精品解析：浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷

2025年5月上虞区高考及选考适应性考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　 A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（ ） A. 192 B. 144 C. 124 D. 216 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 6. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当且仅当有，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 10. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 的最大值 C. 直线AB与曲线C没有其它交点 D. 曲线C所围成的面积为 11. 已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则数列为常数列 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________． 13. 已知定义在R上的函数满足且，则________． 14. 已知平行四边形ABCD满足，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． （1）求证：面面； （2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 16. 已知函数，． （1）若在处的切线方程为，求实数m的值； （2）讨论的单调性. 17. 在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． （1）求角B的大小； （2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离是． （1）求抛物线方程； （2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC． （ⅰ）求证：直线BC恒过一定点； （ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程． 19. 已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记． （1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）； （2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由； （3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月上虞区高考及选考适应性考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再由交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得：， 所以， 对于A、B，，故A错误，B正确； 对于C、D，，故CD错误； 故选：B. 2. 已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解. 【详解】为纯虚数， ，， ， 故选B． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解. 【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为， 又在函数的图象上，故，解得， 故选：. 4. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（ ） A. 192 B. 144 C. 124 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】先排数学课，再排体育课，最后排剩下的语文、政治、英语、心理4堂课，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】数学课排在上午有种，体育课排在下午有种， 剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有种， 所以种. 故选：A. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 6. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设外接球的半径为，则， 则正四棱锥的体积为，解得， 所以球的表面积为． 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。 7. 已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再由角平分线定理可求出，进而求出的各边长，即可求出，再由等面积法求出，，即可求出. 【详解】由双曲线可知：， 所以，， 令，则，解得：，不妨设， 所以， 因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：， 所以，又因为，所以，， 所以，所以， 因为，所以的高为， 所以， 又因为， 解得：，同理， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，当且仅当有，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，由此求出，即可求出，再由可得，再对进行求导，得到在的单调性和的函数值即可得出答案. 【详解】由题意可知， ，解得， 当时，则， 又，所以，所以， 验证：， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，， 所以当且仅当时，，所以成立. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布的定义判断 【详解】若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 10. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 的最大值 C. 直线AB与曲线C没有其它交点 D. 曲线C所围成的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分； 当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，    由图可知， 对于A，因为，所以， 即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确； 对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确； 对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误； 曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则数列为常数列 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数的性质判断A，由，结合，即可判断B，求出、、，即可判断C，根据组合数的性质判断D. 【详解】对于A：当，则，又， 所以，故A正确； 对于B：当，则， 又，所以， 则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C：当，则， 则，， ， 所以数列不是常数列，故C错误； 对于D：首先证明， 考虑多项式中的系数， 一方面：代数式中，的系数为； 另一方面：代数式中， 的系数为； 因为，所以； 所以. 当时， ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出离心率. 【详解】因为椭圆的左顶点为， 所以，则，所以该椭圆的离心率. 故答案为： 13. 已知定义在R上的函数满足且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出. 【详解】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知平行四边形ABCD满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形为平行四边形结合余弦定理计算，再应用同角三角函数关系求解. 【详解】因为平行四边形ABCD满足， 又因为， 所以， 所以，所以， 则． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． （1）求证：面面； （2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长． 【答案】（1）证明如下： 因为三棱柱为正三棱柱， 所以，因为D为AB中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面面， 所以面，面， 所以平面面. （2）AE的长为. 【解析】 【分析】（1）先证得，，由线面垂直的判定定理可得面，再由面面垂直的判定定理可得平面面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ，设面的法向量为， ， 则，所以，令，则， 所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为， 所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为， 即，即， 解得：或（舍去）， 所以，AE的长为. 16. 已知函数，． （1）若在处的切线方程为，求实数m的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意和切线方程列方程求解实数的值． （2）首先求出，分类讨论利用导数的符号求出函数的单调性. 【小问1详解】 由，． 依题意， ， 解得 . 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒有 ，故在上单调递减， ②当时，令，得， 由，得；由，得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． （1）求角B的大小； （2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理表示出，然后代入计算，结合正弦函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 由余弦定理可得，则， 又，由可得， 即，且，所以. 【小问2详解】 设，则，则， 在中，由正弦定理可得， 则， 则， 由可得， 且， ， 在中，由正弦定理可得， 则， 所以 ， 则， 且，所以当时，即，取得最大值. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离是． （1）求抛物线方程； （2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC． （ⅰ）求证：直线BC恒过一定点； （ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设直线BC的方程为，，， 联立得，则，， ，， 因为，所以，所以， 又，，所以， 所以， 因为，，所以， 所以，所以，即， 所以， 所以直线BC恒过定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知焦点到准线的距离是，可得，即可求解； （2）由已知可得，（ⅰ）设直线BC的方程为，，，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理结合已知，即可求解；（ⅱ）对两边求导，根据导数的几何意义分别求得三条切线方程，联立方程可得P，Q，R三点的坐标，然后根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线为， 因为焦点到准线的距离是，所以， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 因为点在抛物线上，所以，所以， （ⅰ）略 （ⅱ） 对两边求导的，所以， 在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，即， 在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，所以， 又，所以， 在点处的切线方程为， 设， 联立，得，则， 联立，得，则， 联立，得，则， 所以 ， 点到直线的距离为， 所以，又， 解得，所以直线BC的方程的方程为. 19. 已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记． （1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）； （2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由； （3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值． 【答案】（1） （2）充分不必要条件 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，相邻项差值不超过1，通过递推确定的可能取值； （2）分析等差数列的公差与条件的关系，判断条件的充分性与必要性； （3）第（2）问：构造满足条件的数列，分析集合的结构，利用组合数计算概率的最大值. 【小问1详解】 因为数列满足：①，②， 故由，得的可能取值为， 若，则可为； 若，则可为； 若，则可为； 综合所述，的可能取值为. 【小问2详解】 p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明： 先证明条件q推不出条件p， 因为为等差数列，且为数列， 因为，所以常数列：满足条件， 此时，故条件q推不出条件p， 再证明条件p能够推出条件q， 数列满足：①，②且，， 因为从到需要净增长2025 在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1， 即该数列只能是：0,1,2,...,2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q， 综上所述，p是q的充分不必要条件， 【小问3详解】 ， 当时，令（）， 当为奇数时，数列：， 此时，，，，，．．．，， 此时， ； 当为偶数时，数列：， 此时，，，，．．．， 此时， ； 对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值， 因此，概率的最大值为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $