六年级小升初数学复习总集篇（43个专题320个考点）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （通用版）

1 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 小升初复习总集篇（43 个专题 320 个考点） 目录 专题 01 整数的认识 ..........................................................15 【考点一】计数单位及位数 ...................................................15 【考点二】整数的读写 .......................................................17 【考点三】整数的大小比较 ...................................................19 【考点四】整数的改写及近似数 ...............................................22 专题 02 小数的认识 ..........................................................24 【考点一】小数的计数单位及数位 .............................................24 【考点二】小数的读法和写法 .................................................25 【考点三】循环小数 .........................................................26 【考点四】小数的基本性质及改写 .............................................28 【考点五】小数的大小比较 ...................................................30 【考点六】小数点位置移动的规律 .............................................32 【考点七】小数点有关的单位换算 .............................................34 【考点八】小数的改写及近似数 ...............................................35 专题 03 分数的认识 ..........................................................37 【考点一】分数的意义 .......................................................37 【考点二】分数单位的认识 ...................................................39 【考点三】分数与除法的关系 .................................................41 【考点四】真假分数的认识及互化 .............................................42 【考点五】分数的基本性质 ...................................................44 【考点六】约分及通分的认识和应用 ...........................................46 【考点七】最简分数 .........................................................47 【考点八】分数的大小比较 ...................................................49 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 .......................................52 专题 04 百分数的认识 ........................................................53 4 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点一】百分数的意义 .....................................................53 【考点二】百分数的读法和写法 ...............................................56 【考点三】百分数、小数及分数的互化 .........................................58 【考点四】折扣问题 .........................................................60 【考点五】成数问题 .........................................................63 【考点六】利率问题 .........................................................65 【考点七】税率问题 .........................................................67 【考点八】利润问题 .........................................................69 专题 05 负数与数轴 ..........................................................73 【考点一】负数的概念和辨认 .................................................73 【考点二】负数的读法和写法 .................................................74 【考点三】正负数的意义及应用 ...............................................76 【考点四】正、负数的大小比较 ...............................................78 【考点五】数轴上表示正负数 .................................................80 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 .........................................82 专题 06 因数与倍数 ..........................................................86 【考点一】因数和倍数的认识 .................................................86 【考点二】找一个数的因数的方法 .............................................88 【考点三】找一个数的倍数的方法 .............................................90 【考点四】2、3、5的倍数的特征 ............................................. 92 【考点五】奇数和偶数的认识 .................................................94 【考点六】质数与合数的认识 .................................................95 【考点七】分解质因数 .......................................................97 【考点八】奇偶性 ...........................................................99 【考点九】最大公因数和最小公倍数 ..........................................103 【考点十】运用最大公因数解决问题 ..........................................105 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 ........................................107 专题 07 整小分百的四则运算 .................................................110 【考点一】整数的四则运算 ..................................................110 5 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】小数的四则运算 ..................................................112 【考点三】分数的四则运算 ..................................................114 【考点四】百分数的四则运算 ................................................116 【考点五】整小分百的四则混合运算 ..........................................119 【考点六】整小分百的直接计算 ..............................................123 【考点七】解整小分百数有关的方程 ..........................................124 专题 08 运算定律及简便运算 .................................................128 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 ....................................128 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 ....................................129 【考点三】加法交换律 ......................................................131 【考点四】加法结合律 ......................................................133 【考点五】减法的性质 ......................................................135 【考点六】乘法交换律和结合律 ..............................................136 【考点七】乘法分配律 ......................................................138 【考点八】除法的性质 ......................................................140 【考点九】整数加法运算律推广到小数 ........................................142 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 ........................................144 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 ................................145 【考点十二】小数减法相关的简便运算 ........................................146 【考点十三】小数除法相关的简便运算 ........................................147 【考点十四】简便运算脱式计算 ..............................................148 专题 09 和、差、积、商的变化规律 ...........................................152 【考点一】和与差的变化规律 ................................................152 【考点二】积的变化规律 ....................................................153 【考点三】商的变化规律及应用 ..............................................156 【考点四】商不变的规律及应用 ..............................................157 专题 10 用字母表示数 .......................................................159 【考点一】用字母表示数、数量关系 ..........................................159 【考点二】用字母表示稍复杂的数量关系 ......................................161 6 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点三】用字母表示运算定律及计算公式 ....................................164 【考点四】含有字母式子的化简与求值 ........................................166 专题 11 方程 ...............................................................168 【考点一】方程的认识 ......................................................168 【考点二】列简易方程 ......................................................170 【考点三】等式的性质 1和 2 ................................................ 172 【考点四】方程的解 ........................................................174 【考点五】解含小括号的方程 ................................................176 【考点六】解小数方程 ......................................................179 【考点七】解分数方程 ......................................................183 【考点八】解百分数方程 ....................................................185 专题 12 比 .................................................................187 【考点一】比的意义 ........................................................187 【考点二】比的基本性质 ....................................................188 【考点三】比与分数除法的关系 ..............................................190 【考点四】求比值 ..........................................................193 【考点五】化简比 ..........................................................195 【考点六】按比分配问题 ....................................................198 【考点七】比的应用 ........................................................201 【考点八】用画图法或转化法解决分数问题（比的应用） ........................203 专题 13 比例 ...............................................................206 【考点一】比例的意义 ......................................................206 【考点二】比例的基本性质 ..................................................208 【考点三】正反比例的意义及辨识 ............................................209 【考点四】比例尺的意义 ....................................................211 【考点五】解比例 ..........................................................213 【考点六】应用比例尺画图 ..................................................217 【考点七】比例的应用 ......................................................221 【考点八】比例尺的应用 ....................................................223 7 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 ..........................................225 【考点十】正比例的应用 ....................................................229 【考点十一】反比例的应用 ..................................................233 专题 14 常见的量 ...........................................................236 【考点一】常见单位的选择一（质量、长度） ..................................236 【考点二】常见单位的选择二（面积、体积） ..................................238 【考点三】常见单位间的换算一 ..............................................240 【考点四】常见单位间的换算二 ..............................................242 【考点五】24 时计时法的互化 ............................................... 243 【考点六】平年和闰年的认识及判定 ..........................................245 【考点七】单位间的比较大小（先换算后比较） ................................246 【考点八】时、分、秒有关的计算 ............................................248 【考点九】年、月、日有关的计算 ............................................249 【考点十】24 时计时法时间的计算 ........................................... 251 【考点十一】使、分、秒时间的推算 ..........................................252 【考点十二】年、月、日时间的推算 ..........................................254 【考点十三】运用时间单位的换算解决问题 ....................................254 【考点十四】运用质量单位的换算解决问题 ....................................256 【考点十五】运用长度单位的换算解决问题 ....................................259 【考点十六】运用面积单位的换算解决问题 ....................................261 【考点十七】运用体积容积单位的换算解决问题 ................................264 专题 15 探索规律 ...........................................................266 【考点一】根据算式的规律计算 ..............................................266 【考点二】根据数字排列的规律填数 ..........................................268 【考点三】根据图形的变化规律计算图形的个数 ................................270 【考点四】根据数表中的规律解决问题 ........................................272 【考点五】根据间隔、周期规律解决问题 ......................................274 专题 16 归一问题和归总问题 .................................................277 【考点一】单归一问题 ......................................................277 8 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】双归一问题 ......................................................279 【考点三】正归一问题 ......................................................281 【考点四】反归一问题 ......................................................283 【考点五】归总问题 ........................................................284 专题 17 和差倍问题 .........................................................286 【考点一】和差问题 ........................................................286 【考点二】和倍问题 ........................................................287 【考点三】差倍问题 ........................................................289 【考点四】隐藏条件型和差倍问题（需通过其他关系（如比例、余数）转化出和、差、倍。） ..........................................................................290 【考点五】三个量的和差倍问题 ..............................................294 【考点六】年龄中的和差倍问题 ..............................................296 专题 18 行程问题 ...........................................................299 【考点一】基本行程问题 ....................................................299 【考点二】相遇问题 ........................................................301 【考点三】追击问题 ........................................................303 【考点四】列车过桥问题 ....................................................305 【考点五】流水行船问题 ....................................................306 专题 19 分段计费问题 .......................................................307 【考点一】分段计费问题（小数乘法） ........................................307 【考点二】分段计费问题（小数除法） ........................................312 专题 20 一般分数应用题 .....................................................315 【考点一】求一个数的几分之几的问题 ........................................315 【考点二】连续求一个数的几分之几的问题 ....................................317 【考点三】已知总量及一部分分率，求另一部分量 ..............................320 【考点四】求比一个数多/少几分之几的数,是多少 ..............................322 【考点五】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 ............................324 【考点六】已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 .......................326 【考点七】己知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 ................329 9 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 ........................331 专题 21 一般百分数应用题 ...................................................334 【考点一】求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题) ........................334 【考点二】求一个数比另一个数多/少百分之几 .................................336 【考点三】求一个数的百分之几是多少 ........................................338 【考点四】比一个数多/少百分之几的数是多少 .................................341 【考点五】已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ............................343 【考点六】已知比一个数多少少百分之几是多少求这个数 ........................344 【考点七】己知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 ................346 专题 22 成数、折扣及利润问题 ...............................................349 【考点一】打折的意义及应用 ................................................349 【考点二】求现价 ..........................................................350 【考点三】求原价 ..........................................................351 【考点四】求折扣 ..........................................................353 【考点五】求增加或减少几成的实际问题 ......................................354 【考点六】根据成数反求单位“1” ...........................................356 【考点七】利润问题 ........................................................357 【考点八】利润与折扣的综合 ................................................358 专题 23 利率与税率问题 .....................................................359 【考点一】求利息 ..........................................................359 【考点二】求利率或本金 ....................................................360 【考点三】选择最佳的储蓄方案 ..............................................361 【考点四】求应纳税额 ......................................................364 【考点五】求税率或收入额 ..................................................365 【考点六】分段计算解决纳税问题 ............................................366 专题 24 浓度问题 ...........................................................368 【考点一】单一溶液浓度问题 ................................................368 【考点二】溶液混合问题（两种不同浓度混合） ................................370 【考点三】加水稀释或溶质增减问题 ..........................................372 10 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】蒸发浓缩问题 ....................................................374 专题 25 工程问题 ...........................................................375 【考点一】有具体量的工程问题 ..............................................375 【考点二】两人合作的工程问题 ..............................................377 【考点三】分段合作问题 ....................................................379 【考点四】水管问题 ........................................................382 【考点五】三人合作的工程问题 ..............................................384 【考点六】综合工程问题（和比、分数、方程相关） ............................387 专题 26 按比分配应用题 .....................................................390 【考点一】按比分配问题 ....................................................390 【考点二】比的应用 ........................................................393 【考点三】用画图法和转化法解决分数问题(比的应用) ..........................396 专题 27 正反比例应用题 .....................................................398 【考点一】正比例的简单应用 ................................................398 【考点二】反比例的简单应用 ................................................400 【考点三】运用正比例解决复杂问题 ..........................................402 【考点四】运用反比例解决复杂问题 ..........................................405 专题 28 数学广角（排列组合推理周期集合问题） ...............................408 【考点一】排列问题 ........................................................408 【考点二】组合问题 ........................................................411 【考点三】推理问题 ........................................................413 【考点四】周期问题 ........................................................415 【考点五】集合问题 ........................................................417 专题 29 数学广角（编码优化找次品方阵问题） .................................419 【考点一】数字编码（编码、学号） ..........................................419 【考点二】身份证号相关问题 ................................................420 【考点三】沏茶问题 ........................................................421 【考点四】烙饼问题 ........................................................423 【考点五】田忌赛马问题 ....................................................424 11 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】找次品问题 ......................................................427 【考点七】方阵问题 ........................................................429 专题 30 数学广角（鸡兔同笼植树鸽巢问题） ...................................431 【考点一】列表法解鸡兔同笼问题 ............................................431 【考点二】假设法解鸡兔同笼问题 ............................................435 【考点三】方程法解鸡兔同笼问题 ............................................437 【考点四】植树问题（两端都栽） ............................................439 【考点五】植树问题（两端都不栽） ..........................................440 【考点六】植树问题（一端栽一端不栽） ......................................441 【考点七】封闭图形上的植树问题 ............................................442 【考点八】鸽巢问题初步 ....................................................443 【考点九】鸽巢问题进阶 ....................................................445 【考点十】最不利原则 ......................................................446 专题 31 线和角 .............................................................447 【考点一】直线、射线和线段的认识 ..........................................447 【考点二】平行与垂直 ......................................................449 【考点三】画平行线或垂线 ..................................................451 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 ....................................454 【考点五】角的度量 ........................................................455 【考点六】平角、周角的认识及特征 ..........................................458 【考点七】角的度量和计算解决问题 ..........................................460 专题 32 三角形 .............................................................463 【考点一】三角形的概念和表示方法 ..........................................463 【考点二】三角形的稳定性及应用 ............................................465 【考点三】三角形三边关系 ..................................................466 【考点四】三角形的分类 ....................................................467 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ..............................469 【考点六】三角形的内角和 ..................................................470 【考点七】多边形的内角和 ..................................................472 12 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】三角形的周长 ....................................................474 【考点九】三角形的面积 ....................................................475 【考点十】三角形的高及画法 ................................................477 【考点十一】画三角形 ......................................................478 专题 33 长方形和正方形 .....................................................480 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 ......................................480 【考点二】长方形及正方形的周长 ............................................482 【考点三】长方形的面积 ....................................................483 【考点四】正方形的面积 ....................................................485 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 ....................................487 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 ......................................488 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 ......................................491 专题 02 整数的认识 .........................................................492 【考点一】平行四边形和梯形的概念及特点 ....................................492 【考点二】平行四边形的特性及应用 ..........................................494 【考点三】平行四边形的周长 ................................................495 【考点四】梯形的周长 ......................................................497 【考点五】等腰梯形和直角梯形的认识 ........................................498 【考点六】平行四边形的面积 ................................................499 【考点七】梯形的面积 ......................................................500 【考点八】画平行四边形或梯形的高 ..........................................502 【考点九】画平行四边形 ....................................................505 【考点十】画梯形 ..........................................................507 专题 35 圆及组合图形 .......................................................509 【考点一】圆的概念及特点 ..................................................509 【考点二】圆的轴对称图形 ..................................................510 【考点三】圆的周长的计算 ..................................................512 【考点四】圆的面积的计算 ..................................................514 【考点五】求最大面积 ......................................................516 13 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】圆环的面积 ......................................................516 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 ..........................................519 【考点八】扇形的周长和面积 ................................................520 【考点九】含圆的组合图形的周长 ............................................522 【考点十】含圆的组合图形的面积 ............................................523 【考点十一】阴影部分的周长或面积 ..........................................524 【考点十二】画圆或扇形 ....................................................527 【考点十三】圆的周长的应用 ................................................530 【考点十四】圆的面积的应用 ................................................532 专题 36 观察物体 ...........................................................534 【考点一】物体三视图的认识 ................................................534 【考点二】从不同位置观察两个物体的相互关系 ................................537 【考点三】根据三视图确认几何体 ............................................539 【考点四】三视图的画法 ....................................................542 专题 37 四大立体图形的认识及展开图 .........................................545 【考点一】长方体和正方体的特征 ............................................545 【考点二】长方体和正方体的棱长的应用 ......................................547 【考点三】长方体和正方体的展开图 ..........................................549 【考点四】圆柱和圆锥的认识及特征 ..........................................550 【考点五】圆柱的展开图 ....................................................552 【考点六】补全长方体或正方体的展开图 ......................................554 【考点七】画出圆柱的展开图 ................................................556 专题 38 四大立体图形的表面积和体积 .........................................557 【考点一】长方体和正方体的表面积 ..........................................557 【考点二】长方体和正方体的体积 ............................................559 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 ......................................562 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 ......................................564 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 ......................................566 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 ............................................569 14 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点七】圆柱和圆锥的体积 ................................................572 【考点八】圆柱的体积的应用 ................................................574 【考点九】圆柱的容积的应用 ................................................577 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 ..........................................580 专题 39 组合图形的表面积体积及等积变形 .....................................583 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） ..............................583 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） ........................................586 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） ................................589 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） ....................................592 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） ..........................596 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） ..............................599 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） ................................602 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） ....................................605 专题 40 方向、位置及路线图 .................................................607 【考点一】八个方向的认识 ..................................................607 【考点二】用数对表示位置 ..................................................610 【考点三】根据数对找位置 ..................................................613 【考点四】根据方向、角度和距离确定物体的位置 ..............................616 【考点五】根据方向和距离描述简单的路线 ....................................619 【考点六】根据方向、角度和距离描述路线图 ..................................621 【考点七】根据方向、角度和距离画路线图 ....................................624 专题 41 图形的运动 .........................................................626 【考点一】平移和旋转的认识 ................................................626 【考点二】轴对称的认识和辨认 ..............................................627 【考点三】旋转三要素及旋转图形 ............................................628 【考点四】图形的放大和缩小的认识及简单应用 ................................630 【考点五】作平移、旋转和轴对称后的图形 ....................................632 【考点六】运用平移、旋转和轴对称设计图案 ..................................636 【考点七】作放大或缩小后的图形 ............................................638 15 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】综合作图（平移、旋转、轴对称及缩放） ............................641 专题 42 统计 ...............................................................644 【考点一】数据的搜集与整理 ................................................644 【考点二】单式统计表的特点及应用 ..........................................646 【考点三】复式统计表的特点及应用 ..........................................649 【考点四】单式条形统计图的特点及应用 ......................................652 【考点五】复式条形统计图的特点及应用 ......................................655 【考点六】单式折线统计图的特点及应用 ......................................658 【考点七】复式折线统计图的特点及应用 ......................................661 【考点八】扇形统计图的特点及应用 ..........................................664 【考点九】选择合适的统计图 ................................................667 【考点十】平均数的正反运用 ................................................668 【考点十一】统计图表中的平均数 ............................................670 【考点十二】统计图表的综合应用（压轴） ....................................674 专题 43 可能性 .............................................................678 【考点一】事件的确定性与不确定性 ..........................................678 【考点二】判断事件发生的可能性的大小 ......................................680 【考点三】可能性大小的应用 ................................................682 【考点四】游戏规则的公平性 ................................................684 【考点五】简单事件发生的可能性求解 ........................................686 专题 01 整数的认识 【考点一】计数单位及位数 【典例一】450906700，这个数读作：（ ），“5”在（ ）位上，十万位 上的数是（ ），四舍五入到亿位是（ ）。 【答案】四亿五千零九十万六千七百 千万 9 5 亿 【分析】整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的 0都不读出来，其余数位 16 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 连续几个 0都只读一个零，即可读出此数；“5”在千万位上，十万位上的数是 9，省略“亿” 后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面 写上“亿”字。 【解答】450906700，这个数读作：四亿五千零九十万六千七百，“5”在千万位上，十万位上 的数是 9，四舍五入到亿位是 5亿。 【点评】本题主要考查整数的读法和求近似数，分级读即可快速、正确地读出此数；求近似数 时要带计数单位。 【典例二】第七次人口普查全国的总人口为 1411778724 人。在这个数中，“8”在（ ） 上，百万位上的数字是（ ）， 将这个数四舍五入到亿位是（ ）亿。 【答案】千位 1 14 【分析】一个整数，从右边开始往左数，8在第四位，是千位上；百万位是从右往左数的第七 位，由此即可解答；四舍五入到亿位，根据千万位上数字的大小确定用“四舍”法、还是用“五 入”法。 【解答】由分析可知“8”在千位上； 百万位上的数字是 1； 1411778724≈14 亿 【点评】本题主要考查对于数位的掌握以及用四舍五入法求近似数，熟练掌握数位的顺序并灵 活运用。 【典例三】1700477007 读作（ ）。左边第一个 7在（ ）位上，表示（ ）； 左边第二个 7在（ ）位上，表示（ ）。 【答案】十七亿零四十七万七千零七 亿 7个亿 万 7个万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完亿级读一个亿字，读完万级读一个 万字，每一级末尾的 0都不读出来，其他数位连续几个 0都只读一个“零”。 数位从右往左分别是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿 位、百亿位……；亿位的计数单位是亿，万位的计数单位是万，亿位上是几表示几个亿，万位 上是几表示几个万，据此分析。 【解答】1700477007 读作十七亿零四十七万七千零七。左边第一个 7在亿位上，表示 7个亿； 左边第二个 7在万位上，表示 7个万。 【典例四】2010 年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作（ ）人， 17 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 千位上“4”表示（ ），数字“7”表示（ ），省略万位后面的尾数约是（ ） 人。 【答案】73084400 4 个千 7个千万 7308 万 【分析】多位数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有， 就在那个数位上写 0；据此写出这个数；个位上是几，表示几个一，十位上是几表示几个十， 百位上是几表示几个百，千位上是几表示几个千……省略“万”后面的尾数就是求它的近似数， 要把万位的下一位（千位）上的数字进行四舍五入，然后去掉尾数加上“万”字。 【解答】七千三百零八万四千四百，写作：73084400； 73084400 的千位上“4”表示 4个千，数字“7”表示 7个千万； 73084400≈7308 万 所以 2010 年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作 73084400，千位上“4” 表示 4个千，数字“7”表示 7个千万，省略万位后面的尾数约是 7308 万人。 【考点二】整数的读写 【典例一】一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是 5的最小倍数，万位上是最小的质数， 千位上是最大的一位整数，其它位上都是 0，这个数写作（ ），读作（ ）， 改写成用万作单位是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）。 【答案】450029000 四亿五千零二万九千 45002.9 5 亿 【分析】一个数，只有 1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是 2；一个数， 除了 1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数，最小的合数是 4；一个数，最小的倍数 是它本身；最大的一位数是 9。根据整数的写法：从高级到低级，一级一级地写，哪一个数位 上一个单位也没有，就在那个数位上写 0；据此写出这个数；根据整数的读法：从高位到低位， 一级一级的读，每一级末尾的 0都不读，其余数位一个 0或连续几个 0都只读一个零，即可读 出此数；改写成用“万”作单位的数，就在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的 0 去掉，再在数的后面写上“万”字；省略亿位后面的数，就看千万位上的数，再根据“四舍五 入”法进行解答。 【解答】最小的合数是 4，亿位上的数是 4； 5的最小倍数是 5，千万位上的数是 5； 最小的质数是 2，万位上的数是 2； 最大的一位数是 9；千位上的数是 9。 18 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 这个数是 450029000。 450029000 读作：四亿五千零二万九千。 450029000＝45002.9 万 450029000≈5 亿 一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是 5的最小倍数，万位上是最小的质数，千位上是最 大的一位整数，其它位上都是 0，这个数写作 450029000，读作四亿五千零二万九千，改写成 用万作单位是 45002.9 万，省略亿位后面的尾数是 5亿。 【典例二】地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球 离太阳有时会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百 零九万七千七百零一千米，横线上的数写作（ ）千米，省略“万”后面的尾数约是 （ ）万千米。 【答案】152097701 15210 【分析】分析题目，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个单位 也没有，就在这个数位上写 0，据此写出横线上的数；省略“万”后面的尾数就是先根据千位 上的数字进行“四舍五入”，再把万位后面的数字去掉，在数的后面加上一个“万”字，据此 解答。 【解答】一亿五千二百零九万七千七百零一写作：152097701； 152097701≈15210 万。 地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球离太阳有时 会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百零九万七千 七百零一千米，横线上的数写作 152097701 千米，省略“万”后面的尾数约是 15210 万千米。 【典例三】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是 6，其余 各位都是 0，这个数写（ ），读作（ ）。 【答案】40096000 四千零九万六千 【分析】合数是因数除了 1和它本身两个因数还有其它的因数，最小的合数是 4； 只有个位一个数位的数是一位数，最大的一位数是 9； 根据数位写出这个数。读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去 读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的 0都不读，每一级的开头或中间无 论有几个 0，都读一个 0。 19 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】千万位是 4，万位是 9，千位是 6，其他数位是 0 则这个数写作：40096000，读作：四千零九万六千。 【典例四】甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前 17 世纪一 公元前 11 世纪）的文化产物，距今约 3600 多年的历史，1899 年在河南省安阳市殷墟首次发 现。据统计，中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作（ ），改写成 用“万”作单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【答案】154600 15.46 15 【分析】从高位起，按照数位顺序，一级一级地往下写。亿级的数有三级，要先写亿级，再写 万级，最后写个级；万级的数只有两级，要先写万级，再写个级。哪一位上数字是几就写几， 没有就写 0； 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的 0去掉， 再在数的后面写上“万”字； 省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在 数的后面写上“万”字。 【解答】十五万四千六百，写作：154600，改写成用“万”作单位的数是 15.46 万，省略“万” 位后面的尾数约是 15 万。 即甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前 17 世纪一公元前 11 世纪）的文化产物，距今约 3600 多年的历史，1899 年在河南省安阳市殷墟首次发现。据统计， 中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作 154600，改写成用“万”作单位的 数是 15.46 万，省略“万”位后面的尾数约是 15 万。 【考点三】整数的大小比较 【典例一】用 0、1、3、5、7这五个数可以组成（ ）个没有重复数字的五位数，把这 些五位数从大到小排列，第五个数是（ ）。 【答案】96 71530 【分析】0不能做最高位，除 0外，其余数字都可以做最高位，先确定最高位，剩余数字依次 按顺序进行搭配，据此确定最高位是其中 1个数时，没有重复数字的五位数的个数，乘 4 是总 个数；位数相同的数比大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大，如果最高位上的 数相同，就比较下一个数位上的数，据此将万位是 7的数从大到小进行排序，数出第五个数即 可。 20 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【解答】10357、10375、10537、10573、10735、10753 13057、13075、13507、13570、13705、13750 15037、15073、15307、15370、15703、15730 17035、17053、17305、17350、17503、17530 6×4×4＝96（个） 75310＞75301＞73510＞73501＞71530＞71503 用 0、1、3、5、7 这五个数可以组成 96 个没有重复数字的五位数，把这些五位数从大到小排 列，第五个数是 71530。 【典例二】用 4，0，3，1，9，7，5组成不同的七位数，其中最大的是（ ），最小的 是（ ），两数相差（ ）。 【答案】9754310 1034579 8719731 【分析】用七个数字组成的最大七位数，只要从左到右把这七个数字按照从大到小的顺序排列 起来，即 9754310；最小的七位数，需要把这七个数字按照从小到大的顺序排列，但是 0 不能 在最高位上，最高位是 1，这个数是 1034579；再用最大数减去最小数，即可解答。 【解答】最大是 9754310； 最小是 1034579； 9754310－1034579＝8719731 用 4，0，3，1，9，7，5 组成不同的七位数，其中最大的是 9754310，最小是 1034579，两数 相乘 8719731。 【典例三】阅读材料，回答问题。 ①月球与地球的平均距离约 384400 千米。今年，我国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦 娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。 ②火星到地球的最近距离约为 5500 万千米，最远距离则超过 4亿千米。祝融号是天问一号任 务火星车，设计寿命约 92 个地球日，但实际工作时长远远超过了设计寿命，天问一号环绕器 在轨运行一周年时，距离地球约 378000000 千米。 （1）在信息①中，384400 千米省略万后面的尾数约是（ ）万千米。 （2）把信息②中横线上的数据按从小到大的顺序排列。 。 【答案】（1）38 21 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （2）5500 万＜378000000＜4 亿 【分析】（1）省略万后面的尾数求整数的近似数，也就是去掉万位后面的尾数，对千位上的 数进行四舍五入，再在数的后面写上单位“万”。 （2）整数大小比较方法：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最 高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数， 以此类推。先把数的单位统一后再比较大小。 【解答】（1）在信息①中，384400 千米省略万后面的尾数约是 38 万千米。 （2）5500 万＝55000000，4 亿＝400000000 55000000＜378000000＜400000000，所以 5500 万＜378000000＜4 亿。 【典例四】2021 年我国人口普查数据公布，其中性别构成：男性人口为 723339956 人；女性 人口为688438768人。人口年龄分布：0－14岁人口为253383938人；15－59岁人口为894376020 人；60 岁及以上人口为 264018766 人，其中 65 岁及以上人口为 190635280 人。 （1）比一比，填一填：性别构成：（ ）＜（ ） （2）60 岁及以上人口约为（ ）万人，0－14 岁人口约为（ ）万人。 （3）894376020 最高位是（ ）位，十万位上的数字是（ ）。 【答案】（1）688438768 723339956 （2）26402 25338 （3）亿 3 【分析】（1）比较整数的大小时，首先我们要看数字的位数，位数不同，位数多的数就大。 位数相同，左起第一位的数大的那个数就大。如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位 上的数，依次类推。 （2）省略万后面的尾数，要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等 于 5，就向万位进 1；若千位上的数字小于 5，就舍去千位及其后面数位上的数。 （3）894376020 从右起数位依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万 位、亿位，据此解答。 【解答】（1）比一比，填一填：性别构成：688438768＜723339956。 （2）60岁及以上人口为264018766人，264018766的千位上是8，则60岁及以上人口约为26402 万人； 0－14 岁人口为 253383938 人，253383938 的千位上是 3，则 0－14 岁人口约为 25338 万人。 22 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （3）894376020 最高位是亿位，十万位上的数字是 3。 【点评】本题主要考查整数的比较大小、整数的数位以及求近似数，注意求近似数时要带计数 单位。 【考点四】整数的改写及近似数 【典例一】三叶虫是距今 560000000 年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读 作（ ），把这个数改写成用“万“作单位的是（ ）万，省略“亿”位后面的 尾数约是（ ）。 【答案】五亿六千万 56000 6 亿 【分析】（1）根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的 0都不读出来， 其余数位一个 0或连续几个 0都只读一个零，即可读出此数； （2）改写成用“万”作单位的数，就是去掉这个数末尾的 4个 0，再在数的后面写上“万” 字； （3）省略“亿”后面的尾数，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写 上“亿”字。 【解答】560000000 读作：五亿六千万。 560000000＝56000 万 560000000≈6 亿 三叶虫是距今 560000000 年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读作五亿六千 万，把这个数改写成用“万“作单位的是 56000 万，省略“亿”位后面的尾数约是 6亿。 【典例二】2024 年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约 295000000 人次，同比去年 约增长 7个百分点；实现国内旅游收入 166893000000 元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是（ ）亿；把波浪线上的数保留一位小数 约是（ ）亿元。 【答案】2.95 1668.9 【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的 0去掉，再在数的后面写上“亿”字。 保留一位小数，先转化为“亿”作单位，保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据 “四舍五入”法进行解答。 【解答】295000000＝2.95 亿 23 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 166893000000＝1668.93 亿 1668.93 亿≈1668.9 亿 2024 年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约 295000000 人次，同比去年约增长 7个 百分点；实现国内旅游收入 166893000000 元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是 2.95 亿；把波浪线上的数保留一位小数约是 1668.9 亿元。 【典例三】如果全国 3.9 亿个家庭都能养成随手关灯的好习惯，那么每年可以节约用电 191000000 千瓦时，横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）， 省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【答案】一亿九千一百万 19100 万 2 亿 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的 0都不读出来，其他数位 连续几个 0都只读一个“零”。 改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的 4个零去掉，再在数的后面写上“万”字。 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数 的后面写上“亿”字。 【解答】191000000 读作：一亿九千一百万 191000000＝19100 万 191000000≈2 亿 每年可以节约用电 191000000 千瓦时，横线上的数读作：一亿九千一百万，改写成用“万”作 单位的数是 19100 万，省略“亿”位后面的尾数约是 2亿。 【典例四】《2022 年全国教育事业发展统计公报》数据显示，全国各级各类学历教育在校生 人数约为二亿九千三百万，这个数可写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ） 万，四舍五入到亿位约是（ ）亿。 【答案】293000000 29300 3 【分析】写大数要从高位写起；找出“万”、“亿”字，根据它们把大数分成三个级；从亿级 依次往后写，若数位上没有数的要写零占位。改写成以“万”为单位的数，去掉原数的最后四 个零，然后加上单位“万”；大数的亿位右下角点上小数点，并将末尾的零去掉，加上单位“亿”， 再将“千万位”上的数四舍五入然后得到近似数，据此解答。 【解答】二亿九千三百万，这个数可写作 293000000，改写成用“万”作单位的数是 29300 万， 24 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 四舍五入到亿位约是 3亿。 专题 02 小数的认识 【考点一】小数的计数单位及数位 【典例一】2.83 里面有（ ）个 0.01，再加上（ ）个 0.01 就是 3。 【答案】283 17 【分析】根据小数的意义，2.83 里面有 283 个 0.01，3 里面有 300 个 0.01，利用减法求出 2.83 再加上几个 0.01 就是 3。 【解答】300－283＝17（个） 所以，2.83 里面有 283 个 0.01，再加上 17 个 0.01 就是 3。 【点评】本题考查了小数的意义，明确各个数位对应的计数单位是解题的关键。 【典例二】我们学过的数都是由若干个计数单位组成的。例如：自然数 25 是由 25 个 1 组成的。 那么小数 0.048 是由（ ）个（ ）组成的，分数 7 12是由（ ）个（ ） 组成的。 【答案】48 0.001 7 1 12 【分析】根据小数的数位顺序表可知，小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一（0.1）； 小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一（0.01）；小数点右边第三位是千分位，计 数单位是千分之一（0.001）……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分 子是几，就有几个这样的分数单位。 【解答】小数 0.048 是由（48）个（0.001）组成的，分数 7 12是由（7）个（ 1 12 ）组成的。 【典例三】一个数的十万位、十位和十分位上都是 3，其余各位上都是 0，这个数是（ ）。 【答案】300030.3 【分析】由题意可知，这个数的最高位十万位是 3，十位是 3，十分位上也是 3，其它数位上 用“0”占位，从高位到低位，一级一级地写即可。 【解答】据分析可知，一个数的十万位、十位和十分位上都是 3，其余各位上都是 0，这个数 是 300030.3。 【典例四】一个数由 3个一、5个百分之一和 2个千分之一组成，这个数写作（ ），它 25 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 是（ ）位小数。 【答案】3.052 三 【分析】根据小数的写法：哪个数位上有几个计数单位就写几，哪个数位上一个计数单位也没 有，就用 0来占位；小数部分有几个数位，就是几位小数。3个一则个位上的数字是 3，5个 百分之一则百分位上的数字是 5，2个千分之一则千分位上的数字是 2。据此解答。 【解答】一个数由 3个一、5个百分之一和 2个千分之一组成，这个数写作 3.052，它是三位 小数。 【考点二】小数的读法和写法 【典例一】嫦娥六号探测器总重 8.2 吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横 线上的数读作（ ）吨。 【答案】八点二 【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出 每个数字，据此解答即可。 【解答】嫦娥六号探测器总重 8.2 吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横线 上的数读作八点二吨。 【典例二】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大 的一位数，其余各位上都是 0。这个数写作（ ），精确到 0.01 是（ ）。 【答案】200.499 200.50 【分析】最小的质数是 2，即百位上是 2，最小的合数是 4，即十分位上是 4，最大的一位数是 9，即百分位和千分位上是 9，其余数位是 0，写上 0即可，据此写出这个数；精确到 0.01 就 是保留两位小数，看千分位上的数进行四舍五入，据此求出即可。 【解答】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的 一位数，其余各位上都是 0。这个数写作 200.499，精确到 0.01 是 200.50。 【典例三】博物馆内的中华白海豚素有“水上大熊猫”之称，属于国家一级保护动物，体长最 长达 2.71 米，画横线的小数读作（ ）米，表示（ ）米（ ）分米（ ） 厘米。 【答案】二点七一 2 7 1 【分析】小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个 数字。 26 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 把 1米平均分成 10 份，其中一份是 1分米，也就是 0.1 米。把 1米平均分成 100 份，其中一 份是 1厘米，也就是 0.01 米。据此解答。 【解答】根据小数的读法，2.71 读作：二点七一。 根据 1米＝10 分米＝100 厘米，2.71 米的整数部分是 2，表示 2米，小数部分的十分位是 0.7 表示 7分米，百分位是 0.01，表示 1厘米。所以 2.71 米表示 2米 7分米 1厘米。 【典例四】一个数由 2个十、5个百分之一和 4个千分之一组成，这个数写作（ ）， 读作（ ），把这个数保留两位小数是（ ）。 【答案】20.054 二十点零五四 20.05 【分析】十位的计数单位是 10，几个十就在十位写几；百分位的计数单位是百分之一，写作 0.01，几个百分之一就在百分位写几个 0.01；千分位的计数单位是千分之一，写作 0.001，几 个千分之一就在千分位写几个 0.001，据此写出这个小数。 小数的读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按顺序依次读出每 一位上的数字。 保留两位小数看千分位，小于 5直接舍去，大于或等于 5向前一位进一。 【解答】20.054 读作：二十点零五四；20.054≈20.05 一个数由 2个十、5个百分之一和 4个千分之一组成，这个数写作 20.054，读作二十点零五四， 把这个数保留两位小数是 20.05。 【考点三】循环小数 【典例一】在 3、 13 3、333%和 3.3 中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【答案】 13 3 3 【分析】题目中有整数、分数、小数、百分数，将分数、百分数先统一成小数形式，再按照小 数比较大小的方法进行解答。百分数化成小数时，去掉百分号，再把小数点左移两位。分数化 成小数时，用分子除以分母即可。比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的这个数就 大，整数部分相同，就比较十分位上的数，然后依次进行比较即可解答。 【解答】333%＝3.33， 1 103 3.333 3 3    因为 3.333…＞3.33＞3.3＞3 所以 13 3＞333%＞3.3＞3 27 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 故最大的数是 13 3，最小的数是 3。 【典例二】在0.27   、 5 18、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是 （ ）。 【答案】 5 18 27.2% 【分析】把循环小数0.27   的简便记法进行还原，用分数 5 18的分子除以分母将 5 18化成小数，把 百分数 27.2%的百分号去掉，同时把小数点向左移动两位化成小数；然后按照小数大小比较的 方法进行比较，即从高位到低位逐位进行比较。 【解答】0.27   ＝0.2727…， 5 18＝5÷18＝0.277…，27.2%＝0.272，0.2727…、0.277…、0.277、 0.272 这四个小数的整数部分、十分位上、百分位上都相同；0.277…、0.277 千分位上都是 7， 0.2727…、0.272 千分位上都是 2，7＞2；0.277…万分位上是 7，0.277 万分位上是 0，所以 0.277…＞0.277，即最大的数是 5 18；0.2727…万分位上是 7，0.272 万分位上是 0，所以 0.2727… ＞0.272，即最小的数是 27.2%。 所以在0.27   、 5 18、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是 5 18，最小的数是 27.2%。 【点评】此题考查了百分数、小数和分数的互化、循环小数的简便记法、小数的大小比较。 【典例三】在 0.12， 1 8，0.12  ，和 12.1%这四个数中，最大的数是（ ）。 【答案】 1 8 【分析】把分数、百分数化成小数，再把循环小数写成带省略号的形式，再比较大小即可。 【解答】 1 0.125 8  12.1% 0.121 · 0.12 0.12222  ·1 0.12 12.1% 0.12 8    所以最大的数是 1 8。 【点评】本题考查百分数、小数、分数的互化、循环小数，解答本题的关键是掌握百分数、小 数、分数的互化方法。 【典例四】4.6÷11 用循环小数表示商是（ ），这个循环小数的小数点后面第 100 位 28 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 上的数字是（ ）。 【答案】0.418  1 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节； 写循环小数时，可以只写一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；运用 循环小数的数字规律解答即可。 【解答】因为 4.6÷11＝0.41818…，所以 4.6÷11 的商用循环小数表示是0.418 ； 又因为小数点后第 100 位是偶数位，1在小数点后偶数位上，所以这个循环小数的小数点后第 100 位上的数字是 1。 【点评】此题考查的是循环节的表示法，掌握循环小数的简写方法是解题关键。 【考点四】小数的基本性质及改写 【典例一】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子 10 米气步枪个人金牌，成绩为 253.3 环。“253.3” 左边的“3”表示 3个（ ），右边的“3”表示 3个（ ）。不改变 253.3 的大 小，改写成三位小数是（ ）。 【答案】一 十分之一 253.300 【分析】分析题目，根据数位知识可知：各个数位上的数字是几，就表示几个这样的计数单位， 从小数点左边起，第一位是个位，计数单位是一（个），第二位是十位，计数单位是十，第三 位是百位，计数单位是百……，小数点右边起第一位是十分位，计数单位是十分之一，第二位 是百分位，计数单位是百分之一，第三位是千分位，计数单位是千分之一……然后根据小数的 性质：在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，据此把 253.3 改写成三位小 数即可。 【解答】253.3＝253.300 盛李豪在杭州亚运会上获得了男子 10 米气步枪个人金牌，成绩为 253.3 环。“253.3”左边的 “3”表示 3个一，右边的“3”表示 3个十分之一。不改变 253.3 的大小，改写成三位小数是 253.300。 【典例二】0.7 的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，在它的末 尾添上两个“0”。表示这个小数的计数单位从（ ）变成了（ ），而小数的 （ ）不变。 【答案】0.1 7 0.1 0.001 大小 【分析】小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位……；一位小数的计 29 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一……分 别写作 0.1、0.01、0.001……相邻计数单位间的进率是 10。在小数的末尾添上 0或去掉 0， 小数的大小不变，这叫做小数的性质。 【解答】0.7＝0.700 0.7 的计数单位是 0.1，它有 7个这样的计数单位，在它的末尾添上两个“0”。表示这个小数 的计数单位从 0.1 变成了 0.001，而小数的大小不变。 【典例三】1.58 是一个（ ）位小数，它由（ ）个 1、（ ）个 0.1 和（ ）个 0.01 组成，也可以看成由（ ）个 0.01 组成。不改变数的大小，把 它改写成计数单位是千分之一的数是（ ）。 【答案】两 1 5 8 158 1.580 【分析】 一个小数的小数部分有几位数，就是几位小数。1.58 的小数部分有两位数，即 1.58 是一个两 位小数。 小数点左边第一位是个位，计数单位是一；小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一 （0.1）；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一（0.01）。1.58 个位上是 1，十 分位上是 5，百分位是 8，即 1.58 由 1 个 1，5 个 0.1 和 8 个 0.01 组成。 小数每相邻两个计数单位之间的进率是 10，即 1.58 也可以看成由 158 个 0.01 组成。 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。根据小数的性质可知：在 1.58 的末尾 添上“0”，小数的大小不变，即把 1.58 它改写成计数单位是千分之一的数是 1.580。 【解答】由分析可得：1.58 是一个两位小数，它由 1个 1、5个 0.1 和 8 个 0.01 组成，也可 以看成由 158 个 0.01 组成。不改变数的大小，把它改写成计数单位是千分之一的数是 1.580。 【点评】一个小数的计数单位由它的最低位决定，一个小数中某一个数字所对应的计数单位由 它所在的数位决定。 【典例四】0.34 的计数单位是（ ），不改变 0.34 的大小，将它改写成三位小数是 （ ）。 【答案】0.01 0.340 【分析】一位小数的计数单位是 0.1，两位小数的计数单位是 0.01……；根据小数的性质：在 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，这叫做小数的性质，据此解答即可。 【解答】0.34 的计数单位是 0.01，不改变 0.34 的大小，将它改写成三位小数是 0.340。 30 / 687 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【点评】本题考查了小数的意义及小数的性质。 【考点五】小数的大小比较 【典例一】开发区某校运动会男子跳远比赛成绩部分数据不清，请根据你的推理补全。 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84 米 □ .05米 2.□2米 名次 第三名 第一名 第二名 【答案】3；9 【分析】小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整 数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百 分位大的这个小数就大，如果百分位相同，就比较千分位，以此类推。 小强是第二名，所以小强成绩十分位上的数要比第三名小军成绩十分位上的 8要大，即 9＞8， 据此得出小强的成绩；小明是第一名，所以小明的成绩要比小强的好，所以小明成绩个位上的 数比小强成绩个位上的 2大，即 3＞2，据此得出小明的成绩。 【解答】3.05＞2.92＞2.84 填表如下： 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84 米 3.05 米 2.92 米 名次 第三名 第一名 第二名 【典例二】用 1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大（ ）。 【答案】5.94 【分析】要使组成的两位小数最大，应使个位上的数字最大，其他数位上的数字依次从大到小 排列。用 1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数是 7.51，要使这个小数最 小，应使个位上的数字最小，其他数位上的数字依次从小到大排列，所以最小的数是 1.57， 两数相差只需要用最大的数减最小的数即可。 【解答】7.51－1.57＝5.94 用 1、5、7 三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大 5.94。 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 小升初复习总集篇（43个专题320个考点） 目录 专题01整数的认识 15 【考点一】计数单位及位数 15 【考点二】整数的读写 16 【考点三】整数的大小比较 17 【考点四】整数的改写及近似数 19 专题02小数的认识 20 【考点一】小数的计数单位及数位 20 【考点二】小数的读法和写法 20 【考点三】循环小数 21 【考点四】小数的基本性质及改写 22 【考点五】小数的大小比较 23 【考点六】小数点位置移动的规律 25 【考点七】小数点有关的单位换算 25 【考点八】小数的改写及近似数 26 专题03分数的认识 27 【考点一】分数的意义 27 【考点二】分数单位的认识 28 【考点三】分数与除法的关系 29 【考点四】真假分数的认识及互化 30 【考点五】分数的基本性质 31 【考点六】约分及通分的认识和应用 32 【考点七】最简分数 33 【考点八】分数的大小比较 34 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 35 专题04百分数的认识 35 【考点一】百分数的意义 35 【考点二】百分数的读法和写法 37 【考点三】百分数、小数及分数的互化 38 【考点四】折扣问题 39 【考点五】成数问题 40 【考点六】利率问题 41 【考点七】税率问题 42 【考点八】利润问题 44 专题05负数与数轴 45 【考点一】负数的概念和辨认 45 【考点二】负数的读法和写法 46 【考点三】正负数的意义及应用 47 【考点四】正、负数的大小比较 48 【考点五】数轴上表示正负数 50 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 51 专题06因数与倍数 53 【考点一】因数和倍数的认识 53 【考点二】找一个数的因数的方法 53 【考点三】找一个数的倍数的方法 54 【考点四】2、3、5的倍数的特征 55 【考点五】奇数和偶数的认识 56 【考点六】质数与合数的认识 57 【考点七】分解质因数 58 【考点八】奇偶性 59 【考点九】最大公因数和最小公倍数 60 【考点十】运用最大公因数解决问题 61 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 62 专题07整小分百的四则运算 63 【考点一】整数的四则运算 63 【考点二】小数的四则运算 64 【考点三】分数的四则运算 65 【考点四】百分数的四则运算 66 【考点五】整小分百的四则混合运算 67 【考点六】整小分百的直接计算 69 【考点七】解整小分百数有关的方程 69 专题08运算定律及简便运算 70 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 70 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 71 【考点三】加法交换律 72 【考点四】加法结合律 73 【考点五】减法的性质 73 【考点六】乘法交换律和结合律 74 【考点七】乘法分配律 75 【考点八】除法的性质 76 【考点九】整数加法运算律推广到小数 76 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 77 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 78 【考点十二】小数减法相关的简便运算 78 【考点十三】小数除法相关的简便运算 79 【考点十四】简便运算脱式计算 79 专题09和、差、积、商的变化规律 80 【考点一】和与差的变化规律 80 【考点二】积的变化规律 81 【考点三】商的变化规律及应用 82 【考点四】商不变的规律及应用 83 专题10用字母表示数 84 【考点一】用字母表示数、数量关系 84 【考点二】用字母表示稍复杂的数量关系 85 【考点三】用字母表示运算定律及计算公式 86 【考点四】含有字母式子的化简与求值 87 专题11方程 88 【考点一】方程的认识 88 【考点二】列简易方程 89 【考点三】等式的性质1和2 90 【考点四】方程的解 91 【考点五】解含小括号的方程 92 【考点六】解小数方程 93 【考点七】解分数方程 94 【考点八】解百分数方程 94 专题12比 95 【考点一】比的意义 95 【考点二】比的基本性质 96 【考点三】比与分数除法的关系 97 【考点四】求比值 97 【考点五】化简比 98 【考点六】按比分配问题 99 【考点七】比的应用 100 【考点八】用画图法或转化法解决分数问题（比的应用） 102 专题13比例 103 【考点一】比例的意义 103 【考点二】比例的基本性质 103 【考点三】正反比例的意义及辨识 104 【考点四】比例尺的意义 105 【考点五】解比例 106 【考点六】应用比例尺画图 107 【考点七】比例的应用 109 【考点八】比例尺的应用 110 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 111 【考点十】正比例的应用 113 【考点十一】反比例的应用 115 专题14常见的量 116 【考点一】常见单位的选择一（质量、长度） 116 【考点二】常见单位的选择二（面积、体积） 117 【考点三】常见单位间的换算一 118 【考点四】常见单位间的换算二 119 【考点五】24时计时法的互化 119 【考点六】平年和闰年的认识及判定 120 【考点七】单位间的比较大小（先换算后比较） 121 【考点八】时、分、秒有关的计算 121 【考点九】年、月、日有关的计算 122 【考点十】24时计时法时间的计算 123 【考点十一】使、分、秒时间的推算 124 【考点十二】年、月、日时间的推算 125 【考点十三】运用时间单位的换算解决问题 125 【考点十四】运用质量单位的换算解决问题 126 【考点十五】运用长度单位的换算解决问题 128 【考点十六】运用面积单位的换算解决问题 129 【考点十七】运用体积容积单位的换算解决问题 130 专题15探索规律 131 【考点一】根据算式的规律计算 131 【考点二】根据数字排列的规律填数 132 【考点三】根据图形的变化规律计算图形的个数 133 【考点四】根据数表中的规律解决问题 134 【考点五】根据间隔、周期规律解决问题 136 专题16归一问题和归总问题 137 【考点一】单归一问题 137 【考点二】双归一问题 138 【考点三】正归一问题 138 【考点四】反归一问题 140 【考点五】归总问题 140 专题17和差倍问题 141 【考点一】和差问题 141 【考点二】和倍问题 142 【考点三】差倍问题 143 【考点四】隐藏条件型和差倍问题（需通过其他关系（如比例、余数）转化出和、差、倍。） 144 【考点五】三个量的和差倍问题 145 【考点六】年龄中的和差倍问题 146 专题18行程问题 147 【考点一】基本行程问题 147 【考点二】相遇问题 148 【考点三】追击问题 149 【考点四】列车过桥问题 149 【考点五】流水行船问题 150 专题19分段计费问题 151 【考点一】分段计费问题（小数乘法） 151 【考点二】分段计费问题（小数除法） 153 专题20一般分数应用题 155 【考点一】求一个数的几分之几的问题 155 【考点二】连续求一个数的几分之几的问题 156 【考点三】已知总量及一部分分率，求另一部分量 157 【考点四】求比一个数多/少几分之几的数,是多少 158 【考点五】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 159 【考点六】已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 160 【考点七】己知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 161 【考点八】运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 162 专题21一般百分数应用题 163 【考点一】求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题) 163 【考点二】求一个数比另一个数多/少百分之几 164 【考点三】求一个数的百分之几是多少 165 【考点四】比一个数多/少百分之几的数是多少 167 【考点五】已知一个数的百分之几是多少，求这个数 168 【考点六】已知比一个数多少少百分之几是多少求这个数 169 【考点七】己知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 170 专题22成数、折扣及利润问题 171 【考点一】打折的意义及应用 171 【考点二】求现价 172 【考点三】求原价 172 【考点四】求折扣 173 【考点五】求增加或减少几成的实际问题 173 【考点六】根据成数反求单位“1” 174 【考点七】利润问题 175 【考点八】利润与折扣的综合 175 专题23利率与税率问题 176 【考点一】求利息 176 【考点二】求利率或本金 176 【考点三】选择最佳的储蓄方案 177 【考点四】求应纳税额 178 【考点五】求税率或收入额 179 【考点六】分段计算解决纳税问题 179 专题24浓度问题 180 【考点一】单一溶液浓度问题 180 【考点二】溶液混合问题（两种不同浓度混合） 181 【考点三】加水稀释或溶质增减问题 182 【考点四】蒸发浓缩问题 183 专题25工程问题 183 【考点一】有具体量的工程问题 183 【考点二】两人合作的工程问题 184 【考点三】分段合作问题 185 【考点四】水管问题 186 【考点五】三人合作的工程问题 187 【考点六】综合工程问题（和比、分数、方程相关） 187 专题26按比分配应用题 188 【考点一】按比分配问题 188 【考点二】比的应用 189 【考点三】用画图法和转化法解决分数问题(比的应用) 190 专题27正反比例应用题 191 【考点一】正比例的简单应用 191 【考点二】反比例的简单应用 192 【考点三】运用正比例解决复杂问题 193 【考点四】运用反比例解决复杂问题 195 专题28数学广角（排列组合推理周期集合问题） 196 【考点一】排列问题 196 【考点二】组合问题 197 【考点三】推理问题 198 【考点四】周期问题 199 【考点五】集合问题 200 专题29数学广角（编码优化找次品方阵问题） 201 【考点一】数字编码（编码、学号） 201 【考点二】身份证号相关问题 202 【考点三】沏茶问题 203 【考点四】烙饼问题 204 【考点五】田忌赛马问题 205 【考点六】找次品问题 206 【考点七】方阵问题 207 专题30数学广角（鸡兔同笼植树鸽巢问题） 208 【考点一】列表法解鸡兔同笼问题 208 【考点二】假设法解鸡兔同笼问题 209 【考点三】方程法解鸡兔同笼问题 210 【考点四】植树问题（两端都栽） 211 【考点五】植树问题（两端都不栽） 211 【考点六】植树问题（一端栽一端不栽） 212 【考点七】封闭图形上的植树问题 213 【考点八】鸽巢问题初步 214 【考点九】鸽巢问题进阶 214 【考点十】最不利原则 215 专题31线和角 216 【考点一】直线、射线和线段的认识 216 【考点二】平行与垂直 217 【考点三】画平行线或垂线 218 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 219 【考点五】角的度量 220 【考点六】平角、周角的认识及特征 221 【考点七】角的度量和计算解决问题 223 专题32三角形 224 【考点一】三角形的概念和表示方法 224 【考点二】三角形的稳定性及应用 226 【考点三】三角形三边关系 226 【考点四】三角形的分类 227 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 228 【考点六】三角形的内角和 228 【考点七】多边形的内角和 229 【考点八】三角形的周长 230 【考点九】三角形的面积 231 【考点十】三角形的高及画法 232 【考点十一】画三角形 233 专题33长方形和正方形 234 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 234 【考点二】长方形及正方形的周长 234 【考点三】长方形的面积 235 【考点四】正方形的面积 237 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 237 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 238 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 239 专题34平行四边形和梯形 240 【考点一】平行四边形和梯形的概念及特点 240 【考点二】平行四边形的特性及应用 241 【考点三】平行四边形的周长 241 【考点四】梯形的周长 242 【考点五】等腰梯形和直角梯形的认识 243 【考点六】平行四边形的面积 244 【考点七】梯形的面积 245 【考点八】画平行四边形或梯形的高 245 【考点九】画平行四边形 247 【考点十】画梯形 248 专题35圆及组合图形 249 【考点一】圆的概念及特点 249 【考点二】圆的轴对称图形 250 【考点三】圆的周长的计算 251 【考点四】圆的面积的计算 251 【考点五】求最大面积 252 【考点六】圆环的面积 252 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 254 【考点八】扇形的周长和面积 254 【考点九】含圆的组合图形的周长 255 【考点十】含圆的组合图形的面积 256 【考点十一】阴影部分的周长或面积 257 【考点十二】画圆或扇形 258 【考点十三】圆的周长的应用 259 【考点十四】圆的面积的应用 260 专题36观察物体 261 【考点一】物体三视图的认识 261 【考点二】从不同位置观察两个物体的相互关系 262 【考点三】根据三视图确认几何体 263 【考点四】三视图的画法 265 专题37四大立体图形的认识及展开图 267 【考点一】长方体和正方体的特征 267 【考点二】长方体和正方体的棱长的应用 268 【考点三】长方体和正方体的展开图 269 【考点四】圆柱和圆锥的认识及特征 270 【考点五】圆柱的展开图 271 【考点六】补全长方体或正方体的展开图 272 【考点七】画出圆柱的展开图 273 专题38四大立体图形的表面积和体积 273 【考点一】长方体和正方体的表面积 273 【考点二】长方体和正方体的体积 274 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 276 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 277 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 278 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 279 【考点七】圆柱和圆锥的体积 280 【考点八】圆柱的体积的应用 282 【考点九】圆柱的容积的应用 283 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 284 专题39组合图形的表面积体积及等积变形 286 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 286 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 287 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 288 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 290 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 291 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 293 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 294 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 296 专题40方向、位置及路线图 297 【考点一】八个方向的认识 297 【考点二】用数对表示位置 298 【考点三】根据数对找位置 300 【考点四】根据方向、角度和距离确定物体的位置 302 【考点五】根据方向和距离描述简单的路线 304 【考点六】根据方向、角度和距离描述路线图 305 【考点七】根据方向、角度和距离画路线图 307 专题41图形的运动 309 【考点一】平移和旋转的认识 309 【考点二】轴对称的认识和辨认 309 【考点三】旋转三要素及旋转图形 310 【考点四】图形的放大和缩小的认识及简单应用 312 【考点五】作平移、旋转和轴对称后的图形 313 【考点六】运用平移、旋转和轴对称设计图案 314 【考点七】作放大或缩小后的图形 315 【考点八】综合作图（平移、旋转、轴对称及缩放） 316 专题42统计 318 【考点一】数据的搜集与整理 318 【考点二】单式统计表的特点及应用 319 【考点三】复式统计表的特点及应用 321 【考点四】单式条形统计图的特点及应用 322 【考点五】复式条形统计图的特点及应用 324 【考点六】单式折线统计图的特点及应用 325 【考点七】复式折线统计图的特点及应用 327 【考点八】扇形统计图的特点及应用 328 【考点九】选择合适的统计图 330 【考点十】平均数的正反运用 331 【考点十一】统计图表中的平均数 332 【考点十二】统计图表的综合应用（压轴） 334 专题43可能性 335 【考点一】事件的确定性与不确定性 335 【考点二】判断事件发生的可能性的大小 337 【考点三】可能性大小的应用 338 【考点四】游戏规则的公平性 339 【考点五】简单事件发生的可能性求解 340 专题01整数的认识 【考点一】计数单位及位数 【典例一】450906700，这个数读作：（ ），“5”在（ ）位上，十万位上的数是（ ），四舍五入到亿位是（ ）。 【典例二】第七次人口普查全国的总人口为1411778724人。在这个数中，“8”在（ ）上，百万位上的数字是（ ）， 将这个数四舍五入到亿位是（ ）亿。 【典例三】1700477007读作（ ）。左边第一个7在（ ）位上，表示（ ）；左边第二个7在（ ）位上，表示（ ）。 【典例四】2010年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作（ ）人，千位上“4”表示（ ），数字“7”表示（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）人。 【考点二】整数的读写 【典例一】一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是5的最小倍数，万位上是最小的质数，千位上是最大的一位整数，其它位上都是0，这个数写作（ ），读作（ ），改写成用万作单位是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）。 【典例二】地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球离太阳有时会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百零九万七千七百零一千米，横线上的数写作（ ）千米，省略“万”后面的尾数约是（ ）万千米。 【典例三】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是6，其余各位都是0，这个数写（ ），读作（ ）。 【典例四】甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前17世纪一公元前11世纪）的文化产物，距今约3600多年的历史，1899年在河南省安阳市殷墟首次发现。据统计，中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【考点三】整数的大小比较 【典例一】用0、1、3、5、7这五个数可以组成（ ）个没有重复数字的五位数，把这些五位数从大到小排列，第五个数是（ ）。 【典例二】用4，0，3，1，9，7，5组成不同的七位数，其中最大的是（ ），最小的是（ ），两数相差（ ）。 【典例三】阅读材料，回答问题。 ①月球与地球的平均距离约384400千米。今年，我国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。 ②火星到地球的最近距离约为5500万千米，最远距离则超过4亿千米。祝融号是天问一号任务火星车，设计寿命约92个地球日，但实际工作时长远远超过了设计寿命，天问一号环绕器在轨运行一周年时，距离地球约378000000千米。 （1）在信息①中，384400千米省略万后面的尾数约是（ ）万千米。 （2）把信息②中横线上的数据按从小到大的顺序排列。 。 【典例四】2021年我国人口普查数据公布，其中性别构成：男性人口为723339956人；女性人口为688438768人。人口年龄分布：0－14岁人口为253383938人；15－59岁人口为894376020人；60岁及以上人口为264018766人，其中65岁及以上人口为190635280人。 （1）比一比，填一填：性别构成：（ ）＜（ ） （2）60岁及以上人口约为（ ）万人，0－14岁人口约为（ ）万人。 （3）894376020最高位是（ ）位，十万位上的数字是（ ）。 【考点四】整数的改写及近似数 【典例一】三叶虫是距今560000000年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读作（ ），把这个数改写成用“万“作单位的是（ ）万，省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【典例二】2024年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约295000000人次，同比去年约增长7个百分点；实现国内旅游收入166893000000元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是（ ）亿；把波浪线上的数保留一位小数约是（ ）亿元。 【典例三】如果全国3.9亿个家庭都能养成随手关灯的好习惯，那么每年可以节约用电191000000千瓦时，横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ），省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【典例四】《2022年全国教育事业发展统计公报》数据显示，全国各级各类学历教育在校生人数约为二亿九千三百万，这个数可写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，四舍五入到亿位约是（ ）亿。 专题02小数的认识 【考点一】小数的计数单位及数位 【典例一】2.83里面有（ ）个0.01，再加上（ ）个0.01就是3。 【典例二】我们学过的数都是由若干个计数单位组成的。例如：自然数25是由25个1组成的。那么小数0.048是由（ ）个（ ）组成的，分数是由（ ）个（ ）组成的。 【典例三】一个数的十万位、十位和十分位上都是3，其余各位上都是0，这个数是（ ）。 【典例四】一个数由3个一、5个百分之一和2个千分之一组成，这个数写作（ ），它是（ ）位小数。 【考点二】小数的读法和写法 【典例一】嫦娥六号探测器总重8.2吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横线上的数读作（ ）吨。 【典例二】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作（ ），精确到0.01是（ ）。 【典例三】博物馆内的中华白海豚素有“水上大熊猫”之称，属于国家一级保护动物，体长最长达2.71米，画横线的小数读作（ ）米，表示（ ）米（ ）分米（ ）厘米。 【典例四】一个数由2个十、5个百分之一和4个千分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数保留两位小数是（ ）。 【考点三】循环小数 【典例一】在3、、333%和3.3中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【典例二】在、、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【典例三】在0.12，，，和12.1%这四个数中，最大的数是（ ）。 【典例四】4.6÷11用循环小数表示商是（ ），这个循环小数的小数点后面第100位上的数字是（ ）。 【考点四】小数的基本性质及改写 【典例一】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个（ ），右边的“3”表示3个（ ）。不改变253.3的大小，改写成三位小数是（ ）。 【典例二】0.7的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，在它的末尾添上两个“0”。表示这个小数的计数单位从（ ）变成了（ ），而小数的（ ）不变。 【典例三】1.58是一个（ ）位小数，它由（ ）个1、（ ）个0.1和（ ）个0.01组成，也可以看成由（ ）个0.01组成。不改变数的大小，把它改写成计数单位是千分之一的数是（ ）。 【典例四】0.34的计数单位是（ ），不改变0.34的大小，将它改写成三位小数是（ ）。 【考点五】小数的大小比较 【典例一】开发区某校运动会男子跳远比赛成绩部分数据不清，请根据你的推理补全。 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84米 □米 □2米 名次 第三名 第一名 第二名 【典例二】用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大（ ）。 【典例三】★是0~9中的一个数，使小数★0.★6满足以下条件。 （1）小数★0.★6最大，则这个小数是（ ）。 （2）小数★0.★6最小，则这个小数是（ ）。 （3）小数★0.★6最接近59，则这个小数是（ ）。 【典例四】根据武汉市东湖绿道的规划方案，绿道二期划分为湖城道、湖泽道、湖町道、湖林道和森林道5条主题绿道。其中，湖城道景观特色为“一景一园、听涛赏梨”，长九点零二千米；湖泽道观特色为“双岛五堤、十里桃花”，长10.1千米；湖町道景观特色为“近赏田湾、远观山峦”，长九点二六千米；湖林道景观特色为“东湾西园、荷红茶香”，长14.08千米；森林道景观特色为“知山乐水、登高观澜”，长26.22千米。 （1）依次读出波浪线部分所表示的小数：（ ）、（ ）、（ ）。 （2）依次写出横线部分所表示的小数：（ ）、（ ），这两个小数中小数部分的“2”，分别表示2个（ ）和2个（ ）。 （3）把材料中出现的5个小数按从大到小的顺序排列： （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 【考点六】小数点位置移动的规律 【典例一】一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是（ ）。 【典例二】一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是（ ）。 【典例三】一个小数，把它的小数点先向左移动一位，再向右移动两位，得到的数是10.6，这个小数原来是 。 【典例四】把1.85的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，得到的数是（ ）。 【考点七】小数点有关的单位换算 【典例一】0.4平方米＝（ ）平方分米       120000平方米＝（ ）公顷 0.25时＝（ ）分          6.5cm＝（ ）mm 【典例二】420公顷＝（ ）平方千米         2.7千米＋300米＝（ ）米 2.15小时＝（ ）小时（ ）分       4吨50千克＝（ ）吨＝（ ）千克 【典例三】5300m＝（ ）km       1.25dm3＝（ ）L 2.08hm2＝（ ）m2          3吨95千克＝（ ）吨 【典例四】5.4时＝（ ）时（ ）分    2.05吨＝（ ）吨（ ）千克 730平方厘米＝（ ）平方米    3.68立方米＝（ ）立方厘米 【考点八】小数的改写及近似数 【典例一】“移动支付”被誉为中国新“四大发明”之一。据有关统计，截至2023年6月，我国网络支付用户大约有943190000人，该人数读作 ，用四舍五入法，改写成以亿为单位，并保留两位小数约是 亿。 【典例二】五一期间东北地区的文化旅游共接待游客1016.52万人，这个数可以读作 万人，四舍五入到万位约是 万人。 【典例三】2024年“五一”假期，文化和旅游部5月6日发布数据显示，全国国内旅游出游合计295000000人次，同比增长，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿。国内游客出游总花费166890000000元，同比增长，横线上的数省略亿位后面的尾数约是 亿。 【典例四】下面是2023年末收集的信息： 莆田市人口数达3674800人，土地面积为4127700000平方米，地区生产总值达307073000000元，新改建公园绿地面积510000平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 （1）把总人口数改写成用“万”作单位的数是 万人。 （2）土地面积为 平方千米，新改建公园绿地面积达 公顷。 （3）地区生产总值省略“亿”后面的尾数约是 亿元。 专题03分数的认识 【考点一】分数的意义 【典例一】5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。 【典例二】如图，点A表示的数是（ ），点B表示的数是（ ），点C表示的数是（ ）。 【典例三】校庆期间，同学们买来一根5米长的彩带，正好制成10个拉花，装饰教室，每个拉花用去彩带（    ）米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【典例四】把一根米长的铁丝平均分成6段，每段占全长的（ ），每段长（ ）。 【考点二】分数单位的认识 【典例一】的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【典例二】的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的分数单位，再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【典例三】的分数单位是（ ），把它化成最简分数后的分数单位是（ ）。 【典例四】计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，再添上（ ）个这样的单位就是最小的合数。 【考点三】分数与除法的关系 【典例一】把3千克的巧克力平均分成5份，每份是3千克的（ ），每份是（ ）千克。 【典例二】从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为（ ）。 【典例三】把5米长的绳子平均剪成8段，每段长是（ ）米，每段是全长的（ ）。 【典例四】3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到（ ）个月饼，每名小朋友分到这些月饼的（ ）。 【考点四】真假分数的认识及互化 【典例一】一个最简真分数，它的分子、分母的乘积是12，这个分数是（ ）。 【典例二】已知是真分数，是假分数，是最简分数。那么a＝ 。 【典例三】的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 【典例四】的分数单位是（ ），再增加（ ）个这样的单位正好是最小的质数。 【考点五】分数的基本性质 【典例一】的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应该加上 。 【典例二】有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的5倍。这个最简分数是（ ）。 【典例三】分数的分子加34，要使比值不变，那么分母应扩大到原来的（ ）倍。 【典例四】有一个分数，如果分子加2，这个分数约分得，如果分母加2，这个分数约分得，这个分数是（ ）。 【考点六】约分及通分的认识和应用 【典例一】口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是（ ），要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 【典例二】有1，2，3，4，5，6六张数字卡片，从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是（ ）。 【典例三】一个分数的分子、分母的和是23，分母增加19后，得到一个新分数，约分后为，原分数是（ ）。 【典例四】的分子加上一个自然数，分母减去这个自然数，分数就变为，这个自然数是（ ）。 【考点七】最简分数 【典例一】一个最简真分数，分子和分母是2到7六个整数中的一个，它共有（ ）种可能。 【典例二】将一副扑克牌（去除大、小王）反扣在桌面上，从中任意抽取一张，抽到“6”的可能性是，抽到“红心”牌的可能性是。（填写最简分数） 【典例三】分数单位是的所有最简真分数的和是（ ）。 【典例四】分母相同的两个最简分数的和是，它们分子的比是4∶11，这两个数分别是（ ）和（ ）。 【考点八】分数的大小比较 【典例一】将5个分数、、、、按从小到大的顺序排列，最大的数是（ ）。 【典例二】一个最简分数满足：，当分母b最小时，a＋b＝ 。 【典例三】甲2小时做14个零件，乙做一个零件小时，丙每小时做8个零件，这三个人中工作效率最高的是（ ）。 【典例四】已知（，，都大于0），则最大的数为（ ），最小的数为（ ）。 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 【典例一】的计数单位是（ ），它的倒数是（ ）。再添上（ ）个这样的计数单位就成为最小的合数。 【典例二】一个数的倒数是，这个数的是（ ）。 【典例三】m与n互为倒数，那么＝ 。 【典例四】甲数的小数点向左移动两位后，结果比原来减少9.9，如果甲数是乙数的倒数，乙数是（ ）。 专题04百分数的认识 【考点一】百分数的意义 【典例一】2022年我国成功举办冬季奥运会，在奥林匹克持权转播商的各种频道上，有关北京奥运会的报道总共被观看了7130000000000分钟，较在韩国举办的上届冬奥会增长18%。 （1）把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是（ ）亿； （2）增长18%的含义是（ ）占（ ）的18%。 【典例二】选择下面的百分数填空。 105%  65%  96%  35%  2% （1）某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的（ ）。 （2）工程队修建一段水渠，已经完成（ ），还剩下整条水渠的（ ）。 【典例三】六①班有25%的同学参加了科技兴趣小组，25%表示（ ），这个班参加其他兴趣小组的人数占全班人数的（ ）%。 【典例四】阅读以下信息，按要求填空。 2024年中国航天精彩上演，神舟十八号于北京时间4月25日20：59在酒泉卫星中心成功发射，于4月26日3：30和空间站成功对接。据统计，在当天总台央视新闻频道直播节目中关于神舟十八号节目的收视率为0.59%，截至25日22：00，央视新闻客户端观看量约为4013000万，各平台总观众量约为73942000，其中一条有关神舟十八号的短视频点击量达到了一亿九千六百八十三万次。 （1）73942000读作：（ ）。 （2）一亿九千六百八十三万写作：（ ）。用“四舍五入”法省略亿后面的尾数约是（ ）亿次。 （3）收视率为0.59%表示（ ）。 （4）4月25日20：59到4月26日3：30，经过了（ ）时（ ）分，合（ ）分。 【考点二】百分数的读法和写法 【典例一】朝天区年均气温15.8℃，年均降雨量1120mm，属亚热带湿润季风气候。森林覆盖率达66%，是嘉陵江上游的重要生态屏障，横线上的数读作（ ），城区环境空气质量优良天数常年保持在百分之九十五以上，横线上的数写作（ ）。 【典例二】据监测，某省今年上半年水产产量131.69万吨，是去年上半年的103.2%。103.2%读作（ ），它是把（ ）看作单位“1”。 【典例三】2019年1月在民权县湿地公园监测到全球极危物种青头潜鸭186只，占全球种群数量的15%以上，5月首次发现青头潜鸭繁殖巢，民权湿地成为青头潜鸭重要栖息地和繁殖地。文中画线的数读作：（ ），它表示：（ ）。 【典例四】截至2021年底，岳阳县全年累计完成救助数为46148人，共支付救助资金12057900元，完成全年目标任务的百分之一百零五点三六。 （1）12057900是（ ）位数，最高位是（ ）位，“2”表示2个（ ），这个数读作（ ）。 （2）百分之一百零五点三六写作（ ），说明超额完成全年目标任务的（ ）%。 【考点三】百分数、小数及分数的互化 【典例一】（ ）∶10＝＝12÷（ ）＝（ ）（小数）＝（ ）%＝（ ）折。 【典例二】9∶（    ）＝21÷（    ）＝＝（    ）%＝七五折。 【典例三】（ ）÷20＝＝24∶（ ）＝（ ）%＝（ ）折＝（ ）（填小数）。 【典例四】＝0.3＝12÷（     ）＝（     ）%＝（     ）∶30。 【考点四】折扣问题 【典例一】联合国教科书组织自1995年起，把4月23日定为“世界阅读日”，希望借助这个重要的日子，向大家推广阅读和写作。2023年4月23日这天，各网站推出了购书优惠活动：A网站可享“每满200元减80元”，B网站可享“折上折”，即先打七折再打九折。王老师为充实班级图书角，打算购买一套原价1200元的图书，在哪个网站购书更优惠？ 【典例二】某服装城卖一款衬衫，如果每件售价250元，那么售价的是进价，售价的就是赚的钱。现在要搞促销活动，为保证一件衬衫赚的钱不少于50元，折扣不能低于多少？ 【典例三】“”的首字母大写时是“中国”，小写时是“瓷器”。中国是“瓷”文化的发源地，瓷器也是世界认识中国、中国走向世界的文化符号。某商店的一件瓷器在“五一”劳动节当天按标价打八折出售，售价是576元，这件瓷器的标价是多少元？ 【典例四】某电器商场销售一种微波炉和一种电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元。“双十一”期间该商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供以下两种优惠方案。 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都打九折。 现某客户要到该商场购买微波炉10台，电磁炉15台。 （1）单独采用哪一种方案更省钱？ （2）请你尽量使用商场的优惠政策给出一种更为省钱的购买方案，试写出你的购买方法。 【考点五】成数问题 【典例一】李奶奶家去年收获土豆14吨，今年改种新品种后比去年增产二成。今年收获土豆多少吨？ 【典例二】某超市销售的一种电饭煲的利润是成本的三成，已知它的售价是每台390元，这种电饭煲的成本是每台多少元？（列方程解答） 温馨提示 售价＝利润＋成本 【典例三】商场星期三销售了660件服装，比星期二的服装销量多一成，星期四的服装销量比星期二多两成五，商场星期四的服装销量是多少件？ 【典例四】去年张大爷家果园里的脐橙受冷空气影响比前年减产了一成五，共收获脐橙1700千克，那么前年张大爷家共收获了多少千克脐橙？ 【考点六】利率问题 【典例一】张大爷有10000元钱，现在某银行推出一年期的理财方式，年收益率为5%，每年到期后还可以连本带息继续购买下一年的这个理财产品。请问三年后，张大爷连本带息一共能得到多少元钱？ 【典例二】李明去年2月1日把2500元存入银行，存期2年，年利率是2.43%，到期时，他一共可以取回本金和利息共多少元？ 【典例三】根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整。2015年10月中国人民银行公布的存款利率如表： 活期 整存整取 存期 三个月 六个月 一年 二年 三年 年利率（%） 0.35 1.10 1.30 1.5 2.10 2.75 2015年11月，李爷爷把5000元钱存入中国人民银行，存三年，到期时可以取回多少钱呢？ 【典例四】今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。爸爸妈妈有不同的方案。 （1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ （2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持谁的方案 【考点七】税率问题 【典例一】一家毛绒玩具工厂三月份按5%的税率缴纳了4万元的营业税，该工厂三月份的营业额是多少万元？ 【典例二】李叔叔得到了一笔小于5000元的稿费，其中1500元是免税的，其余部分要按14%的税率缴税，这笔稿费共缴税420元，这笔稿费一共多少元？ 【典例三】小红家买了一套标价为70万元的商品房。他们选择了一次付清房款，打九五折优惠价付款。 （1）打折后房子的总价是多少元？ （2）买这套房子还要按照实际房价的1.5%缴纳契税，契税是多少元？ 【典例四】我国个人所得税法规定，个人月收入超过3500元的部分应缴纳个人所得税。（税率如下表） （1）若张明的爸爸10月的收入是9000元，他税后收入是多少元？ （2）若张明的爸爸11月的税款是515元，他收入是多少元？ 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元 3% 2 超过1500元至4500元 10% 3 超过4500元至9000元 20% … …… … 【考点八】利润问题 【典例一】中国四大毛笔之乡有：浙江湖笔之乡、安徽宣笔之乡、河北侯笔之乡和山东齐笔之乡。某生产商将每支毛笔按商店定价的七折批发给商店，商店将定价降低10%卖给消费者。如果商店中每支毛笔的定价是7.2元，那么商店售出一支这种毛笔盈利多少元？ 【典例二】李先生以标价的95%买下一套房子，经过一段时间后，他又以超出原价的40%将房子卖出。这段时间物价的总涨幅是20%，问李先生买进和卖出这套房子所得利润率为百分之几？ 【典例三】年末将到，商家为了促销某种商品，在现在的零售价的基础上打了七五折，接着又打了八折，这时零售价为360元，按这一价格出售，商店还有20%的利润。 （1）这种商品未打折前的零售价是多少？ （2）这种商品的进价是多少？ （3）这种商品若按原价出售，利润率为多少？ 【典例四】某药材加工厂，有精加工和粗加工两种工艺（不能同时进行），相关信息如下表所示： 工艺 药材原料每天加工的吨数 成品率 每吨成品的利润（元） 精加工 6 70% 2400 粗加工 14 80% 800 （1）根据上表信息，两种工艺各加工一天，分别获得多少利润？ （2）李叔叔请工厂加工80吨药材原料，并要求10天内完成。请你帮工厂安排一下，用精加工和粗加工各加工几天，不但能按时完成，而且使利润最多？ （3）按上述方案，完成加工后工厂共得利润多少元？ 专题05负数与数轴 【考点一】负数的概念和辨认 【典例一】在18，﹣33，0.78，0，﹣3.2中，正数有（ ），负数有（ ），（ ）既不是正数也不是负数。 【典例二】在0.5、﹣7.3、﹢1.8、﹣6.7、、、0中，正数有（ ）个，负数有（ ）个。 【典例三】在和这六个数中，负数有（ ），既不是正数也不是负数的是（ ） 【典例四】在﹣7、6、0、﹢10、、﹣96、﹣20中，正数有（ ）个，负数有（ ）个，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【考点二】负数的读法和写法 【典例一】如果某人向东走80米记作﹢80米，那么他向西走50米就记作（ ）米，这个数读作（ ）。 【典例二】妙妙的妈妈每天都会记录当天的收支情况，5月15日，收入900元，她记为﹢900，这个数读作（ ），当天，家中消费143元，应记为（ ）。5月17日，妈妈的账单上记录在﹢204，﹣246元，那么这天妙妙妈妈的实际收入应记为（ ）。 【典例三】中华金叶榆以它耀眼的金黄色吸引人们的注意，让人们心情愉悦。它耐寒冷，可耐零下43℃的低温，零下43℃记作（ ）；它抗高温，在气温高达﹢38℃时也不会受到伤害，﹢38读作（ ）。 【典例四】山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线上的数读作（ ），省略“万”位后面的尾数约是（ ）万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作（ ），表示（ ）摄氏度。 【考点三】正负数的意义及应用 【典例一】爸爸今年6月工资收入8500元，记作：﹢8500元；支出老人生活费2000元，记作（ ）元；支出明明零用钱100元，记作（ ）元；利息收入400元，记作（ ）元。 【典例二】朋朋向东走6m，记作﹢6m，那么他走了﹣50m表示他向（ ）走了（ ）m；如果朋朋从起点开始先向东走了10m，再向（ ）走（ ）m，这时他所在的位置记作﹣20m。 【典例三】在一次诗词大赛中，某小组四位同学的成绩如表： 姓名 张敏 李燕 王华 胡月 成绩/分 87 ？ 96 95 已知四位同学的平均成绩是92分，则李燕的成绩是（ ）分。如果把胡月的成绩记作﹢3分，那么张敏的成绩记作（ ）分。 【典例四】体育老师对中心路小学六年级男生进行了仰卧起坐的达标测试，以1分钟25个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示。老师记录的其中8名同学的成绩如下： 2 ﹣1 0 3 ﹣2 ﹣3 1 0 （1）请同学动手算算这8名同学有（ ）%达到标准。 （2）他们共做了（ ）个仰卧起坐。 【考点四】正、负数的大小比较 【典例一】把、7.5、0、、这五个数按从小到大的顺序排列。 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 【典例二】下表记录了某日我国几个城市的平均气温。 北京 哈尔滨 上海 崇左 ﹣8℃ ﹣22℃ 3℃ 20℃ 请将各个城市的平均气温从高到低进行排列：（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 【典例三】把﹣0.5、2.5、﹣1.5、﹣3这四个数按从大到小的顺序排列起来是：（ ）。 【典例四】淘气观察家里冰箱设置的温度。发现冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度为﹣18℃。元旦期间，妈妈买回一些水果，放在了冰箱的变温室里，为了更好的保解，妈妈把变温室的温度设置为0℃。 把以上出现的温度从低到高排列出来：（ ）℃＜（ ）℃＜（ ）℃。 （如果有困难。可以借助上图的温度计进行思考。） 【考点五】数轴上表示正负数 【典例一】在直线上表示下面各数。 ﹣6    ﹣4.5    1    ﹢6         【典例二】在直线上表示下列各数。 2.5     ﹣     ﹣4         2    ﹣2 【典例三】在下面直线上描出表示“﹣3，2.5和”的各点，并写出相应的数。 【典例四】在直线上标出、1.5、。这三个数，用点表示出来，并圈出最接近0的那个数。 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 【典例一】下面是李老师今年8月份收入和支出情况记录表。 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 ﹢2400 ﹣88 ﹣120 ﹣320 ﹢450 ﹢100 ﹣800 （1）李老师8月份一共收入多少钱？ （2）李老师这个月一共支出多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？（得数保留一位小数） 【典例二】下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早，如同一时刻，北京为7时，则东京为8时） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 ﹢1 ﹣14 （1）北京时间2017年5月1日7：00，此时纽约时间是多少？ （2）小明在北京时间9：00想给远在巴黎的叔叔打电话，你认为合适吗？为什么？ 【典例三】某工厂一周计划每日生产洗衣机150台，由于工厂实行轮休，每天上班人数不一定相同，实际每天产量与计划产量相比情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际产量比计划多多少/辆 ﹣12 ﹢13 ﹣12 ﹢14 ﹢7 ﹣15 ﹣3 （1）星期一和星期二一共生产洗衣机多少台？星期五和星期日一共生产多少台洗衣机？ （2）这一周的实际总产量比计划总产量多还是少？相差多少台？ 【典例四】某年“五一”黄金周景区共接待游客44.7万人，比上一年增长20%。每天来景区旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）。 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 5月6日 5月7日 人数变化/万人 ﹢1.8 ﹢0.7 ﹢0.5 ﹣0.6 ﹣0.9 ﹢0.2 ﹣1.4 （1）“五一”黄金周该景区游客数最多的是5月（    ）日，最少的是5月（    ）日。 （2）若把4月30日的游客数记为0，请你认真思考，然后在下图中绘制折线统计图来表示这7天的游客数变化情况吧。 （3）上一年“五一”黄金周该景区共接待游客（    ）万人。 专题06因数与倍数 【考点一】因数和倍数的认识 【典例一】某班学生人数在40人到50人之间，男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有男生（ ）人。 【典例二】一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最大是（ ）。 【典例三】若A的最大因数是13，B的最小倍数是1，那么A＋B的和的所有因数有（ ）个，A－B的差的所有因数有（ ）个。 【典例四】在数字卡片2、49、51、1、17、4、24、12中，摸到质数的可能性是（ ），摸到24的因数的可能性是（ ），选出4个数组成一个比例是（ ）。 【考点二】找一个数的因数的方法 【典例一】已知，那a的因数有（ ）个。 【典例二】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 【典例三】一个数比20小，既是3的倍数又是15的因数，这个数可能是（ ）。 【典例四】一个数既是35的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）或（ ）。 【考点三】找一个数的倍数的方法 【典例一】一个数既是36的因数，又是6的倍数，而且比6大，比36小。这个数可能是（ ）。 【典例二】学校舞蹈队人数在60~70人之间，男生人数是女生人数的，女生人数比男生多，女生有（    ）人。 【典例三】为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【典例四】在1～200的整数中，是3的倍数或4的倍数的数一共有（ ）个。 【考点四】2、3、5的倍数的特征 【典例一】一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填（ ），百位上最大能填（ ）。 【典例二】从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是（ ）。 【典例三】“7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是 ，■所代表的数字最小是 。 【典例四】亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是（ ）。 【考点五】奇数和偶数的认识 【典例一】有3个连续奇数，中间一个奇数是，这3个数的和是（ ）。这3个数的平均数是（ ）。 【典例二】“哥德巴赫猜想”认为，所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。请你将50写成两个质数的和：50＝（ ）＋（ ）。 【典例三】三张卡片上分别写着3，4，7，用其中任意两张组成两位数。如果组成的两位数是偶数，则明明赢；如果组成的两位数是奇数，则丽丽赢。（ ）赢的可能性较大。 【典例四】在两位数中，能被3整除的最大偶数是（ ），同时能被3和5整除的最小奇数是（ ）。 【考点六】质数与合数的认识 【典例一】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是6，其余各位都是0，这个数写（ ），读作（ ）。 【典例二】我国汉族人口的数量截止到2024年是个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，亿位上的数是最小的质数，千万位上是最大的偶数，百万位上的数是最小的合数，千位上是能同时被2和3整除的一位数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是最小的自然数，这个数是 。保留整数约是 亿。 【典例三】一个九位数，最高位上是最大的一位数，十万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【典例四】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作（ ），精确到0.01是（ ）。 【考点七】分解质因数 【典例一】甲、乙玩抽扑克游戏，现有1～9的扑克各若干张，甲、乙两人分别从中取出5张，然后计算五张扑克上数字的乘积，最后发现乘积一样，都为1764，并且甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，那么甲、乙扑克数字之和分别为 。 【典例二】小军用计算器算得两个整数的积是385，但是忘记了这两个数，只记得它们都是两位数，都小于50，这两个数是（ ）和（ ）。 【典例三】有四个数相乘975×935×972×口，要使它的积最后4个数都是0，则口里最小应填（ ）。 【典例四】一个长方体中相邻两个面的面积分别是15cm2，21cm2，这个长方体（长、宽、高都是质数）的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【考点八】奇偶性 【典例一】“”的和是（ ）数（填“奇”或“偶”），这9个数的平均数是（ ）。 【典例二】小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是（ ）。 【典例三】兰兰将99颗珠子装入两种盒子中，每个大盒子能装12颗，每个小盒子能装5颗，恰好装满若干个盒子。已知盒子数大于10，则大盒子有 个。 【典例四】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是（ ）。（填“奇数”或“偶数”） 【考点九】最大公因数和最小公倍数 【典例一】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【典例二】分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【典例三】求下面每组数的最大公因数。 36和10       13和23      84和56      25和75 【典例四】找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【考点十】运用最大公因数解决问题 【典例一】有85个橘子和51个苹果。如果要把这些水果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，最多要准备多少个塑料袋？每个塑料袋中有几个橘子、几个苹果？ 【典例二】将一张长32厘米、宽24厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，有多少种不同的剪法？正方形的边长最大是多少厘米？（在图中画一画） 【典例三】端午节是我国的传统节日，被列入国家级非物质文化遗产名录。在端午节，红红和奶奶包了45个红枣粽和37个肉粽，并把它们分别分给了几个亲戚，结果红枣粽正好分完，肉粽还剩1个。红红和奶奶把粽子最多平均分给了几个亲戚？ 【典例四】随着造纸工艺的进步，纸的用途也越来越多。王师傅要用正方形壁纸贴满一面背景墙（使用的壁纸必须都是整块），背景墙长40分米，高24分米，王师傅可以把壁纸裁剪成边长是几分米的正方形？边长最大是几分米？ 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 【典例一】士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【典例二】小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【典例三】一个老人临终留了17匹马给3个儿子，说老大分得二分之一，老二分得三分之一，老三分得九分之一，不许杀死马。如何分？ 【典例四】早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 专题07整小分百的四则运算 【考点一】整数的四则运算 【典例一】从“东方红一号”到“天绘六号”发射成功，中国空间技术研究院研制并成功发射了400个航天器，统称为“四百星”。 发射目标 第一个“百星” 第二个“百星” 第三个“百星” 第四个“百星” 完成时间（年） 41 6 3 2 我国完成“四百星”发射目标一共用了（    ）年。观察上面统计表你有什么感受？ 【典例二】2008年8月8日我国成功举办第29届奥运会，按每4年举办一次（不含特殊情况）的惯例，则第40届奥运会将于( )年举办。 【典例三】2024年是红军长征出发90周年。张老师参加教育局组织的《传承红色基因，讲好中国故事》教师演讲比赛，六位评委打的评分分别是96分、91分、92分、89分、93分、92分。如果去掉一个最高分和一个最低分，张老师最后的平均得分是 分。 【典例四】在A地植树1000棵，B地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵，甲在A地，乙在B地，丙在A与B两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A地植树( )棵。 【考点二】小数的四则运算 【典例一】两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上（如图）。如果有这样的课本50本，整齐叠放成一摞放在桌子上，这一摞课本的顶部距离地面的高度应为( )米。 【典例二】小易有1元和5角的硬币共30枚，总共22元。小易有( )枚1元硬币，( )枚5角硬币。 【典例三】校庆期间，同学们买来一根5米长的彩带，正好制成10个拉花，装饰教室，每个拉花用去彩带（    ）米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【典例四】用圆规画一个周长是15.7cm的圆，圆规两脚间的距离是( )cm；把这个圆的半径扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来的( )倍。 【考点三】分数的四则运算 【典例一】有1，2，3，4，5，6六张数字卡片，从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是( )。 【典例二】观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【典例三】两条同样长度的彩带被等分成不同份数（如图），第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长（    ）分米。 【典例四】成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。李叔叔的体重是78千克，他的血液中约含有( )千克的水。 【考点四】百分数的四则运算 【典例一】李老师退休后月工资5800元，按规定超过5000元的部分要交纳3%的个人收入所得税。李老师实际拿到手的工资是( )元。 【典例二】如图，这是龙华区4月天气情况统计图，4月雨天比阴天多( )天。 【典例三】如图是某班学生参加课后服务情况的统计图，根据图中的信息回答问题。 (1)全班一共有( )人参加课后服务。 (2)参加篮球和足球的人数占全班人数的( )%。 (3)参加合唱的人数比参加书法的人数少( )人。 【典例四】2024年6月19日，首次发行的50年期超长期特别国债上市，该国债的年利率2.53%，到期偿还本金并支付最后一次利息。小月的妈妈在首发日购买了10000元的50年期国债，到期后，将获得总利息( )元。 【考点五】整小分百的四则混合运算 【典例一】计算下面各题，怎样简便怎样算。          37.5÷2.5×4        36×（） 【典例二】脱式运算，能简算的要写出简算过程。 （1）31.4÷12.5÷8            （2）×＋÷ （3）0.24÷4＋3×15%         （4）5－－－ 【典例三】计算下面各题，能简算的要简算。 （1）68.87－（8.87＋2.9）        （2）624÷（1＋4%）×（1－20%） （3）32×12.5×0.25            （4） 【典例四】脱式计算。（能简算的要简算） 0.6×49＋52×－60%         （）×2.4             【考点六】整小分百的直接计算 【典例一】直接写出得数。 5.97＋4.23＝       0.24×0.5＝          ＝           0.56÷0.7＝ ＝           30×＝            0.62＝            125%×0.8＝ 2÷0.01＝            1－8%＝           ＝          ＝ 【典例二】口算。 40×125%＝    ＝    ＋40%＝    9÷45%＝    10－0.01＝ 2.56÷0.6＝    ＝    0.6a×5a＝    ＝    ＝ 【典例三】直接写得数。 8÷2.2＝          1－＝          1.5×6＝          ＋＝ 3.5÷＝         ×＝          ＋2＝          ×20%＝ 【典例四】直接写得数。 2.01－1.9＝                        12.5×80%＝          0.72÷0.8＝          【考点七】解整小分百数有关的方程 【典例一】解方程或比例。 （1）       （2）        （3） 【典例二】解方程或解比例。 【典例三】解方程。 9×1.8－12x＝1.8                     【典例四】解方程。 5x－26＝4         x－30%x＝52           专题08运算定律及简便运算 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 【典例一】被减数和差的比是13∶2，那么差和减数的比是( )。 【典例二】已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。 【典例三】( )∶32＝( )( )( )%。 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 【典例一】两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是( )。 【典例二】在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【典例三】在数学课上，同学们在解决这样一个问题： 有两个非零自然数a和b，并且。求a与b的最简整数比。 下面是两位同学的做法： 新新：用假设法，假设，算出a＝3，b＝4，再求出a与b的最简整数比。 佳佳：用比例的基本性质，把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，根据，写出，再化简。 (1)分析上面两位同学的想法，你认为( )说的有道理。 (2)在这个问题中，a与b的最简整数比是( )。 【考点三】加法交换律 【典例一】根据589＋320＝909，可知：909－( )＝320；320＋589＝( )。 【典例二】分别算出下面两户人家今年4、5、6月电话费的合计数，填在表里。（单位：元） 户主 合计 4月 5月 6月 王名 58 45 42 李军 84 151 116 【典例三】分别算出利华粮店今年9月售出的三种粮食的合计数，填在表里。 名称 合计 上旬 中旬 下旬 面粉/千克 151 208 192 糯米/千克 135 165 106 大米/千克 270 192 230 【考点四】加法结合律 【典例一】在横线上填合适的数，在括号里写出应用的运算律。 48＋70＝ ＋48( ) 52＋36＋64＝52＋（ ＋64）( ) 58＋37＋42＝37＋（ ＋42）( ) 【典例二】算出下面一家木器厂第一季度生产各种家具的合计数并填入表里。 产品 一月 二月 三月 合计 写字台/张 292 300 308 椅子/把 459 474 526 大衣柜/个 198 226 232 【典例三】如果A＋B＝500，那么A＋（B＋20）＝( )；如果A×B＝48，那么A×（B×5）＝( )；如果A－B＝8，那么125×A－125×B＝( )。 【考点五】减法的性质 【典例一】为了让学生们开拓视野，学到更多的知识，图书馆购进了科技书、科幻书和故事书共875本。其中科技书有234本，故事书有366本。科幻书有( )本。 【典例二】店庆期间，原价4999元的一部5G手机，降价578元，刘阿姨有贵宾卡还能再优惠222元，最后刘阿姨花( )元买到这部手机。 【典例三】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.49( )0.489       325＋76－125( )325－125＋76        4.23( )4.24 【考点六】乘法交换律和结合律 【典例一】运用运算律把算式补充完整（填算式）。 125×17×8＝( )×17               32×125＝4×( )             136×102－136×2＝136×( )         56×99＋56＝56×( ) 【典例二】在横线上写出下面每组三个数的积。 5  23  4    2  14  5    11  4  25    16  50  2                【典例三】“草船借箭”的故事为同学们所熟知，足智多谋的诸葛亮利用曹操的多疑，用草船诱敌，“借”了十万余支箭。假如诸葛亮一共调了25条船，在每条船上都安排了115个草垛。等到他们满载而归时，平均每个草垛上有40支箭，那么诸葛亮一共“借”到了( )支箭。 【考点七】乘法分配律 【典例一】张大爷家有一块菜地（如图）。请你算一算，这块菜地的面积是( )平方米。 【典例二】在括里填“＞”“＜”或“＝”。 34×124＋34( )34×（124－1）    832÷8÷4( )832÷（8÷4） 46×19＋46×22( )46×（19×22）    115×24－15×24( )24×（115－15） 【典例三】计算125×88时，可以用乘法结合律简算( )，也可以用乘法分配律简算( )。 【考点八】除法的性质 【典例一】如果△×□＝30，那么（△×8）×□＝( )，如果A×B＝90，那么180÷A÷B＝( )。 【典例二】小明的计算器上数字键“3”坏了，如果想用这个计算器计算出8256÷32的得数，可以将原来的算式变为( )。（只列综合算式不计算） 【典例三】在括号里填上“＞”“－”或“＝”。 540÷5÷6( )540÷（5×6）    18＋90÷18( )（18＋90）÷18 【考点九】整数加法运算律推广到小数 【典例一】在横线上填合适的数。 ___ 【典例二】已知a＋b＋3.6＝8.8，那么a＋（b＋3.6）＝ 。 【典例三】垃圾混放是垃圾，垃圾分类是资源。据研究表明每1kg的厨余垃圾经过处理大约能转化为200g的有机肥。下表记录了张阿姨家4周厨余垃圾情况，她家这4周厨余垃圾共( )kg，大约能转化为( )kg的有机肥。 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 厨余垃圾的质量/kg 18 16.7 14 11.3 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 【典例一】0.4×0.3×0.25＝0.3×（0.4×0.25）运用了乘法( )定律和( )定律。 【典例二】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9.50( )9.05                     12.5×7.86×0.8( )78.6 4.3×0.2( )4.3                   0.81×7.06( )0.81 【典例三】奇思把12×（0.3＋A）错算成了12×0.3＋A，他计算的结果与正确的答案相差了( )。 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例一】算式÷×＝( )×( )×( )＝( )，这样的计算是运用了( )律。 【典例二】冬冬在计算时，错看成了，他得到的结果比正确的结果( )（填“多”或“少”）。 【典例三】小马虎在计算（a＋）×5时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差( )。 【考点十二】小数减法相关的简便运算 【典例一】在3.25、4.68、6.5、10、2.75、3.32这几个数中选3个数，分别组成能进行简便运算的连加、连减的算式（每个数只选一次）。 连加算式：( )        连减算式：( ) 【典例二】王阿姨去超市购物，共买了53元商品，付款时她选择用手机扫码支付，她的支付账户有两个到店付款红包，分别是0.75元和1.25元（两个红包可叠加使用），她实际只需要支付( )元。 【典例三】A＝8.8＋8.98＋8.998＋8.9998＋8.99998，求A的整数部分是 。 【考点十三】小数除法相关的简便运算 【典例一】如果□÷25÷○＝□÷200，且□＋○＝15.7，那么□＝( )，○＝( )。 【典例二】在下面的“_______”上填上合适的数，“”里填上合适的运算符号。 2.5×11.7×0.4＝11.7（______________） 4.7×8.6＋8.6×5.3＝（______________）_______ 5.3÷1.25÷0.8＝5.3（______________） 【考点十四】简便运算脱式计算 【典例一】递等式计算（写出必要的计算过程，能简算的要简算）。 68÷[0.5×（7.5－0.7）]           【典例二】计算下面各题，能简算的要简算。 ①    ②100.1×27 ③13.32－6.8－3.2    ④ 【典例三】选择适当的方法计算。 （1）1.3－3.79＋9.7－6.21    （2）[2－（）] （3）15%    （4） 专题09和、差、积、商的变化规律 【考点一】和与差的变化规律 【典例一】两个数的差是33，如果被减数减少3，减数增加4，那么差是( )。 【典例二】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是( )；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( )。 【典例三】已知a＋b＝120，若a减少3.6，要使和不变，b要( )；若a增加28，要使和不变，b要( )。 【典例四】三个数的和是579，将这三个数的小数点都向左移动一位，这三个数的和是( )。 【考点二】积的变化规律 【典例一】在自然数12345679中没有8，我们称这个数为“缺8数”，它的计算很奇妙。12345679×9＝111111111，12345679×18＝222222222，12345679×27＝333333333，则12345679×( )＝666666666，12345679×81＝( )。 【典例二】两个数相乘的积是240，如果一个乘数不变，另一个乘数乘10，积是( )；如果一个乘数乘4，另一个乘数乘5，积是( )。 【典例三】根据6×50＝300，直接写出下面各题的得数。 18×50＝( )         42×50＝( )     6×500＝( ) 【典例四】一种球鞋的单价是90元/双，买5双这种球鞋要多少元？买15双，20双、200双，500双呢？算一算，填一填。 数量/双 5 15 20 200 500 总价/元 【考点三】商的变化规律及应用 【典例一】两个数相除的商是70，如果被除数不变，除数扩大到原来的5倍，商是( )；如果除数不变，被除数扩大到原来的5倍，商是( )。 【典例二】已知■÷●＝16，请根据商的变化规律完成下面的等式。 （■×5）÷（●× ）＝16    ■÷（●×2）＝（ ） 【典例三】小明用计算器算出了下面三道算式的结果，请你根据发现的规律填出后面三题的结果： 39960÷111＝360    39960÷222＝180 39960÷333＝120    39960÷444＝( ) 39960÷555＝( )    39960÷666＝( ) 【典例四】两个数相除的商是1.5，如果除数乘10，被除数不变，商是( )；如果被除数乘10，除数不变，商是( )。 【考点四】商不变的规律及应用 【典例一】＝6÷( )＝( )∶40＝( )（填小数）。 【典例二】。 【典例三】根据108.36÷6.3＝17.2，直接写出下面各题的商。 108.36÷0.63＝( )        10.836÷0.63＝( ) 【典例四】在计算7.4÷2.5时，聪聪是这样做的： 聪聪的解答是( )的（填“正确”或“错误”），理由是( )。 专题10用字母表示数 【考点一】用字母表示数、数量关系 【典例一】用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要（ ）根小棒，第n个图形需要（ ）根小棒。 【典例二】学校合唱队男生有m人，女生人数是男生的4倍，学校合唱队一共有（ ）人；如果男生有6人，则学校合唱队一共有（ ）人。 【典例三】看图完成填空。 1只小狗和（ ）只小兔同样重，n只小狗和（ ）只小兔同样重。 【典例四】在括号里填含有字母的式子。 （1）一辆公共汽车上原有36人，到站后下去a人，又上来b人。现在车上有（ ）人。 （2）张大婶养鸡x只，养的鸭比鸡的3倍少12只，养鸭（ ）只。 （3）小刚有课外书x本，小强的课外书比小刚的2倍还多18本。小强有课外书（ ）本。 （4）用买1支钢笔的钱去买练习本，买了8本后还剩2.5元。每本练习本x元，每支钢笔（ ）元。 【考点二】用字母表示稍复杂的数量关系 【典例一】每张课桌的价钱是m元，椅子比课桌便宜30元，那么m－30表示的是（ ），m＋（m―30）表示（ ），如果2张桌子和4把椅子的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是（ ）。 【典例二】像这样用小棒摆三角形，摆1个三角形用了3根小棒，摆2个三角形用了5根小棒。像这样摆下去，摆了x个三角形，一共用了（ ）根小棒。当x＝26时，一共用了（ ）根小棒。如果一共用了185根小棒，那么一共摆了（ ）个三角形。 【典例三】漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画、画中有景的艺术效果。下面是“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个。按照这样的规律设计，第6幅图有（ ）个正八边形，第n幅图有（ ）个正八边形。 【典例四】仔细观察下图，根据你发现的规律，算一算，如果按照这种方式摆10个小正方体，那么露在外面的面有（ ）个。如果按照这种方式摆n个小正方体，那么露在外面的面有（ ）个。 【考点三】用字母表示运算定律及计算公式 【典例一】一块长方形菜地的面积是m2，它的宽是40m，它的周长用式子表示为（ ）m。 【典例二】如图中，当a缩短成一个点，也就是a＝0时，这个图形就变成了（ ）形，公式S＝（a＋b）h÷2就变成了S＝（ ）；当a＝b时，这个图形就变成了（ ）形，公式S＝（a＋b）h÷2就变成了S＝（ ）。 【典例三】如果长方形的长是m厘米，宽是5厘米，那么这个长方形的周长是（ ）厘米；正方形的边长为a米，那么这个正方形的面积是（ ）平方米。 【典例四】三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是（ ），如果a＝14，那么这三个数的和是（ ）。 【考点四】含有字母式子的化简与求值 【典例一】几个小朋友到兰兰家做客，兰兰拿出一瓶1.5升的果汁招待小朋友。每杯果汁x升，这瓶果汁可以倒满（ ）杯；当x＝0.3时，这瓶果汁正好可以倒满（ ）杯。 【典例二】昆虫爱好者发现某地的蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间有如下近似关系：h＝t÷7＋3（h表示摄氏温度，t表示每分钟叫的次数）。当气温达到30摄氏度时，蟋蟀每分钟大约叫（ ）次；当蟋蟀每分钟叫70次时，气温是（ ）摄氏度。 【典例三】鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x－10来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小明买了一双38码的运动鞋，鞋底长（ ）厘米，小明的爸爸买了一双26.5厘米的皮鞋，是（ ）码。 【典例四】按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆n个正六边形需要（ ）根小棒。 专题11方程 【考点一】方程的认识 【典例一】在①3x，②x－21＝30，③17＋x＋y＝70，④54÷18＝4，⑤a÷3＝1.7，⑥4x＞100中等式有：（ ）方程有：（ ）（填序号）。 【典例二】下面哪些式子是方程？是方程的在括号里画“√”，不是的画“×”。 9＋7＝16（ ）    3.5＋2.8＝6.3（ ）   4.5＋3＝16.5（ ） 5a－3.5＝13（ ）   23－11＞10（ ）    7×4＝28（ ） 【典例三】在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【典例四】选选填填。 ①72÷8＝9         ②y＋30＝65          ③5y＝30        ④20＋x ⑤12＋x＞24        ⑥24＝40－x          ⑦9＋x＝15       ⑧80－45＜40 等式有： 方程有： 【考点二】列简易方程 【典例一】根据题意，用方程表示数量关系。 图图的体重比妈妈轻28千克。 图图的体重是小猫的15倍。 【典例二】故宫的面积是72万平方米，比天安门广场的面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？设天安门广场的面积是x万平方米，用方程表示数量关系：（ ）。 【典例三】鸡冠洞现有218个景点，比老君山景点个数的2倍少140个，老君山有多少个景点？如果列方程，可以设（ ）的景点个数为个，等量关系式是（ ），列方程为（ ）。 【典例四】小红原有50元钱，妈妈每天给她a元，两周后，小红一共有80元。根据题中的数量关系列方程是（ ），如果妈妈每天给她5元，两周后小红有（ ）元。 【考点三】等式的性质1和2 【典例一】看图完成填空。 1只小狗和（ ）只小兔同样重，n只小狗和（ ）只小兔同样重。 【典例二】小何买了1本练习本和3支铅笔，小梅买了8支同样的铅笔，小刚买了24张贴画，三人用去的钱同样多。1本练习本的价钱等于（ ）张贴画的价钱。 【典例三】根据等式的性质在横线上填运算符号，在括号里填数。          （ ）     （ ） 【典例四】阳光体育用品商店有一个三层的球架，每层摆放的球总价相等，相同的球单价相同。从图中可以看出： （1）一个的价格＝（ ）个的价格。 （2）一个的价格＝（ ）个的价格。 【考点四】方程的解 【典例一】聪聪和妈妈一起随旅游团游览王家大院，经导游介绍，聪聪了解到：王家大院高家崖建筑群的房屋有342间，比大小院落数量的9倍还多27，根据这些信息，聪聪提出了一个数学问题，并用方程“9x＋27＝342”来解决。请你推断一下，他提出的问题是（ ），这个方程的解是（ ）。 【典例二】方程与有相同的解，则的值为（ ）。 【典例三】要使方程口＋x＝18的解是x＝8，口里应该填（ ）， 【典例四】已知8x－42＝30和□＋x＝9.1的解相同，那么□里应填（ ）。 【考点五】解含小括号的方程 【典例一】解方程或解比例。 ×（＋0.4）＝4.32              ＝ 【典例二】求未知数x。                  【典例三】解方程。                【典例四】解方程。 5×（x＋12）＝80              39∶x＝∶0.5 【考点六】解小数方程 【典例一】解方程。 x＋0.6x＝2.4          12x＋13x＝400      3.6x－0.9x＝1.62 7x－4×17＝37        2.3×4＋0.9x＝20    12x－7×8＝124 【典例二】解方程。 36×0.5＋5x＝63      4x＋2×31＝92     7x－0.9×3＝3.6 【典例三】解方程。 1.8＋1.2x＝3.6        3x－8＝19            3.6x－14.4＝28.8 x＋25－10＝27       x－0.24＋0.76＝5       80x÷2＝3.2 【考点七】解分数方程 【典例一】解方程。                  【典例二】解方程。 【典例三】解方程。                     【考点八】解百分数方程 【典例一】解方程。 【典例二】解方程。              【典例三】解方程。                   专题12比 【考点一】比的意义 【典例一】小丽攒的钱比小明攒的钱多75%，小丽和小明攒的钱的最简单的整数比是( )，比值是( )。 【典例二】两个正方体的棱长比为1∶2，这两个正方体的表面积比是( )，体积比是( )。 【典例三】某校组织学生参加科创比赛，女生与男生的人数比是3∶5，女生人数是男生的（    ）%，男生比女生多。 【典例四】某小区总建筑面积19600m2，共260户。有地上停车位48个，地下停车位52个，这个小区停车位与住户的比是( )。 【考点二】比的基本性质 【典例一】一个比是5∶3，如果将它的前项增加15，要使其比值不变，那么它的后项应该增加( )。 【典例二】5∶8的前项增加25，要使比值不变，后项应该 ；如果比值扩大了2倍，前项不变，那么后项应该变成 。 【典例三】在一次射击练习中，刘洋的命中率是75%，表示命中的子弹数量与一共射击的子弹数量比是（    ）∶20，还可以用分数表示。 【典例四】在0.2∶1.6中，如果后项加上0.8，要使比值不变，前项应加上( )。 【考点三】比与分数除法的关系 【典例一】( )∶4＝＝45÷( )＝( )%。 【典例二】＝0.3＝12÷（     ）＝（     ）%＝（     ）∶30。 【典例三】( )÷48＝＝45∶( )＝( )%。 【典例四】0.75＝＝（    ）÷12＝15∶（    ）＝（    ）%＝（    ）折＝（    ）（填成数）。 【考点四】求比值 【典例一】求下列各比的比值。 ∶2.8        1.3∶5.2        0.625∶125%        3.5吨∶450千克 【典例二】求比值。             36∶180                    45分∶1时 【典例三】求比值。（写出主要过程） 公顷∶125平方米    120分∶时    9.8∶    ∶2.4 【典例四】求比值。                           【考点五】化简比 【典例一】把下面各比化成最简整数比。 16∶56        0.25∶7.5     【典例二】化简比。         时∶15分 【典例三】化简下面各比。 15∶25              4.5∶2.7           ∶ 【典例四】把下面各比化成最简单的整数比。                  0.75∶1           2.4吨∶800千克 【考点六】按比分配问题 【典例一】用一根长48分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为8分米，长、宽的比是1∶1。再把它的侧面和底面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？ 【典例二】水果店运来苹果、梨和香蕉一共450千克，其中运来的梨的质量占三种水果的，运来苹果的质量和香蕉的质量比是2∶1，运来苹果、梨、香蕉各多少千克？ 【典例三】大丰收果园里桃树、梨树与苹果树的棵数比是3∶5∶7。已知梨树比苹果树少180棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各有多少棵？ 【典例四】用一根长36分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为5分米，长、宽的比是1∶1，再把它的四周和底面糊上彩纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【考点七】比的应用 【典例一】小温认为酸梅汤原汁与水的配比是3∶4时口感最佳，他应该往已调制的酸梅汤中加水还是加酸梅原汁？应该加多少毫升？ 【典例二】实验小学开展“我阅读，我快乐”主题读书活动，学校图书角有故事书和科技书共200本，其中科技书与故事书的比是3∶5，应同学们的需求，又购进一批科技书，这时科技书的数量占总数的75%。学校后来购进多少本科技书？ 【典例三】“书香校园读书节”活动中，红红、明明、兰兰都在阅读《童年》这本书。阅读一周后，得到信息如下： ①红红说：我读了35页； ②明明说：我读书的页数比红红读的页数多20%； ③兰兰说：我与红红读书的页数比是2∶5。 （1）阅读第一周后明明看了《童年》这本书多少页？ （2）阅读第一周后兰兰看了《童年》这本书多少页？ 【典例四】“世界遗产”是指被联合国教科史出织和世界或产委员会确认的具有突出意义和普遍价值的文物古迹及自然景观，包括世界文化遗产（包含文化景观）、世界自然遗产、世界文化与自然双重遗产三类。我国的世界遗产共有56项，其中自然遗产有14项，世界文化与自然双重遗产与世界文化遗产数量比是2∶19，我国世界文化与自然双重遗产与世界文化遗产分别有多少项？ 【考点八】用画图法或转化法解决分数问题（比的应用） 【典例一】师徒两人加工零件，徒弟加工的零件个数是师傅的，两人一共加工的零件个数在280~290之间。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ 【典例二】先根据题意把线段图补充完整，再解答。 水果店运来280千克苹果和梨，苹果与梨的质量比是4∶3，水果店运来苹果多少千克？ 【典例三】甲、乙、丙三个班共种树120棵，甲班种了乙班的。乙与丙种的棵数比是4∶3，甲比丙多种多少棵？ 【典例四】观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的，是苹果树棵数的。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树、桃树、苹果树各有多少棵？ 专题13比例 【考点一】比例的意义 【典例一】下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 【典例二】能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C．∶5 D．5∶ 【典例三】下面各个比中，能和“”组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【典例四】下面（    ）能与组成比例。 A． B．1∶4 C．0.4∶2 【考点二】比例的基本性质 【典例一】如果x、y互为倒数，＝，那么6a＝( )。 【典例二】A的与B的相等，那么A∶B＝ ∶ 。 【典例三】在一个比例中，两个内项之积是1.8，其中一个外项是3，另一个外项是( )。 【典例四】一个比例的两个外项分别是2.5和4，其中一个内项是5，另一个内项是( )。 【考点三】正反比例的意义及辨识 【典例一】下面的表格数据不小心被墨水打湿弄脏，如果x和y成正比例关系，那么原数是( )；如果x和y成反比例关系，那么原数是( )。 x 6 y 25 50 【典例二】如果y＝5x，那么x和y成( )比例，如果＝，那么x和y成( )比例。 【典例三】x、y、z三个相关联的量，并有xy＝z。 (1)当z一定时，x与y成( )比例关系。 (2)当x一定时，z与y成( )比例关系。 (3)当y一定时，z与x成( )比例关系。 【典例四】如果3a＝4b，那么a∶b＝( )，如果y＝，x和y成( )比例。 【考点四】比例尺的意义 【典例一】把一个直径是4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺( )。 【典例二】在一幅地图上，用3cm长的线段表示实际距离为60km，这幅地图的比例尺是( )。 【典例三】在一幅地图上，测得甲、乙两地的图上距离是20厘米，已知甲乙两地实际距离90千米，这幅地图的比例尺是( )。 【典例四】儿童手表里的一种精密电子元件的实际长度是0.3毫米，画在图纸上是3厘米，这幅平面图的比例尺是( )。 【考点五】解比例 【典例一】解方程或比例。 5x－36＝189    3y＋2.4y＝2.7    a∶＝75%∶ 【典例二】解方程或比例。          【典例三】解方程。             5x－x＝10.4                     x－7×1.3＝8.9 【典例四】解下列方程或比例。 0.75x＋9＝24                  x∶∶ 【考点六】应用比例尺画图 【典例一】（1）A城市在B城市的南偏西40°方向900千米处，在图上标出A城市的位置。 （2）B城市在A城市的（    ）偏（    ）40°方向。 【典例二】下面是一个卧室的平面图。在卧室的西北角放一张长2米、宽1.5米的床，请你在平面图上画出床的示意图。 【典例三】小青从大门出发，先向正北方向走400m到游泳馆，1小时后向正东方向走600m到羽毛球馆观看比赛，45分钟后又向南偏东30°方向走400m到篮球馆。请你先确定下图中的比例尺，再画出小青出行的路线图。 【典例四】放学后，苹苹从学校向正西方向走200米来到超市，再向正北方向走200米来到文化宫，然后向西偏南30°方向走200米来到书店，最后向东偏南45°方向走150米回到家中。根据苹苹放学回家的行走路线画出线段图。 【考点七】比例的应用 【典例一】古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【典例二】兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【典例三】一辆运货汽车从甲地到乙地，平均每小时行72千米，5小时到达。回来时空车原路返回平均每小时行80千米，需要几个小时？（用比例解） 【典例四】小兰的身高1.5米，她的影长是2.4米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4米，这棵树有多高？（用比例解） 【考点八】比例尺的应用 【典例一】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两城之间的图上距离是6厘米。客、货两车分别从甲、乙两城同时出发相向而行，客车的速度是80千米/时，客、货两车的速度比是5∶4，两车出发后几时相遇？ 【典例二】河源是“山水一色、人文秀美”旅游的好胜地。2024年春节，淘气一家到河源旅行，在比例尺为1∶2000000的地图上量了家到河源的图上距离是8厘米，淘气爸爸以每小时80千米行驶，多少小时能到河源？ 【典例三】在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是5cm，一辆汽车从甲地到乙地行驶了8时，这辆汽车的平均速度是多少？ 【典例四】在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是12厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇。已知甲车的速度是每小时70千米，求乙车的速度。 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 【典例一】北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 【典例二】下面是某街区的平面图。 （1）把这幅平面图的线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 （2）平安公园位于广场正东8千米处，请用△在图中标出它的位置。 （3）小玲的家位于平安公园北偏西的5千米处，请用在图中标出她家的位置。 【典例三】看图做一做。 （1）体育馆在书店的北偏东（    ）方向（    ）米处。 （2）商场在书店南偏西30°方向400米处，请在图中标出商场的位置。 （3）将图中的线段比例尺改为数值比尺是（              ）。 【典例四】填一填，画一画。 （1）公交公司距区政府的图上距离是（    ）cm；已知实际距离是800m，此图的比例尺是（    ）。 （2）张阿姨从医院经过区政府走到商场，如果她每分走80米，需要（    ）分。 （3）笑笑家在区政府的南偏东30°方向400米处，在图中标出笑笑家的位置。 【考点十】正比例的应用 【典例一】一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 …… 产品数量/个 51 102 153 204 …… （1）生产产品的时间和产品数量成 比例关系。 （2）照这样计算，33分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【典例二】一辆汽车行驶的路程与耗油情况如表所示。 路程/千米 20 40 60 80 … 耗油量/升 1.8 3.6 5.4 7.2 … （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，汽车行驶240千米耗油多少升？（用比例解） 【典例三】一台碾米机碾米情况如下表： （1）把上表中相对应的点描在下图中，再顺次连接。 工作时间（时） 0 1 2 3 4 5 加工数量（吨） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 （2）工作时间与加工数量成什么比例？为什么？ （3）现在碾米8吨，需要几小时？ 【典例四】某造纸厂造纸吨数和造纸时间如下表。 造纸时间/时 0 1 2 3 4 5 6 … 造纸吨数/吨 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … （1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系？为什么？ （2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 （3）该造纸厂4.5小时可以造纸（    ）吨，造3.75吨纸需要（    ）小时。 【考点十一】反比例的应用 【典例一】小东家的客厅是正方形的，用边长0.6米的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.5米的方砖铺地，需要多少块？ 【典例二】学校举行方阵团队体操表演，如果每列16人，要排27列。如果每列多2人，要排多少列？（用比例知识解） 【典例三】打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如表。 每分打字个数（个 120 100 75 60 所需时间（分 25 30 40 50 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【典例四】输液时，一小瓶葡萄糖液均匀滴落，每分滴数与所需时间的关系如下。 每分滴数/滴 30 40 50 60 … 时间/分 40 30 … （1）请把上表补充完整。 （2）每分滴数与所需时间这两个量是否成正比例或反比例？为什么？ 专题14常见的量 【考点一】常见单位的选择一（质量、长度） 【典例一】1．在括号里填上合适的单位名称。 一棵大树高约5( )                    一只大象重约8( ) 小亮跑50米用了10( )                水彩笔长约17( ) 【典例二】在下面的一段话中填上合适的单位名称。 我今年12岁了，我现在的身高是162( )，体重45( )，我家居住的面积约为140( )。我很喜欢练字，每天完成学习任务后坚持练字时间在25( )左右。 【典例三】在括号里填上合适的单位。 小强家一个月用水的质量大约是12( )。小强是个篮球迷，他平常打球的篮球架高28( )，用的篮球质量大约是650( )。五一假期他们一家人去旅游，乘高铁到北京，高铁每小时大约行驶260( )。 【典例四】边阅读边思考，在括号填入合适的单位名称。 大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176( )，常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4( )，年降水量大约400～500( )。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5( )的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320( )，在上面行驶的车辆限速70( )。 【考点二】常见单位的选择二（面积、体积） 【典例一】星期天，强强和爸爸一起到游泳馆去游泳，游泳池真大，大约可以装水5000( )，强强在浅水区游泳，水面超过胸脯，水大约有80( )深。游完泳后，爸爸给强强买了一瓶饮料，这瓶饮料大约有0.75( )。回到家里，强强称了一下自己的体重是42( )。 【典例二】安庆，位于安徽西南，截至2021年末，全市下辖3个区、5个县、代管2个县级市，全市总面积约13590( )，全市常住人口约417.1( )人，实现地区生产总值2656.88亿元；其境内的天柱山平均年降雨量在1900( )以上，主峰天柱峰海拔1489.8( )。2656.858亿≈( )亿。（精确到个位） 【典例三】填上合适的单位名称。 小红今年12岁，她的身高是15.9( )，她的书包大约重3( )，她的卧室面积大约是15( )，她平均每天大约要喝1200( )的水。 【典例四】在括号里填上合适的数或单位名称。 小美是一名六年级学生，2022年4月，由于疫情影响在家上网课，一堂课用时时，相当于( )分，小美的腰围约是60( )，小美一次能喝300( )的水；小美还时刻关注疫情情况，了解到从3月1日到4月18日，全国累计报告本土感染者确诊497214例，横线上的数省略“万”后面的尾数大约是( )例。 【考点三】常见单位间的换算一 【典例一】24立方分米＝( )立方米    2.25小时＝( )时( )分 【典例二】在下面（    ）里填上合适的数。 10吨50千克＝( )吨        5.03公顷＝( )公顷( )平方米 300立方厘米＝( )升        2.5日＝( )日( )时 【典例三】在括号里填上适合的数。 54.2公顷＝( )平方千米             5元2角8分＝( )元 7.8时＝( )时( )分            680千克＝( )吨 【典例四】3时20分＝( )分   7.62平方米＝( )平方厘米 2.05升＝( )毫升   4吨50千克＝( )吨 【考点四】常见单位间的换算二 【典例一】米＝( )分米；时＝( )分；公顷＝( )平方米。 【典例二】4.09吨＝( )吨( )千克    1小时15分＝( )小时 6700公顷＝( )平方千米    3.08升＝( )立方分米＝( )立方厘米 【典例三】3.5公顷＝( )平方米    3吨50千克＝( )吨 2.4时＝( )时( )分    2.05立方分米＝( )mL 【典例四】81000平方米＝( )公顷    时＝( )时( )分 1250立方厘米＝( )升＝( )毫升 【考点五】24时计时法的互化 【典例一】用24时计时法，晚上11时记作( )。 【典例二】用24时计时法下午5：25记作( )。凌晨3时记作( )。 【典例三】采用24时计时法，早晨6时是( )时，夜晚10时是( )时，下午4时15分是( )。 【典例四】九折表示( )；用24时计时法表示下午3时是( )时。 【考点六】平年和闰年的认识及判定 【典例一】小芳今年9岁了，可她只过了两个生日。小芳的生日是( )月( )日。 【典例二】2022年的2月有( )天，这样的年份是( )年，全年有( )天。 【典例三】2016年2月最后三天日期的和为( )。 【典例四】2024年有( )天；下午时，钟面上的时针与分针的夹角是( )角。 【考点七】单位间的比较大小（先换算后比较） 【典例一】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 18kg( )10800g       36公顷( )3600m2      1078mL( )1.78dm3 6.05m( )6m5cm      3时20分( )320分 【典例二】比一比，在括号内填上“＜”“＞”“＝”。 6吨( )5900千克   18×18( )17×19          125÷5( )100÷4 ( )           1平方米( )100平方分米    ( ) 【典例三】在下面括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 70克( )0.7千克      750毫米( )7.5分米    850公顷( )8.5平方千米 【考点八】时、分、秒有关的计算 【典例一】李老师7：15从家出发去单位上班，到单位的时间是7：50，那么这段时间，分针走了( )°，时针走了( )°。 【典例二】当钟面显示6时30分的时候，淘气开始做作业，他做完作业时发现时针转过的角度正好是15°，他做作业用了( )分钟。 【典例三】小明从晚上6：55开始做作业，7：20结束，他做作业共用去( )分钟。 【典例四】暑假期间，张华和爸爸、妈妈一起坐火车回乡下看望爷爷、奶奶，第一天晚上9：05开车，第二天凌晨6：30到达，坐火车一共用去( )时( )分。 【考点九】年、月、日有关的计算 【典例一】北京时间2024年4月25日20时59分，中国神舟十八号载人飞船搭载叶光富、李聪、李广苏3名航天员在酒泉卫星发射中心发射升空，于2024年4月26日3时32分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，请你计算一下载人飞船从发射到成功对接历经了( )时( )分。 【典例二】《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日在云南昆明召开，为满足广大群众需求，会场免费开放时间为2021年10月18日－11月7日，每日9：30－21：30，会场免费开放( )天，每天开放( )小时。 【典例三】2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，2022年4月16日，神舟十三号航天员成功返回地面，飞行任务取得圆满成功。3名航天员在太空进行了为期( )天的驻留，创造了中国航天员连续在轨飞行时长新纪录。标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段。 【典例四】一艘轮船在2020年2月28日下午3时从甲港出发，于2020年3月3日上午9时到达乙港。这艘轮船共行驶了( )小时。 【考点十】24时计时法时间的计算 【典例一】根据中国载人航天工程办公室消息：北京时间2024年4月25日20时59分神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，从点火发射到成功对接整个过程历时( )小时( )分钟。 【典例二】锦华书店一天营业10个半小时，晚上7点关门停业，那么店主开门营业的时间是( )。 【典例三】某商场购物中心的营业时间是：周一至周五上午9：00～晚上8：30，周六、周日上午9：00～晚上9：30，请你算一算，今天（2022年7月1日）该商场的营业时间为 小时。 【典例四】小明上午8：10到校，11：45离校；下午14：15到校，18：00离校，小明一天的在校时间为( )小时。 【考点十一】使、分、秒时间的推算 【典例一】纽约与北京的时差为时，李伯伯在北京乘坐中午12时的航班飞行约20小时到达纽约，那么李伯伯到达纽约的时间是( )时。 【典例二】上午8：05，一列火车以每小时120千米的速度从甲地开出，行驶90千米到达乙地，这列火车到达乙地的时刻是( )时( )分。 【典例三】北京时间2022年6月5日10时44分07秒，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F追十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离这时是6月5日( )时( )分( )秒。 【典例四】欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰3天浇一次水，杜鹃花7天浇一次水。”6月2日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，这月( )日，欢欢又会在同一天给这两种花浇水。 【考点十二】年、月、日时间的推算 【典例一】第24届冬奥会今年在我国北京举办，按每4年举办一次，那么第40届冬奥会应在( )年举办。 【典例二】“众志成城，抗击疫情”，4月3日17点山东省援沪医疗队在济南集结，乘坐“复兴号”列车奔赴上海支援疫情防控工作，1.5小时行了全程的。照这样的速度，列车约( )点到达终点站。 【考点十三】运用时间单位的换算解决问题 【典例一】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车，乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【典例二】如图是一种感冒药包装盒中的部分说明。 请根据以上说明填空并回答问题。 （1）这种药的保质期是（    ）年。 （2）这种药一天最多服用多少克？（请写出计算过程） 【典例三】市中心的某停车场对小汽车的收费标准如下：半小时以内不收费；半小时以上且不超过一小时，收费6元；超过1小时的，超过部分每半小时另收费4元（不足半小时按半小时算）。李老师去市中心办事，他在这个停车场停车的时间是8：15～10：30，应缴纳停车费多少元？ 【考点十四】运用质量单位的换算解决问题 【典例一】租用仓库堆放2吨货物，每月租金6000元，这些货物原来估计要销售2个月，实际降低了价格，结果1个月就销售完了，由于节省了租金，结算下来，反而多赚2000元，每千克货物降低了多少元？ 【典例二】一辆自重2.5吨的货车，车上装有5台机器，每台机器1800千克。要通过一座限载12吨的桥，可以通过吗？ 【典例三】回收1吨废纸，能造新纸800千克，相当于少砍18棵大树，节省3立方米的垃圾填埋空间，如果一个城市一天的垃圾中可以回收2000吨废纸。 【典例四】一盘西红柿炒鸡蛋的材料如表： 用料 价格 鸡蛋 150克 12元/千克 西红柿 200克 8元/千克 调料及其他费用1.6元 （1）这盘西红柿炒鸡蛋的成本是多少元？ （2）如果利润是成本的，这盘菜应售多少元？ 【考点十五】运用长度单位的换算解决问题 【典例一】一根长3米的圆柱形木料，横截去10厘米后，表面积减少25.12平方厘米。这根木料原来体积是多少立方厘米？ 【典例二】在1∶4000000的地图上量的A、B两港的距离是12厘米。一艘货船于今年的5月30日上午5时以每小时24千米的速度从A港开往B港，这样计算，货船什么时候能到达B港？ 【典例三】一个木盆的底面是圆形，在它的底部箍一圈铁丝，铁丝长2.558米。已知铁丝的接头处用了36厘米。这个木盆的底面面积是多少平方厘米？ 【典例四】有一堆圆锥形沙子，底面周长是12.56米，高9分米。在5米宽的公路上要铺2厘米厚的沙子，能铺多少米的公路？ 【考点十六】运用面积单位的换算解决问题 【典例一】如图是潮汕民居“下山虎”按1∶25的比例制作而成的模型。模型底面为长方形，量得底面长60厘米，宽48厘米，一座这样的“下山虎”民居实际占地多少平方米？ 【典例二】在一幅比例尺为1∶50000的地图上，欢欢发现某公园的占地接近于一个长方形。她用直尺量得这个长方形的长为2.4cm，宽为1.8cm。请你根据以上信息测算出该公园的占地面积约多少公顷？ 【典例三】康嘉住宅小区的四周是一个长方形，长680米，宽250米。     （1）这个小区占地多少平方米？是多少公顷？ （2）如果在小区四周每隔10米种一棵银杏树，一共要种多少棵银杏树？ 【典例四】做一个无盖的圆柱形水桶，水桶的底面周长是50.24厘米，高40厘米。 （1）做这样一个水桶至少需要多少平方分米的材料？ （2）这个水桶可以装水多少升？ 【考点十七】运用体积容积单位的换算解决问题 【典例一】小兵有一个圆柱形水壶（如图①）。 （1）这个水壶的表面积是多少平方厘米？ （2）一个瓶子装有果汁，把瓶盖拧紧，倒置、放平如图②所示。将瓶中的果汁全部倒入小兵的水壶中，高度正好是4厘米。这个瓶子的容积是多少？（水壶、瓶子的厚度忽略不计） 【典例二】王鹏爸爸在王鹏生日时订了一个蛋糕，蛋糕店阿姨用一个底面直径是40厘米，高10厘米的圆柱形蛋糕盒装这个蛋糕，用塑料绳捆扎蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结处用去绳子26厘米。 （1）蛋糕店阿姨扎这个蛋糕盒子至少需要多少厘米塑料绳？ （2）这个蛋糕盒的侧面积至少需要多少平方厘米？（接口处忽略不计） （3）蛋糕盒的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 专题15探索规律 【考点一】根据算式的规律计算 【典例一】根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 【典例二】观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 【典例三】，，，若（a，b都是正整数），那么a＋b等于( )。 【典例四】1－＝，－＝，－＝，根据你发现的规律，那么＋＋＋＋＋＝( )。 【考点二】根据数字排列的规律填数 【典例一】找规律：1，2，4，7，11，（ ），（ ），29。 【典例二】按规律填空：，，，( )，。 【典例三】先找规律，解决问题。 个数：1、2、3、4、5、6、…、100； 个数：0、3、8、15、24、35、…、( )。 【典例四】找规律，填数。 ，，，，，( )，( )… 【考点三】根据图形的变化规律计算图形的个数 【典例一】用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【典例二】如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 【典例三】按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 【典例四】如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 【考点四】根据数表中的规律解决问题 【典例一】表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝ ，b＝ 。 【典例二】将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第 行第 列。 【典例三】将任意一个长方形分成a、b、c、d四个小长方形，它们的面积都暗藏规律。请观察下面的几个例子，回答问题。 (1)第三幅图中的小长方形c的面积是( )。 (2)请用一个等式表示a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系。( ) 【典例四】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）。照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数的和为( )。 【考点五】根据间隔、周期规律解决问题 【典例一】例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝ 。 【典例二】有一串彩灯是按2红、3绿、5黄的顺序依次排列的。第27盏彩灯是( )色，前60盏中，有( )盏绿灯。 【典例三】在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”，十天干和十二地支循环组合：甲子、乙丑、丙寅……一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子，如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法。在甲子纪年法中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有( )。 【典例四】有一串数如下：1，2，4，7，11，16…它的规律是由1开始，加1，加2，加3…依次逐个产生这串数，直到产生50个数为止。那么这50个数中，被3除余1的数有( )个。 专题16归一问题和归总问题 【考点一】单归一问题 【典例一】某工厂有一批煤，原计划每天烧0.25吨，可以烧100天，实际每天烧煤比原计划节约20%。实际可以烧( )天。 【典例二】一种大豆，千克可榨油千克。照这样计算，( )千克的大豆能榨8千克的油。 【典例三】长芦盐场是我国盐场产量最大的盐场，位于渤海岸。已知吨海水可以晒出吨盐，照这样计算，1吨海水可以晒出( )吨盐，晒出2吨盐需要海水( )吨。 【典例四】工人6天修了一条水渠的，照这样计算，修完这条水渠一共需要( )天。 【考点二】双归一问题 【典例一】一个林场用喷雾器给树喷药，6台喷雾器7小时喷了882棵。照这样计算，一台喷雾器每小时可以喷( )棵。 【典例二】李奶奶家养了8只母鸡，平均每天共下5个鸡蛋，李奶奶攒够280个鸡蛋，一共需要( )个星期。 【典例三】王老师买1个篮球和3个排球，一共花了138元。赵老师买1个篮球和1个排球，一共花了92元。买1个篮球是( )元，买1个排球是( )元。 【典例四】立冬过后是小雪，在南方某些地方有吃糍粑的习俗。小明妈妈用千克的糯米粉能做出1千克的糍粑，她每千克糯米粉能做出糍粑( )千克，做10千克糍粑需要糯米粉( )千克。 【考点三】正归一问题 【典例一】下面是一款酸奶每100g所含营养成分的情况。如果饮用250g这款酸奶，可以摄入( )g蛋白质。 营养成分表 项目                每100g 能量               405kJ 蛋白质              3.2g 脂肪                3.4g 碳水化合物          13.5g 【典例二】某助农直播间里正在卖木耳，100g装的木耳定价11元一袋，照这样计算，250g装的木耳应定价( )元一袋。 【典例三】一种铁矿石，每10吨可以炼铁6.05吨。照这样计算，1000吨这种铁矿石可以炼铁( )吨。 【典例四】服装店上午卖出25件上衣，下午卖出同样的31件上衣，下午比上午多卖303元，服装店这一天卖出此上衣一共收款( )元。 【考点四】反归一问题 【典例一】4台同样的榨油机同时工作，1.5小时可以榨油2.7t。照这样计算，一台榨油机每小时可以榨油( )t。 【典例二】2台同样的抽水机，6小时可以浇地2.4公顷。照这样计算，一台抽水机每小时可以浇( )公顷地。 【典例三】“饭后百步走，能活九十九”，疫情过后全民健身意识增强了。王爷爷饭后散步，小时走了千米。他每小时走( )千米；他走1千米需要( )小时。 【典例四】小明看一本书，5天看了这本书的，第六天正好从76页看起。这本书一共有( )页。照这样的速度，看完全书还要( )天。 【考点五】归总问题 【典例一】学校举行方阵团体操表演，如果每列16人，需要排成27列。如果每列18人，需要排成( )列。 【典例二】六年级办公室买进一包白纸，计划每天用25张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用了20张，实际比计划多用( )天。 【典例三】小林读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完。小林想6天读完，那么平均每天要读( )页。 【典例四】为“迎亚运”推进进度，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天比原计划多修40米，实际( )天修完。 专题17和差倍问题 【考点一】和差问题 【典例一】小明和小红共有邮票50张，如果小明给小红8张，那么两人的邮票张数相等，小明和小红原来各有邮票多少张？ 【典例二】两个水池共蓄水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？ 【典例三】甲乙两人原来一共有46元，甲买一本故事书用去12元，乙买一本科技书用去18元，这时两人剩下的钱正好相等．甲乙两人原来各有多少元？ 【典例四】一个两层的书架，共放书128册，如果把上层的书搬17册到下层，结果上层的书比下层的书还多2册，原来上下两层各放书多少册？（用方程解） 【考点二】和倍问题 【典例一】平江市今年和去年共建商品房560万平方米，今年建商品房的面积是去年的4倍．两年各建商品房多少万平方米？ 【典例二】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的棵数的3倍还多20棵．两种树各种了多少棵？ 【典例三】小红和妈妈的年龄加在一起是45岁，妈妈的年龄是小红的8倍，妈妈和小红各多少岁？（用方程解） 【典例四】少先队员采集植物标本和昆虫标本共60件．植物标本的件数是昆虫标本的1.5倍，两种标本各是多少件？ 【考点三】差倍问题 【典例一】甲筐苹果的重量是乙筐的3倍．如果从甲筐取出20千克放入乙筐，那么两筐苹果的重量就相等．两筐原来各有苹果多少千克？ 【典例二】一个书架有两层，上层放书的本数是下层的3倍；如果把上层的书取30本放到下层，那么两层书的本数正好相等．原来两层书架上各有书多少本？ 【典例三】少先队员采集植物标本比昆虫标本少60件。昆虫标本的件数是植物标本的1.5倍，两种标本各有多少件？ 【典例四】爸爸今年的年龄正好是小红的4倍，爸爸比小红大30岁，爸爸和小红今年分别是多少岁？ 【考点四】隐藏条件型和差倍问题（需通过其他关系（如比例、余数）转化出和、差、倍。） 【典例一】小明和爷爷一起去操场散步。如果两人同时同地出发，相背而行，分钟相遇；如果两人同时同地出发，同方向而行，24分钟小明超出爷爷一整圈。问小明和爷爷走一圈，各自需要多少分钟？ 【典例二】六年级两个班共有学生92人，如果从六（1）班调8人到六（2）班，那么（1）班和（2）班人数的比是10：13，两个班原来各有多少人？ 【典例三】甲乙两人原有存款钱数的比是5：3，如果甲拿出1200元给乙，那么甲乙两人存款钱数的比就是3：2．原来甲有存款多少元？ 【典例四】某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 【考点五】三个量的和差倍问题 【典例一】甲、乙、丙三个数的和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多10．三个数各是多少？ 【典例二】小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【典例三】商店里运来苹果、梨和橘子共730千克，梨比苹果多50千克，橘子比苹果多80千克，苹果有多少千克？梨有多少千克？橘子呢？ 【典例四】甲、乙、丙、丁四个人一共折了90个千纸鹤，如果把甲折的个数加上2个，乙折的个数减去2个，丙折的个数乘2，丁折的个数除以2，那么四个人折的个数正好相等。四个人各折了多少个千纸鹤？ 【考点六】年龄中的和差倍问题 【典例一】小明和爸爸的年龄比是2∶9，已知小明比爸爸小28岁，小明和爸爸的年龄和是多少岁？ 【典例二】今年兄弟两人的年龄和是45岁，哥哥某一年的年龄与弟弟今年的年龄相同，那一年哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍，哥哥今年多少岁？ 【典例三】明明今年7岁，他的妈妈今年39岁，问几年以后妈妈的年龄是明明的3倍？几年以前妈妈的年龄是明明的9倍？ 【典例四】2022年11月29日，神舟十五号载人飞船发射成功，飞行乘组由费俊龙、邓清明、张陆组成。下面是三位航天员今年年龄关系的线段图。    三位航天员分别是多少岁？这样的问题可以用“假设”策略解决。（先完成下面的填空，再解答） 假设三位航天员的年龄同样大，那么三人的年龄总和是（    ）岁。请分别算出他们的年龄。 专题18行程问题 【考点一】基本行程问题 【典例一】小明小时走了千米，平均每小时走（ ）千米，平均每千米用（ ）小时。 【典例二】某人从山脚上山平均每小时行35km，从山顶沿原路下山时平均每小时行40km，往返一次共用小时，山脚到山顶的距离是（ ）km。 【典例三】A、B两地相距400米，甲、乙、丙三人同时从A地出发前往B地，各自速度不变，当甲到B地时，乙走了320米，丙走了240米，则当乙到B地时，丙距B地还有（ ）米 【考点二】相遇问题 【典例一】一条圆形跑道，长400米，甲、乙从同一地点同时反向而行，甲的速度是90米/分，乙的速度是60米/分，运动20分钟的时候，两人相遇了 次。 【典例二】甲、乙两人同时从相距480米的两地相对而行，6分钟相遇，甲每分钟走35米，乙每分钟走（ ）米。 【典例三】小明骑自行车以每小时20公里的速度由A地骑往B地，同时小强骑自行车以每小时15公里的速度由B地骑往A地。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度与他们从A地同时出发，碰到另一个人时就按相反的方向返回，就这样依次在两人之间来回地飞，直到他们相遇，如果A、B两地相距14公里，那么这只小鸟飞行了（ ）公里。 【典例四】甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行。如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲走全程需要20小时，则甲、乙二人的速度比是（ ）。 【考点三】追击问题 【典例一】甲行走的速度相当于乙的倍，两人分别从A、B两地同时出发，如果相向而行1小时相遇，那么同向而行（乙在前，甲在后），（ ）小时甲追上乙。 【典例二】甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差（ ）分钟。 【典例三】老鼠每次跳3格，猫每次跳4格（见下图），起跳时，猫在0格处，老鼠在4格处。猫在（ ）格处追到老鼠。 【考点四】列车过桥问题 【典例一】一列长500米的火车，以每分钟900米的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需3分钟，这座大桥长多少米？ 【典例二】有52位少先队员排成两列纵队去看展览，队伍前进的速度是每分钟25米，而且前后两人都相距1米。现在要通过一个75米长的地下通道，需要多长时间？ 【典例三】一列火车以每分钟2160米的速度通过一座大桥，整列火车完全在桥上的时间为2分钟，已知桥长为4680米。求这列火车的长？ 【考点五】流水行船问题 【典例一】一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？ 【典例二】甲、乙两港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港，需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 【典例三】一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行24千米，15小时到达；返回时逆水，速度降低了25%，返回时用了多少小时？（用比例解） 专题19分段计费问题 【考点一】分段计费问题（小数乘法） 【典例一】某城市居民区实行峰谷电价，收费标准见下表。 时段 峰时（8：00~21：00） 谷时（21：00~次日8：00） 每千瓦时电价/元 0.55 0.35 小刚家一个月用电140千瓦时，谷时用电量是峰时用电的，小刚家这个月电费是多少元？ 【典例二】下面是王明从家坐出租车去展览馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，外加1元燃油附加费，以后每增加1千米，车费就增加1.6元。请你按图中提供的信息算一算：王明从家经过文化馆最后到展览馆，一共要付多少元车费？ 【典例三】为鼓励家庭厉行节约，某城市居民生活用天然气实行阶梯价格制度，家庭生活用气收费标准如下表中所列。例如，某家全年共使用天然气700立方米，其中前400立方米按2.4元/立方米收费，另外200立方米按2.8元/立方米收费，剩下的100立方米按3.6元/立方米收费，童童也想通过计算，了解自己家里使用天然气的情况。 （1）若他家去年共使用520立方米天然气，需要交费多少元？ （2）若有一年他家交了1556元天然气费，这一年他家共用了多少立方米天然气？ 家庭用气量（立方米） 单价（元/立方米） 一档 0－400（含） 2.4 二档 400－600（含） 2.8 三档 600以上 3.6 【典例四】代驾已成为热风，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。 （1）有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？ （2）某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？ 【考点二】分段计费问题（小数除法） 【典例一】某市的市内电话收费标准如下表。小明的爸爸打了一次市内电话，付费1.2元，他这次电话打了多长时间？ 通话时间 收费 3分钟以内（含3分钟） 0.20元 3分钟以外，每增加1分钟（不满1分钟也算作1分钟） 0.10元 【典例二】某市规定：每户每月用水不超过20立方米（含20立方米）时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过20立方米（含20立方米）部分仍按“基本价”收费；超过20立方米的部分按“调节价”收费。李老师家今年三、四月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 15 31.5 4 23 52.8 请你算一算该市水费的“基本价格”和“调节价”分别是每立方米多少元？ （1）基本价格： （2）调节价： 【典例三】按照《江西省机动车停车条例》有关“停车入位、停车付费、违停受罚”的基本要求，信丰县将率先全面实施道路停车改革并实现电子收费。（小型车收费标准如图所示） ①刘叔叔的轿车白天在停车位上停车1小时15分钟，他需要支付多少元停车费？ 电子收费停车场 白天（7：00—19：00） 首小时内 小型车：2.5元/15分钟 首小时后 小型车：3.75元/15分钟 不是一个计时单位不收停车费 ②丁阿姨将轿车停在车位上，离开时支付了17.5元，请你推算一下，她最少停了多长时间？（你可以从列式、画图、列表、文字表述这几种方法中，选择一种你喜欢的方式表示思考过程。） 【典例四】下面是与邮政相关的费用，请根据此表计算． 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 信函 首重100g内，每重20g（不足20g按20g计算） 0.80 1.20 续重101-2000g，每重100g（不足100g按100g计算） 1.20 2.00 （1）王娟的信重18g，寄给本市的朋友，该贴多少元的邮票？ （2）郭青的信重150g，寄给在本市的外婆，应该贴多少元的邮票？ （3）李强的信重65g，寄给在外省的叔叔，应贴多少元的邮票？ （4）张菁的信重182g，寄给在外省打工的爸爸，需要贴多少元的邮票？ 专题20一般分数应用题 【考点一】求一个数的几分之几的问题 【典例一】爷爷奶奶通过“微信运动”每天记录步行的步数。某天上午爷爷的步数是奶奶的，此时奶奶走了2700步，爷爷比奶奶少走多少步？ 【典例二】小温认为酸梅汤原汁与水的配比是3∶4时口感最佳，他应该往已调制的酸梅汤中加水还是加酸梅原汁？应该加多少毫升？ 【典例三】4月23日是世界读书日，在这一天，某小学新买来300本图书，其中放在了图书室，剩下的书按3∶4∶5分给了四、五、六年级，那么六年级分到多少本书？ 【典例四】实验小学组织同学们开展“航天梦”主题绘画比赛。其中四、五、六年级共有180人参加这次绘画比赛，四年级参加的人数占三个年级总人数的，五年级和六年级参赛的人数比是2∶3，六年级参加绘画比赛的有多少人？ 【考点二】连续求一个数的几分之几的问题 【典例一】人体血液的质量和人的体重的比大约是1∶13，血液中大约是水。妈妈的体重是65千克，她的血液里大约含水多少千克？ 【典例二】某连锁商场2020年盈利达640万元，其中上半年盈利是全年盈利的，第四季度盈利是上半年盈利的。该连锁商场2020年第四季度盈利多少万元？ 【典例三】人体内血液的重量约占人体总重量的，血液里大约是水分，体重65千克的人，血液里含水分约多少千克？ 【典例四】勒杜鹃代表坚韧不拔和顽强奋进的精神，被评为深圳市市花。学校种了各种颜色的勒杜鹃，其中橙黄色勒杜鹃占20%，红色勒杜鹃占。橙黄色勒杜鹃比红色勒杜鹃少12棵。 （1）学校一共种了多少棵勒杜鹃？ （2）明年开春计划增种新品种——紫色勒杜鹃，紫色勒杜鹃棵数是红色勒杜鹃的，将种植紫色勒杜鹃多少棵？ 【考点三】已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例一】新时代广告公司要做50块保护环境的标语牌，每块用木料立方米，当完成计划的时，按客户要求改变了标语牌的大小，每块比原来节省了的木料。剩下的标语牌共需要多少木料？ 【典例二】冬至是二十四节气中一个重要的节气，也是我国民间的传统节日。我国北方地区在这一天有吃饺子的习俗。琪琪妈妈这天煮了40个饺子，爸爸吃了，琪琪吃了剩下的50%，琪琪吃了多少个饺子？ 【典例三】“双十二”期间，小芳在网上商城买了一本240页的故事书，计划两个星期看完。现在小芳已经看了全书的，还剩多少页没看完？ 【典例四】喜悦书屋内设有成人阅读区、亲子共读区和电子书下载区等三个区域。书屋的面积一共有132平方米，其中电子书下载区的面积占总面积的，成人阅读区和亲子共读区的面积比3∶8，亲子共读区的面积是多少平方米？ 【考点四】求比一个数多/少几分之几的数,是多少 【典例一】李叔叔和王叔叔两人分别从A、B两地出发去某地约会，2小时后，李叔叔说：我走了全程的多5千米；王叔叔说：我走了全程的少5千米。此时，高德地图显示，李叔叔和王叔叔所行路程正好相同，而且两人所行路程正好是全程的一半。问李叔叔和王叔叔各走了多少千米？ 【典例二】古楼枇杷是重庆市合川区古楼镇的特产水果，被纳入“全国名特优新农产品名录”。某古楼枇杷园去年枇杷总产量是280吨，今年枇杷总产量比去年增加了，今年枇杷总产量是多少吨？ 【典例三】近年来新能源汽车发展迅速，2022年我国新能源汽车销售量约为700万辆，2023年的销售量比2022年增长了。2023年新能源汽车销售量是多少万辆？ 【典例四】军舰鸟素有“飞行冠军”之称，它每小时可飞行400千米，信鸽的飞行速度大约是军舰鸟的，鸵鸟的奔跑速度大约比军舰鸟的飞行速度慢了。 （1）信鸽的飞行速度大约是每小时多少千米？ （2）鸵鸟的奔跑速度大约是每小时多少千米？ 【考点五】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典例一】水果店有苹果240千克，梨的质量是苹果的，是桃的，水果店里有桃多少千克？ 【典例二】工业园区某精密仪器企业4月份计划生产一种零件，实际上半月生产了840台，下半月完成计划的，结果超产了20%，原计划生产多少台？ 【典例三】红日小学原来体育达标人数与未达标人数比是1∶3，后来又有50名同学达标，这时体育达标人数是未达标人数的，红日小学现在共有多少人达标？ 【典例四】甲、乙两城之间的公路长360千米，小王驾车从甲城去乙城，出发前他加满了油。当行了200千米时，他看了一下燃油表，发现油箱里的油还剩。如果中途不加油，小王能驾车到达乙城吗？ 【考点六】已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例一】骑共享单车作为一种低碳、绿色的出行方式，已经成为市民出行的“新宠”。某公司在A社区投放共享单车324辆，比B社区少，该公司在B社区投放共享单车多少辆？（列方程解答） 【典例二】小思和小维都在阅读《奇妙的数学》。小思已经读了45页，比小维已读的页数少。小维已经读了多少页？ （1）在线段图中把条件和问题补充完整。 （2）列式解答。 【典例三】净瓶山新桥建成后，新桥的日均车流量约为36000辆，比旧桥时期的日均车流量多了，旧桥时期的日均车流量约为多少辆？（先画图，再计算） 【典例四】爷爷分别买了一套《三国演义》和一套《西游记》精装本。一套《三国演义》的价格是121元，比一套《西游记》的价格便宜，一套《西游记》的价格是多少元？ 【考点七】己知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例一】一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，离乙地还有150千米。这辆汽车行驶了多少千米？（先画图表示题意，再解答） 【典例二】六年级学生原来体育达标与未达标人数比是5∶3，后来又有20名同学达标，这时达标人数与总人数的比是5∶6，六年级共有多少人？ 【典例三】李师傅加工一批零件，已经完成了，再加工15个，已经加工的零件和剩下的一样多，这批零件共有多少个？ 【典例四】4月23日是“世界读书日”，2024年世界读书日的主题为“阅读改变未来”。为培养学生的课外阅读兴趣，学校为学生购买了一批图书共800册，其中科普读物占这批图书的40%，科普读物的数量比故事书少。学校购买的故事书有多少册？ 【考点八】运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例一】小红和小刚都是集邮爱好者，他们共有240枚邮票。如果小红拿出给小刚，这时两人的邮票数量就同样多。原来小红有（    ）枚邮票。（先将线段图补充完整，再解答） 【典例二】一批零件，第一天做了总数的，第二天做了总数的还多20个，这时还剩360个没完成，这批零件共有多少个？ 【典例三】六（1）班同学打算利用周末做一些手工拿去义卖，上午做了全部手工的，下午做了全部的，上午比下午多做了32份手工，六（1）班同学打算一共做多少份手工？（用方程解答） 【典例四】1只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的，第二天吃了余下的桃子的，第三天吃了余下桃子的，第四天吃了余下的，第五天吃了余下的，第六天吃了余下的，这时还剩下12个桃子，那么第一天和第二天所吃桃子的总数是多少？ 专题21一般百分数应用题 【考点一】求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题) 【典例一】李红家去年上半年一共用自来水54立方米，下半年比上半年多用自来水12立方米。下半年的用水量占全年的百分之几？ 【典例二】橄榄油是一种营养价值很高的食用油。下面是橄榄油厂的妈妈对乐乐说的话，你知道这些橄榄果的出油率是多少吗？ 【典例三】一件商品的原价是240元，实际销售中比原价降低了60元。 （1）现价是原价的百分之几？ （2）现价比原价降低了百分之几？ 【典例四】为迎接运动会，同学们共做了120面彩旗，其中红色彩旗有30面，其余为黄色。红、黄两种彩旗的数量各占彩旗总数的百分之几？ 【考点二】求一个数比另一个数多/少百分之几 【典例一】2024年6月27日，巴中东站接入巴南高速铁路并正式开通运营服务，极大改变了老区人民的出行方式。未开通高铁前，巴中到成都公路出行大约需要4.2时，现在高铁出行最少只需要2.4时，从巴中到成都的通行时间少了百分之几？（百分号前面保留一位小数） 【典例二】一种录音机，原来每台的售价是200元，现在每台的售价是160元。现在打几折出售？比原来降价百分之几？ 【典例三】自进入2024年以来，湖北省汽油价格略有上涨，92号汽油1月31日价格为7.84元/升，3月18日价格为7.94元/升，3月18日比1月31日上涨了百分之几？（百分号前保留一位小数） 【典例四】在《重庆市加力促进消费品以旧换新实施方案》及配套系列文件中，对消费品以旧换新相关补贴政策予以全面优化升级。例如，汽车置换更新最高补贴标准由3000元提高至1.2万元、绿色智能家电以旧换新最高补贴2000元、家装消费贷款贴息最高补贴4000元。汽车置换更新最高补贴标准提高了百分之几？ 【考点三】求一个数的百分之几是多少 【典例一】好乐家超市周年庆，所有服装一律打八折，若买某品牌的衬衫，可享受“折上折”，就是在打八折的基础上再打七五折。孙阿姨去好乐家超市买了一件该品牌的衬衫，应付多少钱？ 【典例二】某公司5月份营业额400万元，按3%缴纳增值税，再扣除营业额的60%作为成本，利润的25%作为员工奖金，员工共得奖金多少万元？ 【典例三】学校啦啦操表演队由四、五、六年级的学生组成，其中五年级有160人。关于这三个年级的人数还有以下信息，请你选择合适的信息求出六年级表演队的人数。 ①五年级的人数是表演队总人数的； ②四、五年级的人数比是3∶4； ③六年级的人数比表演队总人数的40%多8人； ④四年级的人数比六年级的人数少。 我选择的信息是 和 。（填序号） 解答： 【典例四】春节期间，A商场搞所有鞋服类商品“每满200元减100元”，B商场所有鞋服“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九五折。某品牌鞋服在两个商场都有销售，该品牌一双标价520元的鞋，在哪个商场购买更划算？该品牌有一件标价1000元的大衣，在哪个商场购买更划算？ 【考点四】比一个数多/少百分之几的数是多少 【典例一】火棘，也叫“救兵粮”，是蔷薇科火棘属常绿灌木。成语“五花八门”中的五花之一就是火棘，李叔叔家有150棵火棘树，周叔叔家有火棘的棵数比李叔叔家多20%，周叔叔家有多少棵火棘树？ 【典例二】某影城去年的营业额是680万元，预计今年的营业额将比去年增加20%。如果按营业额的3%缴纳营业税，预计今年要缴纳营业税多少万元？ 【典例三】希望小学六年级在“阳光体育”展示活动中，计划每列站15人，可以排成12列。实际每列人数增加20%，总人数不变，实际排了多少列？ 【典例四】某商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打八折出售。 （1）商品A成本是120元，商品A最后应卖多少元？ （2）商品B卖出后，亏损了128元，商品B的成本是多少元？。 【考点五】已知一个数的百分之几是多少，求这个数 【典例一】今日之中国，越来越多的文化遗产以大众更可近可感的数字化形态呈现，焕发出新的生机与活力。《中国互联网发报告（2022年）》显示，2022年中国数字文化产业规模达到1.8万亿元，占文化产业的51.4%，成为文化产业的主导力量。2022年我国文化产业规模约多少万亿元？（得数保留一位小数） 【典例二】国家为了解决农民看病难和看病贵的问题出台了新农合政策，减轻了农民经济负担。今年5月王奶奶因病在定点医院住院治疗，由于参加了新型农村合作医疗，医疗费超过1500元以上的部分按45%得到了报销。一共报销了3510元，王奶奶这次住院的医疗费用总计是多少钱？ 【典例三】为绿化一块土地，园林公司计划种活56000棵树苗。园林公司从某地购买树苗，每车能装4000～4500棵，树苗成活率为70%～80%。为确保完成任务，需要购进多少车树苗？ 【典例四】“”的首字母大写时是“中国”，小写时是“瓷器”。中国是“瓷”文化的发源地，瓷器也是世界认识中国、中国走向世界的文化符号。某商店的一件瓷器在“五一”劳动节当天按标价打八折出售，售价是576元，这件瓷器的标价是多少元？ 【考点六】已知比一个数多少少百分之几是多少求这个数 【典例一】“5G＋智慧农业”种植技术可以收集土壤、作物等多方数据，实时指导农业生产。增城是全国著名的荔枝之乡。刘叔叔家的荔枝园今年引进了该技术，比去年增产三成。刘叔叔今年的荔枝产量是240.5千克，去年的荔枝产量是多少千克？ 【典例二】某商场今年四月份营业额156万元，比三月份营业额增长两成，如果营业额按5%缴纳营业额，这个商场三月份要缴纳营业税多少万元？ 【典例三】篮球比赛中，标准男子比赛用球的最小质量是600克，比标准女子比赛用球的最小质量多17.6%。标准女子比赛用球的最小质量约是多少克？（保留整数） 【典例四】厦门被称为海上花园，这里旖旎的海岛风光，一直备受各地游客青睐。“五一”假期首日，厦门迎来假日出行大客流。厦门地铁客流量大约达69万人次，比去年同期增长38%。去年同期地铁客流量大约为多少万人次？ 【考点七】己知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【典例一】实验小学开展“我阅读，我快乐”主题读书活动，学校图书角有故事书和科技书共200本，其中科技书与故事书的比是3∶5，应同学们的需求，又购进一批科技书，这时科技书的数量占总数的75%。学校后来购进多少本科技书？ 【典例二】下面是育才小学六（2）班第一学期期末考试成绩情况统计图。如果这次考试全班共有4人不及格，那么成绩优秀的有多少人？ 【典例三】甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路、甲队修了这条路的一半，乙队修了90m，丙队修了全长的30%，这条公路长多少米？ 【典例四】张老师要将一个6G（G是表示文件大小的单位）的文件下载到自己的电脑中。他查了一下电脑D盘和E盘的属性，发现如图信息： （1）张老师将文件保存在哪个盘比较合适？请说明理由。 （2）6G的文件，前12分钟下载了25%。照这样的速度，还要几分钟才能下载完毕？（用比例解答） 专题22成数、折扣及利润问题 【考点一】打折的意义及应用 【典例一】一种商品打“八八折”销售，“八八折”就是原价的 %。如果这种商品原价1000元，现在买，便宜 元。 【典例二】某超市的一种商品打八折出售，表示现价是原价的（ ）%，比原价降低了（ ）%。 【典例三】一件商品打八五折销售，“八五折”表示（ ）是（ ）的（ ）%，比原价便宜了（ ）%。 【考点二】求现价 【典例一】某服装店一件休闲装现价200元，比原价降低了50元，相当于打（ ）折，照这样的折扣，原价1000元的西装，现价（ ）元。 【典例二】笑笑在西安旅游时，打算买些纪念品回家送亲朋好友。一个长安文创手串原价15元，现在打五折（也就是半价销售），现在每个手串（ ）元。原来买4个手串的钱，现在可以买（ ）个。 【典例三】某商店在国庆期间推出“全场八折”的优惠，一双原价350元的运动鞋，现价只需要（ ）元：小明妈妈在活动期间花了800元买了一套运动服，这套运动服原价是（ ）元。 【考点三】求原价 【典例一】一件衣服原价是120元，打八折后便宜了（ ）元；一顶帽子打八折后的价格是120元，这顶帽子原价是（ ）元。 【典例二】书店的图书打七五折销售，小明买了一本书，比打折前节省了12元。这本书原价（ ）元。 【典例三】一件400元的羽绒服，打折后卖240元，现价是原价的（ ）%。妈妈今天以八折的价格购得一个书包，比原价便宜了a元，这个书包原价是（ ）元。 【考点四】求折扣 【典例一】一款毛绒玩具标价110元，现在搞活动降低33元出售，相当于打 折。照这样的折扣，标价120元的拼装玩具，现价 元。 【典例二】商场某种商品原价是800元，现在打六五折销售，买一件这样的商品可以便宜（ ）元。如果改为“满400元减160元”，且可叠加使用，这件商品相当于打（ ）折销售的。 【典例三】某服装商场推出“买二送一”活动（不同价格的三件衣服，按价格高的两件付款），小美的妈妈挑中了三件衣服，分别为200元，110元和240元，她买下这三件衣服相当于打（ ）折。 【考点五】求增加或减少几成的实际问题 【典例一】某电脑专营网店第一季度的营业额是20万元，第二季度的营业额比第一季度增长二成，第二季度的营业额比第一季度增长（ ）万元，第二季度的营业额是（ ）万元。 【典例二】某县去年秋粮产量为120万吨，是前年的80%，前年秋粮产量是（ ）万吨，去年比前年减产（ ）成。 【典例三】一家汽车店今年汽车销量比去年增加二成，则今年的销量是去年的（ ）%。若今年销量为24万台，则去年的销量为（ ）万台。 【考点六】根据成数反求单位“1” 【典例一】张叔叔家的小麦喜迎丰收，今年他家的小麦亩产量比去年增加了一成。今年的亩产量是550kg，去年的亩产量是（ ）kg。 【典例二】现如今“直播带货”已经成为促进经济增长的有效途径。王叔叔将收获的青椒通过直播形式销售后，12月青椒总销售量比11月提高了八成五，12月青椒总销售量是740千克，11月青椒总销售量是（ ）千克。 【典例三】为适应“绿色、节能、低碳和环保”的要求，某工厂对生产设备进行了升级。改进设备后，今年的产量是400万吨，比去年的产量提高了二成五，去年的产量是（ ）万吨。 【考点七】利润问题 【典例一】一套西服进价是600元，以750元的价格卖出，这套西服的利润是（ ）元，利润率是（ ）。 【典例二】一种商品，进货价是4000元，售价是5000元，这种商品所获得的利润占成本的（ ）%。 【典例三】“好滴很”鲜果行新进一种水果，如果按照8%加价，每箱可赚7.2元，这种水果进价每箱（ ）元；实际每箱赚了18元，实际加价（ ）%。 【考点八】利润与折扣的综合 【典例一】一台笔记本电脑的售价为5000元，现在按八八折出售，还可以获利10%，这台笔记本电脑的进价是（ ）元。 【典例二】一件衣服进价为320元，为了盈利，商场在此基础上加价30%售出，后搞八折优惠活动，现价为（ ）元，盈利（ ）元。 【典例三】一台样品彩电，如果按定价的九折销售，商场赚550元；如果按定价的七五折销售，将亏200元。这台彩电的定价是（ ）元，成本是（ ）元。 专题23利率与税率问题 【考点一】求利息 【典例一】孙叔叔把10000元存人西安银行2年，年利率是1.5%，到期后可得利息（ ）元。 【典例二】王叔叔把3000块钱存入银行，存期2年。年利率为2.25%，到期时可以获得利息（ ）元，本息一共（ ）元。 【典例三】妈妈将20000元存入银行，定期2年，年利率2.15%，那么2年后可得利息和本金（ ）元。 【考点二】求利率或本金 【典例一】李叔叔把钱存入银行，一年期利率为2.52%，一年后到期取回了5638.6元，存入银行的本金是（ ）元。 【典例二】李奶奶把4000元钱存入银行1年，到期的时候取回了4080元。李奶奶得到的利息是（ ）元，银行1年期的利率是（ ）。 【典例三】王青把压岁钱4000元存入银行，定期5年，到期后王青取回4720元，该银行五年期的年利率是（ ）%。 【考点三】选择最佳的储蓄方案 【典例一】把5000元存入银行五年，按下面两种存款方案哪种更合算？ 方案一：直接存入银行五年，年利率为4.75%。 方案二：先存入银行三年，年利率4.25%，到期后把本金和利息取出再存入银行两年，年利率为3.75%。 【典例二】王叔叔和李阿姨准备到银行各存1万元，存期两年。按哪种方式存款，利息会多一些？（假设转存时年利率不变） 存期 一年 两年 年利率 1.75% 2.25% 王叔叔说：“我存定期两年。” 李阿姨说：“我先存定期一年，取出利息，连同本金再存一年，这样利息会多一些。” 【典例三】李老师准备把2万元人民币存入银行，有以下两种方案可供选择：一是整存整取1年，再将本金与所得利息和整存整取一年；二是整存整取两年。哪一种方案得到的利息多？多多少元？（已知当时一年期的年利率是1.75%，两年期的年利率是2.25%） 【考点四】求应纳税额 【典例一】林阿姨每月工资7600元，按规定收入超过5000元的部分按3%的税率缴纳个人所得税，林阿姨每月应缴纳个人所得税多少元？ 【典例二】某影城去年的营业额是680万元，预计今年的营业额将比去年增加20%。如果按营业额的3%缴纳营业税，预计今年要缴纳营业税多少万元？ 【典例三】刘叔叔在比亚迪4S店购买了一台比亚迪电动汽车，购车费用是12.8万元，按照规定，购买电动汽车免缴车辆购置税。如果刘叔叔购买的是同样价钱的燃油车，购车费用和车辆购置税是一共多少钱？（买燃油车需要缴纳车辆购置税，税款是购车费用的10%） 【考点五】求税率或收入额 【典例一】红红火火大酒店7月份的营业额是350万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，这个酒店7月份实际收入是多少钱？ 【典例二】小明的爸爸买了一辆小轿车，按车价的10%缴纳车辆购置税2.7万元。这辆小汽车纳税后的总价是多少万元？ 【考点六】分段计算解决纳税问题 【典例一】按《个人所得税法》规定，个人月工资收入超过5000元的部分，应缴纳个人所得税。应纳税所得额不超过3000元的部分，按税率3%缴纳；应纳税所得额超过3000元不超过12000元的部分，按税率10%缴纳。 （1）李叔叔每月的工资收入是8200元，他每月应向国家缴纳多少元的个人所得税？ （2）张阿姨每月工资收入7600元，缴纳个人所得税后的收入是多少元？ 【典例二】依法纳税是每个公民应尽的义务，个人所得税起征点为5000元，月收入5000元及以下免税，超过5000元征收税率如下表。 级数 应纳税所得额 税率 1 超过5000元至8000元的部分 3% 2 超过8000元至17000元的部分 10% … …… … 李阿姨四月份工资7000元，她这个月需要缴税多少元？ 【典例三】自2019年1月1日起，计算个人所得税应纳税所得额，在5000元基本减除费用扣除和“三险一金”等专项扣除外，还可享受子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或住房租金、赡养老人等专项附加扣除，即应纳税所得额＝月度收入－5000元（起征点）－专项扣除－专项附加扣除。丁丁爸爸月收入20000元，专项扣除3577.5元，首套房贷扣除1000元，子女教育扣除1000元，赡养老人扣除1000元。丁丁爸爸每月缴纳个人所得税多少钱？ 全月应纳税所得额（含税） 税率 不超过3000元部分 3% 超过3000元不超过12000元的部分 10% 超过12000元不超过25000元的部分 20% 专题24浓度问题 【考点一】单一溶液浓度问题 【典例一】下面几杯糖水中，　　杯糖水最甜。 A．水60克，糖20克 B．水30克，糖水80克 C．糖30克，糖水100克 D．糖50克，水100克 【典例二】把500克盐溶于1500克水中，盐占盐水质量的　　 A． B． C． D． 【典例三】如果两个杯子里都加的可可粉，　　更香浓。 A．第一杯 B．第二杯 C．无法比较 【考点二】溶液混合问题（两种不同浓度混合） 【典例一】浓度为的酒精溶液500克与浓度为的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是　　 A． B． C． D． 【典例二】甲、乙两个装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为的硫酸溶液400千克．从两个容器中各取　　千克的硫酸溶液，分别放入对方的容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样． A．48 B．208 C．240 D．160 【典例三】把浓度为、、的三种盐水按的比例混合在一起，得到的盐水浓度为　　 A． B． C． D． 【考点三】加水稀释或溶质增减问题 【典例一】在一杯含糖的糖水中加入2克糖和8克水，这时糖水的含糖率　　 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【典例二】从装满100克浓度为的盐水中倒出50克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出50克盐水，然后再用清水将杯加满．如此反复三次，杯中盐水的浓度是　　 A． B． C． D． 【典例三】现有浓度的糖水80克，要把它变成浓度为的糖水，需加糖　　克． A．100 B．20 C．13.6 D．88 【考点四】蒸发浓缩问题 【典例一】含盐的100克盐水中要蒸发　　克水才能使盐水含盐 A．20 B．80 C．8 【典例二】含盐率为的盐水100克，加热蒸发20克水后，含盐率是　　 A． B． C． D． 【典例三】科学课上，小明调制了含盐率为的盐水200克，为了满足实验需要，必须将这杯盐水的含盐率稀释为，他可以　　 A．加水300克 B．加水100克 C．蒸发水100克 D．加盐10克，加水100克 专题25工程问题 【考点一】有具体量的工程问题 【典例一】在A地植树1000棵，B地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵，甲在A地，乙在B地，丙在A与B两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A地植树（ ）棵。 【典例二】某学校科技小组仿照我国古代发明的水漏计时法，制作了一个长方体水漏计时器，该计时器长4分米、宽2分米、高3分米，加满水后全部漏完需6小时，一天中午12时，同学们往计时器里面加满水，当天下午5时放学时，计时器里面还剩下水（ ）升。 【典例三】方晓池读一本124页的故事书，平均每天读9页，他从5月20日开始读，能不能在6月1日前读完这本书？（ ）（填能或不能） 【考点二】两人合作的工程问题 【典例一】车间有一批零件的加工任务，如果王叔叔和李叔叔两人合作加工，需要多少小时？ 【典例二】甲、乙两个工程队同修一条长6000米的公路，他们从两端同时施工，已知甲队每天修80米，乙队每天修70米，修完这条公路需要多少天？ 【典例三】在新农村建设中，为建设美丽乡村，要实现村村通公路。幸福村规划修建一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要18天，现在两队合作施工，多少天能完成？ 【典例四】植树队要种一批树。甲队单独种，种完需要8天，乙队单独种，种完需要10天。现在两队合种，几天能种完？ 【考点三】分段合作问题 【典例一】修一段路，甲队单独修需要8天，乙队单独修需要12天。 （1）要解决“两队合修需要几天完成？”这一问题，小明是这样做的：1÷（＋）＝4.8（天）。 这个算式中的“＋”表示（                           ）。 （2）如果甲、乙合作，期间甲队休息了2天，乙队没有休息，一共多少天完成任务？ 【典例二】据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 【典例三】一件工作，甲做10天可以完成，乙做5天可以完成，现在甲先做了2天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 【典例四】一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果甲、乙合做若干天后，甲队休息，剩下的工程由乙队再做3天全部完成，完成这项工程乙队一共做了多少天？ 【考点四】水管问题 【典例一】小明打开注水管，向容量为350升的空池注水，每分钟向池内注水15升，由于没有关好排水管，每分钟排水2升，5分钟后，小明将排水管关好，将空池注满一共需要多少分钟？ 【典例二】水库是通过人工方式构筑拦洪蓄水和调节水流的水利工程建筑物，一般设有蓄水口和排水口。只打开A口，8小时可以完成排水任务；只打开B口，6小时可以完成蓄水任务。在水库无水的情况下，如果两个闸口同时打开，几小时可以蓄满水库？ 【考点五】三人合作的工程问题 【典例一】甲修路队每天可以修85米路，乙修路队每天可以修72米路，丙修路队每天可以修90米路。现在要在15天内修完一条长2400米的路，安排哪两个修路队共同完成比较合适？ 【典例二】一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 【典例三】有一项绿化工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标，情况如表。如果想尽快完工，若选择两家公司合作完成，至少需要多少天？ 公司名称 甲 乙 丙 单独完成所需天数 8 10 12 【考点六】综合工程问题（和比、分数、方程相关） 【典例一】一项工程，如果甲单独做5天后，乙再单独做7天，那么可以完成工程的；如果甲单独做7天后，乙再单独做5天，那么可以完成工程的。如果甲单独做完全部工程，那么需要多少天完成？ 【典例二】师徒两人同时加工440个零件，已知师傅每小时加工70个，徒弟与师傅的工作效率比是。师徒两人几小时后完成加工任务？ 【典例三】在国家乡村振兴战略推动下，下山嘴村的标志性项目“富民路”开始修建。修建过程中分别有甲、乙、丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的，乙、丙两队合修3天完成了剩下的，其余的再由三队合修半天完成。若甲、乙、丙三队单独修这条路，各需要多少天可以修完？ 专题26按比分配应用题 【考点一】按比分配问题 【典例一】有药水1005千克，药粉和水的比是1∶200，其中药粉有（ ）千克，水有（ ）千克。 【典例二】甲、乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包中取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的质量比变为7∶8，那么甲、乙两包糖果质量的总和是 克。 【典例三】一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥底面半径比是2∶1，它们的体积之和是26cm3，圆柱的体积是（ ）cm3，圆锥的体积是（ ）cm3。 【典例四】一张长方形纸的周长是32厘米，长方形的长与宽的比是5∶3，从这张纸上剪下一个最大的圆，这张纸剩下的面积是（ ）平方厘米。 【考点二】比的应用 【典例一】六（1）班男生人数的等于女生人数的，如果男生比女生少5人，男生有（ ）人，女生有（ ）人，总共有（ ）人。 【典例二】小北和小仑进行百米赛跑，他们同时从起点开跑（如图），当小北跑到终点时，小仑跑到了A点，小北与小仑跑步的速度比是（ ）∶（ ）。照这样的速度，假设小北退到B点开始起跑，就能和小仑同时跑到终点，则B点的位置可以表示为（ ）m。 【典例三】一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按2∶3∶5混合配制而成的。如果这三种糖都有180千克，当奶糖全部用完时，酥糖还剩（ ）千克；水果糖则需要增加（ ）千克。 【典例四】把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多（ ）立方厘米。 【考点三】用画图法和转化法解决分数问题(比的应用) 【典例一】先看图填空，再解答。 绘画兴趣小组有42人，其中男生人数是女生人数的。男生人数占绘画兴趣小组总人数的。绘画兴趣小组有男生多少人？ 【典例二】先根据题意把线段图补充完整，再解答。 水果店运来280千克苹果和梨，苹果与梨的质量比是4∶3，水果店运来苹果多少千克？ 【典例三】小明家养了白、黑、灰三种兔子，其中白兔有48只，黑兔是白兔的，又是灰兔的。黑兔有多少只？灰兔有多少只？ 专题27正反比例应用题 【考点一】正比例的简单应用 【典例一】2023年8月3日11时47分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将风云三号06星发射升空。本次发射是长征四号系列运载火箭第100次发射，创造了我国运载火箭发展历程中又一个百发纪录。在第二宇宙速度的状态下，火箭5秒就可以飞行56千米。按照这个速度，火箭再飞行12秒，一共可以飞行多少千米？（用比例解决问题） 【典例二】郑州二七纪念塔高约63米，它的影长是45米。如果同一时间、同一地点测得一栋楼房的影长20米，这栋楼高多少米？（用比例知识解答） 【典例三】成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18米的楼房的影长是15米，那么同一时刻、同一地点，一根高3米的线竿的影长是多少米？（用比例解决问题） 【典例四】爸爸、妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了40元，而三人行李共重150千克。如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费80元。求每人可免费携带行李的质量。 【考点二】反比例的简单应用 【典例一】为了丰富居民的日常生活，阳光小区附近修建了一个正方形广场。如果用边长是0.6米的方砖铺地，需要600块；如果改用边长是0.8米的方砖铺地，需要方砖多少块？（用比例方法解答） 【典例二】“低碳生活，绿色出行”。“共享单车”成为大家的出行工具，张老师从家去图书馆，平均每分钟骑行300米，20分钟可以到达。返回时，由于家中有事，加快了骑行速度，结果提前5分钟到家。张老师返回时平均每分钟骑行多少米？（用比例解） 【典例三】某办公用品厂把一批纸张装订成作业本，如果每本30页，可以装订500本。如果每本25页，可以多装订多少本？（用比例知识解答） 【典例四】植树节当天，厦门某小学师生来到校外社会实践基地种树。他们在一块长方形的空地上种树。如果每行种18棵，那么可以种40行；如果每行种24棵，那么这些树苗能种多少行？（用比例知识解答） 【考点三】运用正比例解决复杂问题 【典例一】张叔叔一家去自驾游，如图是汽车行驶的路程和耗油关系的图象。 （1）行驶路程和耗油之间成什么比例关系？设耗油为y，行驶路程为x，请用式子表示出x与y的关系。 （2）张叔叔开车速度为80千米/小时，6小时到达目的地。大约耗油多少升？ 【典例二】一块芦苇塘的面积为1公顷。在10平方米的范围内发现了50只蝗虫。 （1）照这样估计，这块芦苇塘大约有多少只蝗虫？ （2）在方格纸上把芦苇塘10平方米、20平方米、30平方米……100平方米大约有的蝗虫只数表示出来。 【典例三】一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 … （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 【考点四】运用反比例解决复杂问题 【典例一】食品加工厂把一批醋进行灌装，下表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 二 每瓶容量/升 0.25 0.50 1.00 数量/瓶 600 300 150 （1）这批醋的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批醋装入100个瓶子中，每个瓶子要装多少升？（用比例解） 【典例二】装订厂运来一批纸，要装订成练习本。 每本练习本的用纸张数（张） 20 25 30 40 50 装订的本数（本） 300 240 200 （1）把上表填完整。 （2）表中有哪两种相关联的量？这两种量是如何变化的？ （3）每本练习本的用纸张数与装订的本数是否成反比例？为什么？ 【典例三】给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 专题28数学广角（排列组合推理周期集合问题） 【考点一】排列问题 【典例一】在由三个不同数字组成的三位数中，个位数字与百位数字相差的数共有 个。 【典例二】有个电子表上的时间是直接用阿拉伯数字显示的，如7点20分18秒，显屏上为7：20：18。那么从早上7点至早上8点这段时间内该电子表上五个数字都不相同的情况有 种。 【典例三】两名男生和两名女生站成一排拍毕业照，一共有（ ）种站法；如果男女间隔排列，一共有（ ）种站法。 【典例四】用A、B、C、D、E、F六种颜料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有（ ）种不同的染色方案（旋转算不同方法）。 【考点二】组合问题 【典例一】从西安到宝鸡，途中经过7个火车站。为满足旅客的需求，该铁路公司至少要为这条铁路线准备 种不同的车票。 【典例二】用0、1、4、7可以组成（ ）个没有重复数字的四位数，它们都是（ ）的倍数。 【典例三】2022年世界杯足球赛在卡塔尔成功举行。第一轮小组赛的规则是：32支参赛球队每4支球队为一小组，小组内每支球队和其它球队分别进行一场比赛。本届世界杯第一轮小组赛共进行了（ ）场比赛。 【典例四】美术小组的6位同学约定，寒假假期每人通一次电话，每两人互寄一张贺卡，那么，他们一共通了（ ）次电话，一共寄出（ ）张贺卡。 【考点三】推理问题 【典例一】小王、小李、小张分别从事医生、教师、司机这三种职业中的一种。小王不会开车，小李每天都要批改作业。由此可知小王的职业是（ ），小李的职业是（ ），小张的职业是（ ）。 【典例二】甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次。 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名。 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第四名的是（ ）。 【典例三】在学校运动会上，1号、2号、3号、4号运动员取得了800米赛跑的前4名。1号说：“3号第一个冲过终点。”另一名运动员说：“2号不是第4名。”裁判说：“他们的号码与他们的名次都不相同。”1号是第（ ）名，4号是第（ ）名。 【典例四】警察抓住了4个犯罪嫌疑人，其中一个人是主谋。甲说：“我不是主谋。”乙说：“丁是主谋。”丙说：“我不是主谋。”丁说：“甲是主谋。”已知他们4个人中只有一个说了真话。主谋是（ ）。 【考点四】周期问题 【典例一】某年的七月里有5个星期三，4个星期四，则这年的7月1日是星期（ ）。 【典例二】计算1÷7的商小数点后第199位上的数字是（ ）。 【典例三】“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。”月相的变化顺序如下图，从新月开始，第108个月相是（ ）﹔当新月出现20次时，满月至少出现（ ）次。 【典例四】△□〇☆△□〇☆△□O☆△□O☆……，第33个图形是（ ）。 【考点五】集合问题 【典例一】一个班有40位同学，为了选举一名班长进行投票，候选人为去年的班长小华和副班长小明。全班除了候选人都参加了投票，允许同时给两位候选人投票，最终小华得票数为28票，小明以1票之差输给了小华，则仅给小明投票的有（ ）人。 【典例二】六（1）班有45名学生喜欢书法或绘画，其中有的人喜欢书法，有的人喜欢绘画。既喜欢书法又喜欢绘画的有（ ）人。 【典例三】某班30名同学参加植树活动，每人至少参加两项劳动中的一项，其中有的同学参加了浇水劳动，的同学参加了挖坑劳动，在这次活动中，有（ ）人参加了两项劳动。 【典例四】六年级二班有60人，其中参加舞蹈兴趣小组，参加绘画兴趣小组，没有人既不参加舞蹈兴趣小组又不参加绘画兴趣小组。既参加舞蹈兴趣小组又参加绘画兴趣小组的有（ ）人。参加舞蹈组比参加绘画组多（ ）人。 专题29数学广角（编码优化找次品方阵问题） 【考点一】数字编码（编码、学号） 【典例一】小明为全校每名学生都编了一个号码，如20170332表示2017年入学的3班学号是32的同学，根据小明编号的规则，2020年入学6班，学号是9的同学编号是（ ）。 【典例二】学校为学生编排个人信息码，设定末尾数用1表示男生，用2表示女生。三年级（1）班的王磊同学，2018年入学，学号为36，他的信息码是2018301361。他的表妹赵蓉2019年入学，是二年级（8）班的19号同学，那么她的信息码是（ ）。 【典例三】运动会上，亮亮的编号是40808，他是四年级8班的8号运动员，佳佳是六年级12班的15号运动员，她的编号应该是（ ）。 【典例四】德江县中医院给每位住院病人都设计了一个病历号，从中可以看出该病人住哪个科室、住院时间以及床号。如果一位病人的病历号是“外2022062807”，那么这位病人是（ ）年（ ）月（ ）日入院，住（ ）科（ ）号病床。 【考点二】身份证号相关问题 【典例一】警察叔叔在案发现场发现一张残缺不全的身份证，其号码是6####1198303270518，由此推断，此人出生的年份是（ ）年。 【典例二】在括号里填上合适的数或单位名称。 东东的身份证号是371122201206260015，2023年他（ ）周岁，身高162（ ），为方便东东上学，他家搬到了距离学校约800米的新家，新家的居住面积是167.8（ ），东东步行上学大约只需9（ ）。 【典例三】王老师的身份证号码是210911196712270041，王老师的出生日期是（ ），性别是（ ）。 【典例四】下面是小红的爸爸、妈妈和爷爷的身份证号码，请用你学到的知识判断每个身份证号码到底是谁：35058219670101204X这是（ ）、35050219380715307X这是（ ）、35050019661203509X这是（ ）． 【考点三】沏茶问题 【典例一】周末，小丽帮妈妈干家务。她负责洗碗（10分钟）、扫地（8分钟）、用洗衣机洗衣服（25分钟）和晾衣服（2分钟）。她干完这些事至少要（ ）分钟。 【典例二】淘气早上起床要做以下几件事，整理床铺需要2分钟，刷牙洗脸需要5分钟，整理书包2分钟，煮面条需要10分钟，吃饭需要8分钟，淘气要完成这些事情最少需要（ ）分钟。 【典例三】丹丹在母亲节那天准备为妈妈送上一份惊喜，要在妈妈回来之前把饭做好，所需时间如下表： 淘米 4分钟 蒸饭 25分钟 择菜 6分钟 洗菜 5分钟 切菜 3分钟 炒菜 10分钟 （1）丹丹至少需要（ ）分钟干完这些事情。 （2）如果妈妈17：00准时到家，丹丹最晚要在（ ）时（ ）分开始做这些工作。 【考点四】烙饼问题 【典例一】李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要（ ）分钟。 【典例二】游乐场上有射箭和套圈两个场地，每个场地每次只能一个人玩。射箭、套圈玩一次各需要3分钟，如果2个人两种项目都要玩，最少需要用时（ ）分；如果3个人两种项目都要玩，最少需要用时（ ）分。 【典例三】一只平底锅最多能煎两条小黄鱼，用它煎1条小黄鱼需要2分钟（正、反面各一分钟）。那么煎3条小黄鱼至少需要（ ）分钟。 【典例四】描金是一种传统工艺美术技艺，有两道工序，先上漆，再描绘花纹，每道工序10分钟。现在两位工匠要为3件漆器描金，最少需要（ ）分钟。 【考点五】田忌赛马问题 【典例一】冬冬和爸爸玩卡片“比大小”的游戏，游戏规则是：每人每次只能出一张卡片，大的卡片赢，玩三次，赢两次的获胜。第一次谁先出卡片，后两次还是谁先出卡片。左边三张6、8、10是爸爸的卡片，右边三张9、7、5是冬冬的卡片，如果第一次爸爸出10，那么，冬冬第一次出（ ）方能确保获得最后的胜利。 【典例二】亮亮有10、8、5三张牌，明明有9、7、4三张牌，规定每人每次出一张牌。如果亮亮先出，明明获胜的策略是10－（ ），8－（ ），5－（ ）。（三局两胜制） 【典例三】田忌和齐王赛马，如果齐王安排马的出场顺序是“中等—下等—上等”，田忌要赢齐王，安排马的出场顺序应该是（ ）。 【典例四】在《田忌赛马》的故事中，如果以扑克牌的大代表马的竞赛水平高低，例如齐王的马分别是8、6、4，田忌的马分别是7、5、3，请回答以下问题： （1）在下方有序地写出田忌的马的所有出场顺序，数一数共（ ）种。其中恰能最终赢齐王的出场顺序是（ ）。 （2）如果从双方的马中挑选一匹赛后与观众见面，有（ ）种选择。如果从双方的马中各挑选一匹赛后与观众见面，有（ ）种选择。 （3）如果在故事中的第一局（齐王“8”对田忌“3”）之后，第二局由田忌先确定派出的马，田忌派出“7”，那么齐王为了获胜，应当派出（ ）。说明理由： 。 【考点六】找次品问题 【典例一】有15袋红茶叶，其中14袋每袋50克，另一袋不足50克，如果用天平称，至少称 次可以找出这袋茶叶。 【典例二】外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等。则这20个球的总重量是（ ）克。 【典例三】学校组织研学旅行活动，五年级共有350名同学参加，至少有 人在同一个月过生日。在开展“找次品”比赛活动中，老师拿来13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称 次保证能找出这个乒乓球。 【典例四】把红、黄、蓝、白4种不同颜色的球各2个装在同一个盒子里，任意取出两个球，取出的球的颜色共有（ ）种可能性；如果这些球中只有一个比较轻，其他的一样重，用天平至少称（ ）次就可以找到那个较轻的球。 【考点七】方阵问题 【典例一】学校春季运动会各年级都有方阵表演，每行7人，有7行，青青在方阵中的位置是（4，6），她前面一位同学的位置用数对表示为（ ）。这个方阵最外层有（ ）人。 【典例二】有一组图形如图所示，照这样一直摆下去，第八个图形有（ ）个圆点。 【典例三】学校体操队的队员排成一个三角形，最外层每边都有21人，这个队形最外层一共有（ ）人。 【典例四】小明、小亮使用九路棋盘练习围棋。 （1）如果1号棋子的位置用数对表示是（3，7），2号棋子的位置用数对表示是（4，5）。那么，3号棋子用数对表示是（ ），4号棋子用数对表示是（ ）。 （2）最外一圈最多可以放（ ）枚棋子。 专题30数学广角（鸡兔同笼植树鸽巢问题） 【考点一】列表法解鸡兔同笼问题 【典例一】我国古代数学名著《算法统宗》中记载了一道有趣的“百僧百馍”问题。也就是100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。其中大和尚（ ）人，小和尚（ ）人。 【典例二】笼子里共有24只鸡和兔，一共70只脚。鸡有 只，兔有 只。列表记录过程。 鸡 兔 脚 【典例三】某小学优秀学生干部参加“暑期夏令营”活动，共入住11间“四人房”和“八人房”，且都住满。王明用列表法尝试求解，那么四人房有（ ）间，八人房有（ ）间。 【考点二】假设法解鸡兔同笼问题 【典例一】青年路小学教务处购买了1盒黑水笔和5盒红水笔，每盒黑水笔比每盒红水笔多2支，假设购买的6盒全部换成红水笔，那么笔的总数比实际购买的（ ）（填多或少）（ ）支。 【典例二】参加某会议的30个人被安排在同一个宾馆里，11个房间（3人间和2人间）刚好住满。他们住了（ ）个3人间，有（ ）人住在2人间。 【典例三】学校举办知识抢答比赛，比赛规则答对一题加5分，答错一题扣3分，小丁得了60分，他答对了15题，答错（ ）题。 【考点三】方程法解鸡兔同笼问题 【典例一】42名选手同时参加羽毛球单打或双打比赛，共分为15个赛场，其中进行单打比赛的有（ ）个赛场，参加双打比赛的有（ ）人。 【典例二】房间里有四条腿和三条腿的凳子共16个，如果凳子腿数加起来共有60条，那么有（ ）个四条腿的凳子，（ ）个三条腿的凳子。 【典例三】张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了（ ）件瓷器，损坏了（ ）件瓷器。 【考点四】植树问题（两端都栽） 【典例一】公路一边共有水杉树52棵，原来每相邻两棵树之间的距离都是8米，现在因树长大了显得较密，要把每相邻两棵树之间的距离改为12米。如果起点的树不移动，那么不需要移动的树还有（ ）棵。 【典例二】小明和小美两家住在同一幢楼的同一个单元的1楼和12楼，每两层楼之间的台阶都是18级，从小明家到小美家共有（ ）级台阶。 【典例三】已知某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏路灯之间的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏路灯之间的距离变为54米，则需要更换节能灯 盏。 【考点五】植树问题（两端都不栽） 【典例一】如果明明从一楼走到二楼用了15秒，那么他以相同的速度从一楼走到五楼需要（ ）秒。 【典例二】学校举行给绳子打结的比赛，在一条长24米的绳子上每隔3米打一个结，两端不打结，一共应打（ ）个结。 【典例三】把一根木头锯成7段，每锯断一次需要5分钟，锯完这根木头共需要（ ）分钟。 【考点六】植树问题（一端栽一端不栽） 【典例一】“冬季两项”是传统冰雪项目，它是将越野滑雪和射击组合的运动。男子个人比赛的全长是20千米，每滑行4千米就停下射击1次，如下图示意图所示。当一个运动员在比赛中完成第3次射击时，他还要滑行（ ）千米才能到达终点。 【典例二】在一条笔直走廊一侧，每隔a米摆放一盆花，如果两端不放，一共摆了x盆花，这条走廊长（ ）米；如果有一端要放，一共摆了x盆花，这条走廊长（ ）米。 【典例三】一座别墅的门前有一条30米长的小路，现要在路旁栽一排树。每隔6米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽（ ）棵。 【考点七】封闭图形上的植树问题 【典例一】学校操场跑道长400m，如果每隔20m插1面红旗，一共可以插（ ）面红旗；如果每2面红旗之间再插2面黄旗，可以插（ ）面黄旗。 【典例二】为了保护一棵古树，园林工人要为它做一个周长为39米的圆形护栏，如果每隔3米打一个桩，共需要打（ ）个桩。 【典例三】国庆节期间，幸福小区在相距40米的两座楼房之间，每隔2米插一面彩旗，一行能插（ ）面彩旗。同时在小区大门口摆了一个边长为3米的正方形花坛，最外圈每隔5分米摆一盆花，一共摆放（ ）盆花。 【考点八】鸽巢问题初步 【典例一】把7串葡萄放在6个盘子里，总有（ ）个盘子里至少要放2串葡萄。 【典例二】给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有（ ）个面的颜色相同。 【典例三】电影《长津湖》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有（ ）人是同一个月出生的。 【考点九】鸽巢问题进阶 【典例一】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【典例二】桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有（ ）人。 【典例三】六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同。 【考点十】最不利原则 【典例一】盒子里有同样大小的红球7个、蓝球5个、黄球6个。从盒子里至少摸出（ ）个球，才能保证一定有2个同色的；至少摸出（ ）个球，才能保证有2个不同色的球。 【典例二】用红、黄、蓝、白四种颜色的球各4个，把它们放在一个不透明的盒子里，至少摸出（ ）个球，可以保证摸到两个颜色相同的球。摸到红球的概率为（ ）%。 【典例三】有红、黄、蓝三种颜色的筷子（这些筷子除了颜色不同外，其他都相同）各3根混在一起。塘塘闭上眼睛，从中至少取出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子；至少取出（ ）根才能保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）。 专题31线和角 【考点一】直线、射线和线段的认识 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长25厘米 B．一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶2 C．一个角的两条边越长，这个角就越大 D．三根小棒的长度分别是5厘米、5厘米、10厘米，这三根小棒可以围成一个等腰三角形 【典例二】图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【典例三】如图，图中共有（ ）条射线，（ ）条线段。 【典例四】在一条直线上有7个点，则共有（ ）条射线，有（ ）条线段。 【考点二】平行与垂直 【典例一】两条直线相交成四个角时如果其中一个角是直角，那么其它三个角是（ ）角。 【典例二】同一个平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）。 【典例三】如图，两条平行线间，甲的面积是16平方厘米，乙的面积是11平方厘米，丙的面积是（ ）平方厘米。 【典例四】同一平面内有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有（ ）个不同的数值。 【考点三】画平行线或垂线 【典例一】画一画。 （1）用数对表示A点的位置是 。 （2）连接AC，过D点作AC的平行线。 （3）把长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°。 （4）按1∶2画出长方形ABCD缩小后的图形。 【典例二】画一画，量一量。 （1）过A点画线段BC的垂线，垂足为D； （2）量一量A点到线段BC的距离是（    ）cm；（结果保留一位小数） （3）过A点画出BC的平行线； （4）以AD为直径画圆，并求出该圆的周长和面积。（结果用π表示） 【典例三】 （1）画出将圆A向上平移5格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（    ）。 （2）过B点作直线a的垂线。 （3）画出把三角形EPF绕P点顺时针旋转90°后的图形。 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 【典例一】7时15分，钟面上分针与时针所组成的角是（ ）角。 【典例二】如图，下面线段表示0°到360°，点A表示 角。 【典例三】一个直角三角形，两个锐角的度数比是2∶3，这两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 【典例四】在直角三角形中，一个锐角是45°，另一个锐角是（ ）°，这也是一个（ ）三角形。 【考点五】角的度量 【典例一】现在是北京时间上午8点，再过（ ）分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【典例二】若现在是9点零5分，再过（ ）分钟，时针和分针第一次重合。 【典例三】图中AB＝AC，用含有字母的式子表示∠1＝（ ）°，如果n°＝110°，那么∠2＝（ ）°。 【典例四】钟表上的9时整，时针和分针成（ ）角；6时整时针和分针成（ ）角。 【考点六】平角、周角的认识及特征 【典例一】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【典例二】在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（ ）度。 【典例三】如图，O是钟面中心，A、B、C均在圆上，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【典例四】如图，把三角形ABC的边BC延长到点D，可以推理说明。你能看懂下面的推理过程吗？在括号内写出推理的依据。 推理过程： 因为（平角的度数是） （ ） 所以 所以（ ） 【考点七】角的度量和计算解决问题 【典例一】如图的角用量角器测量出是（    ）°，是（    ）角，以角的两边为相邻边画一个平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 【典例二】下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【典例三】把三角形的边延长到点（如下图）。 你同意文文的说法吗？请说明你的理由。 【典例四】如图，在三角形中，已知∠1＝75°。 （1）∠4＝ °。 （2）∠4＋∠1＝180°，并且∠4和∠1相邻，此时我们称∠1和∠4互为邻补角，图中还有两组互为邻补角：一组是 和∠6，一组是∠2和 。 （3）我们把∠1，∠2和∠3叫作三角形的内角，∠4，∠5和∠6叫作三角形的外角，你能得出这个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系吗？如果不能，请说明理由。如果能，请写出推导过程。（可用文字叙述，也可以用式子表示） 专题32三角形 【考点一】三角形的概念和表示方法 【典例一】下面图形（ ）是三角形。（填序号） 【典例二】下面图形中各有多少个三角形？ （ ）个              （ ）个            （ ）个 【典例三】数一数图中共有（ ）个三角形。 【典例四】用12根相同的小棒摆三角形，最多可以摆（ ）个，摆正方形最多可以摆（ ）个。 【考点二】三角形的稳定性及应用 【典例一】电线杆上的线架和自行车架做成三角形，这是应用了三角形具有（ ）的特征。 【典例二】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生活中（ ）也运用了这一特性。 【考点三】三角形三边关系 【典例一】小红参加了一个风筝制作挑战活动，她决定制作一个三角形的风筝，并已经测量了两条边的长度，分别是1.5米和2米。为了确保风筝的稳定性，她需要计算出第三条边的长度范围，即必须小于（ ）米且大于（ ）米。 【典例二】三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 【典例三】一个三角形的两条边长分别是4厘米和7厘米，第三条边最长是（ ）厘米，最短是（ ）厘米。（边长取整厘米数） 【考点四】三角形的分类 【典例一】一个三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【典例二】在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【典例三】红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是4∶1∶1，按角分，它是（ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例一】一个等腰三角形的周长是54厘米，两条边的比是2∶5，它的底边长（ ）厘米。 【典例二】一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝（ ）°。 【典例三】一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【考点六】三角形的内角和 【典例一】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（ ）°。 【典例二】在三角形ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分，这个三角形是（ ）三角形。 【典例三】一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是（ ），这是一个（ ）三角形。 【考点七】多边形的内角和 【典例一】如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是（ ）。 【典例二】如图，△ABC中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【典例三】如图，照这样的规律继续研究下去，十边形的内角和为（ ）°，n边形的内角和为（ ）°。 图形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 … 内角和 180° 360° 540° 720° 【考点八】三角形的周长 【典例一】一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【典例二】一个等腰三角形相邻两边的长是分米和分米，这个等腰三角形的周长是（ ）分米。 【典例三】A4纸的秘密：一张A4纸，规格是210×297（单位：mm），经过以下两次对折，可以得到如下图形，则最后图中小阴影三角形的周长是（ ）mm。    【考点九】三角形的面积 【典例一】一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是（ ）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【典例二】如图，把直角三角形放大到原来的3倍，放大后直角三角形的周长是（ ）cm；若把直角三角形按照1∶2的比缩小，缩小后三角形的面积为（ ）cm2。 【典例三】如下图，一个梯形的上底比下底短3分米，高6分米。把它分成两个三角形，这两个三角形的面积相差（ ）平方分米。 【考点十】三角形的高及画法 【典例一】画出下面各图形底边上的高。 【典例二】画出以下图形指定底边上的高。 【考点十一】画三角形 【典例一】画一画（每个方格是边长是1厘米的正方形）。 （1）画一个直角三角形，直角的顶点在A点，面积为10平方厘米。 （2）画一个直径为6厘米的圆，圆心在B点。 【典例二】如图。 （1）以AB为三角形一边，画出高为3厘米的三角形ABC。 （2）点C用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形绕B点按顺时针方向旋转90度后的图形。 专题33长方形和正方形 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 【典例一】一张长方形纸，长8厘米，宽6厘米。把它剪成一个最大的正方形，正方形的边长是（ ）厘米。 【典例二】把一个圆形纸片切分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，周长增加了8cm，则圆形纸片的半径是（ ）cm，面积是（ ）cm2。（π取3.14） 【典例三】一个圆柱的侧面展开后，正好是一个边长为6.28分米的正方形，这个圆柱的底面半径是（ ）分米。 【典例四】把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出 张。 【考点二】长方形及正方形的周长 【典例一】把两个边长都是5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【典例二】一个长方形长6cm，宽4cm，把它按3∶1放大，得到的新长方形周长是（ ）cm。 【典例三】把一个边长为10cm的正方形的边长按照1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是（ ）cm。 【典例四】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【考点三】长方形的面积 【典例一】一个长方体长25厘米，宽16厘米，高9厘米，它的占地面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【典例二】全家福可以记录家庭成员的团圆幸福时刻。小芳将一张长6厘米，宽4厘米的全家福按照3∶1放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】用下图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是（ ）cm2，容积是（ ）cm3。（纸板厚度忽略不计）。 【典例四】如下图，把一张边长是12厘米的正方形纸剪成两个完全一样的长方形，每个长方形的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【考点四】正方形的面积 【典例一】大正方体的棱长是5分米，小正方体的棱长是3分米。大、小正方体棱长的比是（ ），底面积的比是（ ），体积的比是（ ）。 【典例二】如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】2024年10月1日是我国建国75周年，为了庆祝建国75周年而布置展览场地，使用80块边长为4.5米的正方形地毯将一个区域铺满，那么这个区域的面积是（ ）平方米。 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 【典例一】张奶奶家有一块长40米，宽是30米的长方形菜地，请你在图方框中按照1∶1000的比例尺把它画出来，并标出长和宽的长度。 【典例二】学校有一个长方形操场，长150米，宽90米，请你在下面用1∶3000的比例尺画出操场的平面图，并标出图上长、宽各画了几厘米。 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 【典例一】下面每个小方格表示1平方厘米。 （1）图中图案的面积是（    ）平方厘米。 （2）在下面方格中画一个周长为24厘米的正方形和一个周长为24厘米的长方形。 【典例二】下面每个小方格都是边长1厘米的正方形，请在下面图形中画出一个周长为20厘米的长方形，使长方形的长和宽的比是3∶2。 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 【典例一】在方格纸上画1个长方形、1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是15平方厘米，并且有一边的长都是5厘米。 【典例二】在方格纸上分别画出面积为12平方厘米的长方形和面积为16平方厘米的正方形。 专题34平行四边形和梯形 【考点一】平行四边形和梯形的概念及特点 【典例一】平行四边形有（ ）组对边互相平行，梯形只有（ ）组对边互相平行。 【典例二】数一数，下图中有（ ）个三角形，（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。 【典例三】下图中，左边的长方形与右边的四个图形随意交叉摆放，摆出重叠部分是四边形。当这个四边形一定是梯形时，应选择的图形是（ ）。当这个四边形一定是平行四边形时，应选择的图形是（ ）或（ ）。 【典例四】一个梯形的下底是上底的4倍，如果将上底延长12厘米就成为一个平行四边形，这个梯形的下底是（ ）厘米。 【考点二】平行四边形的特性及应用 【典例一】起重机的三角形吊臂是利用了三角形的（ ）性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的（ ）性。 【典例二】电动伸缩门由许多个平行四边形组成，这是利用了平行四边形（ ）的特点。 【考点三】平行四边形的周长 【典例一】用两个下边这样的三角形可以拼成不同的平行四边形，拼成的平行四边形周长最大是（ ）cm，最小是（ ）cm。 【典例二】一个平行四边形的周长是144厘米，已知它相邻两条边上的高分别是30厘米和24厘米，平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】用两个与下图同样的三角形，可以拼出（ ）种不同的平行四边形，其中周长最长的平行四边形的周长（ ）厘米。 【考点四】梯形的周长 【典例一】一个等腰梯形三条边的长度分别是11厘米，5厘米和3厘米，并且它的下底是最长的一条边。则这个等腰梯形的周长是（ ）厘米。 【典例二】2019年中国智博会8月26日在重庆开幕了，实验小学做了一个等腰梯形的宣传牌，它的周长是2米，上底是50厘米，下底是70厘米，这块宣传牌的一条腰是（ ）厘米。 【典例三】一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是8厘米，一条腰是7厘米，围成这个等腰梯形至少要（ ）厘米长的铁丝。 【考点五】等腰梯形和直角梯形的认识 【典例一】把直角三角形折成直角梯形（如图），的度数是（ ）°。 【典例二】一个等腰梯形上、下底之和是25分米，一条腰长9分米，周长是（ ）分米。 【考点六】平行四边形的面积 【典例一】一个三角形的底是10厘米，面积是40平方厘米，它的高是（ ）厘米。与这个三角形等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方厘米。 【典例二】第16届南宁马拉松比赛暨第三十九届南宁解放日长跑活动的志愿者设计了平行四边形宣传海报（如图）。图中空白部分的面积是1.2m2，这张海报的总面积是（ ）m2。 【典例三】如图，在平行四边形中，空白部分的面积比阴影部分多40平方厘米，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【考点七】梯形的面积 【典例一】一个直角梯形的周长是，两腰分别是和，这个直角梯形的面积是（ ）。 【典例二】一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【典例三】如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（ ）cm2。 【考点八】画平行四边形或梯形的高 【典例一】画出下列图形底边上的高。 【典例二】下图中的每个小方格代表1平方厘米，请你画出面积是8平方厘米的平行四边形，并作出一条高。 【典例三】一个梯形，上底是3厘米，如果将上底延长1厘米，则该梯形可以变成一个正方形。（点子图横竖两个点之间距离为1厘米） （1）这个梯形的下底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）在下面的点子图上画出原梯形，并注明它的高。 （3）再画一个与原梯形高相等的平行四边形，并画出它的一条高。 【典例四】根据要求画图。 （1）画出图①中平行四边形AB底边上的一条高。 （2）画出图②绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出图①按2∶1扩大后的图形。 【考点九】画平行四边形 【典例一】在方格纸上画1个长方形、1个三角形和1个平行四边形，使它们的面积都是15平方厘米，并且有一边的长都是5厘米。 【典例二】按要求在下面方格纸中作图。（每个小方格的面积是） （1）在方格纸中标出点的位置。 （2）以线段为底，画一个面积是的平行四边形。 【考点十】画梯形 【典例一】请在单位长度的网格中按1∶2的比例在图中画出三角形A缩小后的图形B，再画出和三角形A面积相等的平行四边形C和梯形D各一个并求出它们的面积。 【典例二】下图中每个方格的边长为1厘米。 （1）画出把平行四边形ABCD绕B点顺时针旋转90度后的图形。 （2）在图中，画一个和平行四边形ABCD面积相等且高是2厘米的梯形。 专题35圆及组合图形 【考点一】圆的概念及特点 【典例一】都是由（ ）围成的平面图形，是由（ ）围成的平面图形。 【典例二】如图，以点O为圆心的圆内，三角形ABO一定是等腰三角形，作出这个判断的依据是（ ）。 【典例三】一个正方形的周长是24cm，则它的边长是（ ）cm，如果在这个正方形中画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm。 【典例四】如图有（ ）条对称轴，如果每个圆的直径都是x厘米，那么长方形的面积是（ ）平方厘米。 【考点二】圆的轴对称图形 【典例一】正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ）条对称轴。 【典例二】如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条对称轴。 【考点三】圆的周长的计算 【典例一】把一个圆柱的侧面沿高剪开得到一个正方形，这个圆柱的半径是2厘米，高是（ ）厘米。 【典例二】下图中的圆和长方形面积相等，那么圆的周长是（ ）厘米。 【典例三】做一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面周长是12.56dm，高是5dm，至少需要（ ）dm2铁皮。 【典例四】一个底面周长和高相等的圆柱，如果高增加1厘米，它的侧面积就增加6.28平方厘米，它的底面周长是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，原来圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【考点四】圆的面积的计算 【典例一】一个圆柱的底面周长是37.68cm，高是5cm，这个圆柱的底面直径是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【典例二】陈师傅用两种方法（如图），把一根长20dm、底面半径是2dm的圆柱形木料平均截成两部分。第（ ）种截法得到的两部分表面积之和更大，比原圆柱大（ ）dm2。 【典例三】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。 【考点五】求最大面积 【典例一】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是（ ）平方米。 【典例二】长方形的长和宽分别是a分米、b分米（a、b是不同的自然数），如果长方形的周长是200分米，那么长方形的面积最大是（ ）平方分米。 【考点六】圆环的面积 【典例一】如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【典例二】如图，阴影部分的面积是12cm2，图中圆环形的面积是（ ）cm2。（结果保留π） 【典例三】某小区内靠墙有一个半圆形的水池（如图）。现在要沿着水池外边用地砖铺一条宽1米的小路，需要（ ）平方米的地砖。（结果保留π） 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 【典例一】钟面上，分针从12起，走过25分钟，它所经过的部分可以看作（ ）形，圆心角是（ ）度。 【典例二】如图中涂色部分是（ ），图上A、B两点间的曲线是（ ），∠1是这个圆的（ ）。 【典例三】这4个扇形的半径都是（ ）厘米，它们的圆心角度数的和是（ ）°。    【考点八】扇形的周长和面积 【典例一】下图是一个残破的钟面，它所在的完整钟面的面积是314平方厘米。这个残破钟面的周长是（ ）厘米。 【典例二】如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是（ ）平方厘米。 【典例三】一把扇子展开后如图1，量得这把扇子的相关数据如图2。展开后的这把扇子周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【考点九】含圆的组合图形的周长 【典例一】计算图形的周长。 【典例二】求出下面阴影部分的周长。 【典例三】求图形中阴影部分的周长和面积。 【考点十】含圆的组合图形的面积 【典例一】计算这颗“爱心”的周长和面积。 【典例二】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【考点十一】阴影部分的周长或面积 【典例一】计算下面图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm）             【典例二】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）    【考点十二】画圆或扇形 【典例一】画一个半径1厘米的圆，再画一条直径，并垂直于直径画一条半径。 【典例二】画一个半径是1厘米的圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。并在其中画一个圆心角是120°的扇形。 【典例三】操作。 （1）在如图方格纸中，画出按3∶1放大后的直角梯形。 （2）在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形。 （3）如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么扇形面积是（    ）平方厘米。 【典例四】一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 【考点十三】圆的周长的应用 【典例一】为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【典例二】将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【典例三】如图：王大妈用25.12米长的篱笆靠墙围了一块半圆形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 【考点十四】圆的面积的应用 【典例一】在游玩时奇奇帮妈妈选择一款编制的长沿帽，帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，圆柱的底面半径是12厘米，高是10厘米，帽沿的宽度是12厘米。这个帽子需要多少编制材料？（花边忽略不计） 【典例二】王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？（取3.14） 【典例三】一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”多少厘米，时针“扫过”了多少平方厘米？ 专题36观察物体 【考点一】物体三视图的认识 【典例一】小亮搭的积木从上面看是（积木上面的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数），搭的这组积木从左面看是图（    ）。 A． B． C． D． 【典例二】如果用□表示一个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么图中由七个正方体组合成的几何体，从前面看，可画出的平面图形是（    ）。 A． B． C． D． 【典例三】如图四个立体图形，从右面看到的形状是的有（    ）个。                         A．0 B．1 C．2 D．3 【典例四】从右面看到的图形是（    ）。 A．B．C． D． 【考点二】从不同位置观察两个物体的相互关系 【典例一】下面图（    ）是从①号位置观察到的。 A． B． C． D． 【典例二】摆放的两个立体图形，从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【典例三】下面图形都是由相同的小正方体搭成的。选择（    ）能搭成左面的模型。 A．①② B．①④ C．②④ 【考点三】根据三视图确认几何体 【典例一】用同样大小的小正方体摆成一个立体图形，从前面和上面看到的图形都是，那么摆成这样的图形至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【典例二】一个立体图形，从前面看到的图形形状是，从左面看到的图形形状是，搭一个这样的立体图形，至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个小正方体。 【典例三】用5个小正方体木块摆一摆。若从上面看到的图形是，有（ ）种摆法。如果又从正面看到的图形是，有（ ）种摆法。 【典例四】看一看，画一画。 （1）2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是相对面上的字是什么字？在正确答案下面画“√”。 青          春        孕          育        希 （    ） （    ）  （    ）    （    ）  （    ） （2）用小正方体搭成一个立体图形，从正面看是，从左面看是。在符合要求的几何体下面画“√”。 （    ）                       （    ）               （    ） 【考点四】三视图的画法 【典例一】在方格纸上分别画出从不同方向看左边立体图形所看到的形状。 【典例二】用7个同样大的正方体摆成左边的物体，请在右边的方格纸上画出从前面，右面和上面看到的图形。 【典例三】在方格纸上分别画出从不同方向看到左边立体图形的形状图。 【典例四】按要求画图。 （1）在方格纸上分别画出从正面、左面和上面观察图①看到的图形。 （2）分别画出图②绕O点顺时针方向旋转90°后的图形和原图向左平移4格后的图形。 专题37四大立体图形的认识及展开图 【考点一】长方体和正方体的特征 【典例一】笑笑家装修完新居，剩4块玻璃。两块长为5dm，宽为3dm；另外两块长为4dm，宽为3dm。爸爸想做一个长方体的玻璃鱼缸（无盖），还需要配一块长( )dm、宽( )dm的玻璃。 【典例二】要给这个长、宽、高分别为的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要( ) （单位：cm）（用含的代数式表示）。 【典例三】如图，正方体一个角上画一个三角形，三边长度分别是3cm、4cm和5cm。按角分类这个三角形属于( )三角形，它的面积是( )cm2。 【典例四】将3个棱长都是acm的正方体拼成一个长方体（如图），拼成的长方体的表面积比拼前3个正方体的表面积之和减少了( )cm2。 【考点二】长方体和正方体的棱长的应用 【典例一】一个长方体的所有棱长之和是120厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶5，这个长方体的体积是 ( )立方厘米。 【典例二】一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是4cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【典例三】将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【典例四】一个正方体的所有棱长之和是米。这个正方体的棱长是 米，体积是 立方米。 【考点三】长方体和正方体的展开图 【典例一】如图是一个正方体六个面的展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字相对面上的字是( )。 【典例二】如图是一个正方体的展开图。    (1)这个正方体中，“4”的对面是“( )”。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上的可能性比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”） 【典例三】用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是( )cm2，容积是( )cm3。（纸板厚度忽略不计） 【典例四】如图是长方体的展开图，①和③是正方形，①的面积是9cm2，②的面积是12cm2，长方体的表面积是 cm2。 【考点四】圆柱和圆锥的认识及特征 【典例一】一个圆柱的底面直径是4分米，侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱的高是 分米。 【典例二】如图，过圆柱的底面直径把圆柱切割成两个相等的半圆柱（底面直径是8cm，高是10cm），截面是一个( )形，截面的面积是( )cm2。 【典例三】端午节，笑笑和妈妈用芦苇叶和糯米包近似圆锥形的粽子，底面直径为6厘米，高为5厘米，如果每立方厘米糯米重1.8克，包100个这样的粽子一共需要糯米( )克。 【典例四】李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现( )形，这个切面的底为( )分米，高为( )分米。 【考点五】圆柱的展开图 【典例一】如果一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么这个圆柱的底面直径与高的比是( )。（圆周率用字母表示） 【典例二】一个圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为12.56厘米，宽为6厘米，则这个圆柱的底面积为( )平方厘米，体积为( )立方厘米。 【典例三】一个圆柱形饮料瓶的侧面展开图是一个边长为7分米的正方形，这个饮料瓶高是( )分米，如果要包装这个饮料瓶的侧面，至少需要( )平方分米的包装纸。 【典例四】如图，用高为、底面直径为的圆柱的侧面展开图再围成不同于圆柱的另一个圆柱，则圆柱的体积为( )。 【考点六】补全长方体或正方体的展开图 【典例一】在下面的方格纸上已经画出了一个长方体展开图的上面、前面和右面，请画出这个长方体展开图的另外三个面并写出各个面的名称。 【典例二】下图是一个长方体展开图的前面、下面和左面。画出展开图的另外3个面。 【典例三】想一想，画一画，一个正方体的展开图有6个面，如图画出了其中5个面，请在相应位置画出第6个面。想一想还有其它情况吗？请在空白处至少再画出一种不同的正方体展开图。 【考点七】画出圆柱的展开图 【典例一】在下面的方格中，按照左边圆柱的大小，在右边画出它的侧面展开图。 【典例二】在如图的方格图中，画出左边圆柱体侧面的展开图。 专题38四大立体图形的表面积和体积 【考点一】长方体和正方体的表面积 【典例一】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 【典例二】如图，木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【典例三】把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是350平方厘米，每个正方体表面积是 平方厘米。 【典例四】至少用（ ）个棱长为2cm的小正方体才能拼成大正方体，大正方体的表面积是（ ）cm2。 【考点二】长方体和正方体的体积 【典例一】按要求计算。 （1）计算长方体的表面积。 （2）计算长方体的体积。 【典例二】分别计算下面各图形的表面积和体积。 【典例三】计算出下面图形的表面积和体积。 【典例四】求下面各图形的表面积和体积。     【考点三】长方体和正方体表面积的应用 【典例一】一种长方体工艺品盒的长是3分米，宽是2分米，高是1分米。现将3个这样的工艺品盒包装在一起（仍为长方体），至少需要包装纸多少平方分米？ 【典例二】一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共15.6平方米。要粉刷教室的四壁和顶面，如果每平方米用涂料0.25千克，共需要涂料多少千克？ 【典例三】2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【典例四】如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 【典例一】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【典例二】一个水池长12米，宽8米，深0.8米。 （1）要在水池的四周和地面涂防水$$1 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作 为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年 级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小 学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求 更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻 辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了 深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比 和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表 面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨 等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活， 让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针 对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握 解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各 种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次 分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子 2 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势， 让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检 测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子 们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个 测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题 所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它 既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的 良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在 2024—2025 学年的小升初数 学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025 年 4 月 3 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 2024-2025 学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 小升初复习总集篇（43 个专题 320 个考点） 目录 专题 01 整数的认识 ..........................................................15 【考点一】计数单位及位数 ...................................................15 【考点二】整数的读写 .......................................................16 【考点三】整数的大小比较 ...................................................17 【考点四】整数的改写及近似数 ...............................................19 专题 02 小数的认识 ..........................................................20 【考点一】小数的计数单位及数位 .............................................20 【考点二】小数的读法和写法 .................................................20 【考点三】循环小数 .........................................................21 【考点四】小数的基本性质及改写 .............................................22 【考点五】小数的大小比较 ...................................................23 【考点六】小数点位置移动的规律 .............................................25 【考点七】小数点有关的单位换算 .............................................25 【考点八】小数的改写及近似数 ...............................................26 专题 03 分数的认识 ..........................................................27 【考点一】分数的意义 .......................................................27 【考点二】分数单位的认识 ...................................................28 【考点三】分数与除法的关系 .................................................29 【考点四】真假分数的认识及互化 .............................................30 【考点五】分数的基本性质 ...................................................31 【考点六】约分及通分的认识和应用 ...........................................32 【考点七】最简分数 .........................................................33 【考点八】分数的大小比较 ...................................................34 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 .......................................35 专题 04 百分数的认识 ........................................................35 4 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点一】百分数的意义 .....................................................35 【考点二】百分数的读法和写法 ...............................................37 【考点三】百分数、小数及分数的互化 .........................................38 【考点四】折扣问题 .........................................................39 【考点五】成数问题 .........................................................40 【考点六】利率问题 .........................................................41 【考点七】税率问题 .........................................................42 【考点八】利润问题 .........................................................44 专题 05 负数与数轴 ..........................................................45 【考点一】负数的概念和辨认 .................................................45 【考点二】负数的读法和写法 .................................................46 【考点三】正负数的意义及应用 ...............................................47 【考点四】正、负数的大小比较 ...............................................48 【考点五】数轴上表示正负数 .................................................50 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 .........................................51 专题 06 因数与倍数 ..........................................................53 【考点一】因数和倍数的认识 .................................................53 【考点二】找一个数的因数的方法 .............................................53 【考点三】找一个数的倍数的方法 .............................................54 【考点四】2、3、5的倍数的特征 ............................................. 55 【考点五】奇数和偶数的认识 .................................................56 【考点六】质数与合数的认识 .................................................57 【考点七】分解质因数 .......................................................58 【考点八】奇偶性 ...........................................................59 【考点九】最大公因数和最小公倍数 ...........................................60 【考点十】运用最大公因数解决问题 ...........................................61 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 .........................................62 专题 07 整小分百的四则运算 ..................................................63 【考点一】整数的四则运算 ...................................................63 5 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】小数的四则运算 ...................................................64 【考点三】分数的四则运算 ...................................................65 【考点四】百分数的四则运算 .................................................66 【考点五】整小分百的四则混合运算 ...........................................67 【考点六】整小分百的直接计算 ...............................................69 【考点七】解整小分百数有关的方程 ...........................................69 专题 08 运算定律及简便运算 ..................................................70 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 .....................................70 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 .....................................71 【考点三】加法交换律 .......................................................72 【考点四】加法结合律 .......................................................73 【考点五】减法的性质 .......................................................73 【考点六】乘法交换律和结合律 ...............................................74 【考点七】乘法分配律 .......................................................75 【考点八】除法的性质 .......................................................76 【考点九】整数加法运算律推广到小数 .........................................76 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 .........................................77 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 .................................78 【考点十二】小数减法相关的简便运算 .........................................78 【考点十三】小数除法相关的简便运算 .........................................79 【考点十四】简便运算脱式计算 ...............................................79 专题 09 和、差、积、商的变化规律 ............................................80 【考点一】和与差的变化规律 .................................................80 【考点二】积的变化规律 .....................................................81 【考点三】商的变化规律及应用 ...............................................82 【考点四】商不变的规律及应用 ...............................................83 专题 10 用字母表示数 ........................................................84 【考点一】用字母表示数、数量关系 ...........................................84 【考点二】用字母表示稍复杂的数量关系 .......................................85 6 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点三】用字母表示运算定律及计算公式 .....................................86 【考点四】含有字母式子的化简与求值 .........................................87 专题 11 方程 ................................................................88 【考点一】方程的认识 .......................................................88 【考点二】列简易方程 .......................................................89 【考点三】等式的性质 1和 2 ................................................. 90 【考点四】方程的解 .........................................................91 【考点五】解含小括号的方程 .................................................92 【考点六】解小数方程 .......................................................93 【考点七】解分数方程 .......................................................94 【考点八】解百分数方程 .....................................................94 专题 12 比 ..................................................................95 【考点一】比的意义 .........................................................95 【考点二】比的基本性质 .....................................................96 【考点三】比与分数除法的关系 ...............................................97 【考点四】求比值 ...........................................................97 【考点五】化简比 ...........................................................98 【考点六】按比分配问题 .....................................................99 【考点七】比的应用 ........................................................100 【考点八】用画图法或转化法解决分数问题（比的应用） ........................102 专题 13 比例 ...............................................................103 【考点一】比例的意义 ......................................................103 【考点二】比例的基本性质 ..................................................103 【考点三】正反比例的意义及辨识 ............................................104 【考点四】比例尺的意义 ....................................................105 【考点五】解比例 ..........................................................106 【考点六】应用比例尺画图 ..................................................107 【考点七】比例的应用 ......................................................109 【考点八】比例尺的应用 ....................................................110 7 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 ..........................................111 【考点十】正比例的应用 ....................................................113 【考点十一】反比例的应用 ..................................................115 专题 14 常见的量 ...........................................................116 【考点一】常见单位的选择一（质量、长度） ..................................116 【考点二】常见单位的选择二（面积、体积） ..................................117 【考点三】常见单位间的换算一 ..............................................118 【考点四】常见单位间的换算二 ..............................................119 【考点五】24 时计时法的互化 ............................................... 119 【考点六】平年和闰年的认识及判定 ..........................................120 【考点七】单位间的比较大小（先换算后比较） ................................121 【考点八】时、分、秒有关的计算 ............................................121 【考点九】年、月、日有关的计算 ............................................122 【考点十】24 时计时法时间的计算 ........................................... 123 【考点十一】使、分、秒时间的推算 ..........................................124 【考点十二】年、月、日时间的推算 ..........................................125 【考点十三】运用时间单位的换算解决问题 ....................................125 【考点十四】运用质量单位的换算解决问题 ....................................126 【考点十五】运用长度单位的换算解决问题 ....................................128 【考点十六】运用面积单位的换算解决问题 ....................................129 【考点十七】运用体积容积单位的换算解决问题 ................................130 专题 15 探索规律 ...........................................................131 【考点一】根据算式的规律计算 ..............................................131 【考点二】根据数字排列的规律填数 ..........................................132 【考点三】根据图形的变化规律计算图形的个数 ................................133 【考点四】根据数表中的规律解决问题 ........................................134 【考点五】根据间隔、周期规律解决问题 ......................................136 专题 16 归一问题和归总问题 .................................................137 【考点一】单归一问题 ......................................................137 8 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点二】双归一问题 ......................................................138 【考点三】正归一问题 ......................................................138 【考点四】反归一问题 ......................................................140 【考点五】归总问题 ........................................................140 专题 17 和差倍问题 .........................................................141 【考点一】和差问题 ........................................................141 【考点二】和倍问题 ........................................................142 【考点三】差倍问题 ........................................................143 【考点四】隐藏条件型和差倍问题（需通过其他关系（如比例、余数）转化出和、差、倍。） ..........................................................................144 【考点五】三个量的和差倍问题 ..............................................145 【考点六】年龄中的和差倍问题 ..............................................146 专题 18 行程问题 ...........................................................147 【考点一】基本行程问题 ....................................................147 【考点二】相遇问题 ........................................................148 【考点三】追击问题 ........................................................149 【考点四】列车过桥问题 ....................................................149 【考点五】流水行船问题 ....................................................150 专题 19 分段计费问题 .......................................................151 【考点一】分段计费问题（小数乘法） ........................................151 【考点二】分段计费问题（小数除法） ........................................153 专题 20 一般分数应用题 .....................................................155 【考点一】求一个数的几分之几的问题 ........................................155 【考点二】连续求一个数的几分之几的问题 ....................................156 【考点三】已知总量及一部分分率，求另一部分量 ..............................157 【考点四】求比一个数多/少几分之几的数,是多少 ..............................158 【考点五】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 ............................159 【考点六】已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 .......................160 【考点七】己知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 ................161 9 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 ........................162 专题 21 一般百分数应用题 ...................................................163 【考点一】求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题) ........................163 【考点二】求一个数比另一个数多/少百分之几 .................................164 【考点三】求一个数的百分之几是多少 ........................................165 【考点四】比一个数多/少百分之几的数是多少 .................................167 【考点五】已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ............................168 【考点六】已知比一个数多少少百分之几是多少求这个数 ........................169 【考点七】己知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 ................170 专题 22 成数、折扣及利润问题 ...............................................171 【考点一】打折的意义及应用 ................................................171 【考点二】求现价 ..........................................................172 【考点三】求原价 ..........................................................172 【考点四】求折扣 ..........................................................173 【考点五】求增加或减少几成的实际问题 ......................................173 【考点六】根据成数反求单位“1” ...........................................174 【考点七】利润问题 ........................................................175 【考点八】利润与折扣的综合 ................................................175 专题 23 利率与税率问题 .....................................................176 【考点一】求利息 ..........................................................176 【考点二】求利率或本金 ....................................................176 【考点三】选择最佳的储蓄方案 ..............................................177 【考点四】求应纳税额 ......................................................178 【考点五】求税率或收入额 ..................................................179 【考点六】分段计算解决纳税问题 ............................................179 专题 24 浓度问题 ...........................................................180 【考点一】单一溶液浓度问题 ................................................180 【考点二】溶液混合问题（两种不同浓度混合） ................................181 【考点三】加水稀释或溶质增减问题 ..........................................182 10 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】蒸发浓缩问题 ....................................................183 专题 25 工程问题 ...........................................................183 【考点一】有具体量的工程问题 ..............................................183 【考点二】两人合作的工程问题 ..............................................184 【考点三】分段合作问题 ....................................................185 【考点四】水管问题 ........................................................186 【考点五】三人合作的工程问题 ..............................................187 【考点六】综合工程问题（和比、分数、方程相关） ............................187 专题 26 按比分配应用题 .....................................................188 【考点一】按比分配问题 ....................................................188 【考点二】比的应用 ........................................................189 【考点三】用画图法和转化法解决分数问题(比的应用) ..........................190 专题 27 正反比例应用题 .....................................................191 【考点一】正比例的简单应用 ................................................191 【考点二】反比例的简单应用 ................................................192 【考点三】运用正比例解决复杂问题 ..........................................193 【考点四】运用反比例解决复杂问题 ..........................................195 专题 28 数学广角（排列组合推理周期集合问题） ...............................196 【考点一】排列问题 ........................................................196 【考点二】组合问题 ........................................................197 【考点三】推理问题 ........................................................198 【考点四】周期问题 ........................................................199 【考点五】集合问题 ........................................................200 专题 29 数学广角（编码优化找次品方阵问题） .................................201 【考点一】数字编码（编码、学号） ..........................................201 【考点二】身份证号相关问题 ................................................202 【考点三】沏茶问题 ........................................................203 【考点四】烙饼问题 ........................................................204 【考点五】田忌赛马问题 ....................................................205 11 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】找次品问题 ......................................................206 【考点七】方阵问题 ........................................................207 专题 30 数学广角（鸡兔同笼植树鸽巢问题） ...................................208 【考点一】列表法解鸡兔同笼问题 ............................................208 【考点二】假设法解鸡兔同笼问题 ............................................209 【考点三】方程法解鸡兔同笼问题 ............................................210 【考点四】植树问题（两端都栽） ............................................211 【考点五】植树问题（两端都不栽） ..........................................211 【考点六】植树问题（一端栽一端不栽） ......................................212 【考点七】封闭图形上的植树问题 ............................................213 【考点八】鸽巢问题初步 ....................................................214 【考点九】鸽巢问题进阶 ....................................................214 【考点十】最不利原则 ......................................................215 专题 31 线和角 .............................................................216 【考点一】直线、射线和线段的认识 ..........................................216 【考点二】平行与垂直 ......................................................217 【考点三】画平行线或垂线 ..................................................218 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 ....................................219 【考点五】角的度量 ........................................................220 【考点六】平角、周角的认识及特征 ..........................................221 【考点七】角的度量和计算解决问题 ..........................................223 专题 32 三角形 .............................................................224 【考点一】三角形的概念和表示方法 ..........................................224 【考点二】三角形的稳定性及应用 ............................................226 【考点三】三角形三边关系 ..................................................226 【考点四】三角形的分类 ....................................................227 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ..............................228 【考点六】三角形的内角和 ..................................................228 【考点七】多边形的内角和 ..................................................229 12 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】三角形的周长 ....................................................230 【考点九】三角形的面积 ....................................................231 【考点十】三角形的高及画法 ................................................232 【考点十一】画三角形 ......................................................233 专题 33 长方形和正方形 .....................................................234 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 ......................................234 【考点二】长方形及正方形的周长 ............................................234 【考点三】长方形的面积 ....................................................235 【考点四】正方形的面积 ....................................................237 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 ....................................237 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 ......................................238 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 ......................................239 专题 34 平行四边形和梯形 ...................................................240 【考点一】平行四边形和梯形的概念及特点 ....................................240 【考点二】平行四边形的特性及应用 ..........................................241 【考点三】平行四边形的周长 ................................................241 【考点四】梯形的周长 ......................................................242 【考点五】等腰梯形和直角梯形的认识 ........................................243 【考点六】平行四边形的面积 ................................................244 【考点七】梯形的面积 ......................................................245 【考点八】画平行四边形或梯形的高 ..........................................245 【考点九】画平行四边形 ....................................................247 【考点十】画梯形 ..........................................................248 专题 35 圆及组合图形 .......................................................249 【考点一】圆的概念及特点 ..................................................249 【考点二】圆的轴对称图形 ..................................................250 【考点三】圆的周长的计算 ..................................................251 【考点四】圆的面积的计算 ..................................................251 【考点五】求最大面积 ......................................................252 13 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】圆环的面积 ......................................................252 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 ..........................................254 【考点八】扇形的周长和面积 ................................................254 【考点九】含圆的组合图形的周长 ............................................255 【考点十】含圆的组合图形的面积 ............................................256 【考点十一】阴影部分的周长或面积 ..........................................257 【考点十二】画圆或扇形 ....................................................258 【考点十三】圆的周长的应用 ................................................259 【考点十四】圆的面积的应用 ................................................260 专题 36 观察物体 ...........................................................261 【考点一】物体三视图的认识 ................................................261 【考点二】从不同位置观察两个物体的相互关系 ................................262 【考点三】根据三视图确认几何体 ............................................263 【考点四】三视图的画法 ....................................................265 专题 37 四大立体图形的认识及展开图 .........................................267 【考点一】长方体和正方体的特征 ............................................267 【考点二】长方体和正方体的棱长的应用 ......................................268 【考点三】长方体和正方体的展开图 ..........................................269 【考点四】圆柱和圆锥的认识及特征 ..........................................270 【考点五】圆柱的展开图 ....................................................271 【考点六】补全长方体或正方体的展开图 ......................................272 【考点七】画出圆柱的展开图 ................................................273 专题 38 四大立体图形的表面积和体积 .........................................273 【考点一】长方体和正方体的表面积 ..........................................273 【考点二】长方体和正方体的体积 ............................................274 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 ......................................276 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 ......................................277 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 ......................................278 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 ............................................279 14 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点七】圆柱和圆锥的体积 ................................................280 【考点八】圆柱的体积的应用 ................................................282 【考点九】圆柱的容积的应用 ................................................283 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 ..........................................284 专题 39 组合图形的表面积体积及等积变形 .....................................286 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） ..............................286 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） ........................................287 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） ................................288 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） ....................................290 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） ..........................291 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） ..............................293 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） ................................294 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） ....................................296 专题 40 方向、位置及路线图 .................................................297 【考点一】八个方向的认识 ..................................................297 【考点二】用数对表示位置 ..................................................298 【考点三】根据数对找位置 ..................................................300 【考点四】根据方向、角度和距离确定物体的位置 ..............................302 【考点五】根据方向和距离描述简单的路线 ....................................304 【考点六】根据方向、角度和距离描述路线图 ..................................305 【考点七】根据方向、角度和距离画路线图 ....................................307 专题 41 图形的运动 .........................................................309 【考点一】平移和旋转的认识 ................................................309 【考点二】轴对称的认识和辨认 ..............................................309 【考点三】旋转三要素及旋转图形 ............................................310 【考点四】图形的放大和缩小的认识及简单应用 ................................312 【考点五】作平移、旋转和轴对称后的图形 ....................................313 【考点六】运用平移、旋转和轴对称设计图案 ..................................314 【考点七】作放大或缩小后的图形 ............................................315 15 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点八】综合作图（平移、旋转、轴对称及缩放） ............................316 专题 42 统计 ...............................................................318 【考点一】数据的搜集与整理 ................................................318 【考点二】单式统计表的特点及应用 ..........................................319 【考点三】复式统计表的特点及应用 ..........................................321 【考点四】单式条形统计图的特点及应用 ......................................322 【考点五】复式条形统计图的特点及应用 ......................................324 【考点六】单式折线统计图的特点及应用 ......................................325 【考点七】复式折线统计图的特点及应用 ......................................327 【考点八】扇形统计图的特点及应用 ..........................................328 【考点九】选择合适的统计图 ................................................330 【考点十】平均数的正反运用 ................................................331 【考点十一】统计图表中的平均数 ............................................332 【考点十二】统计图表的综合应用（压轴） ....................................334 专题 43 可能性 .............................................................335 【考点一】事件的确定性与不确定性 ..........................................335 【考点二】判断事件发生的可能性的大小 ......................................337 【考点三】可能性大小的应用 ................................................338 【考点四】游戏规则的公平性 ................................................339 【考点五】简单事件发生的可能性求解 ........................................340 专题 01 整数的认识 【考点一】计数单位及位数 【典例一】450906700，这个数读作：（ ），“5”在（ ）位上，十万位 上的数是（ ），四舍五入到亿位是（ ）。 16 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】第七次人口普查全国的总人口为 1411778724 人。在这个数中，“8”在（ ） 上，百万位上的数字是（ ）， 将这个数四舍五入到亿位是（ ）亿。 【典例三】1700477007 读作（ ）。左边第一个 7在（ ）位上，表示（ ）； 左边第二个 7在（ ）位上，表示（ ）。 【典例四】2010 年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作（ ）人， 千位上“4”表示（ ），数字“7”表示（ ），省略万位后面的尾数约是（ ） 人。 【考点二】整数的读写 【典例一】一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是 5的最小倍数，万位上是最小的质数， 千位上是最大的一位整数，其它位上都是 0，这个数写作（ ），读作（ ）， 改写成用万作单位是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）。 【典例二】地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球 17 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 离太阳有时会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百 零九万七千七百零一千米，横线上的数写作（ ）千米，省略“万”后面的尾数约是 （ ）万千米。 【典例三】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是 6，其余 各位都是 0，这个数写（ ），读作（ ）。 【典例四】甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前 17 世纪一 公元前 11 世纪）的文化产物，距今约 3600 多年的历史，1899 年在河南省安阳市殷墟首次发 现。据统计，中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作（ ），改写成 用“万”作单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【考点三】整数的大小比较 【典例一】用 0、1、3、5、7这五个数可以组成（ ）个没有重复数字的五位数，把这 些五位数从大到小排列，第五个数是（ ）。 【典例二】用 4，0，3，1，9，7，5组成不同的七位数，其中最大的是（ ），最小的 18 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 是（ ），两数相差（ ）。 【典例三】阅读材料，回答问题。 ①月球与地球的平均距离约 384400 千米。今年，我国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦 娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。 ②火星到地球的最近距离约为 5500 万千米，最远距离则超过 4亿千米。祝融号是天问一号任 务火星车，设计寿命约 92 个地球日，但实际工作时长远远超过了设计寿命，天问一号环绕器 在轨运行一周年时，距离地球约 378000000 千米。 （1）在信息①中，384400 千米省略万后面的尾数约是（ ）万千米。 （2）把信息②中横线上的数据按从小到大的顺序排列。 。 【典例四】2021 年我国人口普查数据公布，其中性别构成：男性人口为 723339956 人；女性 人口为688438768人。人口年龄分布：0－14岁人口为253383938人；15－59岁人口为894376020 人；60 岁及以上人口为 264018766 人，其中 65 岁及以上人口为 190635280 人。 （1）比一比，填一填：性别构成：（ ）＜（ ） （2）60 岁及以上人口约为（ ）万人，0－14 岁人口约为（ ）万人。 （3）894376020 最高位是（ ）位，十万位上的数字是（ ）。 19 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点四】整数的改写及近似数 【典例一】三叶虫是距今 560000000 年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读 作（ ），把这个数改写成用“万“作单位的是（ ）万，省略“亿”位后面的 尾数约是（ ）。 【典例二】2024 年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约 295000000 人次，同比去年 约增长 7个百分点；实现国内旅游收入 166893000000 元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是（ ）亿；把波浪线上的数保留一位小数 约是（ ）亿元。 【典例三】如果全国 3.9 亿个家庭都能养成随手关灯的好习惯，那么每年可以节约用电 191000000 千瓦时，横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）， 省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【典例四】《2022 年全国教育事业发展统计公报》数据显示，全国各级各类学历教育在校生 人数约为二亿九千三百万，这个数可写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ） 万，四舍五入到亿位约是（ ）亿。 20 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题 02 小数的认识 【考点一】小数的计数单位及数位 【典例一】2.83 里面有（ ）个 0.01，再加上（ ）个 0.01 就是 3。 【典例二】我们学过的数都是由若干个计数单位组成的。例如：自然数 25 是由 25 个 1 组成的。 那么小数 0.048 是由（ ）个（ ）组成的，分数 7 12是由（ ）个（ ） 组成的。 【典例三】一个数的十万位、十位和十分位上都是 3，其余各位上都是 0，这个数是（ ）。 【典例四】一个数由 3个一、5个百分之一和 2个千分之一组成，这个数写作（ ），它 是（ ）位小数。 【考点二】小数的读法和写法 【典例一】嫦娥六号探测器总重 8.2 吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横 21 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 线上的数读作（ ）吨。 【典例二】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大 的一位数，其余各位上都是 0。这个数写作（ ），精确到 0.01 是（ ）。 【典例三】博物馆内的中华白海豚素有“水上大熊猫”之称，属于国家一级保护动物，体长最 长达 2.71 米，画横线的小数读作（ ）米，表示（ ）米（ ）分米（ ） 厘米。 【典例四】一个数由 2个十、5个百分之一和 4个千分之一组成，这个数写作（ ）， 读作（ ），把这个数保留两位小数是（ ）。 【考点三】循环小数 【典例一】在 3、 13 3、333%和 3.3 中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 22 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】在0.27   、 5 18、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是 （ ）。 【典例三】在 0.12， 1 8，0.12  ，和 12.1%这四个数中，最大的数是（ ）。 【典例四】4.6÷11 用循环小数表示商是（ ），这个循环小数的小数点后面第 100 位 上的数字是（ ）。 【考点四】小数的基本性质及改写 【典例一】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子 10 米气步枪个人金牌，成绩为 253.3 环。“253.3” 左边的“3”表示 3个（ ），右边的“3”表示 3个（ ）。不改变 253.3 的大 小，改写成三位小数是（ ）。 【典例二】0.7 的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，在它的末 23 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 尾添上两个“0”。表示这个小数的计数单位从（ ）变成了（ ），而小数的 （ ）不变。 【典例三】1.58 是一个（ ）位小数，它由（ ）个 1、（ ）个 0.1 和（ ）个 0.01 组成，也可以看成由（ ）个 0.01 组成。不改变数的大小，把 它改写成计数单位是千分之一的数是（ ）。 【典例四】0.34 的计数单位是（ ），不改变 0.34 的大小，将它改写成三位小数是 （ ）。 【考点五】小数的大小比较 【典例一】开发区某校运动会男子跳远比赛成绩部分数据不清，请根据你的推理补全。 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84 米 □ .05米 2.□2米 名次 第三名 第一名 第二名 24 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】用 1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大（ ）。 【典例三】★是 0~9 中的一个数，使小数★0.★6 满足以下条件。 （1）小数★0.★6 最大，则这个小数是（ ）。 （2）小数★0.★6 最小，则这个小数是（ ）。 （3）小数★0.★6 最接近 59，则这个小数是（ ）。 【典例四】根据武汉市东湖绿道的规划方案，绿道二期划分为湖城道、湖泽道、湖町道、湖林 道和森林道 5条主题绿道。其中，湖城道景观特色为“一景一园、听涛赏梨”，长九点零二千 米；湖泽道观特色为“双岛五堤、十里桃花”，长 10.1 千米；湖町道景观特色为“近赏田湾、 远观山峦”，长九点二六千米；湖林道景观特色为“东湾西园、荷红茶香”，长 14.08 千米； 森林道景观特色为“知山乐水、登高观澜”，长 26.22 千米。 （1）依次读出波浪线部分所表示的小数：（ ）、（ ）、（ ）。 （2）依次写出横线部分所表示的小数：（ ）、（ ），这两个小数中小数部分的 “2”，分别表示 2个（ ）和 2个（ ）。 （3）把材料中出现的 5个小数按从大到小的顺序排列： （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 25 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【考点六】小数点位置移动的规律 【典例一】一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小 3.06，原数是（ ）。 【典例二】一个两位小数，去掉小数点后比原来数大 14.85，这个两位小数是（ ）。 【典例三】一个小数，把它的小数点先向左移动一位，再向右移动两位，得到的数是 10.6， 这个小数原来是 。 【典例四】把 1.85 的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，得到的数是（ ）。 【考点七】小数点有关的单位换算 【典例一】0.4 平方米＝（ ）平方分米 120000 平方米＝（ ）公顷 0.25 时＝（ ）分 6.5cm＝（ ）mm 26 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】420 公顷＝（ ）平方千米 2.7 千米＋300 米＝（ ）米 2.15 小时＝（ ）小时（ ）分 4吨 50 千克＝（ ）吨＝（ ）千克 【典例三】5300m＝（ ）km 1.25dm3＝（ ）L 2.08hm2＝（ ）m2 3 吨 95 千克＝（ ）吨 【典例四】5.4 时＝（ ）时（ ）分 2.05 吨＝（ ）吨（ ）千克 730 平方厘米＝（ ）平方米 3.68 立方米＝（ ）立方厘米 【考点八】小数的改写及近似数 【典例一】“移动支付”被誉为中国新“四大发明”之一。据有关统计，截至 2023 年 6 月， 我国网络支付用户大约有 943190000 人，该人数读作 ，用四舍五入法，改写成以亿为 单位，并保留两位小数约是 亿。 【典例二】五一期间东北地区的文化旅游共接待游客 1016.52 万人，这个数可以读作 万人，四舍五入到万位约是 万人。 27 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】2024 年“五一”假期，文化和旅游部 5月 6日发布数据显示，全国国内旅游出游 合计 295000000 人次，同比增长7.6%，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿。 国内游客出游总花费 166890000000 元，同比增长12.7%，横线上的数省略亿位后面的尾数约是 亿。 【典例四】下面是 2023 年末收集的信息： 莆田市人口数达 3674800 人，土地面积为 4127700000 平方米，地区生产总值达 307073000000 元，新改建公园绿地面积 510000 平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 （1）把总人口数改写成用“万”作单位的数是 万人。 （2）土地面积为 平方千米，新改建公园绿地面积达 公顷。 （3）地区生产总值省略“亿”后面的尾数约是 亿元。 专题 03 分数的认识 【考点一】分数的意义 【典例一】5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了 5次，每段占全长的（ ）， 每段长（ ）米。 28 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】如图，点 A表示的数是（ ），点 B表示的数是（ ），点 C表示的 数是（ ）。 【典例三】校庆期间，同学们买来一根 5米长的彩带，正好制成 10 个拉花，装饰教室，每个 拉花用去彩带（ ）米，制作一个拉花用了这根彩带的    。 【典例四】把一根 4 3 米长的铁丝平均分成 6段，每段占全长的（ ），每段长（ ）。 【考点二】分数单位的认识 【典例一】 5 7 的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的 质数。 29 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例二】 5 12的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的分数单位，再加上 （ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【典例三】 6 15的分数单位是（ ），把它化成最简分数后的分数单位是（ ）。 【典例四】 23 7计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，再添上（ ） 个这样的单位就是最小的合数。 【考点三】分数与除法的关系 【典例一】把 3千克的巧克力平均分成 5份，每份是 3千克的（ ），每份是 （ ）千克。 【典例二】从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃 A的可能性为（ ）。 30 / 341 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 【典例三】把 5米长的绳子平均剪成 8段，每段长是（ ）米，每段是全长的（ ）。 【典例四】3名小朋友平均分 5个同样大小的月饼，每名小朋友分到（ ）个月饼，每 名小朋友分到这些月饼的（ ）。 【考点四】真假分数的认识及互化 【典例一】一个最简真分数，它的分子、分母的乘积是 12，这个分数是（ ）。 【典例二】已知 5 a是真分数， 8 a是假分数， 2 a是最简分数。那么 a＝ 。 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是孩子学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对孩子的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让孩子们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导孩子们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为孩子们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的孩子巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的孩子得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让孩子们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让孩子们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，孩子们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，孩子们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着孩子们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 小升初复习总集篇（43个专题320个考点） 目录 专题01整数的认识 15 【考点一】计数单位及位数 15 【考点二】整数的读写 17 【考点三】整数的大小比较 19 【考点四】整数的改写及近似数 22 专题02小数的认识 24 【考点一】小数的计数单位及数位 24 【考点二】小数的读法和写法 25 【考点三】循环小数 26 【考点四】小数的基本性质及改写 28 【考点五】小数的大小比较 30 【考点六】小数点位置移动的规律 32 【考点七】小数点有关的单位换算 34 【考点八】小数的改写及近似数 35 专题03分数的认识 37 【考点一】分数的意义 37 【考点二】分数单位的认识 39 【考点三】分数与除法的关系 41 【考点四】真假分数的认识及互化 42 【考点五】分数的基本性质 44 【考点六】约分及通分的认识和应用 46 【考点七】最简分数 47 【考点八】分数的大小比较 49 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 52 专题04百分数的认识 53 【考点一】百分数的意义 53 【考点二】百分数的读法和写法 56 【考点三】百分数、小数及分数的互化 58 【考点四】折扣问题 60 【考点五】成数问题 63 【考点六】利率问题 65 【考点七】税率问题 67 【考点八】利润问题 69 专题05负数与数轴 73 【考点一】负数的概念和辨认 73 【考点二】负数的读法和写法 74 【考点三】正负数的意义及应用 76 【考点四】正、负数的大小比较 78 【考点五】数轴上表示正负数 80 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 82 专题06因数与倍数 86 【考点一】因数和倍数的认识 86 【考点二】找一个数的因数的方法 88 【考点三】找一个数的倍数的方法 90 【考点四】2、3、5的倍数的特征 92 【考点五】奇数和偶数的认识 94 【考点六】质数与合数的认识 95 【考点七】分解质因数 97 【考点八】奇偶性 99 【考点九】最大公因数和最小公倍数 103 【考点十】运用最大公因数解决问题 105 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 107 专题07整小分百的四则运算 110 【考点一】整数的四则运算 110 【考点二】小数的四则运算 112 【考点三】分数的四则运算 114 【考点四】百分数的四则运算 116 【考点五】整小分百的四则混合运算 119 【考点六】整小分百的直接计算 123 【考点七】解整小分百数有关的方程 124 专题08运算定律及简便运算 128 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 128 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 129 【考点三】加法交换律 131 【考点四】加法结合律 133 【考点五】减法的性质 135 【考点六】乘法交换律和结合律 136 【考点七】乘法分配律 138 【考点八】除法的性质 140 【考点九】整数加法运算律推广到小数 142 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 144 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 145 【考点十二】小数减法相关的简便运算 146 【考点十三】小数除法相关的简便运算 147 【考点十四】简便运算脱式计算 148 专题09和、差、积、商的变化规律 152 【考点一】和与差的变化规律 152 【考点二】积的变化规律 153 【考点三】商的变化规律及应用 156 【考点四】商不变的规律及应用 157 专题10用字母表示数 159 【考点一】用字母表示数、数量关系 159 【考点二】用字母表示稍复杂的数量关系 161 【考点三】用字母表示运算定律及计算公式 164 【考点四】含有字母式子的化简与求值 166 专题11方程 168 【考点一】方程的认识 168 【考点二】列简易方程 170 【考点三】等式的性质1和2 172 【考点四】方程的解 174 【考点五】解含小括号的方程 176 【考点六】解小数方程 179 【考点七】解分数方程 183 【考点八】解百分数方程 185 专题12比 187 【考点一】比的意义 187 【考点二】比的基本性质 188 【考点三】比与分数除法的关系 190 【考点四】求比值 193 【考点五】化简比 195 【考点六】按比分配问题 198 【考点七】比的应用 201 【考点八】用画图法或转化法解决分数问题（比的应用） 203 专题13比例 206 【考点一】比例的意义 206 【考点二】比例的基本性质 208 【考点三】正反比例的意义及辨识 209 【考点四】比例尺的意义 211 【考点五】解比例 213 【考点六】应用比例尺画图 217 【考点七】比例的应用 221 【考点八】比例尺的应用 223 【考点九】应用比例尺解决复杂问题 225 【考点十】正比例的应用 229 【考点十一】反比例的应用 233 专题14常见的量 236 【考点一】常见单位的选择一（质量、长度） 236 【考点二】常见单位的选择二（面积、体积） 238 【考点三】常见单位间的换算一 240 【考点四】常见单位间的换算二 242 【考点五】24时计时法的互化 243 【考点六】平年和闰年的认识及判定 245 【考点七】单位间的比较大小（先换算后比较） 246 【考点八】时、分、秒有关的计算 248 【考点九】年、月、日有关的计算 249 【考点十】24时计时法时间的计算 251 【考点十一】使、分、秒时间的推算 252 【考点十二】年、月、日时间的推算 254 【考点十三】运用时间单位的换算解决问题 254 【考点十四】运用质量单位的换算解决问题 256 【考点十五】运用长度单位的换算解决问题 259 【考点十六】运用面积单位的换算解决问题 261 【考点十七】运用体积容积单位的换算解决问题 264 专题15探索规律 266 【考点一】根据算式的规律计算 266 【考点二】根据数字排列的规律填数 268 【考点三】根据图形的变化规律计算图形的个数 270 【考点四】根据数表中的规律解决问题 272 【考点五】根据间隔、周期规律解决问题 274 专题16归一问题和归总问题 277 【考点一】单归一问题 277 【考点二】双归一问题 279 【考点三】正归一问题 281 【考点四】反归一问题 283 【考点五】归总问题 284 专题17和差倍问题 286 【考点一】和差问题 286 【考点二】和倍问题 287 【考点三】差倍问题 289 【考点四】隐藏条件型和差倍问题（需通过其他关系（如比例、余数）转化出和、差、倍。） 290 【考点五】三个量的和差倍问题 294 【考点六】年龄中的和差倍问题 296 专题18行程问题 299 【考点一】基本行程问题 299 【考点二】相遇问题 301 【考点三】追击问题 303 【考点四】列车过桥问题 305 【考点五】流水行船问题 306 专题19分段计费问题 307 【考点一】分段计费问题（小数乘法） 307 【考点二】分段计费问题（小数除法） 312 专题20一般分数应用题 315 【考点一】求一个数的几分之几的问题 315 【考点二】连续求一个数的几分之几的问题 317 【考点三】已知总量及一部分分率，求另一部分量 320 【考点四】求比一个数多/少几分之几的数,是多少 322 【考点五】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 324 【考点六】已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 326 【考点七】己知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 329 【考点八】运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 331 专题21一般百分数应用题 334 【考点一】求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题) 334 【考点二】求一个数比另一个数多/少百分之几 336 【考点三】求一个数的百分之几是多少 338 【考点四】比一个数多/少百分之几的数是多少 341 【考点五】已知一个数的百分之几是多少，求这个数 343 【考点六】已知比一个数多少少百分之几是多少求这个数 344 【考点七】己知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 346 专题22成数、折扣及利润问题 349 【考点一】打折的意义及应用 349 【考点二】求现价 350 【考点三】求原价 351 【考点四】求折扣 353 【考点五】求增加或减少几成的实际问题 354 【考点六】根据成数反求单位“1” 356 【考点七】利润问题 357 【考点八】利润与折扣的综合 358 专题23利率与税率问题 359 【考点一】求利息 359 【考点二】求利率或本金 360 【考点三】选择最佳的储蓄方案 361 【考点四】求应纳税额 364 【考点五】求税率或收入额 365 【考点六】分段计算解决纳税问题 366 专题24浓度问题 368 【考点一】单一溶液浓度问题 368 【考点二】溶液混合问题（两种不同浓度混合） 370 【考点三】加水稀释或溶质增减问题 372 【考点四】蒸发浓缩问题 374 专题25工程问题 375 【考点一】有具体量的工程问题 375 【考点二】两人合作的工程问题 377 【考点三】分段合作问题 379 【考点四】水管问题 382 【考点五】三人合作的工程问题 384 【考点六】综合工程问题（和比、分数、方程相关） 387 专题26按比分配应用题 390 【考点一】按比分配问题 390 【考点二】比的应用 393 【考点三】用画图法和转化法解决分数问题(比的应用) 396 专题27正反比例应用题 398 【考点一】正比例的简单应用 398 【考点二】反比例的简单应用 400 【考点三】运用正比例解决复杂问题 402 【考点四】运用反比例解决复杂问题 405 专题28数学广角（排列组合推理周期集合问题） 408 【考点一】排列问题 408 【考点二】组合问题 411 【考点三】推理问题 413 【考点四】周期问题 415 【考点五】集合问题 417 专题29数学广角（编码优化找次品方阵问题） 419 【考点一】数字编码（编码、学号） 419 【考点二】身份证号相关问题 420 【考点三】沏茶问题 421 【考点四】烙饼问题 423 【考点五】田忌赛马问题 424 【考点六】找次品问题 427 【考点七】方阵问题 429 专题30数学广角（鸡兔同笼植树鸽巢问题） 431 【考点一】列表法解鸡兔同笼问题 431 【考点二】假设法解鸡兔同笼问题 435 【考点三】方程法解鸡兔同笼问题 437 【考点四】植树问题（两端都栽） 439 【考点五】植树问题（两端都不栽） 440 【考点六】植树问题（一端栽一端不栽） 441 【考点七】封闭图形上的植树问题 442 【考点八】鸽巢问题初步 443 【考点九】鸽巢问题进阶 445 【考点十】最不利原则 446 专题31线和角 447 【考点一】直线、射线和线段的认识 447 【考点二】平行与垂直 449 【考点三】画平行线或垂线 451 【考点四】直角、钝角、锐角的认识与特征 454 【考点五】角的度量 455 【考点六】平角、周角的认识及特征 458 【考点七】角的度量和计算解决问题 460 专题32三角形 463 【考点一】三角形的概念和表示方法 463 【考点二】三角形的稳定性及应用 465 【考点三】三角形三边关系 466 【考点四】三角形的分类 467 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 469 【考点六】三角形的内角和 470 【考点七】多边形的内角和 472 【考点八】三角形的周长 474 【考点九】三角形的面积 475 【考点十】三角形的高及画法 477 【考点十一】画三角形 478 专题33长方形和正方形 480 【考点一】长方形和正方形的概念及特点 480 【考点二】长方形及正方形的周长 482 【考点三】长方形的面积 483 【考点四】正方形的面积 485 【考点五】画指定长和宽的长方形或正方形 487 【考点六】画指定周长的长方形或正方形 488 【考点七】画指定面积的长方形或正方形 491 专题02整数的认识 492 【考点一】平行四边形和梯形的概念及特点 492 【考点二】平行四边形的特性及应用 494 【考点三】平行四边形的周长 495 【考点四】梯形的周长 497 【考点五】等腰梯形和直角梯形的认识 498 【考点六】平行四边形的面积 499 【考点七】梯形的面积 500 【考点八】画平行四边形或梯形的高 502 【考点九】画平行四边形 505 【考点十】画梯形 507 专题35圆及组合图形 509 【考点一】圆的概念及特点 509 【考点二】圆的轴对称图形 510 【考点三】圆的周长的计算 512 【考点四】圆的面积的计算 514 【考点五】求最大面积 516 【考点六】圆环的面积 516 【考点七】弧、圆心角、扇形的认识 519 【考点八】扇形的周长和面积 520 【考点九】含圆的组合图形的周长 522 【考点十】含圆的组合图形的面积 523 【考点十一】阴影部分的周长或面积 524 【考点十二】画圆或扇形 527 【考点十三】圆的周长的应用 530 【考点十四】圆的面积的应用 532 专题36观察物体 534 【考点一】物体三视图的认识 534 【考点二】从不同位置观察两个物体的相互关系 537 【考点三】根据三视图确认几何体 539 【考点四】三视图的画法 542 专题37四大立体图形的认识及展开图 545 【考点一】长方体和正方体的特征 545 【考点二】长方体和正方体的棱长的应用 547 【考点三】长方体和正方体的展开图 549 【考点四】圆柱和圆锥的认识及特征 550 【考点五】圆柱的展开图 552 【考点六】补全长方体或正方体的展开图 554 【考点七】画出圆柱的展开图 556 专题38四大立体图形的表面积和体积 557 【考点一】长方体和正方体的表面积 557 【考点二】长方体和正方体的体积 559 【考点三】长方体和正方体表面积的应用 562 【考点四】长方体和正方体的体积的应用 564 【考点五】长方体和正方体的容积的应用 566 【考点六】圆柱的表面积和侧面积 569 【考点七】圆柱和圆锥的体积 572 【考点八】圆柱的体积的应用 574 【考点九】圆柱的容积的应用 577 【考点十】圆锥的体积和容积的应用 580 专题39组合图形的表面积体积及等积变形 583 【考点一】组合图形的表面积（长方体、正方体） 583 【考点二】组合图形的表面积（圆柱） 586 【考点三】组合图形的体积（长方体、正方体） 589 【考点四】组合图形的体积（圆柱、圆锥） 592 【考点五】测量不规则物体的体积（长方体、正方体） 596 【考点六】测量不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 599 【考点七】体积的等积变形（长方体、正方体） 602 【考点八】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 605 专题40方向、位置及路线图 607 【考点一】八个方向的认识 607 【考点二】用数对表示位置 610 【考点三】根据数对找位置 613 【考点四】根据方向、角度和距离确定物体的位置 616 【考点五】根据方向和距离描述简单的路线 619 【考点六】根据方向、角度和距离描述路线图 621 【考点七】根据方向、角度和距离画路线图 624 专题41图形的运动 626 【考点一】平移和旋转的认识 626 【考点二】轴对称的认识和辨认 627 【考点三】旋转三要素及旋转图形 628 【考点四】图形的放大和缩小的认识及简单应用 630 【考点五】作平移、旋转和轴对称后的图形 632 【考点六】运用平移、旋转和轴对称设计图案 636 【考点七】作放大或缩小后的图形 638 【考点八】综合作图（平移、旋转、轴对称及缩放） 641 专题42统计 644 【考点一】数据的搜集与整理 644 【考点二】单式统计表的特点及应用 646 【考点三】复式统计表的特点及应用 649 【考点四】单式条形统计图的特点及应用 652 【考点五】复式条形统计图的特点及应用 655 【考点六】单式折线统计图的特点及应用 658 【考点七】复式折线统计图的特点及应用 661 【考点八】扇形统计图的特点及应用 664 【考点九】选择合适的统计图 667 【考点十】平均数的正反运用 668 【考点十一】统计图表中的平均数 670 【考点十二】统计图表的综合应用（压轴） 674 专题43可能性 678 【考点一】事件的确定性与不确定性 678 【考点二】判断事件发生的可能性的大小 680 【考点三】可能性大小的应用 682 【考点四】游戏规则的公平性 684 【考点五】简单事件发生的可能性求解 686 专题01整数的认识 【考点一】计数单位及位数 【典例一】450906700，这个数读作：（ ），“5”在（ ）位上，十万位上的数是（ ），四舍五入到亿位是（ ）。 【答案】四亿五千零九十万六千七百 千万 9 5亿 【分析】整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数；“5”在千万位上，十万位上的数是9，省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】450906700，这个数读作：四亿五千零九十万六千七百，“5”在千万位上，十万位上的数是9，四舍五入到亿位是5亿。 【点评】本题主要考查整数的读法和求近似数，分级读即可快速、正确地读出此数；求近似数时要带计数单位。 【典例二】第七次人口普查全国的总人口为1411778724人。在这个数中，“8”在（ ）上，百万位上的数字是（ ）， 将这个数四舍五入到亿位是（ ）亿。 【答案】千位 1 14 【分析】一个整数，从右边开始往左数，8在第四位，是千位上；百万位是从右往左数的第七位，由此即可解答；四舍五入到亿位，根据千万位上数字的大小确定用“四舍”法、还是用“五入”法。 【解答】由分析可知“8”在千位上； 百万位上的数字是1； 1411778724≈14亿 【点评】本题主要考查对于数位的掌握以及用四舍五入法求近似数，熟练掌握数位的顺序并灵活运用。 【典例三】1700477007读作（ ）。左边第一个7在（ ）位上，表示（ ）；左边第二个7在（ ）位上，表示（ ）。 【答案】十七亿零四十七万七千零七 亿 7个亿 万 7个万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完亿级读一个亿字，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 数位从右往左分别是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位……；亿位的计数单位是亿，万位的计数单位是万，亿位上是几表示几个亿，万位上是几表示几个万，据此分析。 【解答】1700477007读作十七亿零四十七万七千零七。左边第一个7在亿位上，表示7个亿；左边第二个7在万位上，表示7个万。 【典例四】2010年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作（ ）人，千位上“4”表示（ ），数字“7”表示（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）人。 【答案】73084400 4个千 7个千万 7308万 【分析】多位数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0；据此写出这个数；个位上是几，表示几个一，十位上是几表示几个十，百位上是几表示几个百，千位上是几表示几个千……省略“万”后面的尾数就是求它的近似数，要把万位的下一位（千位）上的数字进行四舍五入，然后去掉尾数加上“万”字。 【解答】七千三百零八万四千四百，写作：73084400； 73084400的千位上“4”表示4个千，数字“7”表示7个千万； 73084400≈7308万 所以2010年上海世博会入园人数达七千三百零八万四千四百人，写作73084400，千位上“4”表示4个千，数字“7”表示7个千万，省略万位后面的尾数约是7308万人。 【考点二】整数的读写 【典例一】一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是5的最小倍数，万位上是最小的质数，千位上是最大的一位整数，其它位上都是0，这个数写作（ ），读作（ ），改写成用万作单位是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）。 【答案】450029000 四亿五千零二万九千 45002.9 5亿 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；一个数，最小的倍数是它本身；最大的一位数是9。根据整数的写法：从高级到低级，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；据此写出这个数；根据整数的读法：从高位到低位，一级一级的读，每一级末尾的0都不读，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；改写成用“万”作单位的数，就在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略亿位后面的数，就看千万位上的数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【解答】最小的合数是4，亿位上的数是4； 5的最小倍数是5，千万位上的数是5； 最小的质数是2，万位上的数是2； 最大的一位数是9；千位上的数是9。 这个数是450029000。 450029000读作：四亿五千零二万九千。 450029000＝45002.9万 450029000≈5亿 一个数，亿位上是最小的合数，千万位上是5的最小倍数，万位上是最小的质数，千位上是最大的一位整数，其它位上都是0，这个数写作450029000，读作四亿五千零二万九千，改写成用万作单位是45002.9万，省略亿位后面的尾数是5亿。 【典例二】地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球离太阳有时会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百零九万七千七百零一千米，横线上的数写作（ ）千米，省略“万”后面的尾数约是（ ）万千米。 【答案】152097701 15210 【分析】分析题目，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个单位也没有，就在这个数位上写0，据此写出横线上的数；省略“万”后面的尾数就是先根据千位上的数字进行“四舍五入”，再把万位后面的数字去掉，在数的后面加上一个“万”字，据此解答。 【解答】一亿五千二百零九万七千七百零一写作：152097701； 152097701≈15210万。 地球绕太阳运行的轨道是微扁的椭圆形，太阳位于椭圆形的一个焦点上，这样地球离太阳有时会近些，有时会远些。离太阳最远的一点叫作“远日点”，距太阳约一亿五千二百零九万七千七百零一千米，横线上的数写作152097701千米，省略“万”后面的尾数约是15210万千米。 【典例三】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是6，其余各位都是0，这个数写（ ），读作（ ）。 【答案】40096000 四千零九万六千 【分析】合数是因数除了1和它本身两个因数还有其它的因数，最小的合数是4； 只有个位一个数位的数是一位数，最大的一位数是9； 根据数位写出这个数。读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0。 【解答】千万位是4，万位是9，千位是6，其他数位是0 则这个数写作：40096000，读作：四千零九万六千。 【典例四】甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前17世纪一公元前11世纪）的文化产物，距今约3600多年的历史，1899年在河南省安阳市殷墟首次发现。据统计，中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【答案】154600 15.46 15 【分析】从高位起，按照数位顺序，一级一级地往下写。亿级的数有三级，要先写亿级，再写万级，最后写个级；万级的数只有两级，要先写万级，再写个级。哪一位上数字是几就写几，没有就写0； 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字； 省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【解答】十五万四千六百，写作：154600，改写成用“万”作单位的数是15.46万，省略“万”位后面的尾数约是15万。 即甲骨文是迄今为止中国发现年代最早的成熟文字系统，是商朝（公元前17世纪一公元前11世纪）的文化产物，距今约3600多年的历史，1899年在河南省安阳市殷墟首次发现。据统计，中国共计出土甲骨十五万四千六百多片。横线上的数写作154600，改写成用“万”作单位的数是15.46万，省略“万”位后面的尾数约是15万。 【考点三】整数的大小比较 【典例一】用0、1、3、5、7这五个数可以组成（ ）个没有重复数字的五位数，把这些五位数从大到小排列，第五个数是（ ）。 【答案】96 71530 【分析】0不能做最高位，除0外，其余数字都可以做最高位，先确定最高位，剩余数字依次按顺序进行搭配，据此确定最高位是其中1个数时，没有重复数字的五位数的个数，乘4是总个数；位数相同的数比大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，据此将万位是7的数从大到小进行排序，数出第五个数即可。 【解答】10357、10375、10537、10573、10735、10753 13057、13075、13507、13570、13705、13750 15037、15073、15307、15370、15703、15730 17035、17053、17305、17350、17503、17530 6×4×4＝96（个） 75310＞75301＞73510＞73501＞71530＞71503 用0、1、3、5、7这五个数可以组成96个没有重复数字的五位数，把这些五位数从大到小排列，第五个数是71530。 【典例二】用4，0，3，1，9，7，5组成不同的七位数，其中最大的是（ ），最小的是（ ），两数相差（ ）。 【答案】9754310 1034579 8719731 【分析】用七个数字组成的最大七位数，只要从左到右把这七个数字按照从大到小的顺序排列起来，即9754310；最小的七位数，需要把这七个数字按照从小到大的顺序排列，但是0不能在最高位上，最高位是1，这个数是1034579；再用最大数减去最小数，即可解答。 【解答】最大是9754310； 最小是1034579； 9754310－1034579＝8719731 用4，0，3，1，9，7，5组成不同的七位数，其中最大的是9754310，最小是1034579，两数相乘8719731。 【典例三】阅读材料，回答问题。 ①月球与地球的平均距离约384400千米。今年，我国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。 ②火星到地球的最近距离约为5500万千米，最远距离则超过4亿千米。祝融号是天问一号任务火星车，设计寿命约92个地球日，但实际工作时长远远超过了设计寿命，天问一号环绕器在轨运行一周年时，距离地球约378000000千米。 （1）在信息①中，384400千米省略万后面的尾数约是（ ）万千米。 （2）把信息②中横线上的数据按从小到大的顺序排列。 。 【答案】（1）38 （2）5500万＜378000000＜4亿 【分析】（1）省略万后面的尾数求整数的近似数，也就是去掉万位后面的尾数，对千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上单位“万”。 （2）整数大小比较方法：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。先把数的单位统一后再比较大小。 【解答】（1）在信息①中，384400千米省略万后面的尾数约是38万千米。 （2）5500万＝55000000，4亿＝400000000 55000000＜378000000＜400000000，所以5500万＜378000000＜4亿。 【典例四】2021年我国人口普查数据公布，其中性别构成：男性人口为723339956人；女性人口为688438768人。人口年龄分布：0－14岁人口为253383938人；15－59岁人口为894376020人；60岁及以上人口为264018766人，其中65岁及以上人口为190635280人。 （1）比一比，填一填：性别构成：（ ）＜（ ） （2）60岁及以上人口约为（ ）万人，0－14岁人口约为（ ）万人。 （3）894376020最高位是（ ）位，十万位上的数字是（ ）。 【答案】（1）688438768 723339956 （2）26402 25338 （3）亿 3 【分析】（1）比较整数的大小时，首先我们要看数字的位数，位数不同，位数多的数就大。位数相同，左起第一位的数大的那个数就大。如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，依次类推。 （2）省略万后面的尾数，要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等于5，就向万位进1；若千位上的数字小于5，就舍去千位及其后面数位上的数。 （3）894376020从右起数位依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位，据此解答。 【解答】（1）比一比，填一填：性别构成：688438768＜723339956。 （2）60岁及以上人口为264018766人，264018766的千位上是8，则60岁及以上人口约为26402万人； 0－14岁人口为253383938人，253383938的千位上是3，则0－14岁人口约为25338万人。 （3）894376020最高位是亿位，十万位上的数字是3。 【点评】本题主要考查整数的比较大小、整数的数位以及求近似数，注意求近似数时要带计数单位。 【考点四】整数的改写及近似数 【典例一】三叶虫是距今560000000年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读作（ ），把这个数改写成用“万“作单位的是（ ）万，省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【答案】五亿六千万 56000 6亿 【分析】（1）根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数； （2）改写成用“万”作单位的数，就是去掉这个数末尾的4个0，再在数的后面写上“万”字； （3）省略“亿”后面的尾数，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】560000000读作：五亿六千万。 560000000＝56000万 560000000≈6亿 三叶虫是距今560000000年前的寒武纪里出现的最有代表性的远古动物，这个数读作五亿六千万，把这个数改写成用“万“作单位的是56000万，省略“亿”位后面的尾数约是6亿。 【典例二】2024年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约295000000人次，同比去年约增长7个百分点；实现国内旅游收入166893000000元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是（ ）亿；把波浪线上的数保留一位小数约是（ ）亿元。 【答案】2.95 1668.9 【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字。 保留一位小数，先转化为“亿”作单位，保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【解答】295000000＝2.95亿 166893000000＝1668.93亿 1668.93亿≈1668.9亿 2024年“五一”假期，全国国内旅游出游人数合计约295000000人次，同比去年约增长7个百分点；实现国内旅游收入166893000000元。 把“_____”上数改写成“亿”作单位的数是2.95亿；把波浪线上的数保留一位小数约是1668.9亿元。 【典例三】如果全国3.9亿个家庭都能养成随手关灯的好习惯，那么每年可以节约用电191000000千瓦时，横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ），省略“亿”位后面的尾数约是（ ）。 【答案】一亿九千一百万 19100万 2亿 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的4个零去掉，再在数的后面写上“万”字。 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】191000000读作：一亿九千一百万 191000000＝19100万 191000000≈2亿 每年可以节约用电191000000千瓦时，横线上的数读作：一亿九千一百万，改写成用“万”作单位的数是19100万，省略“亿”位后面的尾数约是2亿。 【典例四】《2022年全国教育事业发展统计公报》数据显示，全国各级各类学历教育在校生人数约为二亿九千三百万，这个数可写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，四舍五入到亿位约是（ ）亿。 【答案】293000000 29300 3 【分析】写大数要从高位写起；找出“万”、“亿”字，根据它们把大数分成三个级；从亿级依次往后写，若数位上没有数的要写零占位。改写成以“万”为单位的数，去掉原数的最后四个零，然后加上单位“万”；大数的亿位右下角点上小数点，并将末尾的零去掉，加上单位“亿”，再将“千万位”上的数四舍五入然后得到近似数，据此解答。 【解答】二亿九千三百万，这个数可写作293000000，改写成用“万”作单位的数是29300万，四舍五入到亿位约是3亿。 专题02小数的认识 【考点一】小数的计数单位及数位 【典例一】2.83里面有（ ）个0.01，再加上（ ）个0.01就是3。 【答案】283 17 【分析】根据小数的意义，2.83里面有283个0.01，3里面有300个0.01，利用减法求出2.83再加上几个0.01就是3。 【解答】300－283＝17（个） 所以，2.83里面有283个0.01，再加上17个0.01就是3。 【点评】本题考查了小数的意义，明确各个数位对应的计数单位是解题的关键。 【典例二】我们学过的数都是由若干个计数单位组成的。例如：自然数25是由25个1组成的。那么小数0.048是由（ ）个（ ）组成的，分数是由（ ）个（ ）组成的。 【答案】48 0.001 7 【分析】根据小数的数位顺序表可知，小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一（0.1）；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一（0.01）；小数点右边第三位是千分位，计数单位是千分之一（0.001）……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。 【解答】小数0.048是由（48）个（0.001）组成的，分数是由（7）个（）组成的。 【典例三】一个数的十万位、十位和十分位上都是3，其余各位上都是0，这个数是（ ）。 【答案】300030.3 【分析】由题意可知，这个数的最高位十万位是3，十位是3，十分位上也是3，其它数位上用“0”占位，从高位到低位，一级一级地写即可。 【解答】据分析可知，一个数的十万位、十位和十分位上都是3，其余各位上都是0，这个数是300030.3。 【典例四】一个数由3个一、5个百分之一和2个千分之一组成，这个数写作（ ），它是（ ）位小数。 【答案】3.052 三 【分析】根据小数的写法：哪个数位上有几个计数单位就写几，哪个数位上一个计数单位也没有，就用0来占位；小数部分有几个数位，就是几位小数。3个一则个位上的数字是3，5个百分之一则百分位上的数字是5，2个千分之一则千分位上的数字是2。据此解答。 【解答】一个数由3个一、5个百分之一和2个千分之一组成，这个数写作3.052，它是三位小数。 【考点二】小数的读法和写法 【典例一】嫦娥六号探测器总重8.2吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横线上的数读作（ ）吨。 【答案】八点二 【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字，据此解答即可。 【解答】嫦娥六号探测器总重8.2吨，由轨道器、返回器、着陆器、上升器四部分组成，横线上的数读作八点二吨。 【典例二】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作（ ），精确到0.01是（ ）。 【答案】200.499 200.50 【分析】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十分位上是4，最大的一位数是9，即百分位和千分位上是9，其余数位是0，写上0即可，据此写出这个数；精确到0.01就是保留两位小数，看千分位上的数进行四舍五入，据此求出即可。 【解答】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作200.499，精确到0.01是200.50。 【典例三】博物馆内的中华白海豚素有“水上大熊猫”之称，属于国家一级保护动物，体长最长达2.71米，画横线的小数读作（ ）米，表示（ ）米（ ）分米（ ）厘米。 【答案】二点七一 2 7 1 【分析】小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字。 把1米平均分成10份，其中一份是1分米，也就是0.1米。把1米平均分成100份，其中一份是1厘米，也就是0.01米。据此解答。 【解答】根据小数的读法，2.71读作：二点七一。 根据1米＝10分米＝100厘米，2.71米的整数部分是2，表示2米，小数部分的十分位是0.7表示7分米，百分位是0.01，表示1厘米。所以2.71米表示2米7分米1厘米。 【典例四】一个数由2个十、5个百分之一和4个千分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数保留两位小数是（ ）。 【答案】20.054 二十点零五四 20.05 【分析】十位的计数单位是10，几个十就在十位写几；百分位的计数单位是百分之一，写作0.01，几个百分之一就在百分位写几个0.01；千分位的计数单位是千分之一，写作0.001，几个千分之一就在千分位写几个0.001，据此写出这个小数。 小数的读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按顺序依次读出每一位上的数字。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】20.054读作：二十点零五四；20.054≈20.05 一个数由2个十、5个百分之一和4个千分之一组成，这个数写作20.054，读作二十点零五四，把这个数保留两位小数是20.05。 【考点三】循环小数 【典例一】在3、、333%和3.3中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【答案】 3 【分析】题目中有整数、分数、小数、百分数，将分数、百分数先统一成小数形式，再按照小数比较大小的方法进行解答。百分数化成小数时，去掉百分号，再把小数点左移两位。分数化成小数时，用分子除以分母即可。比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同，就比较十分位上的数，然后依次进行比较即可解答。 【解答】333%＝3.33， 因为3.333…＞3.33＞3.3＞3 所以＞333%＞3.3＞3 故最大的数是，最小的数是3。 【典例二】在、、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【答案】 27.2% 【分析】把循环小数的简便记法进行还原，用分数的分子除以分母将化成小数，把百分数27.2%的百分号去掉，同时把小数点向左移动两位化成小数；然后按照小数大小比较的方法进行比较，即从高位到低位逐位进行比较。 【解答】＝0.2727…，＝5÷18＝0.277…，27.2%＝0.272，0.2727…、0.277…、0.277、0.272这四个小数的整数部分、十分位上、百分位上都相同；0.277…、0.277千分位上都是7，0.2727…、0.272千分位上都是2，7＞2；0.277…万分位上是7，0.277万分位上是0，所以0.277…＞0.277，即最大的数是；0.2727…万分位上是7，0.272万分位上是0，所以0.2727…＞0.272，即最小的数是27.2%。 所以在、、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是，最小的数是27.2%。 【点评】此题考查了百分数、小数和分数的互化、循环小数的简便记法、小数的大小比较。 【典例三】在0.12，，，和12.1%这四个数中，最大的数是（ ）。 【答案】 【分析】把分数、百分数化成小数，再把循环小数写成带省略号的形式，再比较大小即可。 【解答】 所以最大的数是。 【点评】本题考查百分数、小数、分数的互化、循环小数，解答本题的关键是掌握百分数、小数、分数的互化方法。 【典例四】4.6÷11用循环小数表示商是（ ），这个循环小数的小数点后面第100位上的数字是（ ）。 【答案】 1 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；运用循环小数的数字规律解答即可。 【解答】因为4.6÷11＝0.41818…，所以4.6÷11的商用循环小数表示是； 又因为小数点后第100位是偶数位，1在小数点后偶数位上，所以这个循环小数的小数点后第100位上的数字是1。 【点评】此题考查的是循环节的表示法，掌握循环小数的简写方法是解题关键。 【考点四】小数的基本性质及改写 【典例一】盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个（ ），右边的“3”表示3个（ ）。不改变253.3的大小，改写成三位小数是（ ）。 【答案】一 十分之一 253.300 【分析】分析题目，根据数位知识可知：各个数位上的数字是几，就表示几个这样的计数单位，从小数点左边起，第一位是个位，计数单位是一（个），第二位是十位，计数单位是十，第三位是百位，计数单位是百……，小数点右边起第一位是十分位，计数单位是十分之一，第二位是百分位，计数单位是百分之一，第三位是千分位，计数单位是千分之一……然后根据小数的性质：在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，据此把253.3改写成三位小数即可。 【解答】253.3＝253.300 盛李豪在杭州亚运会上获得了男子10米气步枪个人金牌，成绩为253.3环。“253.3”左边的“3”表示3个一，右边的“3”表示3个十分之一。不改变253.3的大小，改写成三位小数是253.300。 【典例二】0.7的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，在它的末尾添上两个“0”。表示这个小数的计数单位从（ ）变成了（ ），而小数的（ ）不变。 【答案】0.1 7 0.1 0.001 大小 【分析】小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位……；一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……相邻计数单位间的进率是10。在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的性质。 【解答】0.7＝0.700 0.7的计数单位是0.1，它有7个这样的计数单位，在它的末尾添上两个“0”。表示这个小数的计数单位从0.1变成了0.001，而小数的大小不变。 【典例三】1.58是一个（ ）位小数，它由（ ）个1、（ ）个0.1和（ ）个0.01组成，也可以看成由（ ）个0.01组成。不改变数的大小，把它改写成计数单位是千分之一的数是（ ）。 【答案】两 1 5 8 158 1.580 【分析】 一个小数的小数部分有几位数，就是几位小数。1.58的小数部分有两位数，即1.58是一个两位小数。 小数点左边第一位是个位，计数单位是一；小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一（0.1）；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一（0.01）。1.58个位上是1，十分位上是5，百分位是8，即1.58由1个1，5个0.1和8个0.01组成。 小数每相邻两个计数单位之间的进率是10，即1.58也可以看成由158个0.01组成。 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。根据小数的性质可知：在1.58的末尾添上“0”，小数的大小不变，即把1.58它改写成计数单位是千分之一的数是1.580。 【解答】由分析可得：1.58是一个两位小数，它由1个1、5个0.1和8个0.01组成，也可以看成由158个0.01组成。不改变数的大小，把它改写成计数单位是千分之一的数是1.580。 【点评】一个小数的计数单位由它的最低位决定，一个小数中某一个数字所对应的计数单位由它所在的数位决定。 【典例四】0.34的计数单位是（ ），不改变0.34的大小，将它改写成三位小数是（ ）。 【答案】0.01 0.340 【分析】一位小数的计数单位是0.1，两位小数的计数单位是0.01……；根据小数的性质：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，这叫做小数的性质，据此解答即可。 【解答】0.34的计数单位是0.01，不改变0.34的大小，将它改写成三位小数是0.340。 【点评】本题考查了小数的意义及小数的性质。 【考点五】小数的大小比较 【典例一】开发区某校运动会男子跳远比赛成绩部分数据不清，请根据你的推理补全。 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84米 □米 □2米 名次 第三名 第一名 第二名 【答案】3；9 【分析】小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的这个小数就大，如果百分位相同，就比较千分位，以此类推。 小强是第二名，所以小强成绩十分位上的数要比第三名小军成绩十分位上的8要大，即9＞8，据此得出小强的成绩；小明是第一名，所以小明的成绩要比小强的好，所以小明成绩个位上的数比小强成绩个位上的2大，即3＞2，据此得出小明的成绩。 【解答】3.05＞2.92＞2.84 填表如下： 姓名 小军 小明 小强 成绩 2.84米 3.05米 2.92米 名次 第三名 第一名 第二名 【典例二】用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大（ ）。 【答案】5.94 【分析】要使组成的两位小数最大，应使个位上的数字最大，其他数位上的数字依次从大到小排列。用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数是7.51，要使这个小数最小，应使个位上的数字最小，其他数位上的数字依次从小到大排列，所以最小的数是1.57，两数相差只需要用最大的数减最小的数即可。 【解答】7.51－1.57＝5.94 用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大5.94。 【典例三】★是0~9中的一个数，使小数★0.★6满足以下条件。 （1）小数★0.★6最大，则这个小数是（ ）。 （2）小数★0.★6最小，则这个小数是（ ）。 （3）小数★0.★6最接近59，则这个小数是（ ）。 【答案】（1）90.96 （2）10.16 （3）60.66 【分析】（1）比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同，就比较十分位上的数，然后依次进行比较即可，要使这个小数最大，则整数部分十位上是9，则小数部分十分位上也是9，据此写出这个小数即可。 （2）要使这个小数最小，则整数部分十位上是1，则小数部分十分位上也是1，据此写出这个小数。 （3）要使这个小数最接近59，则整数部分十位上是6，则小数部分十分位上也是6，据此写出这个小数。 【解答】（1）小数★0.★6最大，则这个小数是90.96。 （2）小数★0.★6最小，则这个小数是10.16。 （3）小数★0.★6最接近59，则这个小数是60.66。 【典例四】根据武汉市东湖绿道的规划方案，绿道二期划分为湖城道、湖泽道、湖町道、湖林道和森林道5条主题绿道。其中，湖城道景观特色为“一景一园、听涛赏梨”，长九点零二千米；湖泽道观特色为“双岛五堤、十里桃花”，长10.1千米；湖町道景观特色为“近赏田湾、远观山峦”，长九点二六千米；湖林道景观特色为“东湾西园、荷红茶香”，长14.08千米；森林道景观特色为“知山乐水、登高观澜”，长26.22千米。 （1）依次读出波浪线部分所表示的小数：（ ）、（ ）、（ ）。 （2）依次写出横线部分所表示的小数：（ ）、（ ），这两个小数中小数部分的“2”，分别表示2个（ ）和2个（ ）。 （3）把材料中出现的5个小数按从大到小的顺序排列： （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 【答案】（1）十点一 十四点零八 二十六点二二 （2）9.02 9.26 百分之一 十分之一 （3）26.22 14.08 10.1 9.26 9.02 【分析】（1）读小数时，先读整数部分，按整数的读法来读；再读小数点，小数点读作“点”；最后读小数部分，从左往右依次读出每一位上的数字。 （2）小数的写法：先写整数部分，按照整数的写法来写，如果整数部分是零，就直接写0；再在个位的右下角点上小数点；最后依次写出小数部分每一位上的数字。 （3）小数部分从左边起，分别是十分位、百分位、千分位……；十分位的计数单位是十分之一，百分位的计数单位是百分之一，千分位的计数单位是千分之一……。 （4）小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，就比较百分位，百分位上的数大的那个数就大…… 【解答】（1）10.1的整数部分是10，读作“十”；再读小数点；最后读十分位上的1，读作“一”。所以10.1读作：十点一 14.08的整数部分是14，读作“十四”；再读小数点；小数部分读作“零八”。所以14.08读作：十四点零八 26.22的整数部分是26，读作“二十六”；再读小数点；小数部分读作“二二”。所以26.22读作：二十六点二二 （2）九点零二先写整数部分9，在9的后面点小数点，小数部分写“02”。所以九点零二写作：9.02 九点二六先写整数部分9，在9的后面点小数点，小数部分写“26”。所以九点二六写作：9.26 9.02中2在百分位上，表示2个百分之一； 9.26中2在十分位上，表示2个十分之一。 （3）先比较整数部分26＞14＞10＞9，所以26.22＞14.08＞10.1；再比较9.26和9.02的十分位上的数字，2＞0，所以9.26＞9.02；所以26.22＞14.08＞10.1＞9.26＞9.02。 【点评】（1）读数时要写汉字小写数字，写数时要写阿拉伯数字。 （2）小数的大小与小数位数的多少无关，比较时要从高位起逐位比较。 【考点六】小数点位置移动的规律 【典例一】一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是（ ）。 【答案】3.4 【分析】一个小数的小数点向左移动一位后，原数是得到数的10倍，两数相差3.06，用3.06除以10减去1的差，再乘10，就是原数，据此解答。 【解答】3.06÷（10－1）×10 ＝3.06÷9×10 ＝0.34×10 ＝3.4 一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是3.4。 【典例二】一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是（ ）。 【答案】0.15 【分析】一个两位小数，去掉小数点相当于扩大到原来的100倍，增大的部分相当于原数的99倍，则用差除以99即可求出这个两位小数是多少。 【解答】14.85÷（100－1） ＝14.85÷99 ＝0.15 一个两位小数，去掉小数点后比原数大14.85，这个两位小数是0.15。 【典例三】一个小数，把它的小数点先向左移动一位，再向右移动两位，得到的数是10.6，这个小数原来是 。 【答案】1.06 【分析】把一个小数的小数点先向左移动一位，再向右移动两位得到10.6，相当于把小数点向右移动一位后得到10.6。求原来的数是多少，只需要把10.6的小数点向左移动一位。据此解答。 【解答】一个小数，把它的小数点先向左移动一位，再向右移动两位，得到的数是10.6，这个小数原来是1.06。 【典例四】把1.85的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，得到的数是（ ）。 【答案】0.185 【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律：一个数的小数点向右移动一位、两位、三位……，这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……，一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……，这个数就缩小到原来的、、……。 把一个数的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，就相当于把此数的小数点向左移动了一位，现在的数是1.85，只要再把1.85的小数点向左移动一位即可解答。 【解答】由分析可知：1.85÷10＝0.185，所以把1.85的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，得到的数是0.185。 【考点七】小数点有关的单位换算 【典例一】0.4平方米＝（ ）平方分米       120000平方米＝（ ）公顷 0.25时＝（ ）分          6.5cm＝（ ）mm 【答案】40 12 15 65 【分析】1平方米＝100平方分米；1公顷＝10000平方米；1时＝60分；1cm＝10mm，高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【解答】0.4平方米＝0.4×100＝40平方分米 120000平方米＝120000÷10000＝12公顷 0.25时＝0.25×60＝15分 6.5cm＝6.5×10＝65mm 【典例二】420公顷＝（ ）平方千米         2.7千米＋300米＝（ ）米 2.15小时＝（ ）小时（ ）分       4吨50千克＝（ ）吨＝（ ）千克 【答案】4.2 3000 2 9 4.05 4050 【分析】根据1平方千米＝100公顷，1千米＝1000米，1小时＝60分，1吨＝1000千克，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算，需要计算的计算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可；复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【解答】420÷100＝4.2（平方千米）；2.7×1000＝2700（米）、2700＋300＝3000（米） 0.15×60＝9（分）；50÷1000＝0.05（吨）、4＋0.05＝4.05（吨）；4×1000＝4000（千克）、4000＋50＝4050（千克） 420公顷＝4.2平方千米；2.7千米＋300米＝3000米 2.15小时＝2小时9分；4吨50千克＝4.05吨＝4050千克 【典例三】5300m＝（ ）km       1.25dm3＝（ ）L 2.08hm2＝（ ）m2          3吨95千克＝（ ）吨 【答案】5.3 1.25 20800 3.095 【分析】根据1千米＝1000米，1升＝1立方分米，1公顷＝10000平方米，1吨＝1000千克，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。 【解答】5300÷1000＝5.3（km），所以5300m＝5.3km 1.25dm3＝1.25L 2.08×10000＝20800（m2），所以2.08hm2＝20800m2 95÷1000＝0.095（吨），所以3吨95千克＝3.095吨 【典例四】5.4时＝（ ）时（ ）分    2.05吨＝（ ）吨（ ）千克 730平方厘米＝（ ）平方米    3.68立方米＝（ ）立方厘米 【答案】5 24 2 50 0.073 3680000 【分析】根据1时＝60分，1吨＝1000千克，1平方米＝10000平方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【解答】0.4×60＝24（分）；0.05×1000＝50（千克） 730÷10000＝0.073（平方米）；3.68×1000000＝3680000（立方厘米） 5.4时＝5时24分；2.05吨＝2吨50千克 730平方厘米＝0.073平方米；3.68立方米＝3680000立方厘米 【考点八】小数的改写及近似数 【典例一】“移动支付”被誉为中国新“四大发明”之一。据有关统计，截至2023年6月，我国网络支付用户大约有943190000人，该人数读作 ，用四舍五入法，改写成以亿为单位，并保留两位小数约是 亿。 【答案】九亿四千三百一十九万 9.43 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出此数；改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字；保留两位小数，就是把小数点后第三位的数进行“四舍五入”，据此解答。 【解答】943190000读作：九亿四千三百一十九万； 943190000＝9.4319亿≈9.43亿 “移动支付”被誉为中国新“四大发明”之一。据有关统计，截至2023年6月，我国网络支付用户大约有943190000人，该人数读作九亿四千三百一十九万，用四舍五入法，改写成以亿为单位，并保留两位小数约是9.43亿。 【典例二】五一期间东北地区的文化旅游共接待游客1016.52万人，这个数可以读作 万人，四舍五入到万位约是 万人。 【答案】一千零一十六点五二 1017 【分析】小数的读法：小数的整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左到右依次读出数字。 把1016.52万四舍五入到万位，即1016.52保留整数位，看十分位上的数字比5大或等于5时，要往前进一；十分位上的数字比4小或等于4时，要舍去。再在数的后面写上“万”字。 【解答】1016.52读作：一千零一十六点五二 1016.52万≈1017万 五一期间东北地区的文化旅游共接待游客1016.52万人，这个数可以读作一千零一十六点五二万人，四舍五入到万位约是1017万人。 【典例三】2024年“五一”假期，文化和旅游部5月6日发布数据显示，全国国内旅游出游合计295000000人次，同比增长，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿。国内游客出游总花费166890000000元，同比增长，横线上的数省略亿位后面的尾数约是 亿。 【答案】2.95 1669 【分析】将一个数改写成用“亿”作单位的数，要先找到亿位，再在亿位的右下角点上一个小数点，再将这个数进行化简，然后添上“亿”字即可； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】亿 亿 024年“五一”假期，文化和旅游部5月6日发布数据显示，全国国内旅游出游合计295000000人次，同比增长，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是2.95亿。国内游客出游总花费166890000000元，同比增长，横线上的数省略亿位后面的尾数约是1669亿。 【典例四】下面是2023年末收集的信息： 莆田市人口数达3674800人，土地面积为4127700000平方米，地区生产总值达307073000000元，新改建公园绿地面积510000平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 （1）把总人口数改写成用“万”作单位的数是 万人。 （2）土地面积为 平方千米，新改建公园绿地面积达 公顷。 （3）地区生产总值省略“亿”后面的尾数约是 亿元。 【答案】（1）367.48 （2）4127.7 51 （3）3071 【分析】（1）改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。 （2）1平方千米＝1000000平方米；1公顷＝10000平方米；低级单位换算高级单位，除以进来，据此解答。 （3）省略“亿”后面的尾数求它的近似数，要把亿位的下一位千万位上的数进行“四舍五入”，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】（1）3674800＝367.48万 把总人口数改写成用“万”作单位的数是367.48万人。 （2）4127700000平方米＝4127700000÷1000000＝4127.7平方千米 510000平方米＝510000÷10000＝51公顷 土地面积为4127.7平方千米，新改建公园绿地面积达51公顷。 （3）307073000000≈3071亿 地区生产总值省略“亿”后面的尾数约是3071亿元。 专题03分数的认识 【考点一】分数的意义 【典例一】5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。 【答案】 【分析】把钢管共锯5次，实际把钢管平均分成6段，把钢管的长度看作单位“1”，平均分成6段，求每段占全长的分率，用1÷6解答；求每段长度，用钢管的长度÷6，即5÷6解答。 【解答】1÷6＝ 5÷6＝（米） 5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的，每段长米。 【典例二】如图，点A表示的数是（ ），点B表示的数是（ ），点C表示的数是（ ）。 【答案】﹣1 【分析】根据图示可知，数轴上的一个大格表示1，1大格平均分成2份，其中1份表示，1大格平均分成5份，其中1份表示，再结合正负数，在数轴上，0的左边为负数，0的右边为正数。 【解答】点A表示的数是﹣1，点B表示的数是（或0.5），点C表示的数是（或1.6）。 【典例三】校庆期间，同学们买来一根5米长的彩带，正好制成10个拉花，装饰教室，每个拉花用去彩带（    ）米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【答案】0.5； 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。根据平均分的意义，用彩带的全长除以制成拉花的个数，求出每个拉花用去的米数；再根据分数的意义，把彩带的全长看作单位“1”，根据分的个数以及取的个数，求出制作一个拉花用了这根彩带的几分之几。 【解答】5÷10＝0.5（米） 1÷10＝ 即每个拉花用去彩带米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【典例四】把一根米长的铁丝平均分成6段，每段占全长的（ ），每段长（ ）。 【答案】 米 【分析】把米长的铁丝平均分成6段，根据分数的意义，即将这根米长的铁丝当作单位“1”平均分成6份，则每段是全长的1÷6＝，求每段长多少米，用铁丝的总长除以平均分成的段数即可。每段的长为（）米。 【解答】1÷6＝ ÷6 ＝ ＝（米） 所以每段占全长的，每段长米。 【考点二】分数单位的认识 【典例一】的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 9 【分析】将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数为分数单位。判断一个分数的分数单位，看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个分数单位；最小的质数是2，把2通分成分母是7的假分数，减去，等于，分子是9，表示要添上9个这样的分数单位就是最小的质数，据此解答。 【解答】的分数单位是； 最小的质数是2， 2－＝－＝ 所以再添上9个这样的分数单位就是最小的质数。 【点评】此题的解题关键是理解掌握分数单位的意义、同分母分数的减法以及质数的定义。 【典例二】的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的分数单位，再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 5 19 【分析】 根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。据此可知，表示把单位“1”平均分成12份，每份是，所以分数单位是，有5个这样的分数单位；最小质数是2，则当分子是分母的2倍时，分数值是2，也就是＝2，里面有24个分数单位，所以再加上（24－5）个这样的分数单位即可得到最小的质数。据此解答。 【解答】2－＝ 的分数单位是，它含有5个这样的分数单位，再加上19个这样的分数单位就是最小的质数。 【点评】此题主要是考查分数的意义、分数单位的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。 【典例三】的分数单位是（ ），把它化成最简分数后的分数单位是（ ）。 【答案】 【分析】表示把单位“1”平均分成15份，每份是，取其中的6份。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，这个分数的分数单位是，它有6个这样的分数单位。这个分数化简后是，它的分数单位是，据此解答。 【解答】由分析可得：的分数单位是，把它化成最简分数后的分数单位是。 【点评】分数（m、n均为不等于0的自然数），就是这个分数的分数单位，n就是这样分数单位的个数。分数化简时，根据分数的基本性质，分子、分母同时除以分子、分母的最大公因数。 【典例四】计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位，再添上（ ）个这样的单位就是最小的合数。 【答案】 23 5 【分析】＝，表示把单位“1”平均分成7份，每份是，取这样的23份。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，这个分数的分数单位是，它有23个这样的分数单位。最小的合数是4，4＝，即28个这样的分数单位是最小的合数，要再添上（28－23）个，即5个这样的单位就是最小的合数。 【解答】＝、4＝、28－23＝5（个） 计数单位是，它有23个这样的计数单位，再添上5个这样的单位就是最小的合数。 【点评】关键是理解分数和分数单位的意义，理解质数、合数的分类标准。 【考点三】分数与除法的关系 【典例一】把3千克的巧克力平均分成5份，每份是3千克的（ ），每份是（ ）千克。 【答案】 /0.6 【分析】把巧克力的总质量看作单位“1”，平均分成5份，用1除以5，即是每份是总质量的几分之几； 把3千克的巧克力平均分成5份，用巧克力的总质量除以5，即是每份的质量。 【解答】1÷5＝ 3÷5＝（千克） 每份是3千克的，每份是千克。 【典例二】从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为（ ）。 【答案】 【分析】上面6张牌中有2张桃A、3张桃2、1张桃3，要求任意摸一张，摸到它们的可能性是多少，即求桃A的张数是总张数的几分之几，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答即可。 【解答】2÷（2＋3＋1） ＝2÷6 ＝ 从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为。 【典例三】把5米长的绳子平均剪成8段，每段长是（ ）米，每段是全长的（ ）。 【答案】 【分析】分析题目，把绳子的总长度看作单位“1”，先用绳子的总长度除以剪成的段数即可得到每段的长度；再用1除以剪成的段数即可得到每段是全长的几分之几。 【解答】5÷8＝（米） 1÷8＝ 把5米长的绳子平均剪成8段，每段长是米，每段是全长的。 【典例四】3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到（ ）个月饼，每名小朋友分到这些月饼的（ ）。 【答案】/ 【分析】求每名小朋友分到多少个月饼，平均分的是具体的数量5个，求的是具体的数量；求每名小朋友分到这些月饼的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；都用除法计算。 【解答】5÷3＝（个） 1÷3＝ 所以3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到个月饼，每名小朋友分到这些月饼的。 【考点四】真假分数的认识及互化 【典例一】一个最简真分数，它的分子、分母的乘积是12，这个分数是（ ）。 【答案】或 【分析】根据题意，分子、分母的乘积是12，先看12是由哪两个数相乘得到，再把它们组成真分数，从中找出最简分数即可。 分子比分母小的分数叫做真分数；最简真分数是指分子和分母只有公因数1的真分数。 【解答】12＝1×12＝2×6＝3×4 可以组成的真分数是：、、； 其中最简真分数是、； 所以，这个分数是或。 【典例二】已知是真分数，是假分数，是最简分数。那么a＝ 。 【答案】7 【分析】真分数是分母大于分子的分数，假分数是分母小于等于分子的分数，最简分数是分子分母互质的分数。 【解答】因为是真分数，所以a＞5；因为是假分数，所以a≤8，那么a可能是6、7、8；又因为是最简分数，只有2与7互质，所以a只能是7；因此a＝7。 【点评】此题需要学生熟练掌握真分数，假分数，最简分数的意义，并能熟练运用。 【典例三】的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 8 【分析】把单位“1”平均分成若干份取一份的数，叫做分数单位；分数的分子是几里面就有几个这样的分数单位，最小的合数是4，也就是分母是3的假分数，求出两个分数的分子差，分子是几，就要加上几个这样的分数单位才能等于4。 【解答】的分数单位是。 4－ ＝－ ＝ 因此再加上8个这样的分数单位就是最小的合数。 【点评】本题考查了分数单位的认识及应用、合数的定义以及同分母分数的减法计算法则。 【典例四】的分数单位是（ ），再增加（ ）个这样的单位正好是最小的质数。 【答案】 11 【分析】把单位“1”平均分成9份，每份是，即这个分数的分数单位是，表示7个，是7个这样的分数单位；最小的质数是2，2＝，即18个这样的分数单位是最小的质数，需要再增加18－7＝11（个）这样的分数单位。 【解答】2＝ 18－7＝11 的分数单位是，再增加11个这样的单位正好是最小的质数。 【点评】利用分数单位的意义以及质数的意义进行解答。 【考点五】分数的基本性质 【典例一】的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应该加上 。 【答案】10 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 的分母加上24，相当于分母12乘3，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分子也要乘3得15，再减去原来的分子，即是分子应该加上的数。 【解答】分母相当于乘： （12＋24）÷12 ＝36÷12 ＝3 分子也要乘3，或加上： 5×3－5 ＝15－5 ＝10 的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应该加上（10）。 【典例二】有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的5倍。这个最简分数是（ ）。 【答案】 【分析】已知新分数是原分数的5倍，根据分数乘法的意义，可知新分数和原分数的分母相同，新分数的分子是原分数分子的5倍，原分数分母加上分母，相当于分母乘2，根据分数的基本性质，新分数的分子和分母同时乘2，分数大小不变，此时新分数的分子是原分数分子的（5×2）倍，原分数分子加上原分数分母的和是原分数分子的（5×2）倍，也就是10倍，原分数分母是原分数分子的（10－1）倍，也就是9倍，已知原分数是一个最简分数，分子和分母互质，所以分子只能是1，分母只能是9。 【解答】5×2＝10 10－1＝9 原分数分母是原分数分子的9倍，已知原分数是一个最简分数，分子和分母互质，所以分子只能是1，分母只能是9。所以这个最简分数是。 【点评】明确分子和分母之间的关系是解答本题的关键。 【典例三】分数的分子加34，要使比值不变，那么分母应扩大到原来的（ ）倍。 【答案】3 【分析】根据分数的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个数（0除外），分数大小不变。解答即可。 【解答】 故，分数的分子加34，要使比值不变，那么分母应扩大到原来的3倍。 【点评】熟练掌握分数的基本性质是解答本题的关键。 【典例四】有一个分数，如果分子加2，这个分数约分得，如果分母加2，这个分数约分得，这个分数是（ ）。 【答案】 【分析】因为和都是约分之后的最简分数，所以把的分子和分母同时扩大相同的倍数，找出符合条件的数即为所求。 【解答】＝＝，原来的分数为 ＝ 则这个分数是。 【点评】此题主要考查了分数的基本性质的应用，要熟练掌握。 【考点六】约分及通分的认识和应用 【典例一】口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是（ ），要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 【答案】 6 【分析】红球有6个，合计有（6＋4）个球，求摸出红球的可能性，用红球的个数除以口袋里面球的个数即可； 要保证摸出2个红球，考虑最不利原则，把4个黄球全部摸出后，再任意摸2个，必定能摸出2个红球，即至少一次性摸出（4＋2）个。 【解答】6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝ 4＋2＝6（个） 口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出6个球。 【典例二】有1，2，3，4，5，6六张数字卡片，从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是（ ）。 【答案】 【分析】1，2，3，4，5，6中，质数有2、3、5合计3个，从6个数中任意抽1张有6种可能，抽到质数的可能有3种，用3除以6即可。 【解答】3÷6＝ 有1，2，3，4，5，6六张数字卡片，从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是。 【典例三】一个分数的分子、分母的和是23，分母增加19后，得到一个新分数，约分后为，原分数是（ ）。 【答案】 【分析】要求原分数是多少，根据题意可知，分母加上19，则这时分子和分母的和为：23＋19＝42，再由“新分数约分成最简分数是”可知，此时分数的分子与分母的比是，于是可以利用按比例分配的方法求出现在的分子和分母，现在的分母减去19就是原来的分母，从而得到原分数。 【解答】23＋19＝42 原来的分母：36－19＝17 所以原来的分数为。 【点评】本题还可以通过列方程求解。设原分数的分母为x，则原分数的分子为，新分数的分母为。由题意，得，解得，则，所以原分数是。 【典例四】的分子加上一个自然数，分母减去这个自然数，分数就变为，这个自然数是（ ）。 【答案】6 【分析】通过通分，将分子分母同时扩大，再根据题意，检验出这个自然数是多少。 【解答】＝＝＝ ＝＝ 所以，这个自然数是6。 【点评】本题考查了通分和约分，掌握通分和约分的方法是解题的关键。 【考点七】最简分数 【典例一】一个最简真分数，分子和分母是2到7六个整数中的一个，它共有（ ）种可能。 【答案】11 【分析】分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数；真分数的分子小于分母；据此解答。 【解答】一个最简真分数，分子和分母是2到7六个整数中的一个，有： 分母为3的最简真分数：； 分母为4的最简真分数：； 分母为5的最简真分数：、、； 分母为6的最简真分数：； 分母为7的最简真分数：、、、、， 1＋1＋3＋1＋5＝11（种） 它共有11种可能。 【典例二】将一副扑克牌（去除大、小王）反扣在桌面上，从中任意抽取一张，抽到“6”的可能性是，抽到“红心”牌的可能性是。（填写最简分数） 【答案】； 【分析】由题意可知，用6的张数除以总张数，就是抽到6的可能性是几分之几；用“红心”牌张数除以总张数，就是抽到“红心”牌可能性是几分之几。6共有4张，一副扑克牌（去除大、小王）共有52张；“红心”牌的张数共有13张。据此解答即可。 【解答】4÷52＝ 13÷52＝ 则抽到“6”的可能性是，抽到“红心”牌的可能性是。 【点评】本题考查分数与除法，明确分数与除法的关系是解题的关键。 【典例三】分数单位是的所有最简真分数的和是（ ）。 【答案】3 【分析】根据最简真分数的意义，分数的分子小于分母且分子和分母只有公因数1的分数叫做最简真分数，由此可知，分数单位是的所有最简真分数有、、、、、，再根据同分母分数加法的计算法则解答。 【解答】＋＋＋＋＋ ＝＋ ＝3 【点评】此题主要考查最简真分数的意义及应用，同分母分数加法的计算法则及应用。 【典例四】分母相同的两个最简分数的和是，它们分子的比是4∶11，这两个数分别是（ ）和（ ）。 【答案】 【分析】因为这两个分数是分母相同的最简分数，那么分子的比就是这两个分数的比，即4∶11；因此这两个分数共分成（4＋11）份，用除法求出1份是多少，再用乘法求出4份、11份是多少，即可求出这两个分数。 【解答】÷（4＋11） ＝÷15 ＝× ＝ ×4＝ ×11＝ 【点评】此题主要考查了最简分数的认识，以及按比例分配方法知识的掌握与运用能力。 【考点八】分数的大小比较 【典例一】将5个分数、、、、按从小到大的顺序排列，最大的数是（ ）。 【答案】 【分析】分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，分子较小的分数比较小；分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；分子和分母不同，先通分，再比较分子，分子大的数较大，分子小的数较小；题目中，将分数通分成分子相同的分数，再比较更方便。 【解答】10、12、15、20、30的最小公倍数是60， 所以＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为：92＜95＜98＜99＜102 ＞＞＞＞ 所以＜＜＜＜ 最大的数是。 【点评】本题考查了分数比较大小的方法，选择合适的方法比较即可。 【典例二】一个最简分数满足：，当分母b最小时，a＋b＝ 。 【答案】8 【分析】根据分数的基本性质，把和的分子分母同时乘2，然后再取大于且小于的分数，再根据同分子分数大小的比较方法找出两个分数之间的分数，最后把分子分母加起来即可，据此解答。 【解答】 根据同分子分数大小的比较方法可知： 和中间有，即 a＝3 b＝5 所以a＋b ＝3＋5 ＝8 当分母b最小时，a＋b＝8。 【点评】本题主要应用分数的基本性质把分数的分子分母扩大，然后再取它们中间的分数。 【典例三】甲2小时做14个零件，乙做一个零件小时，丙每小时做8个零件，这三个人中工作效率最高的是（ ）。 【答案】丙 【分析】分别用时间除以个数，求出每个人加工一个零件需要的时间。再进行比较，找出时间最少的，即可解答。 【解答】甲：2÷14＝（小时） 乙：小时 丙：1÷8＝（小时） 分子相同，分母越大这个分数就越小 ＜＜ 这三个人中工作效率最高的是丙。 【点评】本题考查分数除法以及分数大小的比较及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 【典例四】已知（，，都大于0），则最大的数为（ ），最小的数为（ ）。 【答案】c a 【分析】假设＝1，据此求出，，，比较即可。 【解答】假设＝1 a＝；b＝；c＝；则c＞b＞a，所以最大的数是c，最小的数是a； 【点评】利用赋值法可以方便快捷地解答此类问题。 【考点九】倒数的认识及求一个数的倒数 【典例一】的计数单位是（ ），它的倒数是（ ）。再添上（ ）个这样的计数单位就成为最小的合数。 【答案】 17 【分析】一个分数的分母是几，它的计数单位就是几分之一；乘积为1的两个数互为倒数，求一个数的倒数，用1除以这个数即可；最小的合数是4，用4减去，把结果写成分母为5的分数，分子是几，就要再添上多少个这样的计数单位就成为最小的合数。 【解答】1÷＝1×＝ 4－＝ 即的分数单位是，它的倒数是。再添上17个这样的分数单位即得最小的合数。 【典例二】一个数的倒数是，这个数的是（ ）。 【答案】 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可；据此可知一个数的倒数是，这个数是，把这个数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用×即可求出这个数的。 【解答】已知一个数的倒数是，这个数是， ×＝ 这个数的是。 【典例三】m与n互为倒数，那么＝ 。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，因为m与n互为倒数，所以mn＝1，据此分析解答即可。 【解答】因为m与n互为倒数 所以mn＝1 ÷ ＝× ＝ ＝ 所以，÷＝ 【点评】本题考查的是倒数的定义，根据倒数的意义可知mn＝1，据此解答即可。 【典例四】甲数的小数点向左移动两位后，结果比原来减少9.9，如果甲数是乙数的倒数，乙数是（ ）。 【答案】 【分析】根据小数点移动和小数大小的变化规律可知：甲数的小数点向左移动两位后，即此时是甲数的，因为已知比原来减少了9.9，所以可列等式：甲数－甲数×＝9.9，可求出甲数，再求出甲数的倒数，就可求出乙数。 【解答】解：设甲数是x。 x－x＝9.9 x＝9.9 ＝10 10的倒数是，所以乙数是。 【点评】解本题的关键是用甲数表示移动小数点后的数，再根据题意找出等量关系，列出等式，求出甲数。 专题04百分数的认识 【考点一】百分数的意义 【典例一】2022年我国成功举办冬季奥运会，在奥林匹克持权转播商的各种频道上，有关北京奥运会的报道总共被观看了7130000000000分钟，较在韩国举办的上届冬奥会增长18%。 （1）把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是（ ）亿； （2）增长18%的含义是（ ）占（ ）的18%。 【答案】（1）71300 （2）有关北京奥运会的报道总共被观看的分钟数与有关韩国奥运会的报道总共被观看的分钟数的差 有关韩国奥运会的报道总共被观看的分钟数 【分析】（1）将7130000000000的末尾去掉8个0，后面加一个“亿”，即可将7130000000000改写成用“亿”作单位的数； （2）根据题意解释增长18%的含义即可。 【解答】（1）7130000000000＝71300亿 （2）增长18%的含义是有关北京奥运会的报道总共被观看的分钟数与有关韩国奥运会的报道总共被观看的分钟数的差占有关韩国奥运会的报道总共被观看的分钟数18%。（答案不唯一） 【典例二】选择下面的百分数填空。 105%  65%  96%  35%  2% （1）某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的（ ）。 （2）工程队修建一段水渠，已经完成（ ），还剩下整条水渠的（ ）。 【答案】（1）105% （2）65%/35% 35%/65% 【分析】技术改良生产效率大幅提升，则现在的效率一定比原来的高，换句话说现在的效率是原来效率的1倍以上，所以选择大于的百分数。水渠修完一部分还剩余一部分，所以选择小于的百分数，且两个百分数的和等于，但已完成的和剩下的两部分谁多谁少都可以，据此解答。 【解答】（1）大于，所以某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的。 （2）、都小于，且。所以工程队修建一段水渠，已经完成，还剩下整条水渠的；或者已经完成，还剩下整条水渠的。 【典例三】六①班有25%的同学参加了科技兴趣小组，25%表示（ ），这个班参加其他兴趣小组的人数占全班人数的（ ）%。 【答案】参加了科技兴趣小组的人数是六①班总人数的25% 75 【分析】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数，将六①班总人数看作单位“1”，25%的同学参加了科技兴趣小组，参加其他兴趣小组的人数占全班人数的（1－25%），据此分析。 【解答】1－25%＝75% 六①班有25%的同学参加了科技兴趣小组，25%表示参加了科技兴趣小组的人数是六①班总人数的25%，这个班参加其他兴趣小组的人数占全班人数的75%。 【典例四】阅读以下信息，按要求填空。 2024年中国航天精彩上演，神舟十八号于北京时间4月25日20：59在酒泉卫星中心成功发射，于4月26日3：30和空间站成功对接。据统计，在当天总台央视新闻频道直播节目中关于神舟十八号节目的收视率为0.59%，截至25日22：00，央视新闻客户端观看量约为4013000万，各平台总观众量约为73942000，其中一条有关神舟十八号的短视频点击量达到了一亿九千六百八十三万次。 （1）73942000读作：（ ）。 （2）一亿九千六百八十三万写作：（ ）。用“四舍五入”法省略亿后面的尾数约是（ ）亿次。 （3）收视率为0.59%表示（ ）。 （4）4月25日20：59到4月26日3：30，经过了（ ）时（ ）分，合（ ）分。 【答案】（1）七千三百九十四万两千 （2）196830000 2 （3）收看关于神舟十八号直播节目的观众占所有收看电视观众总人数的0.59% （4）6 31 391 【分析】（1）根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出，即可读出此数； （2）根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 （3）收视率为表示收看某一节目的观众占所有收看电视观众总人数的百分比。 （4）先算出20：59到24时的时间间隔，再加上3时30分即可求出总共的时间间隔。1小时＝60分钟，据此解答。 【解答】（1）73942000读作：七千三百九十四万两千 （2）一亿九千六百八十三万写作：196830000；省略亿后面的尾数约是2亿次。 （3）收视率为0.59%表示收看关于神舟十八号直播节目的观众占所有收看电视观众总人数的0.59% （4）24时−20时59分＝3时1分 3时1分＋3时30分＝6时31分 6×60＋31＝391（分） 【考点二】百分数的读法和写法 【典例一】朝天区年均气温15.8℃，年均降雨量1120mm，属亚热带湿润季风气候。森林覆盖率达66%，是嘉陵江上游的重要生态屏障，横线上的数读作（ ），城区环境空气质量优良天数常年保持在百分之九十五以上，横线上的数写作（ ）。 【答案】百分之六十六 95% 【分析】百分数的读法：先读分母（即%），再读分子，读作“百分之……”。 百分数的写法：先写出百分之后面的数，之后在这个数后面加%。据此解答。 【解答】根据分析可得： 朝天区年均气温15.8℃，年均降雨量1120mm，属亚热带湿润季风气候。森林覆盖率达66%，是嘉陵江上游的重要生态屏障，横线上的数读作百分之六十六，城区环境空气质量优良天数常年保持在百分之九十五以上，横线上的数写作95%。 【典例二】据监测，某省今年上半年水产产量131.69万吨，是去年上半年的103.2%。103.2%读作（ ），它是把（ ）看作单位“1”。 【答案】百分之一百零三点二 该省去年上半年水产产量 【分析】 百分数是分母为100的特殊分数，其分子可不为整数。 百分数表示一个数是另一个数的百分之几，表示一个比值。百分数的读法：先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 【解答】今年上半年水产产量是去年上半年的103.2%，这里是把该省去年上半年水产产量看作单位“1”，即某省今年上半年水产产量131.69万吨，是去年上半年的103.2%。103.2%读作百分之一百零三点二，它是把该省去年上半年水产产量看作单位“1”。 【典例三】2019年1月在民权县湿地公园监测到全球极危物种青头潜鸭186只，占全球种群数量的15%以上，5月首次发现青头潜鸭繁殖巢，民权湿地成为青头潜鸭重要栖息地和繁殖地。文中画线的数读作：（ ），它表示：（ ）。 【答案】 百分之十五 监测到的全球极危物种青头潜鸭的数量占全球种群数量的15% 【分析】读百分数时,先读“%”,读作“百分之”,再读百分号前面的数；百分数表示一个数是另一个数的百分之几，据此解答。 【解答】15%读作百分之十五，它表示监测到的全球极危物种青头潜鸭的数量占全球种群数量的15%。 【典例四】截至2021年底，岳阳县全年累计完成救助数为46148人，共支付救助资金12057900元，完成全年目标任务的百分之一百零五点三六。 （1）12057900是（ ）位数，最高位是（ ）位，“2”表示2个（ ），这个数读作（ ）。 （2）百分之一百零五点三六写作（ ），说明超额完成全年目标任务的（ ）%。 【答案】（1）八 千万 百万 一千二百零五万七千九百 （2）105.36% 5.36 【分析】（1）在数位顺序表中，从右边起，第一位是个位，计数单位是一；第二位是十位，计数单位是十；第三位是百位，计数单位是百；第四位是千位，计数单位是千；第五位是万位，计数单位是万，以此类推；整数的读法，要从个位依次向右每四位为一级，读数时要从高位读起，一级一级往下读每级数按照个级数的读法来读，读完万级加个万，据此解答。 （2）百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”；再把全年目标任务看作单位“1”，用超额完成的分率减去单位“1”即可解答。 【解答】（1）12057900是八位数，最高位是千万位，“2”表示2个百万，这个数读作一千二百零五万七千九百。 （2）百分之一百零五点三六写作105.36%， 105.36%－1＝5.36% 说明超额完成全年目标任务的5.36%。 【考点三】百分数、小数及分数的互化 【典例一】（ ）∶10＝＝12÷（ ）＝（ ）（小数）＝（ ）%＝（ ）折。 【答案】6 20 0.6 60 六 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数化成小数，用分子除以分母即可； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号； 根据折扣的意义，百分之几十就是几折，百分之几十几就是几几折。 【解答】＝＝，＝6∶10 ＝＝，＝12÷20 ＝3÷5＝0.6 0.6＝60% 60%＝六折 即6∶10＝＝12÷20＝0.6＝60%＝六折。 【典例二】9∶（    ）＝21÷（    ）＝＝（    ）%＝七五折。 【答案】12；28；63；75 【分析】根据折扣的意义，百分之几十就是几折，百分之几十几就是几几折； 百分数化成分数：先把百分数改写成分母为100的分数，然后能约分的要约成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 【解答】七五折＝75% 75%＝＝ ＝＝，＝9∶12 ＝＝，＝21÷28 ＝＝ 即9∶12＝21÷28＝＝75%＝七五折。 【典例三】（ ）÷20＝＝24∶（ ）＝（ ）%＝（ ）折＝（ ）（填小数）。 【答案】12 40 60 六 0.6 【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空，用分子除以分母可得小数，小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可，根据几折就是百分之几十，确定折数。 【解答】 12÷20＝＝24∶40＝60%＝六折＝0.6。 【典例四】＝0.3＝12÷（     ）＝（     ）%＝（     ）∶30。 【答案】；40；30；9 【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；据此可得0.3＝；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘4，可得＝；将的分子和分母同时乘3，可得＝；根据分数与除法的关系，可得＝12÷40；根据分数和比的关系，可得＝9∶30；小数化为百分数，小数点向右移动2位，再在小数的末尾加上百分号；据此可得0.3＝30%。 【解答】0.3＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝12÷40 ＝9∶30 0.3＝30% ＝0.3＝12÷40＝30%＝9∶30。 【考点四】折扣问题 【典例一】联合国教科书组织自1995年起，把4月23日定为“世界阅读日”，希望借助这个重要的日子，向大家推广阅读和写作。2023年4月23日这天，各网站推出了购书优惠活动：A网站可享“每满200元减80元”，B网站可享“折上折”，即先打七折再打九折。王老师为充实班级图书角，打算购买一套原价1200元的图书，在哪个网站购书更优惠？ 【答案】A站更优惠 【分析】A网站：每满200元减80元；用1200÷200，求出1200里面有几个200元，再乘80，求出优惠的钱数，再用原价－优惠的价钱，求出A网站购买一套图书需要的钱数。 B网站：先打七折再打九折；七折就是现价是原价的70%，用原价×70%，求出这套图书七折需要的钱数；九折就是现价是原价的90%，用打七折后的钱数×90%，求出购买一套图书需要的钱数，再进行比较，即可解答。 【解答】A网站： 1200÷20＝6（个） 80×6＝480（元） 1200－480＝720（元） B网站：七折就是现价是原价的70%；九折就是现价是原价（打七折后的价格）的90%。 1200×70%×90% ＝840×90% ＝756（元） 720＜756，A网站更优惠。 答：A网站更优惠。 【典例二】某服装城卖一款衬衫，如果每件售价250元，那么售价的是进价，售价的就是赚的钱。现在要搞促销活动，为保证一件衬衫赚的钱不少于50元，折扣不能低于多少？ 【答案】八折 【分析】由题意可知，把售价看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，利用售价乘求出进价，再利用进价加上50可得折扣后的售价，再根据求一个数占另一个数的百分之几，用除法计算，用折扣后的售价除以原售价就是最低折扣。 【解答】（元） （元） 八折 答：折扣不能低于八折。 【典例三】“”的首字母大写时是“中国”，小写时是“瓷器”。中国是“瓷”文化的发源地，瓷器也是世界认识中国、中国走向世界的文化符号。某商店的一件瓷器在“五一”劳动节当天按标价打八折出售，售价是576元，这件瓷器的标价是多少元？ 【答案】720元 【分析】根据题意，按标价打八折出售，即售价是标价的，把标价看作单位“1”，单位“1”未知，用售价除以，求出这件瓷器的标价。 【解答】 （元） 答：这件瓷器的标价是720元。 【典例四】某电器商场销售一种微波炉和一种电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元。“双十一”期间该商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供以下两种优惠方案。 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都打九折。 现某客户要到该商场购买微波炉10台，电磁炉15台。 （1）单独采用哪一种方案更省钱？ （2）请你尽量使用商场的优惠政策给出一种更为省钱的购买方案，试写出你的购买方法。 【答案】（1）方案一 （2）按方案一购买10台微波炉和10台电磁炉，再按方案二买5台电磁炉最省钱。 【分析】（1）买一台微波炉送一台电磁炉，买10台微波炉送10台电磁炉，客户还需单独购买电磁炉15－10＝5台；购买10台微波炉费用为800×10＝8000元；购买5台电磁炉费用为200×5＝1000元；再把购买10台微波炉费用与购买5台电磁的炉费用相加，求出方案一需要的总费用； 微波炉和电磁炉都打九折，打九折就是按原价的90%销售，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答，用每台微波炉、电磁炉的定价乘90%，求出每台微波炉、电磁炉打九折后的价格，再用每台微波炉打折后的价格乘10，求出购买10台微波炉的现价；用每台电磁炉打折后的价格乘15，求出15台电磁炉的现价；再把10台微波炉的现价与15台电磁炉的现价相加求出总价； 最后把方案一和方案二的总价进行比较，得出哪种方案更省钱。 （2）先按方案一购买10台微波炉，送10台电磁炉，求出此时花费800×10＝8000元。 还需购买电磁炉15－10＝5台，这5台按方案二打九折购买，费用为200×5×90%＝900元。最后相加，求出这种购买方法的总费用，与上一题中方案一、方案二的总价进行比较，得出这种购买方法更省钱。 【解答】（1）方案一： 800×10＋（15－10）×200 ＝8000＋5×200 ＝8000＋1000 ＝9000（元） 方案二： 800×90%×10＋200×90%×15 ＝800×0.9×10＋200×0.9×15 ＝7200＋2700 ＝9900（元） 9000＜9900 答：单独采用方案一更省钱。 （2）先按方案一购买10台微波炉，送10台电磁炉，再按方案二购买15－10＝5台电磁炉； 800×10＋200×90%×5 ＝800×10＋200×0.9×5 ＝8000＋900 ＝8900（元） 8900＜9000＜9900 答：按此方法购买的总费用是8900元，先按方案一购买10台微波炉，10台电磁炉，再按方案二购买5台电磁炉最省钱。 【考点五】成数问题 【典例一】李奶奶家去年收获土豆14吨，今年改种新品种后比去年增产二成。今年收获土豆多少吨？ 【答案】16.8吨 【分析】首先根据题意，把李奶奶去年收获土豆重量看作单位“1”，已知今年改种新品种后比去年增产二成，则今年是去年的（1＋20%）；然后根据百分数乘法的意义，用李奶奶去年收获土豆的重量乘120%求出今年收获土豆的重量即可。 【解答】14×（1＋20%） ＝14×1.2 ＝16.8（吨） 答：今年收获土豆16.8吨。 【典例二】某超市销售的一种电饭煲的利润是成本的三成，已知它的售价是每台390元，这种电饭煲的成本是每台多少元？（列方程解答） 温馨提示 售价＝利润＋成本 【答案】300元 【分析】将成本看作单位“1”，几成就是百分之几十，据此确定利润的对应百分率，成本×利润对应百分率＝利润，设这种电饭煲的成本是每台x元，根据利润＋成本＝售价，列出方程解答即可。 【解答】解：设这种电饭煲的成本是每台x元。 30%x＋x＝390 1.3x＝390 1.3x÷1.3＝390÷1.3 x＝300 答：这种电饭煲的成本是每台300元。 【典例三】商场星期三销售了660件服装，比星期二的服装销量多一成，星期四的服装销量比星期二多两成五，商场星期四的服装销量是多少件？ 【答案】750件 【分析】一成就是10%，二成五就是25%。把星期二的服装销量看作单位“1”，则星期三的服装销量是星期二的（1＋10%），已知星期三销售了660件服装，根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用660除以（1＋10%）即可求出星期二的服装销量。星期四的服装销量比星期二多25%，则星期四的服装销量是星期二的（1＋25%），根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”，用星期二的服装销量乘（1＋25%）即可求出商场星期四的服装销量。 【解答】660÷（1＋10%） ＝660÷1.1 ＝600（件） 600×（1＋25%） ＝600×1.25 ＝750（件） 答：商场星期四的服装销量是750件。 【点评】求比一个数多（或少）百分之几的数是多少，先求出未知数占单位“1”的百分之几，再用乘法计算；已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数，先求出已知数占未知数的百分之几，再用除法计算。 【典例四】去年张大爷家果园里的脐橙受冷空气影响比前年减产了一成五，共收获脐橙1700千克，那么前年张大爷家共收获了多少千克脐橙？ 【答案】2000千克 【分析】一成五表示15%，把前年收获的脐橙数量看作单位“1”，去年收获的脐橙数量是前年的（1－15%），又已知去年一共收获脐橙1700千克，根据百分数除法的意义，用1700÷（1－15%）即可求出前年收获的脐橙数量。据此解答。 【解答】1700÷（1－15%） ＝1700÷85% ＝2000（千克） 答：前年张大爷家共收获了2000千克脐橙。 【点评】本题主要考查了成数问题和百分数的应用，明确已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数用除法计算。 【考点六】利率问题 【典例一】张大爷有10000元钱，现在某银行推出一年期的理财方式，年收益率为5%，每年到期后还可以连本带息继续购买下一年的这个理财产品。请问三年后，张大爷连本带息一共能得到多少元钱？ 【答案】11576.25元 【分析】根据题意，我们知道张大爷的本金是10000元，年收益率是5%，所以我们可以根据本息和＝本金×存期×（1＋利率），先计算出第一年的本息和，然后再用这个结果去计算第二年的本息和，最后再用第二年的结果去计算第三年的本息和，据此解答即可。 【解答】10000×（1＋5%）×（1＋5%）×（1＋5%） ＝10000×1.05×1.05×1.05 ＝10500××1.05×1.05 ＝11025×1.05 ＝11576.25（元） 答：三年后，张大爷连本带息一共能得到11576.25元钱。 【典例二】李明去年2月1日把2500元存入银行，存期2年，年利率是2.43%，到期时，他一共可以取回本金和利息共多少元？ 【答案】2621.5元 【分析】根据利息＝本金×利率×时间，代入数据，求出到期的利息，再加上本金，即可解答。 【解答】2500×2.43%×2＋2500 ＝60.75×2＋2500 ＝121.5＋2500 ＝2621.5（元） 答：到期时，他一共可以取回本金和利息共2621.5元。 【典例三】根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整。2015年10月中国人民银行公布的存款利率如表： 活期 整存整取 存期 三个月 六个月 一年 二年 三年 年利率（%） 0.35 1.10 1.30 1.5 2.10 2.75 2015年11月，李爷爷把5000元钱存入中国人民银行，存三年，到期时可以取回多少钱呢？ 【答案】5412.5元 【分析】利息公式：利息＝本金×年利率×存期，到期后取回的钱＝本金＋利息，根据表格，三年期整存整取的年利率为2.75%，存期为三年，本金为5000元，据此列式计算即可。 【解答】5000＋5000×2.75%×3 ＝5000＋137.5×3 ＝5000＋412.5 ＝5412.5（元） 答：到期时可以取回5412.5元。 【典例四】今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。爸爸妈妈有不同的方案。 （1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ （2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持谁的方案 【答案】（1）726.48元； （2）860元，支持爸爸 【分析】利息＝本金×时间×利率。本息＝本金＋利息。 （1）两年妈妈一共取得的利息＝第一年的本金和利息×时间×利率＋第一年的利息。 （2）根据公式，求出爸爸的利息，再与妈妈的利息相比较，即可解答。 【解答】（1）20000×1×1.8%＝360（元） 20000＋360＝20360（元） 20360×1×1.8%＝366.48（元） 360＋366.48＝726.48（元） 答：两年一共可得726.48元。 （2）20000×2×2.15%＝860（元） 860元＞726.48元，爸爸获得的利息高于妈妈获得的利息。 答：到期后可利息860元，如果我是小明，会支持爸爸的方案。 【考点七】税率问题 【典例一】一家毛绒玩具工厂三月份按5%的税率缴纳了4万元的营业税，该工厂三月份的营业额是多少万元？ 【答案】80万元 【分析】根据税率＝营业税÷营业额×100%，则营业额＝营业税÷税率，据此得解。 【解答】4÷5%＝80（万元） 答：该工厂三月份的营业额是80万元。 【典例二】李叔叔得到了一笔小于5000元的稿费，其中1500元是免税的，其余部分要按14%的税率缴税，这笔稿费共缴税420元，这笔稿费一共多少元？ 【答案】4500元 【分析】由“应纳税额＝应纳税部分×税率”可知，应纳税部分＝应纳税额÷税率，先求出应纳税部分的稿费，再加上免税部分的稿费，据此解答。 【解答】420÷14%＋1500 ＝3000＋1500 ＝4500（元） 答：这笔稿费一共4500元。 【点评】本题主要考查税率问题，掌握应纳税额、税率、应纳税部分之间的关系是解答题目的关键。 【典例三】小红家买了一套标价为70万元的商品房。他们选择了一次付清房款，打九五折优惠价付款。 （1）打折后房子的总价是多少元？ （2）买这套房子还要按照实际房价的1.5%缴纳契税，契税是多少元？ 【答案】（1）665000元 （2）9975元 【分析】（1）根据原价×折扣＝现价，用70乘95%，最后再换算单位即可； （2）用商品房的现价乘税率即可求出应缴纳多少契税。 【解答】（1）70×95%＝66.5（万元）＝665000（元） 答：打折后房子的总价是665000元。 （2）665000×1.5%＝9975（元） 答：契税是9975元。 【点评】本题考查折扣和税率问题，明确几折就是百分之几十是解题的关键。 【典例四】我国个人所得税法规定，个人月收入超过3500元的部分应缴纳个人所得税。（税率如下表） （1）若张明的爸爸10月的收入是9000元，他税后收入是多少元？ （2）若张明的爸爸11月的税款是515元，他收入是多少元？ 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元 3% 2 超过1500元至4500元 10% 3 超过4500元至9000元 20% … …… … 【答案】（1）8455元； （2）8850元 【分析】（1）先求出超出3500元的部分是9000－3500＝5500元，用超出的每一档×对应税率，第1级：1500×3%，第2级：（4500－1500）×10%，第3级：（5500－4500）×20%，分别计算，再相加即可求出张明的爸爸10月缴纳的个人所得税，再用9000元减去个人所得税即可得解。 （2）根据第一小题可知，张明的爸爸达到第3级，前2级所缴纳的个人所得税是：1500×3%＋（4500－1500）×10%＝345元，用515元减去345元，求出第3级缴纳的个人所得税为170元，170除以对应的税率20%等于850元，再加上4500元求出超出部分是5350元，加上3500元，即可求出张明的爸爸的收入。 【解答】（1）9000－3500＝5500（元） 9000－[1500×3%＋（4500－1500）×10%＋（5500－4500）×20%] ＝9000－[45＋3000×0.1＋1000×0.2] ＝9000－[45＋300＋200] ＝9000－545 ＝8455（元） 答：他税后收入是8455元。 （2）515－1500×3%－（4500－1500）×10% ＝515－1500×0.03－3000×0.1 ＝515－45－300 ＝470－300 ＝170（元） 170÷20%＋4500＋3500 ＝170÷0.2＋4500＋3500 ＝850＋4500＋3500 ＝8850（元） 答：他收入是8850元。 【点评】此题解答关键是明确个人所得税征收标准，按照收入的多少，分级按照不同的税率进行计算。 【考点八】利润问题 【典例一】中国四大毛笔之乡有：浙江湖笔之乡、安徽宣笔之乡、河北侯笔之乡和山东齐笔之乡。某生产商将每支毛笔按商店定价的七折批发给商店，商店将定价降低10%卖给消费者。如果商店中每支毛笔的定价是7.2元，那么商店售出一支这种毛笔盈利多少元？ 【答案】1.6元 【分析】把原来每支毛笔的定价看作单位“1”，现在的定价是7.2元，比原来的定价降低10%，原来的定价＝现在的定价÷（1－10%），每支毛笔的进价＝原来每支毛笔的定价×70%，每支毛笔的利润＝现在每支毛笔的定价－每支毛笔的进价，据此解答。 【解答】七折＝70% 7.2÷（1－10%） ＝7.2÷0.9 ＝8（元） 8×70%＝5.6（元） 7.2－5.6＝1.6（元） 答：商店售出一支这种毛笔盈利1.6元。 【典例二】李先生以标价的95%买下一套房子，经过一段时间后，他又以超出原价的40%将房子卖出。这段时间物价的总涨幅是20%，问李先生买进和卖出这套房子所得利润率为百分之几？ 【答案】22.8% 【分析】假设房子标价为100万元，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，则100×95%＝95（万元）买进，100×（1＋40%）＝140（万元）卖出。物价上涨20%，则当初的95万元相当于95×120%＝114（万元），再根据利润率＝利润÷买进价×100%，代入数据计算即可。 【解答】假设房子标价为100万元。 100×95%＝95（万元） 100×（1＋40%） ＝100×140% ＝140（万元） 95×120%＝114（万元） （140−114）÷114×100% ＝26÷114×100% ≈22.8% 答：李先生买进和卖出这套房子所得利润率为22.8%。 【点评】因题目中没有具体量，可假设房子标价的具体量，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，求出相应的价格，物价涨幅是以原物价为单位“1”，用乘法计算求出相当于现价多少，最后根据利润率＝利润÷买进价×100%解答。 【典例三】年末将到，商家为了促销某种商品，在现在的零售价的基础上打了七五折，接着又打了八折，这时零售价为360元，按这一价格出售，商店还有20%的利润。 （1）这种商品未打折前的零售价是多少？ （2）这种商品的进价是多少？ （3）这种商品若按原价出售，利润率为多少？ 【答案】（1）600元 （2）300元 （3）100% 【分析】（1）折扣＝售价÷原价，已知售价和折扣，求原价用售价除以折扣； （2）利润率为20%，说明售价是进价的120%，用售价除以120%； （3）利润率＝（原价－进价）÷进价×100% 【解答】（1）360÷80%÷75% ＝360÷0.8÷0.75 ＝450÷0.75 ＝600（元） 答：这种商品未打折前的零售价是600元。 （2）360÷（1＋20%） ＝360÷120% ＝360÷1.2 ＝300（元） 答：进价是300元。 （3）（600－300）÷300×100% ＝300÷300×100% ＝1×100% ＝100% 答：利润率为100%。 【典例四】某药材加工厂，有精加工和粗加工两种工艺（不能同时进行），相关信息如下表所示： 工艺 药材原料每天加工的吨数 成品率 每吨成品的利润（元） 精加工 6 70% 2400 粗加工 14 80% 800 （1）根据上表信息，两种工艺各加工一天，分别获得多少利润？ （2）李叔叔请工厂加工80吨药材原料，并要求10天内完成。请你帮工厂安排一下，用精加工和粗加工各加工几天，不但能按时完成，而且使利润最多？ （3）按上述方案，完成加工后工厂共得利润多少元？ 【答案】（1）10080元；8960元； （2）7.5天；2.5天； （3）98000元 【分析】（1）根据利润＝每天加工的吨数×成品率×每吨成品的利润，即可解题。 （2）设精加工x天，可得粗加工（10－x）天，根据题意列出方程，解方程即可。 （3）根据题意，用精加工工艺加工一天可获得利润乘精加工的天数、粗加工工艺加工一天可获得利润乘粗加工的天数，分别求出精加工工艺加工部分获得的利润、粗加工工艺加工部分获得的利润，再相加求和即可。 【解答】（1）6×70%×2400＝10080（元） 14×80%×800＝8960（元） 答：精加工工艺加工一天，获得10080元利润，粗加工工艺加工一天，获得8960元利润。 （2）解：设精加工x天，则粗加工（10－x）天，可得： 6x＋（10－x）×14＝80 6x＋140－14x＝80 140－8x＝80 140－8x＋8x ＝80＋8x 140－80＝80＋8x－80 8x＝60 x＝7.5 10－7.5＝2.5（天） 答：精加工7.5天，粗加工2.5天。 （3）10080×7.5＋8960×2.5 ＝75600＋22400 ＝98000（元） 答：共获得利润98000元。 【点评】本题考查了列方程解决问题的方法，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程是解题的关键。 专题05负数与数轴 【考点一】负数的概念和辨认 【典例一】在18，﹣33，0.78，0，﹣3.2中，正数有（ ），负数有（ ），（ ）既不是正数也不是负数。 【答案】18；0.78 ﹣33；﹣3.2 0 【分析】比0大的数叫正数，比0小的数叫负数，负数前边都带负号“﹣”，正数前边的正号“﹢”可以省略，0既不是正数，也不是负数，据此解答。 【解答】18，﹣33，0.78，0，﹣3.2中 正数有：18，0.78； 负数有：﹣33，﹣3.2； 0既不是正数，也不是负数。 在18，﹣33，0.78，0，﹣3.2中，正数有18，0.78，负数﹣33，﹣3.2，0既不是正数，也不是负数。 【典例二】在0.5、﹣7.3、﹢1.8、﹣6.7、、、0中，正数有（ ）个，负数有（ ）个。 【答案】3 3 【分析】比0大的数是正数，正数可以在数字前加“﹢”，一般情况下可省略不写；比0小的数是负数，负数的前面都有“﹣”；0既不是正数，也不是负数；据此解答。 【解答】正数有：0.5、﹢1.8、共3个； 负数有：﹣7.3、﹣6.7、﹣共3个。 在0.5、﹣7.3、﹢1.8、﹣6.7、、﹣、0中，正数有3个，负数有3个。 【典例三】在和这六个数中，负数有（ ），既不是正数也不是负数的是（ ） 【答案】 0 【分析】负数表示与正数意义相反的数，负数的前面都带有负号，据此找出负数；0既不是正数，也不是负数。 【解答】由分析可得：在和这六个数中，负数有﹣0.2、，既不是正数也不是负数的是0。 【典例四】在﹣7、6、0、﹢10、、﹣96、﹣20中，正数有（ ）个，负数有（ ）个，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 【答案】3 3 ﹢10/10 ﹣96 【分析】0既不是正数也不是负数；有“﹣”号的都是负数；正数可以在数字前加“﹢”（正号），一般情况下可省略不写； 正负数的大小比较：两个负数比较大小，距离原点近的数大；正数大于负数；两个正数比较大小，距离原点远的数大。 【解答】正数有： 6、﹢10、，三个； 负数有：﹣7、﹣96、﹣20，三个； ﹣7、6、0、﹢10、、﹣96、﹣20中，正数最大的是﹢10，负数里面最小的是﹣96。 即在﹣7、6、0、﹢10、、﹣96、﹣20中，正数有3个，负数有3个，最大的数是﹢10（或10），最小的数是﹣96。 【考点二】负数的读法和写法 【典例一】如果某人向东走80米记作﹢80米，那么他向西走50米就记作（ ）米，这个数读作（ ）。 【答案】﹣50 负五十 【分析】用正负数表示意义相反的两种量：向东走记作正，则向西走就记作负。由此得解；“﹢”读作“正”，“﹣”读作“负”，然后根据整数的读法读出即可。 【解答】如果某人向东走80米记作﹢80米，那么他向西走50米就记作﹣50米，这个数读作：负五十。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 【典例二】妙妙的妈妈每天都会记录当天的收支情况，5月15日，收入900元，她记为﹢900，这个数读作（ ），当天，家中消费143元，应记为（ ）。5月17日，妈妈的账单上记录在﹢204，﹣246元，那么这天妙妙妈妈的实际收入应记为（ ）。 【答案】正九百 ﹣143 ﹣42 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定收入记为正，那么消费就记为负，由于最后一个是﹢204表示收入204元，﹣246表示支出246元，即支出的费用比较多，用246减204即可求出相差多少元，由于支出比较多，则得到的结果是支出多少元，由此即可填空； 正数的读法：先读“正”（如果“﹢”没有写，不需要读正字），数字部分按数的读法去读。 【解答】收入900元，她记为﹢900，这个数读作：正九百； 消费143元，应记为﹣143； 相差：246－204＝42（元） 这天妙妙妈妈的实际收入应记为﹣42。 【点评】本题考查正数的读法、正负数的意义及应用，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 【典例三】中华金叶榆以它耀眼的金黄色吸引人们的注意，让人们心情愉悦。它耐寒冷，可耐零下43℃的低温，零下43℃记作（ ）；它抗高温，在气温高达﹢38℃时也不会受到伤害，﹢38读作（ ）。 【答案】﹣43℃ 正三十八 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，零上温度记作正数，则零下温度记为负数；正数的读法，在数字前加上“正”，负数在数字前加“﹣”。 【解答】根据正、负数的表示方法可知：零下43℃记作﹣43℃； 根据正数的读法可知：﹢38读作正三十八。 所以零下43℃记作﹣43℃，﹢38读作正三十八。 【典例四】山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线上的数读作（ ），省略“万”位后面的尾数约是（ ）万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作（ ），表示（ ）摄氏度。 【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读。 【解答】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六，省略“万”位后面的尾数约是3492万；山西四季分明，冬季白天平均气温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二，表示零下二摄氏度。 【考点三】正负数的意义及应用 【典例一】爸爸今年6月工资收入8500元，记作：﹢8500元；支出老人生活费2000元，记作（ ）元；支出明明零用钱100元，记作（ ）元；利息收入400元，记作（ ）元。 【答案】﹣2000 ﹣100 ﹢400 【分析】分析题目，用正负数表示两种相反意义的量，支出用负数表示，支出多少就记作﹣多少元，收入用正数表示，收入多少就记作﹢多少元，据此解答。 【解答】爸爸今年6月工资收入8500元，记作：﹢8500元；支出老人生活费2000元，记作﹣2000元；支出明明零用钱100元，记作﹣100元；利息收入400元，记作﹢400元。 【典例二】朋朋向东走6m，记作﹢6m，那么他走了﹣50m表示他向（ ）走了（ ）m；如果朋朋从起点开始先向东走了10m，再向（ ）走（ ）m，这时他所在的位置记作﹣20m。 【答案】西 50 西 30 【分析】（1）朋朋向东走6m，记作﹢6m，即规定向东为正，向西为负。﹣50是负数，表示他向西走了50m。 （2）﹣20m表示明明最终的位置在起点的西边20m。如下图。 通过观察上图发现，朋朋从起点开始先东走10m，再向西走10m回到起点，继续向西走20m到达﹣20m，即朋朋向西走了30m。 【解答】（1）朋朋向东走6m，记作﹢6m，那么他走了﹣50m表示他向西走了50m。 （2）10＋20＝30（m），所以如果朋朋从起点开始先向东走了10m，再向西走30m，这时他所在的位置记作﹣20m。 【点评】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。 【典例三】在一次诗词大赛中，某小组四位同学的成绩如表： 姓名 张敏 李燕 王华 胡月 成绩/分 87 ？ 96 95 已知四位同学的平均成绩是92分，则李燕的成绩是（ ）分。如果把胡月的成绩记作﹢3分，那么张敏的成绩记作（ ）分。 【答案】90 ﹣5 【分析】因为平均分＝总分数÷人数，所以总分数＝平均分×人数，那么李燕的成绩＝总成绩－其余三人的成绩。 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：95－3＝92（分），选92分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。 【解答】92×4＝368（分） 368－87－96－95 ＝281－96－95 ＝185－95 ＝90（分） 故李燕的成绩是90分。 95－3＝92（分） 87－92＝﹣5（分） 故张敏的成绩记作﹣5分。 【点评】此题考查的目的是能够根据统计图提供的信息，解决有关正负数的实际问题。 【典例四】体育老师对中心路小学六年级男生进行了仰卧起坐的达标测试，以1分钟25个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示。老师记录的其中8名同学的成绩如下： 2 ﹣1 0 3 ﹣2 ﹣3 1 0 （1）请同学动手算算这8名同学有（ ）%达到标准。 （2）他们共做了（ ）个仰卧起坐。 【答案】（1）62.5 （2）200 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。规定以1分钟25个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示。那么表中成绩记作为“0”和正数的都是达标的成绩，共有5人达标；根据“达标率＝达标的人数÷总人数×100%”，即可求出达标率。 （2）表中的成绩记作“2”的，表示这名同学做了（25＋2）个仰卧起坐；表中的成绩记作“﹣1”的，表示这名同学做了（25－1）个仰卧起坐；表中的成绩记作“0”的，表示这名同学做了25个仰卧起坐；以此类推，先分别求出每个同学做仰卧起坐的个数，再相加，就是他们一共做仰卧起坐的总个数。 【解答】（1）5÷8×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 这8名同学有62.5%到标准。 （2）（25＋2）＋（25－1）＋25＋（25＋3）＋（25－2）＋（25－3）＋（25＋1）＋25 ＝27＋24＋25＋28＋23＋22＋26＋25 ＝200（个） 他们共做了200个仰卧起坐。 【点评】本题考查正负数的意义，知道以哪个数为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负；掌握达标率的意义及计算方法。 【考点四】正、负数的大小比较 【典例一】把、7.5、0、、这五个数按从小到大的顺序排列。 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 【答案】﹣27 ﹣6 ﹣3 0 7.5 【分析】负数＜0＜正数；负数比大小，不管负号，数值越大的负数越小，据此分析。 【解答】﹣27＜﹣6＜﹣3＜0＜7.5 【典例二】下表记录了某日我国几个城市的平均气温。 北京 哈尔滨 上海 崇左 ﹣8℃ ﹣22℃ 3℃ 20℃ 请将各个城市的平均气温从高到低进行排列：（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）。 【答案】20℃ 3℃ ﹣8℃ ﹣22℃ 【分析】正数＞0＞负数， 负数比较大小，先不考虑负号，数字部分大的数反而小。 【解答】20℃＞3℃＞﹣8℃＞﹣22℃ 【点评】比0小的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。 【典例三】把﹣0.5、2.5、﹣1.5、﹣3这四个数按从大到小的顺序排列起来是：（ ）。 【答案】2.5＞﹣0.5＞﹣1.5＞﹣3 【分析】0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大；比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小；也就是负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。正数的数字前面的“﹢”可以省略不写，负数的数字前面的“﹣”不能省略。 【解答】把﹣0.5、2.5、﹣1.5、﹣3这四个数按从大到小的顺序排列起来是： 2.5＞﹣0.5＞﹣1.5＞﹣3 【点评】本题考查正负数的认识和正负数大小的比较。 【典例四】淘气观察家里冰箱设置的温度。发现冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度为﹣18℃。元旦期间，妈妈买回一些水果，放在了冰箱的变温室里，为了更好的保解，妈妈把变温室的温度设置为0℃。 把以上出现的温度从低到高排列出来：（ ）℃＜（ ）℃＜（ ）℃。 （如果有困难。可以借助上图的温度计进行思考。） 【答案】﹣18 0 5 【分析】当温度低于0摄氏度时，用负数表示；当温度高于0摄氏度时，用正数表示，据此解答。 【解答】根据分析可知：﹣18℃＜0℃＜5℃； 【点评】负数的温度在0摄氏度以下，正数的温度在0摄氏度以上。 【考点五】数轴上表示正负数 【典例一】在直线上表示下面各数。 ﹣6    ﹣4.5    1    ﹢6         【答案】见详解 【分析】在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序；正数都在0的右边，负数都在0的左边，按照大小顺序在数轴上表示出来即可，0到7之间有7个小格，所以下面的数轴上每个小空格表示1。 【解答】如图： 【典例二】在直线上表示下列各数。 2.5     ﹣     ﹣4         2    ﹣2 【答案】见详解 【分析】数轴是规定了原点（0点）、方向和单位长度的一条直线。原点的左边是负数，原点的右边是正数，在数轴上的数从左到右依次变大。从原点向左的每个单位长度分别是﹣1、﹣2、﹣3…。右边是正数，从原点向右每个单位长度分别是1、2、3…。2.5就是2和3的中间；﹣就是将0到﹣1之间的距离看成单位“1”，平均分成2份，取其中的1份；就是将0到1之间的距离看成单位“1”，平均分成4份，取其中的3份。据此解答。 【解答】 【典例三】在下面直线上描出表示“﹣3，2.5和”的各点，并写出相应的数。 【答案】见详解 【分析】﹣3是负数，负数是小于0的数，在0左边的第三段。 2.5在2和3中间； 将转化为小数，即，则在1到2中间。 【解答】 【典例四】在直线上标出、1.5、。这三个数，用点表示出来，并圈出最接近0的那个数。 【答案】 【分析】把直线上的“1”，平均分成6份，其中的1份用分数表示是，将小数化成分数，再将三个分数进行通分，数出有几个，然后把这三个数在直线上用点表示出来即可。然后通过观察图，比较它们与0的距离，距离越小，越接近0。 【解答】在直线上，负数在0的左边，正数在0的右边。 ，里有4个，从0开始往左边数，数出4份，点上一个点，这个点就是表示； ，里有9个，从0开始往右边数，数出9份，点上一个点，这个点就是表示1.5； ，里有17个，从0开始往右边数，数出17份，点上一个点，这个点就是表示； 在直线上，这三个数，用点表示出来，如图所示： 通过观察可知，与0的距离最小，所以最接近0，在上图圈出即可。 【考点六】用正负数解决稍复杂的问题 【典例一】下面是李老师今年8月份收入和支出情况记录表。 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 ﹢2400 ﹣88 ﹣120 ﹣320 ﹢450 ﹢100 ﹣800 （1）李老师8月份一共收入多少钱？ （2）李老师这个月一共支出多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？（得数保留一位小数） 【答案】（1）2950元；（2）1328元；（3）45.0% 【分析】依据正负数的实际含义，表格中所有的正数表示收入多少元，负数表示支出多少元，也就是正号表示收入，负号表示支出。 （1）将所有的正数相加即可求出李老师收入多少钱； （2）将所有的负数去掉符号相加，即可求出李老师支出多少钱； （3）用总支出除以总收入即可求出李老师这个月的总支出占总收入的百分之几。 【解答】（1）2400＋450＋100 ＝2850＋100 ＝2950（元） 答：李老师8月份一共收入2950元。 （2）88＋120＋320＋800 ＝208＋320＋800 ＝528＋800 ＝1328（元） 答：李老师这个月一共支出1328元。 （3）1328÷2950×100% ≈0.450×100% ＝45.0% 答：李老师这个月的总支出占总收入的45.0%。 【典例二】下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早，如同一时刻，北京为7时，则东京为8时） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 ﹢1 ﹣14 （1）北京时间2017年5月1日7：00，此时纽约时间是多少？ （2）小明在北京时间9：00想给远在巴黎的叔叔打电话，你认为合适吗？为什么？ 【答案】（1）2017年4月30日18：00 （2）不合适；见详解 【分析】根据正负数的意义可知，如果带正号的数表示同一时刻比北京时间早，那么带负号的数表示同一时刻比北京时间晚。 （1）已知纽约与北京的时差是“﹣13”，那么用北京时间2017年5月1日7：00减去13小时，即是此时纽约时间。 （2）已知巴黎与北京的时差是“﹣7”，那么用北京时间9：00减去7小时，即是此时巴黎的时间，再确定这个时间打电话是否适合。 【解答】（1）0时至7时，经过7小时； 13－7＝6（小时） 24时－6小时＝18时 即2017年4月30日18：00。 答：此时纽约时间是2017年4月30日18：00。 （2）9时－7时＝2时 答：不合适。因为此时正是巴黎深夜2：00。 【典例三】某工厂一周计划每日生产洗衣机150台，由于工厂实行轮休，每天上班人数不一定相同，实际每天产量与计划产量相比情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际产量比计划多多少/辆 ﹣12 ﹢13 ﹣12 ﹢14 ﹢7 ﹣15 ﹣3 （1）星期一和星期二一共生产洗衣机多少台？星期五和星期日一共生产多少台洗衣机？ （2）这一周的实际总产量比计划总产量多还是少？相差多少台？ 【答案】（1）301台；304台    （2）实际总产量比计划产量少；少8台 【分析】（1）把150台看作是基数，根据统计表，负数表示比计划少生产的台数，正数表示比计划多生产的台数，由此求出星期一和星期二生产洗衣机的台数，星期五和星期日生产洗衣机的台数，再分别相加，即可解答； （2）把这一周实际生产洗衣机的台数相加，再与这一周计划生产洗衣机的台数作比较，即可解答。 【解答】（1）（150－12）＋（150＋13） ＝138＋163 ＝301（台） （150＋7）＋（150－3） ＝157＋147 ＝304（台） 答：星期一和星期二一共生产洗衣机301台。星期五和星期日一共生产304台洗衣机。 （2）（150－12）＋（150＋13）＋（150－12）＋（150＋14）＋（150＋7）＋（150－15）＋（150－3） ＝138＋163＋138＋164＋157＋135＋147 ＝1042（台） 150×7＝1050（台） 1050－1042＝8（台） 答：这一周的实际总产量比计划总产量少，少8台。 【典例四】某年“五一”黄金周景区共接待游客44.7万人，比上一年增长20%。每天来景区旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）。 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 5月6日 5月7日 人数变化/万人 ﹢1.8 ﹢0.7 ﹢0.5 ﹣0.6 ﹣0.9 ﹢0.2 ﹣1.4 （1）“五一”黄金周该景区游客数最多的是5月（    ）日，最少的是5月（    ）日。 （2）若把4月30日的游客数记为0，请你认真思考，然后在下图中绘制折线统计图来表示这7天的游客数变化情况吧。 （3）上一年“五一”黄金周该景区共接待游客（    ）万人。 【答案】（1）3；7 （2）见详解 （3）37.25 【分析】（1）根据题意，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，前三天都是连续的正数，表示每天的游客数比前一天多，那么第三天也就是5月3日的游客数最多；后面几天出现负数，说明每天的游客数比前一天少，5月7日的负数最小，说明5月7日游客数最少。 （2）若把4月30日的游客数记为0，结合表格中的正负数，得出该景区每天接待的游客人数的变化，完成折线统计图的绘制。 （3）已知某年“五一”黄金周景区共接待游客44.7万人，比上一年增长20%，把上一年“五一”黄金周景区共接待游客人数看作单位“1”，则这一年接待游客人数是上一年的（1＋20%），单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出上一年“五一”黄金周该景区共接待游客人数。 【解答】（1）“五一”黄金周该景区游客数最多的是5月3日，最少的是5月7日。 （2）5月1日：0＋1.8＝1.8（万人） 5月2日：1.8＋0.7＝2.5（万人） 5月3日：2.5＋0.5＝3（万人） 5月4日：3－0.6＝2.4（万人） 5月5日：2.4－0.9＝1.5（万人） 5月6日：1.5＋0.2＝1.7（万人） 5月7日：1.7－1.4＝0.3（万人） 如图： （3）44.7÷（1＋20%） ＝44.7÷（1＋0.2） ＝44.7÷1.2 ＝37.25（万人） 上一年“五一”黄金周该景区共接待游客37.25万人。 专题06因数与倍数 【考点一】因数和倍数的认识 【典例一】某班学生人数在40人到50人之间，男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有男生（ ）人。 【答案】20 【分析】把男生人数看作5份，女生人数看作6份，则全班人数看作11份，则全班人数是11的倍数，某班学生人数在40人到50人之间，则全班人数是44人，据此解答即可。 【解答】全班人数是44人 44÷（5＋6）×5 ＝4×5 ＝20（人） 【点评】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配的解题方法。 【典例二】一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最大是（ ）。 【答案】858 【分析】根据题意可知，在17的倍数中，‌最大的两位数是17×5＝85。然后需要找到一个三位数，‌其个位数字去掉后能得到85，‌并且这个三位数还需要是3的倍数。‌考虑到3的倍数的特性，‌我们需要找到一个数字加到85上使其成为3的倍数。‌通过尝试不同的个位数字，‌发现‌当个位数字为8时，‌整个三位数858是3的倍数，‌因为8＋5＋8＝21，‌而21是3的倍数。‌据此解答即可。 【解答】由分析可得，一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最大是858。 【典例三】若A的最大因数是13，B的最小倍数是1，那么A＋B的和的所有因数有（ ）个，A－B的差的所有因数有（ ）个。 【答案】4 6 【分析】已知A的最大因数是13，根据“一个数的最大因数是它本身”，可知A是13； 已知B的最小倍数是1，根据“一个数的最小倍数是它本身”，可知B是1； 然后分别求出A＋B的和、A－B的差，再写出和、差的所有因数，数出个数即可。 【解答】A＝13，B＝1； A＋B＝13＋1＝14 14的因数有：1，2，7，14；有4个； A－B＝13－1＝12 12的因数有：1，2，3，4，6，12；有6个。 那么A＋B的和的所有因数有4个，A－B的差的所有因数有6个。 【典例四】在数字卡片2、49、51、1、17、4、24、12中，摸到质数的可能性是（ ），摸到24的因数的可能性是（ ），选出4个数组成一个比例是（ ）。 【答案】 24∶2＝12∶1 【分析】质数指的是只有1和它本身两个因数的自然数； 数字卡片中的质数有：2和17； 合数指的是除了1和它本身之外还有其他的因数的自然数； 1既不是质数也不是合数； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 两个比的比值相等，用等号连接组成的式子就是比例。 【解答】质数有2和17，所以摸到的质数可能是2和17， 因此摸到的可能性是； （2）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 数字卡中24的因数有：1，2，4，12，24, 所以摸到24的因数可能性是1，2，4，12，24， 所以摸到的可能性是； （3）24∶2＝12 12∶1＝12 所以组成的比例是：24∶2＝12∶1； 也可以是4∶2＝2 24∶12＝2 所以组成的比例是：4∶2＝24∶12； （答案不唯一） 【点评】考查质数合数以及因数的相关知识，要会求一个数的因数，知道质数与合数的特点，以及比例的含义。 【考点二】找一个数的因数的方法 【典例一】已知，那a的因数有（ ）个。 【答案】6 【分析】由题意可知，我们知道，所以a的因数就是2、2、3的乘积，计算出a＝2×2×3＝12，我们可以通过列乘法算式找因数：把这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数，据此解答即可。 【解答】 ＝4×3 ＝12 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12 共6个。 所以，a的因数有6个。 【典例二】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【解答】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 【典例三】一个数比20小，既是3的倍数又是15的因数，这个数可能是（ ）。 【答案】3或15 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，求出20以内3的倍数和15的因数即可求得。 【解答】3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 3×5＝15 3×6＝18 20以内3的倍数：3、6、9、12、15、18。 15÷1＝15 15÷3＝5 15的因数有：1、3、5、15。 所以，一个数比20小，既是3的倍数又是15的因数，这个数可能是3或15。 【典例四】一个数既是35的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）或（ ）。 【答案】5 35 【分析】根据题意，先找出35的所有因数，再从中找出5的倍数即可。 列乘法算式找35的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是35的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是35的因数。 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。 【解答】通过分析可得： 35＝1×35＝5×7，则35的因数有1、5、7、35； 5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35…。 则这个数可能是5或35。 【考点三】找一个数的倍数的方法 【典例一】一个数既是36的因数，又是6的倍数，而且比6大，比36小。这个数可能是（ ）。 【答案】12或18 【分析】先根据乘法算式找出36的因数，再在所有的因数找找出6的倍数，最后找出比6大，比36小的数即可。 【解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 其中6的倍数：6、12、18、36； 其中比6大，比36小的数：12、18； 这个数可能是12或18。 【典例二】学校舞蹈队人数在60~70人之间，男生人数是女生人数的，女生人数比男生多，女生有（    ）人。 【答案】；40 【分析】根据题意，男生人数是女生人数的，即把学校舞蹈队人数分成3＋5＝8份，其中男生人数占其中的3份，女生人数占其中的5份；求女生人数比男生人数多几分之几，用男生人数份数与女生人数份数的差，除以男生人数的份数，即可；舞蹈队人数分成8份，也就是说舞蹈队人数是8的倍数；先写出8的倍数，就看得出在60~70之间的8的倍数，也就是舞蹈队的人数，再用舞蹈队人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出女生人数。 【解答】男生人数是女生人数的可知， 总人数是3＋5＝8（份） 男生占其中的3份，女生占其中的5份。 （5－3）÷3 ＝2÷3 ＝ 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72… 又因为学校舞蹈队人数在60~70人之间； 那么舞蹈队人数是64人。 64÷8×5 ＝8×5 ＝40（人） 学校舞蹈队人数在60~70人之间，男生人数是女生人数的，女生人数比男生多，女生有40人。 【典例三】为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【答案】42 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 【典例四】在1～200的整数中，是3的倍数或4的倍数的数一共有（ ）个。 【答案】100 【分析】分别计算出3的倍数有多少个、4的倍数有多少个，再减去重复计算的数（3和4的公倍数），即可得解。 【解答】（个）……2，即在1～200的整数中，3的倍数有66个； （个），即在1～200的整数中，4的倍数有50个；    （个）……8，即在1～200的整数中，12的倍数有16个； （个） 在1～200的整数中，是3的倍数或4的倍数的数一共有100个。 【点评】此题考查了倍数的知识及集合问题，要熟练掌握找一个数的倍数的方法。 【考点四】2、3、5的倍数的特征 【典例一】一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填（ ），百位上最大能填（ ）。 【答案】0 8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个数位上数字相加的和是3的倍数，所以这个四位数的个位数字只能是0，再从最大的一位数判断这个数各个数位上的数字之和是否为3的倍数，据此解答。 【解答】分析可知，这个四位数的个位只能填0。 当百位数字为9时，7＋9＋6＋0＝22，22不是3的倍数； 当百位数字为8时，7＋8＋6＋0＝21，21是3的倍数。 所以，一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填0，百位上最大能填8。 【典例二】从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是（ ）。 【答案】570/750 【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。 【解答】由分析可知： 3＋5＝8，8不是3的倍数； 3＋7＝10，10不是3的倍数； 5＋7＝12，12是3的倍数； 即这个三位数可以是570或者是750。 【典例三】“7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是 ，■所代表的数字最小是 。 【答案】0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】“7■24★”是2、5的倍数，那么★一定是0； 7＋■＋2＋4＋0＝13＋■ 要使这个五位数是3的倍数，各个数位上的和应是： 13＋2＝15，13＋5＝18，13＋8＝21； ■可以是2、5、8，其中2最小。 “7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是0，■所代表的数字最小是2。 【典例四】亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是（ ）。 【答案】5925 【分析】已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，那么这个数的个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。要求这四位数最大，所以百位上的数字为9，据此解答。 【解答】因为这个四位数最大，所以百位上是9。又因为个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 当个位是0时，数字和为16，不是3的倍数，不满足条件。 当个位是5时，数字和为21，是3的倍数，所以这个最大的四位数是5925。 【考点五】奇数和偶数的认识 【典例一】有3个连续奇数，中间一个奇数是，这3个数的和是（ ）。这3个数的平均数是（ ）。 【答案】3 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2。 已知3个连续奇数的中间一个奇数是，用中间的奇数分别减2、加2，求出相邻的另外两个奇数。这3个连续奇数相加，求出它们的和；用它们的和除以3，求出这3个数的平均数。 【解答】这3个连续奇数分别是（－2）、、（＋2）。 这3个数的和： （－2）＋＋（＋2） ＝－2＋＋＋2 ＝3 平均数：3÷3＝ 这3个数的和是3，这3个数的平均数是。 【典例二】“哥德巴赫猜想”认为，所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。请你将50写成两个质数的和：50＝（ ）＋（ ）。 【答案】3 47 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】50以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47； 其中3＋47＝50，7＋43＝50，13＋37＝50，19＋31＝50。 填空如下： 将50写成两个质数的和：50＝（3）＋（47）。 （答案不唯一） 【典例三】三张卡片上分别写着3，4，7，用其中任意两张组成两位数。如果组成的两位数是偶数，则明明赢；如果组成的两位数是奇数，则丽丽赢。（ ）赢的可能性较大。 【答案】丽丽 【分析】当个位是4时，组成两位数是偶数，当个位是3或7时，组成两位数是奇数。可能性大小的判断，从两位数的个数上分析。个数多，赢的可能性就大，个数少，赢的可能性就小。据此解答。 【解答】偶数有34、74一共2个，奇数有43、73、47、37一共有4个。因此丽丽赢的可能性较大。 【典例四】在两位数中，能被3整除的最大偶数是（ ），同时能被3和5整除的最小奇数是（ ）。 【答案】96 15 【分析】3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】9＋6＝15，能被3整除； 1＋5＝6，能被3整除； 在两位数中，能被3整除的最大偶数是（96），同时能被3和5整除的最小奇数是（15）。 【考点六】质数与合数的认识 【典例一】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是6，其余各位都是0，这个数写（ ），读作（ ）。 【答案】40096000 四千零九万六千 【分析】合数是因数除了1和它本身两个因数还有其它的因数，最小的合数是4； 只有个位一个数位的数是一位数，最大的一位数是9； 根据数位写出这个数。读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0。 【解答】千万位是4，万位是9，千位是6，其他数位是0 则这个数写作：40096000，读作：四千零九万六千。 【典例二】我国汉族人口的数量截止到2024年是个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，亿位上的数是最小的质数，千万位上是最大的偶数，百万位上的数是最小的合数，千位上是能同时被2和3整除的一位数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是最小的自然数，这个数是 。保留整数约是 亿。 【答案】1284006009 13 【分析】根据质数、合数、偶数的认识，这个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数是1，亿位上的数是最小的质数是2，千万位上是最大的偶数是8，百万位上的数是最小的合数是4，千位上是能同时时被2和3整除的一位数（即2和3的最小公倍数）是6，个位上是最大的一位数是9，其余各位上都是最小的自然数，所以这个数是1284006009。 结合用“四舍五入”求大数近似数的方法，省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此解答即可。 【解答】根据分析可得： 这个数是1284006009。保留整数约是13亿。 【典例三】一个九位数，最高位上是最大的一位数，十万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【答案】900240000 9 【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4。 由题意可知，这个数的亿位上是9，十万位上是2，万位上是4，其它数位上用“0”占位；省略“亿”位后面的尾数就是四舍五入到亿位，看千万位的大小，再进行四舍五入，最后在数的末尾写上“亿”字，据此解答。 【解答】900240000≈9亿 一个九位数，最高位上是最大的一位数，十万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作900240000，省略亿位后面的尾数约是9亿。 【典例四】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作（ ），精确到0.01是（ ）。 【答案】200.499 200.50 【分析】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十分位上是4，最大的一位数是9，即百分位和千分位上是9，其余数位是0，写上0即可，据此写出这个数；精确到0.01就是保留两位小数，看千分位上的数进行四舍五入，据此求出即可。 【解答】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作200.499，精确到0.01是200.50。 【考点七】分解质因数 【典例一】甲、乙玩抽扑克游戏，现有1～9的扑克各若干张，甲、乙两人分别从中取出5张，然后计算五张扑克上数字的乘积，最后发现乘积一样，都为1764，并且甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，那么甲、乙扑克数字之和分别为 。 【答案】28、24 【分析】将1764分解质因数，求和，找出符合甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4的数。 【解答】 ① 此时和为： ② 此时和为： ③ 此时和为： ④ 此时和为： ⑤ 此时和为： 因为甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，所以符合题意的是24和28。 即甲取得扑克数字之和为28，乙取得扑克数字之和为24。 所以甲、乙扑克数字之和分别为28、24。 【点评】考查数字问题。根据数的特征，进行分解质因数，分析每组数字的组合情况，然后求出每组的和即可。 【典例二】小军用计算器算得两个整数的积是385，但是忘记了这两个数，只记得它们都是两位数，都小于50，这两个数是（ ）和（ ）。 【答案】11 35 【分析】将385分解质因数，再确定两个都小于50的因数即可。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】 385＝5×7×11 5×7＝35 这两个数是11和35。 【典例三】有四个数相乘975×935×972×口，要使它的积最后4个数都是0，则口里最小应填（ ）。 【答案】20 【分析】一个数末尾要有0，那它必须能被10整除。因为2×5＝10，10×10×10×10＝10000，要使它的积最后4个数都是0，那么积分解质因数后就一定要有4个2和4个5。因此先将975、935、972分别分解质因数，看它们的质因数中一共有几个2和5，还少几个，还少的这几个2和5的乘积就是口的值。 【解答】975＝5×5×3×13 935＝5×11×17 972＝2×2×3×3×3×3×3 口＝5×2×2＝20。 口里最小应填20。 【典例四】一个长方体中相邻两个面的面积分别是15cm2，21cm2，这个长方体（长、宽、高都是质数）的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】142 105 【分析】长方体相对的面面积相等，其中前或后面的面积＝长×高，上、下面的面积＝长×宽，左或右面的面积＝宽×高。这个长方体的长、宽、高都是质数，且相邻两个面的面积分别是15cm2、21cm2，那么把15和21分别分解质因数，从而确定长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】15＝5×3 21＝7×3 则这个长方体的长、宽、高分别是7cm、5cm、3cm。 表面积：（7×5＋7×3＋5×3）×2 ＝（35＋21＋15）×2 ＝71×2 ＝142（cm2） 体积：7×5×3＝105（cm3） 则这个长方体的表面积是142cm2，体积是105cm3。 【考点八】奇偶性 【典例一】“”的和是（ ）数（填“奇”或“偶”），这9个数的平均数是（ ）。 【答案】奇 39 【分析】偶数个奇数相加得偶数；奇数个奇数相加得奇数，奇数＋偶数＝奇数；再根据平均数＝总数÷数据个数，代入数据计算即可。 【解答】一共是有奇数5个，偶数有4个；5个奇数的和奇数；4个偶数的和是偶数，5个奇数和＋4个偶数和＝奇数； 所以的和是奇数。 （）÷9 ＝（71＋37＋38＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（108＋38＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（146＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（185＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（225＋41＋42＋43）÷9 ＝（266＋42＋43）÷9 ＝（308＋43）÷9 ＝351÷9 ＝39 “”的和是奇数，这9个数的平均数是39。 【典例二】小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是（ ）。 【答案】12 【分析】分析题目，28、40、49的奇偶情况是：偶数、偶数、奇数；如果和是偶数，则反面上的三个数的奇偶情况是偶数、偶数、奇数；和是奇数，则反面上的三个数的奇偶情况是奇数、奇数、偶数。反面上的数都只能被1和它自己整除，是质数，而在质数中，只有2是偶数，所以反面上的三个数的奇偶情况只能是奇数、奇数、偶数，则49的背面是2，正反面之和是49＋2＝51，据此可知反面其他两个数分别为51－28和51－40，据此求出反面三个数的和再除以3即可求出它们的平均数。 【解答】因为28、40、49奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，所以49的背面是2，和为49＋2＝51。 [（51－28）＋（51－40）＋2]÷3 ＝[23＋11＋2]÷3 ＝36÷3 ＝12 小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是12。 【典例三】兰兰将99颗珠子装入两种盒子中，每个大盒子能装12颗，每个小盒子能装5颗，恰好装满若干个盒子。已知盒子数大于10，则大盒子有 个。 【答案】2 【分析】设大盒有x个，小盒有y个，其中x和y都是整数，x＋y＞10。根据大盒装珠子的数量＋小盒装珠子的数量＝99颗，列出等式：12x＋5y＝99。99是奇数，奇数＋偶数＝奇数，12x肯定是偶数，5y只能是奇数。则y的取值应该是奇数，对y的取值分类讨论，得出x的值，x＝（99-5y）÷12，再得出x＋y的值，看是否符合题意。 【解答】当y＝1时， 99－5×1 ＝99－5 ＝94（个） 94不能被12整除，不符合题意； 当y＝3时， 99－5×3 ＝99－15 ＝84（个） 84÷12＝7（个） 3＋7＝10（个）， 不符合题意； 当y＝5时， 99－5×5 ＝99－25 ＝74（个） 74不能被12整除，不符合题意； 当y＝7时， 99－5×7 ＝99－35 ＝64（个） 64不能被12整除，不符合题意； 当y＝9时， 99－5×9 ＝99－45 ＝54（个） 54不能被12整除，不符合题意； 当y＝11时， 99－5×11 ＝99－55 ＝44（个） 44不能被12整除，不符合题意； 当y＝13时， 99－5×13 ＝99－65 ＝34（个） 34不能被12整除，不符合题意； 当y＝15时， 99－5×15 ＝99－75 ＝24（个） 24÷12＝2（个） 15＋2＝17（个），17＞10，符合题意； 则大盒子有2个。 【点评】本题关键是明确小盒子个数是奇数。 【典例四】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是（ ）。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】奇数＋偶数＝奇数，因为53是奇数、A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。 【解答】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。 【考点九】最大公因数和最小公倍数 【典例一】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【答案】8，48；1，77；3，204 【分析】利用分解质因数法，把每组数中的合数分解成几个质因数乘积的形式，两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，最大公因数和独有质因数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。求每组数的最大公因数和最小公倍数即可；互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【解答】24和16 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是：2×2×2＝8，最小公倍数是：8×2×3＝48。 11和7 11和7互质，所以11和7的最大公因数是：1，最小公倍数是：11×7＝77。 12和51 12＝2×2×3 51＝3×17 12和51的最大公因数是：3，最小公倍数是：3×2×2×17＝204。 【典例二】分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【答案】11和7的最大公因数是1；最小公倍数是77； 18和6的最大公因数是6；最小公倍数是18； 8和12的最大公因数是4；最小公倍数是24； 9和21的最大公因数是3；最小公倍数是63 【分析】当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【解答】（1）11和7是互质数； 11和7的最大公因数是1； 11和7的最小公倍数是11×7＝77； （2）18和6是倍数关系； 18和6的最大公因数是6； 18和6的最小公倍数是18； （3）8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4； 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24； （4）9＝3×3 21＝3×7 9和21的最大公因数是3； 9和21的最小公倍数是3×3×7＝63。 【典例三】求下面每组数的最大公因数。 36和10       13和23      84和56      25和75 【答案】2；1；28；25 【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数； 互质的两个数，最大公因数是1； 存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，据此解答。 【解答】（1）36＝2×2×3×3， 10＝2×5， 36和10的最大公因数是2。 （2）13和23是互质数，13和23的最大公因数是1。 （3）84＝2×2×3×7， 56＝2×2×2×7， 84和56的最大公因数是2×2×7＝28。 （4）75÷25＝3，25和75的最大公因数是25。 【典例四】找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【答案】（1）12；（2）84 （3）11；（4）32 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数，据此分析。 【解答】（1）4＝2×2、6＝2×3，2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12。 （2）12＝2×2×3、14＝2×7，2×2×3×7＝84 12和14的最小公倍数是84。 （3）11和1互质，11×1＝11 11和1的最小公倍数是11。 （4）32÷16＝2 32和16的最小公倍数是32。 【考点十】运用最大公因数解决问题 【典例一】有85个橘子和51个苹果。如果要把这些水果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，最多要准备多少个塑料袋？每个塑料袋中有几个橘子、几个苹果？ 【答案】17个塑料袋；5个橘子；3个苹果 【分析】根据题意，把85个橘子和51个苹果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，则塑料袋的数量是85和51的公因数；求最多要准备多少个塑料袋，就是求85和51的最大公因数； 先把85和51分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，也就是最多要准备塑料袋的数量。再看橘子、苹果里分别有几个这样的最大公因数，即可求出每个塑料袋中有橘子、苹果的个数。 【解答】85＝5×17 51＝3×17 85和51的最大公因数是17； 即最多要准备17个塑料袋。 橘子：85÷17＝5（个） 苹果：51÷17＝3（个） 答：最多要准备17个塑料袋，每个塑料袋中有5个橘子、3个苹果。 【典例二】将一张长32厘米、宽24厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，有多少种不同的剪法？正方形的边长最大是多少厘米？（在图中画一画） 【答案】4种；8厘米 【分析】把一张长方形纸剪成同样的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数；先列举出32和24的所有因数，从中找出两个数公有的因数，也就是正方形可能的边长，进而得出有几种不同的剪法，其中最大的公因数就是正方形最大的边长。 【解答】32的因数：1，2，4，8，16，32； 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 32和24的公因数：1，2，4，8； 即正方形的边长可能是1厘米、2厘米、4厘米、8厘米，所以有4种不同的剪法。 32和24的最大公因数是8，则正方形的边长最大是8厘米。 如图： 答：有4种不同的剪法，正方形的边长最大是8厘米。 【典例三】端午节是我国的传统节日，被列入国家级非物质文化遗产名录。在端午节，红红和奶奶包了45个红枣粽和37个肉粽，并把它们分别分给了几个亲戚，结果红枣粽正好分完，肉粽还剩1个。红红和奶奶把粽子最多平均分给了几个亲戚？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，几个亲戚实际分了45个红枣粽和37－1＝36（个）肉粽，求最多平均分给几个亲戚，也就是求45和36的最大公因数，据此即可解答。 【解答】37－1＝36（个） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 所以45和36的最大公因数是：3×3＝9，即最多平均分给9个亲戚。 答：红红和奶奶把粽子最多平均分给了9个亲戚。 【典例四】随着造纸工艺的进步，纸的用途也越来越多。王师傅要用正方形壁纸贴满一面背景墙（使用的壁纸必须都是整块），背景墙长40分米，高24分米，王师傅可以把壁纸裁剪成边长是几分米的正方形？边长最大是几分米？ 【答案】边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米 【分析】要使用边长是整分米的正方形壁纸贴满一面背景墙，则需要求出背景墙长、宽的公因数，运用求一个数的因数方法分别求出40和24的因数，再找出它们的公因数，其中最大公因数即为壁纸最大的边长。 【解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 40和24的公因数有1，2，4，8，最大公因数为8。 答：王师傅可以把壁纸裁剪成边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米。 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 【典例一】士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【答案】59人 【分析】根据题意可知，这批士兵人数是6的倍数加上1人；4的倍数加上1人；5的倍数加上1人，也就是6，4，5最小公倍数减去1，根据求最小公倍数的方法：几个数的共有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果这几个数是倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果这几个数是互质数，最小公倍数为几个数的连乘积，据此解答。 【解答】6＝2×3 4＝2×2 5＝1×5 6，4，5的最小公倍数是3×2×2×5＝60。 60－1＝59（人） 答：这批士兵至少有59人。 【典例二】小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的总个数比5和6的公倍数还多2； 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些鸡蛋的总个数。 【解答】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 【典例三】一个老人临终留了17匹马给3个儿子，说老大分得二分之一，老二分得三分之一，老三分得九分之一，不许杀死马。如何分？ 【答案】老大9匹；老二6匹；老三2匹 【分析】根据题意，17匹马给3个儿子，老大分得，老二分得，老三分得，因为不许杀死马，每人分到马的数量应是整数；但17不能被2、3、9整除，必须把马的总数调整成一个能被2、3、9整除的数；考虑2、3、9的最小公倍数是18，先按18匹马计算，根据求一个数的几分之几是多少，用18×、18×、18×分别求出3个儿子分得的匹数，相加是17匹，正好将马分完。 【解答】 2、3、9的最小公倍数是3×2×3＝18 按18匹马进行计算： 老大分得了：18×＝9（匹） 老二分得了：18×＝6（匹） 老三分得了：18×＝2（匹） 9＋6＋2＝17（匹） 这样正好将马分完。 答：最后老大分得了9匹，老二分得了6匹，老三分得了2匹。 【典例四】早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 【答案】5时56分；6时4分；6时12分 5时52分；6时4分；6时16分；6时28分 6时4分 【分析】1路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上8分钟； 2路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上12分钟； 据此把表格补充完整。 已知1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，求第二次两车同时发车时刻，就是求8和12的最小公倍数，再用第一次两路车同时发车时刻加上最小公倍数，即可求解。 【解答】1路公交车： 5时48分＋8分＝5时56分 5时56分＋8分＝6时4分 6时4分＋8分＝6时12分 2路公交车： 5时40分＋12分＝5时52分 5时52分＋12分＝6时4分 6时4分＋12分＝6时16分 6时16分＋12分＝6时28分 填表如下： 1路公交车 5时40分 5时48分 5时56分 6时4分 6时12分 2路公交车 5时40分 5时52分 6时4分 6时16分 6时28分 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每隔24分两路车就同时发车。 5时40＋24分＝6时4分 答：这两路车6时4分第二次同时发车。 专题07整小分百的四则运算 【考点一】整数的四则运算 【典例一】从“东方红一号”到“天绘六号”发射成功，中国空间技术研究院研制并成功发射了400个航天器，统称为“四百星”。 发射目标 第一个“百星” 第二个“百星” 第三个“百星” 第四个“百星” 完成时间（年） 41 6 3 2 我国完成“四百星”发射目标一共用了（    ）年。观察上面统计表你有什么感受？ 【答案】52；感受：中国空间技术研究院研究“四百星”时间用的越来越少（答案不唯一） 【分析】由表可知，第一个“百星”用了41年，第二个“百星”用了6年，第三个“百星”用了3年，第四个“百星”用了2年。用41＋6＋3＋2即可求出我国完成“四百星”发射目标一共用了多少年；从数据可见，我国航天技术发展极快，尤其后两个百星阶段仅用3年和2年，据此解答即可。 【解答】41＋6＋3＋2 ＝47＋3＋2 ＝50＋2 ＝52（年） 感受：中国空间技术研究院研究“四百星”时间用的越来越少（答案不唯一） 【典例二】2008年8月8日我国成功举办第29届奥运会，按每4年举办一次（不含特殊情况）的惯例，则第40届奥运会将于( )年举办。 【答案】2052 【分析】用40－29，求出第29届到第40届的间隔届数，每4年举办一次，用间隔届数×4，求出总年数，再加上起使年份2008，即可解答。 【解答】（40－29）×4 ＝11×4 ＝44（年） 2008＋44＝2052（年） 2008年8月8日我国成功举办第29届奥运会，按每4年举办一次（不含特殊情况）的惯例，则第40届奥运会将于2052年。 【典例三】2024年是红军长征出发90周年。张老师参加教育局组织的《传承红色基因，讲好中国故事》教师演讲比赛，六位评委打的评分分别是96分、91分、92分、89分、93分、92分。如果去掉一个最高分和一个最低分，张老师最后的平均得分是 分。 【答案】92 【分析】先比较数的大小，去掉一个最高分和一个最低分，再根据求平均数用除法计算，把剩下的4个数相加后除以4。 【解答】96＞93＞92＝92＞91＞89 （93＋92＋92＋91）÷4 ＝368÷4 ＝92（分） 2024年是红军长征出发90周年。张老师参加教育局组织的《传承红色基因，讲好中国故事》教师演讲比赛，六位评委打的评分分别是96分、91分、92分、89分、93分、92分。如果去掉一个最高分和一个最低分，张老师最后的平均得分是92分。 【典例四】在A地植树1000棵，B地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵，甲在A地，乙在B地，丙在A与B两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A地植树( )棵。 【答案】300 【分析】从“同时开始，同时结束”可知：三人植树天数相同。三人合作植树完成了1000＋1250＝2250棵（工作总量），三人每天完成28＋32＋30＝90棵（效率和），根据工作总量÷效率和＝合作时间，代入数据即可求出合作天数。然后用甲每天植树棵数×植树天数，求出甲在A地植树的总棵数，最后用A地植树1000棵减去甲植树的总棵数就是丙在A地植树的棵数，据此列式解答。 【解答】（1000＋1250）÷（28＋32＋30） ＝2250÷90 ＝25（天） 1000－28×25 ＝1000－700 ＝300（棵） 丙在A地植树300棵。 【考点二】小数的四则运算 【典例一】两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上（如图）。如果有这样的课本50本，整齐叠放成一摞放在桌子上，这一摞课本的顶部距离地面的高度应为( )米。 【答案】1 【分析】用78－76.5，求出3本课本的高度，再用3本课本高度÷3，求出1本课本的高度，再用1本课本的高度×50，求出50本课本的高度；再用76.5－3本课本高度，求出桌面到地面的距离；再用50本课本的高度＋桌面到地面的高度，即可求出这一摞课本的顶部距离地面的高度，注意单位名数的换算。 【解答】（78－76.5）÷3×50 ＝1.5÷3×50 ＝0.5×50 ＝25（厘米） 76.5－（78－76.5）＋25 ＝76.5－1.5＋25 ＝75＋25 ＝100（厘米） 100厘米＝1米 两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上。如果有这样的课本50本，整齐叠放成一摞放在桌子上，这一摞课本的顶部距离地面的高度应为1米。 【典例二】小易有1元和5角的硬币共30枚，总共22元。小易有( )枚1元硬币，( )枚5角硬币。 【答案】14 16 【分析】分析题目，先根据1元＝10角把5角化成0.5元，假设30枚全部是1元的硬币，求出此时一共有多少元，再用减法求出此时的钱数和题目给出的钱数22元相差了多少，因为每枚1元硬币比每枚5角硬币多1－0.5＝0.5（元），所以用相差的钱数除以（1－0.5）即可求出一共有多少枚5角硬币，最后用30减去5角硬币的数量即可得到1元的硬币的数量。 【解答】5角＝0.5元 假设30枚全是1元的硬币。 （30×1－22）÷（1－0.5） ＝（30－22）÷0.5 ＝8÷0.5 ＝16（枚） 30－16＝14（枚） 小易有1元和5角的硬币共30枚，总共22元。小易有14枚1元硬币，16枚5角硬币。 【典例三】校庆期间，同学们买来一根5米长的彩带，正好制成10个拉花，装饰教室，每个拉花用去彩带（    ）米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【答案】0.5； 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。根据平均分的意义，用彩带的全长除以制成拉花的个数，求出每个拉花用去的米数；再根据分数的意义，把彩带的全长看作单位“1”，根据分的个数以及取的个数，求出制作一个拉花用了这根彩带的几分之几。 【解答】5÷10＝0.5（米） 1÷10＝ 即每个拉花用去彩带米，制作一个拉花用了这根彩带的。 【典例四】用圆规画一个周长是15.7cm的圆，圆规两脚间的距离是( )cm；把这个圆的半径扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来的( )倍。 【答案】2.5 4 【分析】已知所画圆的周长是15.7cm，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径，也就是圆规两脚间的距离。 根据圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律可知，圆的半径扩大到原来的2倍，则它的面积扩大到原来的22倍。 【解答】15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） 2×2＝4 圆规两脚间的距离是（2.5）cm，把这个圆的半径扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来（4）倍。 【考点三】分数的四则运算 【典例一】有1，2，3，4，5，6六张数字卡片，从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是( )。 【答案】/50% 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；据此找出质数，再用质数的个数除以卡片的张数，求出商用分数或百分数表示即可。 【解答】1，2，3，4，5，6这六个数字中质数有：2，3，5共三个质数； 3÷6＝ ＝50% 则从中任意抽出1张，抽到质数的可能性是（或50%）。 【典例二】观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【解答】 【典例三】两条同样长度的彩带被等分成不同份数（如图），第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长（    ）分米。 【答案】；；24 【分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。 第一条彩带被平均分成了8份，将这条彩带的全长看作单位“1”；第二条彩带被平均分成了3份，把它的全长当作单位“1”，都是求每份占全长的几分之几，平均分的是单位“1”，用除法解答；由图可知：7分米是两条彩带重合部分的长度，7分米对应的分率是（－），用7分米除以对应的分率即可求出每条彩带的长。 【解答】1÷8＝ 1÷3＝ 7÷（－） ＝7÷（－） ＝7÷ ＝7× ＝24（分米） 所以第一条彩带每份占全长的，第二条彩带每份占全长的，每条彩带长24分米。 【典例四】成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。李叔叔的体重是78千克，他的血液中约含有( )千克的水。 【答案】2.88 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先用李叔叔的体重乘成人体内血液约占体重的分率，求出李叔叔体内血液的重量是多少；然后用李叔叔体内血液的重量乘血液中含有水的分率，即可求出他的血液中约含有多少千克水。 【解答】78×× ＝6× ＝2.88（千克） 即他的血液中约含有2.88千克水。 【考点四】百分数的四则运算 【典例一】李老师退休后月工资5800元，按规定超过5000元的部分要交纳3%的个人收入所得税。李老师实际拿到手的工资是( )元。 【答案】5776 【分析】先用李老师的退休工资减去5000求出李老师需要纳税的收入，把李老师需要纳税的收入看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，用李老师需要纳税的收入乘3%求出李老师需要纳税的钱数，再用李老师的月工资减去纳税的钱数即可得到实际到手的工资。 【解答】（5800－5000）×3% ＝800×3% ＝24（元） 5800－24＝5776（元） 李老师退休后月工资5800元，按规定超过5000元的部分要交纳3%的个人收入所得税。李老师实际拿到手的工资是5776元。 【典例二】如图，这是龙华区4月天气情况统计图，4月雨天比阴天多( )天。 【答案】3 【分析】根据题意，把4月的总天数看作单位“1”，4月是30天。先求阴天所占总天数的百分数，用“1”减去多云、雨天天数所占总天数的百分数；再求4月雨天比阴天多的天数，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用总天数分别乘雨天和阴天天数所占的百分数，最后作差即可。 【解答】1－50%－30%＝20% 30×30%－30×20% ＝9－6 ＝3（天） 因此，4月雨天比阴天多3天。 【典例三】如图是某班学生参加课后服务情况的统计图，根据图中的信息回答问题。 (1)全班一共有( )人参加课后服务。 (2)参加篮球和足球的人数占全班人数的( )%。 (3)参加合唱的人数比参加书法的人数少( )人。 【答案】(1)40 (2)35 (3)2 【分析】（1）把某班学生参加课后服务的总人数看作单位“1”，先用1减去其它、合唱、书法、篮球占总人数的百分比，求出参加足球的人数占参加课后服务人数的百分率，再用4除以参加足球的人数占参加课后服务人数的百分率计算参加课后服务的人数； （2）用参加篮球的人数占参加课后服务的人数的百分率加上参加足球的人数占参加课后服务的人数的百分率即可； （3）用参加课后服务的人数乘参加合唱的人数比参加书法的人数少占的百分率即可。 【解答】（1）1－15%－20%－25%－30% ＝1－0.15－0.2－0.25－0.3 ＝0.85－0.2－0.25－0.3 ＝0.65－0.25－0.3 ＝0.4－0.3 ＝0.1 4÷0.1＝40（人） 所以，全班一共有40人参加课后服务。 （2）0.1＝10% 10%＋25%＝35% 所以，参加篮球和足球的人数占全班人数的35%。 （3）40×（20%－15%） ＝40×0.05 ＝2（人） 所以，参加合唱的人数比参加书法的人数少2人。 【典例四】2024年6月19日，首次发行的50年期超长期特别国债上市，该国债的年利率2.53%，到期偿还本金并支付最后一次利息。小月的妈妈在首发日购买了10000元的50年期国债，到期后，将获得总利息( )元。 【答案】12650 【分析】根据利息＝本金×利率×存期，代入数值进行计算即可。 【解答】10000×2.53%×50 ＝253×50 ＝12650（元） 所以到期后利息可得12650元。 【考点五】整小分百的四则混合运算 【典例一】计算下面各题，怎样简便怎样算。          37.5÷2.5×4        36×（） 【答案】18；2 60；18 【分析】（1）根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式边为（）×18进行简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法； （3）先算除法，再算乘法； （4）先把百分数化成分数，即36×（＋＋），再根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式边为36×＋36×－36×进行简算。 【解答】（1） ＝（）×18 ＝1×18 ＝18 （2） ＝ ＝ ＝× ＝2 （3）37.5÷2.5×4 ＝15×4 ＝60 （4）36×（） ＝36×（＋＋） ＝36×＋36×－36× ＝30＋9－21 ＝18 【典例二】脱式运算，能简算的要写出简算过程。 （1）31.4÷12.5÷8            （2）×＋÷ （3）0.24÷4＋3×15%         （4）5－－－ 【答案】（1）0.314；（2） （3）0.51；（4） 【分析】（1）根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把31.4÷12.5÷8变成31.4÷（12.5×8），再按顺序计算； （2）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把×＋×变成×（＋），再按顺序计算； （3）先算除法、乘法，再算加法； （4）根据减法的性质把5－－－变成5－（＋＋），再按顺序计算。 【解答】（1）31.4÷12.5÷8 ＝31.4÷（12.5×8） ＝31.4÷100 ＝0.314 （2）×＋÷ ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （3）0.24÷4＋3×15% ＝0.06＋0.45 ＝0.51 （4）5－－－ ＝5－－－ ＝5－（＋＋） ＝5－（＋＋） ＝5－ ＝ 【典例三】计算下面各题，能简算的要简算。 （1）68.87－（8.87＋2.9）        （2）624÷（1＋4%）×（1－20%） （3）32×12.5×0.25            （4） 【答案】（1）57.1；（2）480； （3）100；（4）18 【分析】（1）根据减法的运算性质，一个数减去这两个数的和，等于这个数依次减去两个数。 （2）先计算小括号里面的加法和减法，再计算除法，最后计算乘法。 （3）把32分解为，再根据乘法交换律和乘法结合律，进行简便计算。 （4）先把除以转化为36，再根据乘法分配律进行简便计算。 【解答】（1）68.87－（8.87＋2.9） ＝68.87－8.87－2.9 ＝60－2.9 ＝57.1 （2）624÷（1＋4%）×（1－20%） ＝624÷1.04×0.8 ＝600×0.8 ＝480 （3）32×12.5×0.25 ＝（4×8）×12.5×0.25 ＝（4×0.25）×（8×12.5） ＝1×100 ＝100 （4） ＝（＋0.25－）×36 ＝×36＋0.25×36－×36 ＝24＋9－15 ＝18 【典例四】脱式计算。（能简算的要简算） 0.6×49＋52×－60%         （）×2.4             【答案】60；0.8；2.8 【分析】（1）将分数和百分数统一化成小数，然后利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律计算； （3）先算括号里的减法，再算括号外的乘法，最后算括号外的除法。 【解答】0.6×49＋52×－60% ＝0.6×49＋52×0.6－0.6 ＝（49＋52－1）×0.6 ＝100×0.6 ＝60 （）×2.4 ＝ ＝1.8－1 ＝0.8 ×（5.3－2.6）÷ ＝ ＝2.4× ＝2.8 【考点六】整小分百的直接计算 【典例一】直接写出得数。 5.97＋4.23＝       0.24×0.5＝          ＝           0.56÷0.7＝ ＝           30×＝            0.62＝            125%×0.8＝ 2÷0.01＝            1－8%＝           ＝          ＝ 【答案】10.2；0.12；；0.8 ；25；0.36；1 200；0.92；； 【典例二】口算。 40×125%＝    ＝    ＋40%＝    9÷45%＝    10－0.01＝ 2.56÷0.6＝    ＝    0.6a×5a＝    ＝    ＝ 【答案】50；；；20；9.99； ；；3a2；0.6； 【典例三】直接写得数。 8÷2.2＝          1－＝          1.5×6＝          ＋＝ 3.5÷＝         ×＝          ＋2＝          ×20%＝ 【答案】；；9；； 7；；4；0.05 【典例四】直接写得数。 2.01－1.9＝                        12.5×80%＝          0.72÷0.8＝          【答案】0.11；0； 10；0.9； 【考点七】解整小分百数有关的方程 【典例一】解方程或比例。 （1）       （2）        （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时加上1.2，再同时除以1.3即可； （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.45即可； （3）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以2.4即可。 【解答】（1） 解： （2） 解： （3）1.6∶ 解：1.6∶2.4＝x∶4.5 【典例二】解方程或解比例。 【答案】x＝20；x＝8 【分析】（1）在方程中，首先将百分数60%化为分数，则方程变为。然后将化为，化为，得到x＋x，即x＝22。两边同时÷，可求出x的值。 （2）在比例式中，根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”，可以得到7x＝1.75×32，计算1.75×32，然后两边同时÷7，最后计算出x的值。 【解答】 解： 1.1x＝22 1.1x÷1.1＝22÷1.1 x＝20 1.75∶ 解：7x＝1.75×32 7x＝56 7x÷7＝56÷7 x＝8 【典例三】解方程。 9×1.8－12x＝1.8                     【答案】x＝1.2；x＝；x＝20 【分析】（1）先计算等式左边的乘法，根据减数等于被减数减差，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式两边同时除以12，等式仍然成立，计算即可得解； （2）先计算等式左边的加法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式两边同时除以，等式仍然成立，计算即可得解； （3）先计算等式左边的乘法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式两边同时乘，等式两边再同时除以，等式仍然成立，计算即可得解。 【解答】9×1.8－12x＝1.8 解：16.2－12x＝1.8 16.2－12x＋12x＝1.8＋12x 1.8＋12x＝16.2 1.8＋12x－1.8＝16.2－1.8 12x＝14.4 12x÷12＝14.4÷12 x＝1.2 解：x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 解：＝ 5÷32x＝ 5÷32x×32x＝×32x x＝5 x÷＝5÷ x＝5×4 x＝20 【典例四】解方程。 5x－26＝4         x－30%x＝52           【答案】x＝6；x＝；x＝ 【分析】等式的基本性质1：等式的两边同时加或者减去一个相同的数，等式仍然成立。 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或者除以一个不为0的数，等式仍然成立。 根据等式的性质1，将方程两边同时加上26，然后利用等式的性质2将方程的两边同时除以5； 先利用乘法的分配律提出x，得出70%x＝52，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以70%。可以将70%转化为分数计算即可，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数； 根据比例的基本性质：内项积＝外项积。把比例化成普通方程，然后根据等式的性质2将方程两边同时除，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【解答】5x－26＝4 解：5x＝4＋26 5x＝30 x＝30÷5 x＝6 x－30%x＝52 解：70%x＝52 x＝52÷70% x＝52÷ x＝ 解：x＝9× x＝6 x＝6÷ x＝ 专题08运算定律及简便运算 【考点一】加减法的意义及各部分间的关系 【典例一】被减数和差的比是13∶2，那么差和减数的比是( )。 【答案】2∶11 【分析】将被减数设为13，则差为2，求出减数后再求差和减数的比。 【解答】解：设被减数为13，则差为2，得： 减数为：13－2＝11 差∶减数＝2∶11 【点评】本题考查了比的意义，解决本题的关键是根据被减数、减数和差之间的关系求出减数的大小。 【典例二】已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。 【答案】7 9 【分析】根据题意，将两个算式相减可得：□－△＝2，则□＝2＋△，将其代入△＋△＋△＋□＋□＝39中，即可求出△，从而进一步求出□即可。 【解答】两个算式相减：△＋△＋□＋□＋□－（△＋△＋△＋□＋□）＝41－39； 可得□－△＝2； 则□＝2＋△； △＋△＋△＋2＋△＋2＋△＝39 5△＝35 △＝7； 2＋7＝9。 【点评】解答本题的关键是利用已知的两个算式相减，找到△和□之间的关系，再根据等量代换的知识点进一步解答。 【典例三】( )∶32＝( )( )( )%。 【答案】24 1 75 【分析】从已知的入手，根据分数与比的关系及比的基本性质填上第一个空，根据被除数÷商＝除数，填第二个空，根据被减数－差＝减数，填第三个空，将分数先化成小数，再化成百分数，填最后一个空。 【解答】32÷4×3＝24；；1－＝；＝0.75＝75% 24∶32＝175%。 【点评】本题考查了分数和比、百分数的互化，除法和减法各部分之间的关系，分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项。 【考点二】乘除法的意义及各部分间的关系 【典例一】两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是( )。 【答案】324 【分析】设除数为x，根据“被除数＝商×除数＋余数”得：（4x＋8）＋x＋4＋8＝415，解这个方程，求出除数，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【解答】解：设除数为x。 （4x＋8）＋x＋4＋8＝415 5x＋20＝415 5x＝395 x＝79 4×79＋8＝316＋8＝324 则被除数是324。 【典例二】在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】① ③ 【分析】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得。 【解答】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是“等量的等量相等”。 【典例三】在数学课上，同学们在解决这样一个问题： 有两个非零自然数a和b，并且。求a与b的最简整数比。 下面是两位同学的做法： 新新：用假设法，假设，算出a＝3，b＝4，再求出a与b的最简整数比。 佳佳：用比例的基本性质，把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，根据，写出，再化简。 (1)分析上面两位同学的想法，你认为( )说的有道理。 (2)在这个问题中，a与b的最简整数比是( )。 【答案】(1)新新、佳佳 (2)3∶4 【分析】（1）新新：用假设法，假设a×＝b×＝1，再根据“积÷一个因数＝另一个因数”求出a、b的值，进而得出a与b的最简整数比；新新的想法正确。 佳佳：用比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，把a×＝b×改写成比例a∶b＝∶，再化简得出a与b的最简整数比；佳佳的想法正确。 （2）利用佳佳的想法，用比例的基本性质，把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，把a×＝b×改写成比例a∶b＝∶，再化简即可。 【解答】（1）我认为（新新、佳佳）说的有道理。 （2）a×＝b× a∶b＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶4 a与b的最简整数比是（3∶4）。 【考点三】加法交换律 【典例一】根据589＋320＝909，可知：909－( )＝320；320＋589＝( )。 【答案】589 909 【分析】加数＋加数＝和，一个加数＝和－另一个加数，加法交换律为：a＋b＝b＋a，据此解题。 【解答】909－589＝320 320＋589＝589＋320＝909 根据589＋320＝909，可知：909－589＝320；320＋589＝909。 【典例二】分别算出下面两户人家今年4、5、6月电话费的合计数，填在表里。（单位：元） 户主 合计 4月 5月 6月 王名 58 45 42 李军 84 151 116 【答案】145；351 【分析】本题可根据加法交换律，将每户人家 4、5、6 月的电话费相加，得到合计数。 计算王名家 4、5、6 月电话费的合计数，把这三个月的费用相加即可。 计算李军家 4、5、6 月电话费的合计数，同样把这三个月的费用相加即可。 加法交换律：两个加数交换位置，和不变。据此解答。 【解答】58＋45＋42 ＝58＋42＋45 ＝100＋45 ＝145（元） 84＋151＋116 ＝84＋116＋151 ＝200＋151 ＝351（元） 将计算结果填入表格如下： 户主 合计 4月 5月 6月 王名 145 58 45 42 李军 351 84 151 116 【典例三】分别算出利华粮店今年9月售出的三种粮食的合计数，填在表里。 名称 合计 上旬 中旬 下旬 面粉/千克 151 208 192 糯米/千克 135 165 106 大米/千克 270 192 230 【答案】551；406；692 【分析】表中的“合计”等于上旬数量、中旬数量与下旬数量之和，分别计算三种粮食的合计数。计算时可根据加法交换律和加法结合律进行简算。 【解答】151＋208＋192 ＝151＋（208＋192） ＝151＋400 ＝551（千克） 135＋165＋106 ＝300＋106 ＝406（千克） 270＋192＋230 ＝（270＋230）＋192 ＝500＋192 ＝692（千克） 填表如下： 名称 合计 上旬 中旬 下旬 面粉/千克 551 151 208 192 糯米/千克 406 135 165 106 大米/千克 692 270 192 230 【考点四】加法结合律 【典例一】在横线上填合适的数，在括号里写出应用的运算律。 48＋70＝ ＋48( ) 52＋36＋64＝52＋（ ＋64）( ) 58＋37＋42＝37＋（ ＋42）( ) 【答案】 70 加法交换律 36 加法结合律 58 加法交换律和结合律 【分析】加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。据此解答。 【解答】48＋70＝70＋48（加法交换律） 52＋36＋64＝52＋（36＋64）（加法结合律） 58＋37＋42＝37＋（58＋42）（加法交换律和结合律） 【典例二】算出下面一家木器厂第一季度生产各种家具的合计数并填入表里。 产品 一月 二月 三月 合计 写字台/张 292 300 308 椅子/把 459 474 526 大衣柜/个 198 226 232 【答案】900；1459；656 【分析】由题目可知，将各家具一月、二月和三月的生产量相加，即可求出第一季度生产各家具的合计数，计算出结果后填入表格； 用292＋300＋308计算出结果，即可求出写字台第一季度生产的数量，利用加法交换律，将292＋300＋308变成292＋308＋300，再进行计算； 用459＋474＋526计算出结果，即可求出第一季度椅子生产的数量，利用加法结合律，将459＋474＋526变成459＋（474＋526），先计算括号里的加法，再算括号外的加法； 用198＋226＋232计算出结果，即可求出第一季度大衣柜生产的数量，利用加法交换律，将198＋226＋232变成198＋232＋226，再进行计算，即可解题。 【解答】由分析可知： 292＋300＋308 ＝292＋308＋300 ＝600＋300 ＝900（张） 459＋474＋526 ＝459＋（474＋526） ＝459＋1000 ＝1459（把） 198＋226＋232 ＝198＋232＋226 ＝430＋226 ＝656（个） 产品 一月 二月 三月 合计 写字台/张 292 300 308 900 椅子/把 459 474 526 1459 大衣柜/个 198 226 232 656 【典例三】如果A＋B＝500，那么A＋（B＋20）＝( )；如果A×B＝48，那么A×（B×5）＝( )；如果A－B＝8，那么125×A－125×B＝( )。 【答案】520 240 1000 【分析】加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：a＋b＋c＝a＋（b＋c），乘法结合律是三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）。 乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 减法也同样适用乘法分配律，即两个数相减的差乘一个数，等于这两个数分别与这个数的积的差。据此解答即可。 【解答】如果A＋B＝500，那么A＋（B＋20）＝（A＋B）＋20＝500＋20＝520 如果A×B＝48，那么A×（B×5）＝（A×B）×5＝48×5＝240 如果A－B＝8，那么125×A－125×B＝125×（A－B）＝125×8＝1000 【考点五】减法的性质 【典例一】为了让学生们开拓视野，学到更多的知识，图书馆购进了科技书、科幻书和故事书共875本。其中科技书有234本，故事书有366本。科幻书有( )本。 【答案】275 【分析】由题意得，图书馆购进了科技书、科幻书和故事书共875本。其中科技书有234本，故事书有366本。求科幻书有多少本，用减法计算。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【解答】875－234－366 ＝875－（234＋366） ＝875－600 ＝275（本） 所以科幻书有275本。 【典例二】店庆期间，原价4999元的一部5G手机，降价578元，刘阿姨有贵宾卡还能再优惠222元，最后刘阿姨花( )元买到这部手机。 【答案】4199 【分析】用手机原价减去降价的钱再减去优惠的钱，就是买手机花的钱。也可以先用降价的钱加上优惠的钱就是一共减免的钱。再用原价减去一共减免的钱就是买手机最终花的钱。第二种计算较为简便。它是运用了减法的性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。 【解答】4999－578－222 ＝4999－（578＋222） ＝4999－800 ＝4199（元） 所以，最后刘阿姨花4199元买到这部手机。 【典例三】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.49( )0.489       325＋76－125( )325－125＋76        4.23( )4.24 【答案】＞ ＝ ＜ 【分析】（1）（3）比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大；如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大……依此类推。 （2）算式利用减法的性质a－b＋c＝a＋c－b可以将算式325＋76－125变形为325－125＋76。 【解答】（1）0.49＞0.489； （2）325＋76－125＝325－125＋76； （3）4.23＜4.24。 【考点六】乘法交换律和结合律 【典例一】运用运算律把算式补充完整（填算式）。 125×17×8＝( )×17               32×125＝4×( )             136×102－136×2＝136×( )         56×99＋56＝56×( ) 【答案】125×8 （8×125） （102－2） （99＋1） 【分析】（1）乘法交换律：在乘法运算中，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b＝b×a。125×17×8，交换17和8的位置，算式变为：125×8×17，据此解答即可； （2）依据乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。把32拆成4×8，算式变为：4×8×125，根据乘法结合律，先计算8×125，即4×（8×125），据此解答即可； （3）依据乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c，其逆运算为a×c＋b×c＝（a＋b）×c。所以算式136×102－136×2的逆运算为136×（102－2），据此解答即可； （4）依据乘法分配律的逆运算：算式56×99＋56，可以把后面的56看作56×1，算式变为：56×99＋56×1＝56×（99＋1），据此解答即可。 【解答】125×17×8＝125×8×17               32×125＝4×（8×125）            136×102－136×2＝136×（102－2）        56×99＋56＝56×（99＋1） 【典例二】在横线上写出下面每组三个数的积。 5  23  4    2  14  5    11  4  25    16  50  2                【答案】460 140 1100 1600 【分析】根据乘法结合律的定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变； 乘法交换律的定义：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。将每一组的几个数相乘算出结果即可。 【解答】5×23×4 ＝5×4×23 ＝20×23 ＝460 2×14×5 ＝2×5×14 ＝10×14 ＝140 11×4×25 ＝11×（4×25） ＝11×100 ＝1100 16×50×2 ＝16×（50×2） ＝16×100 ＝1600 【典例三】“草船借箭”的故事为同学们所熟知，足智多谋的诸葛亮利用曹操的多疑，用草船诱敌，“借”了十万余支箭。假如诸葛亮一共调了25条船，在每条船上都安排了115个草垛。等到他们满载而归时，平均每个草垛上有40支箭，那么诸葛亮一共“借”到了( )支箭。 【答案】115000 【分析】根据题意，先计算出草垛的总数，即25×115；再乘每个草垛上箭的平均数，因为是三个数连乘，所以可以根据乘法交换律进行简算，从而计算出诸葛亮一共 “借” 到箭的数量。 【解答】25×115×40 ＝25×40×115 ＝1000×115 ＝115000（支） 所以诸葛亮一共 “借” 到了115000 支箭。 【考点七】乘法分配律 【典例一】张大爷家有一块菜地（如图）。请你算一算，这块菜地的面积是( )平方米。 【答案】320 【分析】如图：把图形分割成两个长方形，两个长方形的长分别是22米、18米，宽都是8米，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出所分割的图形的面积，再相加求解。可利用乘法分配律进行简便计算即可。 【解答】22×8＋18×8 ＝（22＋18）×8 ＝40×8 ＝320（平方米） 则这块菜地的面积是320平方米。 【典例二】在括里填“＞”“＜”或“＝”。 34×124＋34( )34×（124－1）    832÷8÷4( )832÷（8÷4） 46×19＋46×22( )46×（19×22）    115×24－15×24( )24×（115－15） 【答案】＞ ＜ ＜ ＝ 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。据此把34×（124－1）改写成34×124－34，再与34×124＋34比较大小。 运用除法的性质把832÷8÷4改写成832÷（8×4），再与832÷（8÷4）比较大小。 根据乘法分配律把46×19＋46×22改写成45×（19＋22），再与46×（19×22）比较大小。 根据乘法分配律把115×24－15×24改写成24×（115－15），即可比较出115×24－15×24 和24×（115－15）的大小。 【解答】34×（124－1）＝34×124－34，34×124＋34＞34×124－34，34×124＋34 ＞34×（124－1）。 832÷8÷4＝832÷（8×4）＝832÷32，832÷（8÷4）＝832÷2，832÷32＜832÷2，832÷8÷4＜832÷（8÷4）。 46×19＋46×22＝46×（19＋22）＝46×41，46×（19×22）＝46×418，46×41＜46×418，46×19＋46×22＜46×（19×22）。 115×24－15×24＝24×（115－15） 【典例三】计算125×88时，可以用乘法结合律简算( )，也可以用乘法分配律简算( )。 【答案】125×8×11 125×80＋125×8 【分析】方法一：将88拆成（8×11），即125×（8×11），利用乘法结合律，先算前两个数，再算后两个数； 方法二：将88拆成（80＋8），利用乘法分配律，小括号里的数分别与125相乘，再相加。 【解答】125×88 ＝125×（8×11） ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 计算125×88时，可以用乘法结合律简算125×8×11，也可以用乘法分配律简算125×80＋125×8。 【考点八】除法的性质 【典例一】如果△×□＝30，那么（△×8）×□＝( )，如果A×B＝90，那么180÷A÷B＝( )。 【答案】240 2 【分析】先运用乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），化简算式（△×8）×□，再将△×□＝30代入进去计算出结果；先运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），化简算式180÷A÷B，再将A×B＝90代入进去计算出结果；据此解答。 【解答】根据分析：如果△×□＝30，那么 （△×8）×□ ＝△×8×□ ＝△×□×8 ＝30×8 ＝240 所以如果△×□＝30，那么（△×8）×□＝240； 如果A×B＝90，那么 180÷A÷B ＝180÷（A×B） ＝180÷90 ＝2 所以如果A×B＝90，那么180÷A÷B＝2。 【典例二】小明的计算器上数字键“3”坏了，如果想用这个计算器计算出8256÷32的得数，可以将原来的算式变为( )。（只列综合算式不计算） 【答案】8256÷4÷8（答案不唯一） 【分析】小明的计算器上数字键“3”坏了，如果想用这个计算器计算出8256÷32的得数，把32看作（4×8），将算式化成8256÷（4×8），根据除法的性质，将算式化成8256÷4÷8；据此解答。 【解答】8256÷32 ＝8256÷（4×8） ＝8256÷4÷8 即小明的计算器上数字键“3”坏了，如果想用这个计算器计算出8256÷32的得数，可以将原来的算式变为8256÷4÷8。（答案不唯一） 【典例三】在括号里填上“＞”“－”或“＝”。 540÷5÷6( )540÷（5×6）    18＋90÷18( )（18＋90）÷18 【答案】＝ ＞ 【分析】（1）根据除法的性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，据此解答即可； （2）分别计算左右两边的算式，计算出结果，再进行比较。 【解答】（1）540÷5÷6＝540÷（5×6） （2）18＋90÷18 ＝18＋5 ＝23 （18＋90）÷18 ＝108÷18 ＝6 23＞6 18＋90÷18＞（18＋90）÷18 【考点九】整数加法运算律推广到小数 【典例一】在横线上填合适的数。 ___ 【答案】6.2 3.11 2.89 11.43 8.57 【分析】观察算式发现：6.2＋3.8＝10，所以根据加法交换律a＋b＝b＋a，交换6.2与19.3的位置，然后再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），先算6.2与3.8的和，再用和与19.3相加即可； 观察算式发现：3.11＋2.89＝6，所以根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），将算式改写为7－（3.11＋2.89），然后先算小括号里面的加法，再算减法即可； 观察算式发现：11.43＋8.57＝20，，所以根据加法交换律a＋b＝b＋a，交换11.43与6.72的位置，然后再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），先算11.43与8.57的和，再用和与6.72相加即可。 【解答】6.2＋19.3＋3.8 ＝19.3＋6.2＋3.8 ＝19.3＋（6.2＋3.8） ＝19.3＋10 ＝29.3 7－3.11－2.89 ＝7－（3.11＋2.89） ＝7－6 ＝1 11.43＋6.72＋8.57 ＝6.72＋11.43＋8.57 ＝6.72＋（11.43＋8.57） ＝6.72＋20 ＝26.72 即6.2＋19.3＋3.8＝19.3＋（6.2＋3.8） 7－3.11－2.89＝7－（3.11＋2.89） 11.43＋6.72＋8.57＝6.72＋（11.43＋8.57） 【典例二】已知a＋b＋3.6＝8.8，那么a＋（b＋3.6）＝ 。 【答案】8.8 【分析】根据加法结合律可知，三个数相加，先算前两个数的和，或者先算后两个数的和，结果不变，据此将a＋（b＋3.6）改写成a＋b＋3.6即可解答。 【解答】a＋（b＋3.6） ＝a＋b＋3.6 ＝8.8 则a＋（b＋3.6）＝8.8。 【典例三】垃圾混放是垃圾，垃圾分类是资源。据研究表明每1kg的厨余垃圾经过处理大约能转化为200g的有机肥。下表记录了张阿姨家4周厨余垃圾情况，她家这4周厨余垃圾共( )kg，大约能转化为( )kg的有机肥。 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 厨余垃圾的质量/kg 18 16.7 14 11.3 【答案】60 12 【分析】这4周厨余垃圾质量相加求出总质量，再乘200g，能算出大约能转化为多少kg的有机肥。计算时可以把16.7与11.3组合计算简便。 【解答】18＋16.7＋14＋11.3 ＝18＋14＋（16.7＋11.3） ＝32＋28 ＝60（kg） 60×200＝12000（g）＝12（kg） 故她家这4周厨余垃圾共60kg，大约能转化为12 kg的有机肥。 【考点十】整数乘法运算律推广到小数 【典例一】0.4×0.3×0.25＝0.3×（0.4×0.25）运用了乘法( )定律和( )定律。 【答案】交换 结合 【分析】乘法交换律：a×b＝b×a；乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），0.4×0.3×0.25＝0.3×（0.4×0.25）运用了运用了乘法交换定律和结合定律。 【解答】0.4×0.3×0.25＝0.3×（0.4×0.25）运用了运用了乘法交换定律和结合定律。 【典例二】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9.50( )9.05                     12.5×7.86×0.8( )78.6 4.3×0.2( )4.3                   0.81×7.06( )0.81 【答案】＞ ＝ ＜ ＞ 【分析】比较小数的大小，先看整数部分，整数部分大的那个小数就大。整数部分相同就看小数点右边第一位，它大这个小数就大，依次类推。 可以先用乘法交换律和结合律将算式变成（12.5×0.8）×7.86，这样使得算式变成10×7.86。再比较大小。 一个非0数乘小于1的数，积小于原数；一个非0数乘大于1的数，积大于原数。据此解答。 【解答】9.50和9.05整数部分相同，但是9.50的十分位比9.05大，所以9.50＞9.05。 12.5×7.86×0.8可以运用简便计算变成（12.5×0.8）×7.86，这样算出结果就是78.6，所以12.5×7.86×0.8＝78.6。 0.2＜1，所以4.3×0.2＜4.3。 因为7.06＞1，所以0.81×7.06＞0.81。 【典例三】奇思把12×（0.3＋A）错算成了12×0.3＋A，他计算的结果与正确的答案相差了( )。 【答案】11A 【分析】根据乘法分配律，一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把它们的积相加，则12×（0.3＋A）＝12×0.3＋12×A；奇思错算成12×0.3＋A后，与原过程比较可以发现：前面的加数12×0.3相同，把后面的加数12×A错算成了A，则用12×A－A，再根据乘法分配律的逆运算化简，即可得到他计算的结果与正确的答案相差的结果。据此解答。 【解答】根据分析可知： 12×（0.3＋A）＝12×0.3＋12×A 与12×0.3＋A比较，相差： 12×A－A ＝12×A－A×1 ＝（12－1）×A ＝11A 【考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例一】算式÷×＝( )×( )×( )＝( )，这样的计算是运用了( )律。 【答案】 乘法交换 【分析】根据乘法交换律，两数相乘，交换因数的位置，积不变；再结合分数除法的计算方法，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；据此解答即可。 【解答】算式÷×＝××＝，这样的计算是运用了乘法交换律。 【典例二】冬冬在计算时，错看成了，他得到的结果比正确的结果( )（填“多”或“少”）。 【答案】少 【分析】根据乘法分配律，把×（□－9），化为×□－×9；再和错看的式子×□－9，进行比较，被减数相同，减数越小，差越大，即可解答。 【解答】×（□－9） ＝×□－×9 ＝□－4 因为4＜9，所以□－4＞□－9，即×（□－9）＞□－9，结果比正确结果少。 冬冬在计算即×（□－9）时，错看成了□－9，他得到的结果比正确的结果少。 【典例三】小马虎在计算（a＋）×5时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差( )。 【答案】4a 【分析】括号漏看了，原式变为：a＋×5，根据乘法分配律，将原来算式变换成5a＋×5，再减去减去a＋×5，即可解答。 【解答】（a＋）×5－（a＋×5） ＝5a＋×5－a－×5 ＝4a 小马虎在计算（a＋）×5时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差4a。 【考点十二】小数减法相关的简便运算 【典例一】在3.25、4.68、6.5、10、2.75、3.32这几个数中选3个数，分别组成能进行简便运算的连加、连减的算式（每个数只选一次）。 连加算式：( )        连减算式：( ) 【答案】10＋4.68＋3.32 10－2.75－3.25 【分析】连加算式可以运用加法交换律或加法结合律进行简便运算，观察数的大小特征发现，4.68与3.32的和是8，8是整数，3.25与2.75的和6，6是整数，这两组中的两个数都可以和另外一个数相加；连减算式可以运用减法的性质进行简便运算，分别减去3.25与2.75，也就是减去它们两个的和，而它们两个的和是整数，再用一个比较大的数当做被减数去减它们两个的和；或者分别减去4.68与3.32，也就是减去它们两个的和，而它们两个的和是整数，再用一个比较大的数当做被减数去减它们两个的和，据此即可解答。 【解答】连加算式： 10＋4.68＋3.32 10＋2.75＋3.25 6.5＋2.75＋3.25 6.5＋4.68＋3.32（答案不唯一） 连减算式： 10－4.68－3.32 10－2.75－3.25 6.5－2.75－3.25（答案不唯一） 【典例二】王阿姨去超市购物，共买了53元商品，付款时她选择用手机扫码支付，她的支付账户有两个到店付款红包，分别是0.75元和1.25元（两个红包可叠加使用），她实际只需要支付( )元。 【答案】51 【分析】由题意得，一共需要支付53元，但王阿姨有两个到店付款红包，分别是0.75元和1.25元，直接用53元减去0.75元和1.25元即可得到王阿姨实际需要支付的钱数。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【解答】53－0.75－1.25 ＝53－（0.75＋1.25） ＝53－2 ＝51（元） 故王阿姨实际需要支付51元。 【典例三】A＝8.8＋8.98＋8.998＋8.9998＋8.99998，求A的整数部分是 。 【答案】44 【分析】观察这个算式，8.8＝10－1.2，8.98＝10－1.02，8.998＝10－1.002，8.9998＝10－1.0002，8.99998＝10－0.00002。再根据加法交换律和减法的性质进行解答。 【解答】A＝8.8＋8.98＋8.998＋8.9998＋8.99998， ＝（10﹣1.2）＋（10﹣1.02）＋（10﹣1.002）＋（10﹣1.0002）＋（10﹣1.00002） ＝（10＋10＋10＋10＋10）－（1.2＋1.02＋1.002＋1.0002＋1.00002） ＝50﹣5.22222 ＝44.77778 A的整数部分是44。 【点评】本题关键是熟练掌握加法交换律和减法的性质，变换算式，再进行计算。 【考点十三】小数除法相关的简便运算 【典例一】如果□÷25÷○＝□÷200，且□＋○＝15.7，那么□＝( )，○＝( )。 【答案】7.7 8 【分析】根据除法的性质，连续除以两个数，等于除以这两个数的积； 根据加法各部分之间的关系：加数＝和－另一个加数；据此解答即可。 【解答】根据分析可知，□÷25÷◯＝□÷（25×◯）＝□÷200， 则25×◯＝200， 则◯＝200÷25＝8； 因为□＋○＝15.7，即□＋8＝15.7， 则□＝15.7－○＝15.7－8＝7.7。 即如果□÷25÷○＝□÷200，且□＋○＝15.7，那么□＝7.7，○＝8。 【典例二】在下面的“_______”上填上合适的数，“”里填上合适的运算符号。 2.5×11.7×0.4＝11.7（______________） 4.7×8.6＋8.6×5.3＝（______________）_______ 5.3÷1.25÷0.8＝5.3（______________） 【答案】×；2.5；×；0.4； 4.7；＋；5.3；×；8.6； ÷；1.25；×；0.8 【分析】 根据乘法结合律、乘法分配律、除法的性质进行解答即可。 【解答】由乘法结合律可得：2.5×11.7×0.4＝11.7×（2.5×0.4） 由乘法分配律可得：4.7×8.6＋8.6×5.3＝（4.7＋5.3）×8.6 由除法的性质可得：5.3÷1.25÷0.8＝5.3÷（1.25×0.8）。 【考点十四】简便运算脱式计算 【典例一】递等式计算（写出必要的计算过程，能简算的要简算）。 68÷[0.5×（7.5－0.7）]           【答案】20；； 1； 【分析】（1）先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法。 （2）把转化为，再根据乘法分配律，变原式为进行简便运算。 （3）根据加法交换律、加法结合律和减法的运算性质，进行简便运算，先计算和，再计算减法。 （4）先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法。 【解答】68÷[0.5×（7.5－0.7）] 【典例二】计算下面各题，能简算的要简算。 ①    ②100.1×27 ③13.32－6.8－3.2    ④ 【答案】①；②2702.7 ③3.32；④ 【分析】①把转化为，再根据乘法分配律，变原式为：进行简便运算。 ②把100.1转化为，再根据乘法分配律，变原式为：进行简便运算。 ③根据减法的运算性质，变原式为：进行简便运算。 ④先计算小括号里面的加法，再计算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法。 【解答】① ②100.1×27 ③13.32－6.8－3.2 ④ 【典例三】选择适当的方法计算。 （1）1.3－3.79＋9.7－6.21    （2）[2－（）] （3）15%    （4） 【答案】（1）1；（2） （3）2；（4）385 【分析】（1）根据加法交换律和减法的性质把原式化为：（1.3＋9.7）－（3.79＋6.21）进行简算； （2）先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的除法； （3）按照从左到右的顺序计算； （4）把43×34看作一个整体，根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式化为：43××34＋43××34进行简算。 【解答】（1）1.3－3.79＋9.7－6.21 ＝（1.3＋9.7）－（3.79＋6.21） ＝11－10 ＝1 （2）[2－（）] ＝÷[2－（＋）] ＝÷[2－] ＝÷ ＝× ＝ （3）15% ＝÷ ＝× ＝2 （4）43×（＋）×34 ＝43××34＋43××34 ＝5×34＋43×5 ＝170＋215 ＝385 专题09和、差、积、商的变化规律 【考点一】和与差的变化规律 【典例一】两个数的差是33，如果被减数减少3，减数增加4，那么差是( )。 【答案】26 【分析】根据减法的性质，可知如果被减数减少3，减数增加4，那么它们的差就会减少（3＋4），进而得解。 如果被减数是A，减数是B，那么原来的等式是A－B ＝ 33。题目说被减数减少3，新的被减数变成了A－3；减数增加4，新的减数变成了B＋4；新的差应该是（A－3）－（B ＋ 4），展开就是A－3－B－4，化简得到（A－B）－7；因为A－B等于原来的差33，所以新的差就是33－7，即26。 【解答】33－（3＋4） ＝33－7 ＝26 两个数的差是33，如果被减数减少3，减数增加4，那么差是26。 【典例二】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是( )；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( )。 【答案】8 14 【分析】如果被减数和减数同时增加几，差不变。一个加数不变，另一个加数增加几，和就增加几。据此解答。 【解答】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是8；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，8＋3＋3＝14，那么现在的和是14。 【典例三】已知a＋b＝120，若a减少3.6，要使和不变，b要( )；若a增加28，要使和不变，b要( )。 【答案】增加3.6 减少28 【分析】根据一个加数减少（或增加）几，那么另一个加数应增加（或减少）几，这时和才不变；据此解答。 【解答】已知a＋b＝120，若a减少3.6，要使和不变，b要增加3.6；若a增加28，要使和不变，b要减少28。 【点评】熟练掌握和不变的性质是解答本题的关键。 【典例四】三个数的和是579，将这三个数的小数点都向左移动一位，这三个数的和是( )。 【答案】57.9 【分析】小数点向左移动一位，缩小到原数的，三个加数都缩小到原数的，和也缩小到原数的，据此分析。 【解答】579÷10＝57.9 【点评】关键是掌握小数点位置的移动引起的小数大小的变化，以及加数的变化引起的和的变化。 【考点二】积的变化规律 【典例一】在自然数12345679中没有8，我们称这个数为“缺8数”，它的计算很奇妙。12345679×9＝111111111，12345679×18＝222222222，12345679×27＝333333333，则12345679×( )＝666666666，12345679×81＝( )。 【答案】54 999999999 【分析】每个乘法算式中第一个因数不变，即是12345679， 第二个因数改变；如果第一个算式的第二个因数是1×9＝9，第二个是2×9＝18，第三个是3×9＝27……根据这样的规律可以得到，第二个算式中第二个因数是第一个算式中第二个因数的2倍，第三个算式的第二个因数是第一个的3倍，据此根据积的变化规律可知，因为：666666666÷111111111＝6，可得：12345679×54＝666666666；81÷9＝9，所以，12345679×81＝12345679×（9×9）＝12345679×9×9＝111111111×9＝999999999。 【解答】因为：12345679×9＝111111111，12345679×18＝222222222，12345679×27＝333333333，可得： 18÷9＝2 27÷9＝3 111111111×2＝222222222 111111111×3＝333333333 666666666÷111111111＝6 6×9＝54 所以，12345679×54＝666666666； 81÷9＝9 111111111×9＝999999999 所以，12345679×81＝999999999。 【典例二】两个数相乘的积是240，如果一个乘数不变，另一个乘数乘10，积是( )；如果一个乘数乘4，另一个乘数乘5，积是( )。 【答案】2400 4800 【分析】积的变化规律：乘法算式中，乘数乘或（除以）几，则积也要乘或（除以）几；据此解答。 【解答】240×10＝2400 240×4×5 ＝960×5 ＝4800 两个数相乘的积是240，如果一个乘数不变，另一个乘数乘10，积是2400；如果一个乘数乘4，另一个乘数乘5，积是4800。 【典例三】根据6×50＝300，直接写出下面各题的得数。 18×50＝( )         42×50＝( )     6×500＝( ) 【答案】900 2100 $$