第21章 一元二次方程检测试卷（解析版+原卷版+评分标准）-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

第21章 一元二次方程检测试卷 （考试时间：80分钟 满分100分） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 2．一元二次方程x2﹣9x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝9 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝0，x2＝9 3．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m2+2的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，且2x1x2+x1+x2≥20，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤﹣4 C．3≤m≤4 D．﹣3≤m≤4 5．若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（　　） A．4 B．5 C． D．10 6．如果m、n满足m2+2m﹣2＝0，n2+2n﹣2＝0，且m≠n，则的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 7．某楼盘准备以每平方米6000元的均价销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价销售．设平均每次下调的百分率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．4860（1+x）2＝6000 B．6000（1﹣x2）＝4860 C．6000（1﹣2x）＝4860 D．6000（1﹣x）2＝4860 8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是　 　 ． 10．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k+2＝0的两个实数根为x1、x2，且有（x1+1）（x2+1）＞﹣4，则实数k的取值范围为 　 　 ． 11．在解方程x2+px+q＝0时，由于甲看错了一次项系数p，解得两根为﹣1与6；乙看错了常数项q，解得两根为﹣3与4，那么原方程的正确根应是　 　 ． 12．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染 　 　 人． 13．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 　 　 ． 14．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若2（x1+x2）＝3x1•x2，则k＝　 　 ． 15．如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为40米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为84平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为x米，则可列方程 　 　 ． 16．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ． 三．解答题（共52分） 17．（18分）解下列一元二次方程： （1）（1+x）2＝9； （2）x2+4x﹣1＝0； （3）3x2+2x﹣1＝0； （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）； （5）x2﹣4x+4＝0； （6）2x2﹣5x＝3；（用公式法） 18．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x﹣k﹣5＝0，求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． 19．（6分）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价x（单位：元）与每天销量y（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） （2）葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 20．（8分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元． （1）若该学校购买50棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为 　 　 元；若该学校购买100棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为 　 　 元； （2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 22．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程检测试卷 （考试时间：80分钟 满分100分） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 2．一元二次方程x2﹣9x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝9 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝0，x2＝9 【分析】利用因式分解法把原方程转化为x＝0或x﹣9＝0，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】解：x（x﹣9）＝0， x＝0或x﹣9＝0， 所以x1＝0，x2＝9． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 3．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m2+2的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据b2﹣4ac＜0得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解． 【详解】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0， 解得：m＜﹣1． ∵一次函数y＝（m+1）x+m2+2中，k＝m+1＜0，b＝m2+2＞0， ∴该一次函数图象一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出m的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，且2x1x2+x1+x2≥20，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤﹣4 C．3≤m≤4 D．﹣3≤m≤4 【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ＝36﹣4（2m+1）≥0， ∴m≤4， ∵x1+x2＝6，x1x2＝2m+1， ∴2（2m+1）+6≥20， ∴m≥3， ∴3≤m≤4， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型． 5．若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（　　） A．4 B．5 C． D．10 【分析】先求出方程的解，根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，AB＝BC＝CD＝AD，再根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：解方程x2﹣14x+48＝0，得x＝6或8， 所以菱形ABCD的对角线为6和8， 设菱形ABCD的对角线AC和BD交于O， 所以AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3， 由勾股定理得：AB＝BC＝CD＝AD5， 即菱形ABCD的边长是5． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相垂直平分．菱形的四条边都相等． 6．如果m、n满足m2+2m﹣2＝0，n2+2n﹣2＝0，且m≠n，则的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据题意可知m，n是方程x2+2x﹣2＝0的两个根，再由根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵m、n满足m2+2m﹣2＝0，n2+2n﹣2＝0，且m≠n， ∴m，n是方程x2+2x﹣2＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2， ∴ ＝﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 7．某楼盘准备以每平方米6000元的均价销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价销售．设平均每次下调的百分率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．4860（1+x）2＝6000 B．6000（1﹣x2）＝4860 C．6000（1﹣2x）＝4860 D．6000（1﹣x）2＝4860 【分析】设出平均每次下调的百分率为x，根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，6000（1﹣x）2＝4860， 故选：D． 【点睛】本题考查列一元二次方程．理解题意是关键． 8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．利用判别式的意义和一元二次方程的定义列解不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac关系是关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是　a＜2且a≠1　 ． 【分析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到a的不等式，可求得a的取值范围． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且a﹣1≠0， 即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1， ∴a的取值范围是a＜2且a≠1． 【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键． 10．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k+2＝0的两个实数根为x1、x2，且有（x1+1）（x2+1）＞﹣4，则实数k的取值范围为 　﹣1≤k　 ． 【分析】先利用根的判别式的意义得到k≥﹣1，再根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣2k+2，接着利用（x1+1）（x2+1）＞﹣4得到﹣2k+2﹣4+1＞﹣4，然后解不等式，从而得到k的取值范围． 【详解】解：根据题意得Δ＝42﹣4（﹣2k+2）≥0， 解得k≥﹣1， 根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣2k+2， ∵（x1+1）（x2+1）＞﹣4， ∴x1x2+x1+x2+1＞﹣4， 即﹣2k+2﹣4+1＞﹣4， 解得k， ∴k的取值范围为﹣1≤k． 故答案为：﹣1≤k． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 11．在解方程x2+px+q＝0时，由于甲看错了一次项系数p，解得两根为﹣1与6；乙看错了常数项q，解得两根为﹣3与4，那么原方程的正确根应是　3或﹣2　 ． 【分析】首先根据根与系数的关系求得p，q的值，再进一步解方程即可． 【详解】解：根据根与系数的关系， 得q＝﹣1×6＝﹣6，p＝﹣（﹣3+4）＝﹣1． 则有方程x2﹣x﹣6＝0， 解得x＝3或﹣2． 故答案为3或﹣2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用韦达定理：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 12．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染 　14　 人． 【分析】设每天一人传染x人，则第一天传染了x人，第二天传染了x（1+x）人，根据两天后共有225人患上此病，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每天一人传染x人，则第一天传染了x人，第二天传染了x（1+x）人， 依题意得：1+x+x（1+x）＝225， 整理得：（1+x）2＝225， 解得：x1＝14，x2＝﹣16（不符合题意，舍去）， ∴每天一人传染14人． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 　﹣4或﹣1　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝﹣m，然后利用新定义得到﹣m＝2×2或﹣m2，从而得到m的值． 【详解】解：∵（x﹣2）（x+m）＝0， ∴x﹣2＝0或x+m＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣m， ∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”， ∴﹣m＝2×2或﹣m2， 即m＝﹣4或﹣1． 故答案为﹣4或﹣1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式和解一元二次方程． 14．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若2（x1+x2）＝3x1•x2，则k＝　0.8　 ． 【分析】根据根与系数的关系，可以先用k的代数式表示出x1+x2和x1•x2，然后根据2（x1+x2）＝3x1•x2，即可求得k的值． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k， ∵2（x1+x2）＝3x1•x2， ∴2（k+4）＝3×4k， 解得k＝0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确x1+x2，x1•x2． 15．如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为40米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为84平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为x米，则可列方程 　x（40﹣4x）＝84　 ． 【分析】根据垂直于墙的一边长为x米，得出平行于墙的一边的长，再根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：x（40﹣4x）＝84， 故答案为：x（40﹣4x）＝84． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是如何表示出矩形的长和宽，难度不大． 16．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　0　 ． 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2+3m＝2025，再将其代入原式＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025中，即可求出结论． 【详解】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2025＝0， ∴m2+3m＝2025， ∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣2028m+2025 ＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025 ＝2025m﹣m2﹣2028m+2025 ＝﹣m2﹣3m+2025 ＝﹣（m2+3m）+2025 ＝﹣2025+2025 ＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 三．解答题（共52分） 17．（18分）解下列一元二次方程： （1）（1+x）2＝9； （2）x2+4x﹣1＝0； （3）3x2+2x﹣1＝0； （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）； （5）x2﹣4x+4＝0； （6）2x2﹣5x＝3；（用公式法） 【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可； （3）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可； （4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：（1）（1+x）2＝9， 1+x＝±3， x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2+4x﹣1＝0， b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣1）＝20， x， x1＝﹣2，x2； （3）3x2+2x﹣1＝0， （3x﹣1）（x+1）＝0， 3x﹣1＝0，x+1＝0， x1，x2＝﹣1； （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）， （2x+1）2+3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1+3）＝0， 2x+1＝0，2x+1+3＝0， x1，x2＝﹣2； （5）x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， x﹣2＝0， 即x1＝x2＝2； （6）2x2﹣5x＝3， 2x2﹣5x﹣3＝0， （2x+1）（x﹣3）＝0， 2x+1＝0，x﹣3＝0， x1，x2＝3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各个方法解一元二次方程是解此题的关键． 18．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x﹣k﹣5＝0，求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． 【分析】根据一元二次方程根于系数的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，即可得出答案． 【详解】证明：∵a＝1，b＝﹣（k+4），c＝﹣k﹣5， ∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（﹣k﹣5） ＝k2+12k+36 ＝（k+6）2， ∵（k+6）2≥0， ∴该方程总有实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系是解题的关键． 19．（6分）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价x（单位：元）与每天销量y（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） （2）葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）直接根据题意列一元二次方程求解，并取最小解即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系是y＝kx+b， ， 解得： 故y＝﹣5x+290． （2）由题意得：（x﹣30）（﹣5x+290）＝800． ∴x1＝50，x2＝38． 由题意可得：x＝38． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元． 【点睛】题目主要考查一次函数与一元二次方程的应用，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 20．（8分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元． （1）若该学校购买50棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为 　6000　 元；若该学校购买100棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为 　10000　 元； （2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗． 【分析】（1）根据题意分别列式计算即可； （2）设这所学校购买了x棵树苗，根据题意判断x的取值范围，再根据该学校向园林公司支付树苗款8800元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：（1）若该学校购买50棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为120×50＝6000（元）， 若该学校购买100棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为100×[120﹣（100﹣60）×0.5]＝100×100＝10000（元）， 故答案为：6000；10000； （2）设这所学校购买了x棵树苗， ∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元， ∴该中学购买的树苗超过60棵， ∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元， ∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过10000元， 而10000＞8800， ∴该中学购买的树苗小于100棵， ∴60＜x＜100， 根据题意得：x[120﹣（x﹣60）×0.5]＝8800， 整理得：x2﹣300x+17600＝0， 解得：x1＝220（不符合题意，舍去），x2＝80， 答：这所学校购买了80棵树苗． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 【分析】（1）利用根与系数的关系可得另外一根； （2）把a＝1代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4； （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键． 22．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再根据两根的差是否为1，即可确定m的值； （2）利用根与系数的关系，再结合邻根方程的定义，通过变形即可求出b、c． 【详解】解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝m， ∵方程是邻根方程， ∴|﹣3﹣m|＝1， ∴﹣3﹣m＝±1， ∴m＝﹣2，或m＝﹣4； （2）在x2+bx+c＝0中， x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴4x1x2＝b2﹣4c＝1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点，是解题的关键． 23．（8分）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　6　 ；x1•x2＝ 　﹣15　 ； （2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值； （3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1•x2﹣3，求m的值． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算； （3）先利用根的判别式的意义得到（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，则解得m，再利用根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1，所以2m+1＝m2+1﹣3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝6；x1•x2＝﹣15； 故答案为：6，﹣15； （2）根据根与系数的关系得x1+x22，x1•x2， 所以4； （3）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1， ∵x1+x2＝x1•x2﹣3， ∴2m+1＝m2+1﹣3， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∵m， ∴m的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程检测试卷评分标准及参考答案 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C B D D C 二．填空题（共8小题） 9．a＜2且a≠1． 10．﹣1≤k． 11．3或﹣2． 12．14． 13．m＝﹣4或﹣1． 14．0.8． 15．x（40﹣4x）＝84． 16．0． 三．解答题（共52分） 17．（18分） 解：（1）（1+x）2＝9， 1+x＝±3， x1＝2，x2＝﹣4；（3分） （2）x2+4x﹣1＝0， b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣1）＝20， x， x1＝﹣2，x2；（6分） （3）3x2+2x﹣1＝0， （3x﹣1）（x+1）＝0， 3x﹣1＝0，x+1＝0， x1，x2＝﹣1；（9分） （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）， （2x+1）2+3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1+3）＝0， 2x+1＝0，2x+1+3＝0， x1，x2＝﹣2；（12分） （5）x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， x﹣2＝0， 即x1＝x2＝2；（15分） （6）2x2﹣5x＝3， 2x2﹣5x﹣3＝0， （2x+1）（x﹣3）＝0， 2x+1＝0，x﹣3＝0， x1，x2＝3．（18分） 18． （4分） 证明：∵a＝1，b＝﹣（k+4），c＝﹣k﹣5， ∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（﹣k﹣5） ＝k2+12k+36（3分） ＝（k+6）2， ∵（k+6）2≥0， ∴该方程总有实数根．（4分） 19．（6分） 解：（1）设y与x之间的函数关系是y＝kx+b， ， 解得： 故y＝﹣5x+290．（3分） （2）由题意得：（x﹣30）（﹣5x+290）＝800． ∴x1＝50，x2＝38． 由题意可得：x＝38． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．（6分） 20．（8分） 解：（1）若该学校购买50棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为120×50＝6000（元）， 若该学校购买100棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为100×[120﹣（100﹣60）×0.5]＝100×100＝10000（元）， 故答案为：6000；10000；（3分） （2）设这所学校购买了x棵树苗， ∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元， ∴该中学购买的树苗超过60棵， ∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元， ∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过10000元， 而10000＞8800， ∴该中学购买的树苗小于100棵， ∴60＜x＜100， 根据题意得：x[120﹣（x﹣60）×0.5]＝8800， 整理得：x2﹣300x+17600＝0， 解得：x1＝220（不符合题意，舍去），x2＝80，（7分） 答：这所学校购买了80棵树苗．（8分） 21．（8分） 解：（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4；（4分） （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1．（8分） 22． （8分） 解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝m， ∵方程是邻根方程， ∴|﹣3﹣m|＝1， ∴﹣3﹣m＝±1， ∴m＝﹣2，或m＝﹣4；（4分） （2）在x2+bx+c＝0中， x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴4x1x2＝b2﹣4c＝1．（8分） 23．（8分） 解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝6；x1•x2＝﹣15； 故答案为：6，﹣15；（2分） （2）根据根与系数的关系得x1+x22，x1•x2， 所以4；（5分） （3）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1， ∵x1+x2＝x1•x2﹣3， ∴2m+1＝m2+1﹣3， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∵m， ∴m的值为3．（8分） 1 学科网（北京）股份有限公司 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