精品解析：重庆市凤鸣山中学教共体2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆市凤鸣山中学教共体学校2024-2025学年度下期 初2023级数学半期试题 命题人： 考试说明：1．考试时间：120分钟；2．试题总分：150分；3．试卷页数：8页 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置； 2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人代表凤中参加射击竞赛，他们的平均成绩都是94分，方差分别是．你认为选派谁去参赛更合适（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 B. 菱形的四条边都相等 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形 5. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 2025年4月20日，美湖智造·2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松7：30鸣枪开跑！甲、乙两人参加了5千米的迷你跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 7. 如图，AC，BD是▱ABCD的对角线，AC⊥CD，若BD﹣AC＝4，且AB＝4，则线段BC的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 重庆市某手套生产企业接到紧急生产一批手套的任务．企业安排生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务，乙车间中途停工一段时间维修设备，然后改变速度继续生产，直到与甲车间同时完成生产任务为止．设该企业未生产的手套数量（万只）与甲车间生产时间（天）之间的关系如图所示．在下列描述中，正确的是（　　） A. 乙车间维修设备时间为2天 B. 若乙车间不停工且不改变速度则可以提前完成任务 C. 五天内，甲车间生产手套的数量比乙车间数量多 D. 乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只 9. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点，与、交于、两点，则四边形的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知为负整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而增大； ③若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 12. 在矩形中，对角线交于点．若，则的长为___________． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 14. 做实教共体：依托“沙坪坝，老师好！”品牌让优质教育资源更加可感可及，凤中教共体招聘数学教师，其中一名应聘者的笔试成绩90分，试讲成绩85分，结构化成绩85分．若笔试成绩、面试成绩和结构化成绩在综合成绩中的占比分别是．则该应聘者的综合成绩是___________分． 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，则___________（填“”、“”或“”）． 16. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为24，面积为30，则的值为_______． 17. 若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 18. 对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．下面请计算___________．若一个两位数，一个三位数（其中，，且均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“赋能数对”，则所有“赋能数对”中的最小值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）解分式方程： 20. 在学习矩形的过程中，小鸣遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小鸣的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）． 在和中， ， ∴． 又， ______①_____ ， ______②_____ 又______③_____ ． 同理可得________④____________ _____⑤______ 21. 在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 22. 如图，在中，点M，N分别在边，上，点E，F在对角线上，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点N是的中点，求平行四边形的面积． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 24. 如图，中，，，动点M、N分别以每秒4个单位长度、3个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（、均包含端点），点达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点． ①如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，点到直线的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教共体学校2024-2025学年度下期 初2023级数学半期试题 命题人： 考试说明：1．考试时间：120分钟；2．试题总分：150分；3．试卷页数：8页 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置； 2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 2. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对角相等的性质． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即．已知，因此． 故选C． 3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人代表凤中参加射击竞赛，他们的平均成绩都是94分，方差分别是．你认为选派谁去参赛更合适（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键． 比较方差大小，根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∵四人的平均成绩都是94分， ∴选派丙去参赛更合适． 故选：C． 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 B. 菱形的四条边都相等 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断． 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，故该选项正确，不符合题意； B、菱形的四条边都相等，故该选项正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项正确，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形都是轴对称图形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，先由“左加右减”的平移规律求出正比例函数的图象向右平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，得到， ，， 平移后的图象经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故选：B． 6. 2025年4月20日，美湖智造·2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松7：30鸣枪开跑！甲、乙两人参加了5千米的迷你跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5千米的比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟米，则可列方程 故选：A． 7. 如图，AC，BD是▱ABCD的对角线，AC⊥CD，若BD﹣AC＝4，且AB＝4，则线段BC的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设AC，BD交于O点，根据BD﹣AC＝4可得BO﹣AO＝2，可设BO=x，则AO=x-2，根据勾股定理列出方程求出x，再求出BC即可． 【详解】设AC，BD交于O点， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO=,AO=， ∵BD﹣AC＝4 ∴BO﹣AO＝2， 设BO=x，则AO=x-2， ∵AC⊥CD， ∴AB⊥CD ∴△ABC与△ABO都是直角三角形， ∴，故 解得x=5，AO=3 ∴AC=6 ∴在Rt△ABC中，BC= 故选B． 【点睛】 此题主要考查平行四边形的性质与线段求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用． 8. 重庆市某手套生产企业接到紧急生产一批手套的任务．企业安排生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务，乙车间中途停工一段时间维修设备，然后改变速度继续生产，直到与甲车间同时完成生产任务为止．设该企业未生产的手套数量（万只）与甲车间生产时间（天）之间的关系如图所示．在下列描述中，正确的是（　　） A. 乙车间维修设备时间为2天 B. 若乙车间不停工且不改变速度则可以提前完成任务 C. 五天内，甲车间生产手套的数量比乙车间数量多 D. 乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，根据函数图象可得：乙车间维修设备时间为1天，即可判断A，根据函数图象求得总任务有万只，进而判断B选项，根据第2天后，甲乙合作每天生产万只，得出乙的速度，进而判断D选项，根据五天内，甲乙生产数量相同即可判断C选项，即可求解． 【详解】解：函数图象在和时出现的变化，乙车间维修设备时间为1天，故A.选项不正确，不符合题意； 甲每天生产万只， ∴总任务有：万只， ∵生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务， ∴若乙车间不停工且不改变速度，需要天，不能提前完成任务；故B选项错误， 第2天后，甲乙合作每天生产万只， ∴乙改变速度为每天生产万只， 万只， 即乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只，故D选项正确； 五天内，甲车间生产手套的数量为万只 乙车间生产的数量为万只，两车间一样多，故C选项错误， 故选：D． 9. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点，与、交于、两点，则四边形的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键． 设点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 轴，轴， 在反比例函数图象上， ， 设点的坐标为，而点在反比例函数图像上，则， 又矩形对角线的中点为， ，，， ， ， 故选：． 10. 已知为负整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而增大； ③若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法、整式的大小比较、一次函数性质以及绝对值不等式相关知识．解题关键是通过多项式乘法展开式子，再利用整式运算、函数性质及绝对值性质进行分析判断． 先表示出，，从而得出，再结合为正整数，进一步可判断①②，同理可得，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵m为负整数， ∴的最大值是， ∴， ∴，故①符合题意； ∵，而， ∴随的增大而减小；故②说法错误； ∵， ， 为负整数， ， 满足的整数n有且只有4个， 整数的值为，，，， ， ， ，故③说法错误； 综上所述：正确的有1个 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在矩形中，对角线交于点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质对角线相等可知，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴， ∴. 14. 做实教共体：依托“沙坪坝，老师好！”品牌让优质教育资源更加可感可及，凤中教共体招聘数学教师，其中一名应聘者的笔试成绩90分，试讲成绩85分，结构化成绩85分．若笔试成绩、面试成绩和结构化成绩在综合成绩中的占比分别是．则该应聘者的综合成绩是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用笔试成绩和面试成绩分别乘以其对应的权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解：分， ∴该应聘者的综合成绩是分， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性与的符号的关系，即可得到答案 【详解】解：一次函数中 随的增大而减小 故答案为： 16. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为24，面积为30，则的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于，可求，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于， 四边形是菱形， ，， ， ，， ，， ，， 在和中 ， （）， ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 17. 若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法，m取值的方法先算出的取值范围，再解分式方程，得到方程的解，结合题意找出符合题意的m的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵不等式组至多有三个整数解， ∴， ∴， ， 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴取1，2，3，6， 此时m取0，1，2，5， ∵， ∴m不能去2， ∴所有满足条件的整数的值为1，5， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：6 18. 对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：．下面请计算___________．若一个两位数，一个三位数（其中，，且均为整数），交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“赋能数对”，则所有“赋能数对”中的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义计算，整数的数位表示法，余数与整除的关系，数的不同表示法，熟练掌握数的整除，表示，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意列式解答即可； （2）根据题意，得，，于是得到，表示与的个位数字的2倍的和为，结合与的个位数字的2倍的和被12除余1，能被12整除，分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：根据定义，得， 故答案为：． （2）根据题意，得， ， ∴百位数字为，个位数字为， ∴， ∴与的个位数字的2倍的和为： ， ∵与的个位数字的2倍的和被12除余1， ∴能被12整除， ∴ ， ∴，都是整数， ∵，，且，均为整数， ∴， ∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，或， 当时，； 当时，； 当时，（舍去）或， 当时，； 综上所述，的最小值为164． 故答案为：164． 三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分数的混合运算与解分式方程，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键； （1）先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再进行计算，即可得到结果； （2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 经检验，是原分式方程的解． 20. 在学习矩形的过程中，小鸣遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小鸣的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）． 在和中， ， ∴． 又， ______①_____ ， ______②_____ 又______③_____ ． 同理可得________④____________ _____⑤______ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为， （2）分别利用证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）证明：在和中， ∵， ∴． 又， ∴① ∵， ∴② 又③ ∴． 同理可得④ ∴⑤． 故答案为：①，②，③，④，⑤ 21. 在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）548 【解析】 【分析】此题考查了求平均数，中位数和众数，根据以上数据作决策，解题的关键是正确分析统计图中的数据． （1）首先求出甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比，然后用1减去其他组所占的百分比即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可求出b和c的值； （2）根据甲班和乙班的中位数和众数判断求解即可； （3）利用样本平均数求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲班10名学生的测试成绩在C组的数据是：84，85，88，共3人， 甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比为， ∴B组人数所占的百分比， ∴； ∵一共抽取10名学生进行模拟测试， ∴中位数为从小到大排列后第5名和第6名的平均数， ∴中位数； ∵乙班10名学生的测试成绩的数据中99分出现的次数最多， ∴众数； 【小问2详解】 解：甲班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 甲班抽取的学生测试成绩的中位数86.5大于乙班抽取的学生测试成绩的中位数85； 乙班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 乙班抽取的学生测试成绩的众数99大于甲班抽取的学生测试成绩的众数95． （结论，原因，作答其中一条即可） 【小问3详解】 解：（分）． 答：甲班抽取的10名学生的测试成绩在B、D组的总成绩为548． 22. 如图，在中，点M，N分别在边，上，点E，F在对角线上，且，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点N是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证从而证明，再证且，得出结论即可． （2）连接先判定四边形是菱形，得到，根据，求出长，从而求出及长，再由中位线定理求出长，根据平行四边形面积公式得出即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， ， 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：连接，交于点O， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，，， ， ，， ，即点E是的中点， ，同理可得 点F是的中点， ， 在中，， ， 点N是的中点，点E是的中点， ，， ， ，即， 的面积是：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及中位线定理，熟练掌握平行四边形、菱形性质判定和性质是解题关键． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 24. 如图，中，，，动点M、N分别以每秒4个单位长度、3个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（、均包含端点），点达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】（1） （2）图象见解析， ①该函数在自变量的取值范围内，有最大值、最小值．当时，函数取得最大值10，当和7时，函数取得最小值0； ②当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小．（以上两条性质写一条即可） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，动点函数图象，利用图象法求函数自变量取值范围．利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，分两种情况讨论，当时，当2＜t≤7时，由勾股定理和线段和差即可求解； （2）根据函数关系式画出函数图象即可；根据图象最值或增减性得出性质即可； （3）根据图象，得出当时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 当时， ∴， 当2＜t≤7时，， ∴． 综上，； 【小问2详解】 解：函数的图象如图所示： ①该函数在自变量的取值范围内，有最大值、最小值．当时，函数取得最大值10，当和7时，函数取得最小值0； ②当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小．（以上两条性质写一条即可） 【小问3详解】 解：由图象可得：当时，或． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）、，直线的解析式为 （2）或 （3）所有符合条件的点的坐标为，， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【小问1详解】 解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 26. 已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点． ①如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，点到直线的最小值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （2）①证明：如图，设与相交于点． ， ， ， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ． 又， ， ， 矩形是正方形； ②点到直线的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质； （1）利用正方形性质可得、，然后利用即可证明结论； （2）①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，再证明可得从而证明结论；②如图：作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：作交于点，作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ，， 最大时，最小，， ， 点到直线的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $