精品解析： 2025年山东省临邑县初中学业水平练兵模拟预测数学试题

绝密★启用前 2025初中学业水平练兵模拟预测 数学试题 本试题分选择题48分，非选择题102分；全卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并回收． 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的规定位置． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案；然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 卷I（选择题） 一、选择题 （本题共计10小题，每题 4 分，共计40分 ） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案． 【详解】在实数|-3|，-2，0，π中， |-3|=3，则-2＜0＜|-3|＜π， 故最小的数是：-2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键． 2. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可． 【详解】A、轴对称图形，故此选项不符合题意； B、轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 《孙子算经》中记载：“十圭为一抄，十抄为一撮，十撮为一勺，十勺为一合．”这里的“圭、抄、撮、勺、合”均为容量单位，则九合等于九万圭．请将90000写成科学记数法（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 5. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而根据数轴表示解集即可求解． 【详解】去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 6. 下列各式计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解，根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，因式分解的运算法则逐项计算，即可判断． 【详解】解：解：A、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算错误，故C符合题意； D、，原计算正确，故D符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点， ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 又为的中点， ， ， ， ， ， 扇形的面积， 故选：A． 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午，则当箭尺读数为时，时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每小时上升，开始高度为，根据供水2小时和供水6小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】设每小时上升，开始高度为，根据题意，得 解得 设当箭尺读数为时，时间为t，则， 解得． 时间是． 故选D． 10. 二次函数(、、是常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②关于的方程的负实数根在和0之间；③；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是( ) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的相关性质．①将点与点代入解析式可得到a、b互为相反数，，即可判断；②根据点与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；③将与代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出的取值范围；④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可． 【详解】①将点与点代入解析式得：，则a、b互为相反数， ∴，故①错误； ②∵函数过点且当时，对应的函数值， ∴方程的正实数根在1和之间， ∵抛物线过点与点， ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线， ∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间． 故②正确； ③∵a、b互为相反数，即： ∴将与代入解析式得：， 则：， ∵当时，对应的函数值， 得：，则，即：， ∴．故③正确； ④∵函数过点且当时，对应的函数值， ∴可以判断抛物线开口向下， ∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立， ∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时； ∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时， 且，可满足， ∴且， 即与在抛物线的异侧时满足，此时， ∴综上当时，．故④错误． 故选：C． 卷II（非选择题） 二、填空题(本题共计6小题，每题4分，共计24分) 11. 当实数x________时，有意义． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式的解法，由有意义，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：； 故答案为： 12. 已知方程，当___________时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如，a，b，c是常数的方程叫做一元二次方程． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，由概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种， ∴从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是． 故答案为：． 14. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 ________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出方程，求解方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 边衬的宽度是米． 故答案为：． 15. 如图，一次函数和反比例函数图象相交于、，若，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图象相交于、， ∴根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 16. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 三、解答题（本题共计8小题 ，共计86分 ) 17. （1）计算：； （2）解下列分式方程·： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂；再合并即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边乘， 得． 解得． 检验：将．代入，可知， 所以经检验，是原分式方程的根. 18. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质先证明，得到，可证明四边形为平行四边形，再结合即可得到最后结论． 【详解】证明：四边形为矩形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据题意证明是解答本题的关键． 19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②图见解析③54 （2）参加组（阅读）的学生人数为980人 （3）恰好抽中甲、乙两人的概率为 【解析】 【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可； （2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：①（人）； 故答案为：； ②参加组的学生人数为：（人）； 参加组的学生人数为：（人）； 补全条形图如下： ③； 故答案为：54； 【小问2详解】 解：（人）； 答：参加组（阅读）的学生人数为980人． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种， ∴； 答：恰好抽中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 20. 如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． （1）求证：直线为的切线． （2）如图2，连结，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质． （1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题； （2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径于点D， ∴是的切线； 【小问2详解】 ：连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元． 23. 如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转角，得到，连接． （1）当时，的度数为______；的面积为______； （2）当时，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，连接，由旋转可得，，根据等边对等角及三角形内角和求出的度数为；利用面积公式求出的面积； （2）连接，证得是等边三角形，得到，由推出垂直平分，求出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 连接，由旋转可得，， ∵将绕点顺时针方向旋转角，得到，， ∴与边重合， ∴， 的面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，连接，延长，交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，等边对等角求角度，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是___________，直线的解析式是___________． （3）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入，求出，联立与可求出，进而人得到； （3）根据“梦之点”的定义求出点，的坐标，再求出顶点的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 【小问1详解】 矩形的顶点坐标分别是，，，， 矩形“梦之点”满足，， 点，是矩形的“梦之点”，点不是矩形 “梦之点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， 把代入得， ， “梦之点”的横坐标和纵坐标相等， “梦之点”都在直线上， 联立， 解得：或 ， ， 直线的解析式是， 故答案为：，； 【小问3详解】 是直角三角形，理由如下： 点，是抛物线上的“梦之点”， 联立， 解得： 或 ， ，， ， 顶点， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，勾股定理的逆定理，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025初中学业水平练兵模拟预测 数学试题 本试题分选择题48分，非选择题102分；全卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并回收． 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的规定位置． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案；然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 卷I（选择题） 一、选择题 （本题共计10小题，每题 4 分，共计40分 ） 1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣2 C. 0 D. π 2. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中记载：“十圭为一抄，十抄为一撮，十撮为一勺，十勺为一合．”这里的“圭、抄、撮、勺、合”均为容量单位，则九合等于九万圭．请将90000写成科学记数法（ ） A. B. C. D. 4. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 将不等式解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 8. 如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午，则当箭尺读数为时，时间是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数(、、是常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②关于的方程的负实数根在和0之间；③；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是( ) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 卷II（非选择题） 二、填空题(本题共计6小题，每题4分，共计24分) 11. 当实数x________时，有意义． 12. 已知方程，当___________时，是关于x的一元二次方程． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是___________． 14. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 ________米． 15. 如图，一次函数和反比例函数图象相交于、，若，则x的取值范围是________． 16. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题（本题共计8小题 ，共计86分 ) 17. （1）计算：； （2）解下列分式方程·： 18. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 20. 如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． （1）求证：直线为的切线． （2）如图2，连结，若，，求的长． 21. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 23. 如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转角，得到，连接． （1）当时，的度数为______；的面积为______； （2）当时，求的长． 24. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是___________，直线的解析式是___________． （3）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$