10.3.2 随机模拟（分层作业）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

10.3.2 随机模拟 题型一 整数值随机模拟问题 1．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 3．下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 4．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 5．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 6．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为 ； 7．欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 8．甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 9．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？ 10．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图 （1）求图中实数的值； （2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. 11．某网站针对“2016年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如表：(单位：万人) 人群 青少年 中年人 老年人 支持A方案 200 400 800 支持B方案 100 100 n 已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为. (1)求n的值； (2)从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率． 12．为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上不影响其存活的记号,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. 1．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ （4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率. 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率. 3．从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3.2 随机模拟 题型一 整数值随机模拟问题 1．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 3．下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 4．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 5．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 【答案】0.75/ 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 6．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为 ； 【答案】/ 【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342， 512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种， 所以估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 7．欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 【答案】10 【分析】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，不大于59的为满足要求的编号. 【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10. 故答案为：10 8．甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 9．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？ 【答案】答案见解析 【分析】利用计算机随机模拟的方法名即可完成把1200名学生分配到40个考场中去 【详解】要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成. (1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机. (2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同). (3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推即可完成. 10．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图 （1）求图中实数的值； （2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. 【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3）. 【分析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解. （2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解. （3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解. 【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1， ∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1， 解得a=0.03. （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85， ∵该校高一年级共有学生640人， ∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人. （3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B， 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F. 若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)， (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种. 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10. 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M， 则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种. ∴所求概率为P(M)=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．某网站针对“2016年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如表：(单位：万人) 人群 青少年 中年人 老年人 支持A方案 200 400 800 支持B方案 100 100 n 已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为. (1)求n的值； (2)从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率． 【答案】(1) n＝400. (2) 【分析】（1）依据分层抽样的方法，各层抽样比相等，列方程，求解即可求出；（2）先确定6人的构成情况，再根据古典概型概率计算公式，算出6人中任意选取2人的事件数，然后求出恰好有1人“支持B方案”的事件数，最后利用公式算出． 【详解】解：(1)，解得n＝400. (2)抽取的6人中支持A方案的有(人)，分别记为1，2，3，4. 支持了B方案的有(人)，记为a，b. 所有的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，b)，共15种． 恰好有1人“支持B方案”的事件有(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，故恰好有1人“支持B方案”的概率． 【点睛】本题主要考查古典概型概率计算公式的应用以及分层抽样的方法． 12．为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上不影响其存活的记号,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. 【答案】1500只． 【详解】试题分析:根据频率等于频数除以总数得频率，再根据等可能性以频率估计概率，最后根据总数等于频数除以概率得结果 试题解析:设保护区中天鹅的数量约为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={带有记号的天鹅},则P(A)=,第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的统计定义可知P(A)=,由两式,得,解得n=1 500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. 1．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ （4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率. 【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析. 【解析】(1)"袋中没有黄球,故摸出的球是黄球"是不可能事件; (2)"摸出的球是白球"是不确定事件,根据概率公式即可求解; (3)"摸出的球是白球或黑球"是必然事件,故它的概率为; (4)利用计算机生成随机数表,即可估计估计“取出的球是白球”的概率. 【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为. (2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是. (3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是 (4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球. 7 6 8 4 1 3 8 1 6 4 8 6 8 4 8 8 4 6 2 1 5 1 5 5 2 2 8 3 6 5 9 4 3 5 7 9 7 9 5 3 3 4 4 3 4 4 8 4 9 2 4 9 2 1 1 6 4 5 5 2 7 8 4 3 4 9 6 9 8 4 6 7 5 8 9 9 4 8 6 8 7 3 7 1 3 8 3 2 6 6 4 3 1 7 7 2 2 4 9 5 从表中可以查1-4数据有46个, 5-9数据有54个. “取出的球是白球”的概率为: 【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率. 【答案】 【解析】奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制,甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1.显然,甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局,并赢得第3局的概率,与打满3局,甲胜2局或3局的概率相同,每局比赛甲可能胜,也可能负,3局比赛所有可能结果有8种,但是每个结果不是等可能出现的,因此不是古典概型,可以用计算机模拟比赛结果. 【详解】设事件“甲获得冠军”,事件“单局比赛甲胜”,则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.例如,产生20组随机数: 423   123   423   344   114   453   525   332   152   342 534   443   512   541   125   432   334   151   314   354 相当于做了20次重复试验.其中事件发生了13次,对应的数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件的概率的近似似值为. 【点睛】本题考查了利用计算机模拟试验来估计事件发生的概率,解题关键是掌握用随机数表法来估计事件发生的概率,考查了分析能力,属于基础题. 3．从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率. 【答案】见解析 【解析】根据题意可知,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验,即可求得答案. 【详解】根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验. 因此,可以构建如下有放回摸球试验进行模拟:在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球,这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生月份,这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同,表示事件发生了.重复以上模拟试验20次,就可以统计出事件发生的频率. 【点睛】本题考查了设计模拟实验估计事件发生的概率,解题关键是要根据题中所给的条件分析出每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,考查了分析能力和推理能力. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$