湖南省株洲市渌口区第五中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

渌口区第五中学高一年级2025上期第三次月考试题卷 数学学科 时量:120分钟 满分:150分 班级： 姓名： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知z=2-i，则(     ) A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i 2. 已知平面α⊥平面β，直线，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 4. 在正四面体ABCD中，点E,F,G分别为，棱BC,CD,AC的中点，则异面直线AE,FG所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 5．已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 6. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+f(y)-2，则(    ) A. f(0)=0 B. 函数f(x)-2是奇函数 C. 若f(2)=2，则f(2024)=-2 D. 函数f(x)在(0,+∞)单调递减 8. 如图，将绘有函数的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A,B之间的距离为，则=( ) A. B. C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于平面向量的说法中正确的是( ) A. 设a，b为非零向量，若,则a，b的夹角为锐角 B. 设a，b，c为非零向量，则 C. 设a，b为非零向量，若，则 D. 若点G为△ABC的重心，则 10．在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c-b=2bccosA，则下列结论正确的有(    ) A. A=2B B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设AB=1，则下列说法正确的是(    ) A. 该多面体的体积为 B. 过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C. 设点O为平面AQG截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为 D. 该多面体的外接球表面积为4π 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆台OO1的上底半径分别为1cm,2cm,高为3cm，光源点A沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点则光线在圆台内部扫过的面积为_____________ 13．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 . 14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则 ；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值. 17．（本小题满分15分）在△ABC中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求△ABC的周长． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. (本小题满分17分)定义有序实数对(a,b)，的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,-1)的“跟随函数”为f(x)，若f(x)=0,，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知a=3，若有序数对(a,b)，的“跟随函数”y=f(x)在x=x0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渌口区第五中学高一年级2025上期第三次月考试题卷 数学学科 时量:120分钟 满分:150分 班级： 姓名： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知z=2-i，则(     ) A.6-2i B. 4-2i C.6+2i D. 4+2i 【答案】C  【解答】解：，，， 故选C． 2. 已知平面α⊥平面β，直线，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解答】解：平面平面，直线，当时，则一定有； 反之，当时，不一定成立则“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 3．若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由，得， 即，得，所以， 所以. 故选：D. 4. 在正四面体ABCD中，点E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点，则异面直线AE,FG所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】解：连接 ，设正四面体 的棱长为， 因为， 分别为， 的中点，则  ，所以异面直线 ， 所成角为  或其补角， 在  中，则  ， 由余弦定理可得  ， 所以异面直线 ， 所成角的余弦值为  ． 故选：． 5．已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【答案】A 【解析】因为向量共线，所以，解得， 又，所以，，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 6. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】  取的中点为，连接， 因为平面，而平面，故， 故. 同理，而，平面， 故平面，而平面，故， 故， 综上，为三棱锥外接球的球心， 而，故外接球的半径为3， 故球的表面积为， 故选：C 7．已知函数的定义域为，，则(    ) A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 【答案】B  【解答】 解：对于，令，可得，解得，故A错误； 对于，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于，令，得，则是周期函数，周期为，所以，故C错误； 对于，令，，且，则， 即，而时，与大小不定，故D错误． 故选：． 8. 如图，将绘有函数的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A,B之间的距离为，则=( ) A. B. C． D． 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于平面向量的说法中正确的是( ) A. 设a，b为非零向量，若,则a，b的夹角为锐角 B. 设a，b，c为非零向量，则 C. 设a，b为非零向量，若，则 D. 若点G为△ABC的重心，则 10．在锐角中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且，则下列结论正确的有(    ) A. A=2B B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD  解：，由正弦定理可得， 又，， 即，， ，，为锐角，，即，故选项A正确； ，，故选项 B正确； ，故选项C错误； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又，， ，故选项D正确． 故选ABD． 11. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设AB=1，则下列说法正确的是(    ) A. 该多面体的体积为 B. 过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C. 设点O为平面AQG截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为 D. 该多面体的外接球表面积为4π 【答案】ACD  【解析】解：由已知，则正方体棱长， 所以多面体体积，选项正确； 由平面的性质可知过、、三点的平面截该多面体所得的截面为边长为的正六边形， 其面积为，选项错误； 如图所示，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设点，且，， 则，， 所以，即，选项正确； 由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为， 则外接球半径为， 即外接球表面积为，选项正确； 故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆台OO1的上底半径分别为1cm,2cm,高为3cm，光源点A沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点则光线在圆台内部扫过的面积为_____________ 答案：cm2 13． 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 . 【答案】 【解析】将函数，化为， 再向左平移个单位即为： 又所得函数为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即时函数值为最大或最小值，即或， 所以，即， 又，所以的最小值是. 14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则 ；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由题可知， ∴， ∴， 结合以及正六边形的几何特征可知为的中点， 所以 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 【详解】（1）向量， 则；（5分） （2），（7分）解得，（9分） 所以.（13分） 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值. 【解】（1） ， 则函数的最小正周期为. （2）根据图象变换可得：. 令， 解得：， 则的单调减区间为. 令 则. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 且当时，；当时，；当时，. 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17．（本小题满分15分）在△ABC中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求△ABC的周长． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，，（3分） ，即， 即，∴． 又，；（不写B的范围扣1分） （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，即，所以， 又由余弦定理，即， 所以， 解得或（舍去）， 所以. 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19．（本小题满分17分）定义有序实数对(a,b)，的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,-1)的“跟随函数”为f(x)，若f(x)=0,，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知a=3，若有序数对(a,b)，的“跟随函数”y=f(x)在x=x0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围． 【答案】解：由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； 由题意，则， 时，； 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此 从而，即． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 渌口区第五中学高一年级数学科第三次月考 答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 一、客观题(1~8为单选题，每小题5分;9~11为多选题每小题6分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 13. 14. 三、解答题 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分）