精品解析：山东省邹城市第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

高二下学期5月质量检测 数学 试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程，求出解，得到交集. 【详解】联立，解得， 故. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 4. 某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（ ）种不同的选法. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照只会印刷的人中被选中人数进行分类，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 5. 若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得. 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合. 故选：A 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得， 即， 则，而不恒为0， 所以. 故选：C 7. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9. 以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用重要不等式可得到，进而可判断A；将原式展开结合基本不等式可判断B；利用基本不等式可判断C，注意等号成立的条件；利用常值代换结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于B，，所以， 即，解得（当且仅当时等号成立）或（当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD 10. 设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由分布列性质求得，再由求概率判断A、B，均值和方差的求法求判断C，由期望和方差的性质求判断D. 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极大值 B. 当时， C. ，恒成立 D. 当有且仅有两个零点时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间，再分析函数的极值，可判断A的真假；求导，判断函数在上的单调性，可判断B的真假；举特例，可判断C的真假；利用分离参数法，把问题转化成方程有两解的问题，再设，利用导数分析函数的单调性，求出极值，画出草图，数形结合，可求的值，可判断D的真假. 【详解】对于选项A，当时，．则. 令．解得．则当时．，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在有取得极大值，A正确． 对于选项B，，当，时，， 故在单调递增，则，B正确． 对于选项C，若，当时，，C错误． 对于选项D，令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立． 画出的大致图象，如下： 可知当有两个零点时，，D正确． 故选：ABD 三、填空题 12. 已知函数，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】易知当时无解；当时，利用导数研究函数的性质可得在上有且仅有唯一的零点，进而根据求解即可. 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 13. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率________；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解. 【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法， 又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法， 所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为， 记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位， 则，，所以， 故答案为：；. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 15. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 【答案】（1）； （2）6561 （3）3281 【解析】 【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可； （2）利用赋值法，令，求出即可； （3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得. 【小问1详解】 因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以， 故. 即，二项式系数最大项为第5项：； 【小问2详解】 令，得， 所以. 【小问3详解】 令，得， 令，得. 两式相加可得. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）分布列： 1 2 3 4 （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 略 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）类，理由如下： 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为： （2）小明应选择先回答类问题，理由略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期5月质量检测 数学 试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 4. 某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（ ）种不同的选法. A. B. C. D. 5. 若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，则 10. 设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极大值 B. 当时， C. ，恒成立 D. 当有且仅有两个零点时， 三、填空题 12. 已知函数，若，则实数_________． 13. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率________；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为________. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 三、解答题 15. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $