三组频率之比为， 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 16. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【小问1详解】 设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. 【小问2详解】 连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 17. 在中，角的对边分别为的面积为，满足. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由面积公式和余弦定理，即可求答案； （2）由已知两角一边，先用正弦定理求另一边，再利用三角形内角和第三个角，再由正弦定理求第三边，从而可求得周长. 【小问1详解】 ，再利用面积公式， ，即 又由余弦定理，得， . ， . 【小问2详解】 设外接圆半径为， ， 由正弦定理，得. ， . ， 由正弦定理，得， 所以，的周长为. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，即可得到，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）由异面直线夹角的定义可得或其补角就是异面直线与所成的角，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为底面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，是侧棱的中点，所以， 又，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连，，两直线交于点，连， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又分别是的中点，所以， 所以或其补角就是异面直线与所成的角， 因为为正方形，且， 所以，， ， 故，，， 即是正三角边， 所以. 所以异面直线与所成的角为. 【小问3详解】 因为，平面，平面，所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 又底面，平面，所以， 又底面为正方形，， ，平面，所以平面， 且平面，所以，则， 则， 设点到平面的距离为， 由可得， 即，解得， 所以直线到平面的距离为. 19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. （1）求的值，并证明为奇函数； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. 【小问2详解】 解：由， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$