考前猜想08 立体几何中球的切接问题四种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想08 立体几何中球的切接问题四种考法 一、题型方法归纳 1.正（长）方体、柱体的外接球 ①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 ②.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 补成长方体模型 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型3：若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 模型1： 模型2： 模型3： 2. 棱锥的外接球 （1）如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． （2）对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 3. 棱锥的内切球 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 4. 圆柱与圆锥的切接问题 （1）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为，高为，则，， 所以． （2）圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径 （3）求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决． 5. 圆台与棱台的切接问题 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 二、重难点例题及变式 类型一、正（长）方体、柱体的外接球 例．已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为两两垂直，所以正三棱锥的外接球就是所在正方体的外接球． 如图，外接球的球心即为正方体的中心，正方体的体对角线就是外接球的直径． 设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，即， 即，，， ．设点到平面的距离为， 由，得， 所以， 所以球心到平面的距离为． 故选：C 【变式训练1】若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球， 故球的半径为正方体棱长的一半，即， 则该球的表面积为． 故选：A 【变式训练2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，分别取上下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图： 易知点为三棱柱的外接球球心，且平面， 因为平面，所以， 在正中，，易知， 在中，. 故选：B. 类型二、棱锥的外接球 例．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. 【变式训练1】已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】连接，，记，则. 连接，，则，故为外接圆的圆心. 取的中点，连接，则，所以点在的外接圆上． 连接，因为为等边三角形，所以，. 由平面平面，知平面平面， 又平面平面，平面，所以平面. 设三棱锥的外接球半径为，则， 故三棱锥的外接球的表面积为.    【变式训练2】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 类型三、棱锥的内切球 例．在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 . 【答案】 【解析】设，则， 由题意知两两互相垂直， 可得三棱锥的体积为， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值， 设此时三棱锥的内切球的半径为r， 则， 则， 则 即，解得， 故答案为： 【变式训练1】已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（    ） A． B．12 C． D．36 【答案】B 【解析】因为球与该正四棱锥的各面均相切， 所以该球的球心在的高线上， 过点作于点，连接，过点作于点. 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，故， 又平面，故平面. 依题意，，因为底面边长为，所以， 在中，，则， 因，则，则， 故，则. 故选：B. 类型四、圆柱与圆锥的切接问题 例．已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形， 又，所以，则为正三角形，边长为， 如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面， 设中点分别为，内切球球心为O， 由正三角形内心的性质易知    即内切球球半径为1，所以体积. 故选：C 【变式训练1】已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即， 所以球的表面积为， 故选：B. 【变式训练2】已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为 ；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为 ． 【答案】 【解析】如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为，    因为侧面积为，所以，即． 因为，所以，所以． 棱长为的正四面体如图所示，    则正方体的棱长为，体对角线长为， 所以棱长为的正四面体的外接球半径为． 取轴截面，设内切圆的半径为， 则，解得， 即圆锥的内切球半径为． 因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即， 所以正四面体的最大棱长为． 故答案为：； 类型五、圆台与棱台的切接问题 例．如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．    【答案】 【解析】连接，取的中点，连接， 则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，    则⊥平面， 因为正四棱台中，，， 故，所以， 设四棱台的高为， 故，解得， 故， 设，则， ， 故，解得， 故半径， 故该棱台外接球的表面积为. 故答案为： 【变式训练1】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 【变式训练2】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，高为，内切球的半径为，显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以． 故选： C 三、考前突破练 1．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（    ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【答案】C 【解析】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C 2．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面， 因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以， 因为，由勾股定理得， 故棱锥的体积为，棱锥的表面积为， 设内切球的半径为， 则由等体积法可得，解得， 所以． 故选：A 3．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令的外接圆圆心为，球心为， 则平面，而平面，于是， 又球心在线段的中垂面上，此平面与平面平行，取中点 则， 在中，，，则， 的外接圆半径， 所以该棱锥的外接球半径. 故选：A 4．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 5．（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 6.（多选）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所在平面相交 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则 【答案】BCD 【解析】由已知可得该几何体为长方体截去一个角， 对于，连接，可证得四点共面， 又可证得，所以平面，故错误； 对于B，三棱锥的外接球半径， 三棱锥的外接球的表面积为，故B正确； 对于C项，易证AB⊥BF，AB⊥C1F，FC1⊥BE，则， ，故C正确； 对于D项，设二面角的平面角为，则，所以，于是， ，且 ， 故D正确． 故选：BCD． 7.已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 【答案】 【解析】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，. 如图，球心在正四棱锥内时，由，可得， 即（*）.    球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式. 又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得. 通过对关于的函数求导，即， 易得函数在单调递减，在单调递增， 则.从而，球的体积的最小值. 故答案为：. 8．如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为，则球形灯半径与正四棱台外接球半径的比值为 . 【答案】 【解析】如图所示，设正四棱台上底面与下底面中心分别为,作截面，则正四棱台外接球球心及球形灯的圆心均在直线上，作于H. 因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为， 则有，，. 在中，， 在中，， 所以，整理得. 由图可知，在圆中，有,解得， 所以. 故答案为： 9．圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为.已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为，母线与底面所成的角为，且.若该圆台的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为，记圆台的表面积为，体积为，球的表面积为，则 ， . 【答案】 【解析】设圆台的母线长为, 由圆台的轴截面,易知，解得， 所以. 设圆台的高为，则， 所以， ， 设圆台的上下底面圆心分别为，球的半径为,    当球心在线段上时, 设,则, 由球的截面性质得: 解得:. 当球心在的延长线上时, 同理可得: 此方程组无解 所以. 故答案为：①；②. 10．如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接， 依题意可得为等腰直角三角形，则. 设，作分别交于， 则，， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 则，解得或（舍去）， 可得. 因为，则，可知的外心为的中点. 设四面体的外接球的球心为，则平面， 且， 则，可知， 所以， 由，得，解得， 可得，所以四面体的外接球的半径为.    故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 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【变式训练2】直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（    ） A． B． C． D． 类型二、棱锥的外接球 例．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式训练2】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 类型三、棱锥的内切球 例．在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 . 【变式训练1】已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（    ） A． B．12 C． D．36 类型四、圆柱与圆锥的切接问题 例．已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为 ；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为 ． 类型五、圆台与棱台的切接问题 例．如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．    【变式训练1】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、考前突破练 1．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（    ） A．49π B．56π C．65π D．130π 2．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（    ） A． B． C． D． 4．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 6.（多选）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所在平面相交 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则 7.已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 8．如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为，则球形灯半径与正四棱台外接球半径的比值为 . 9．圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为.已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为，母线与底面所成的角为，且.若该圆台的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为，记圆台的表面积为，体积为，球的表面积为，则 ， . 10．如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$