专题19【真题演练】不规则/组合立体图形

多学科同·艇子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 【真题演练·专题19】不规则/组合立体图形 基础 题 1.已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 -30cm 20 cm- 2.计算下列图形的体积和表面积。 d=10 20 18 ① 2 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米)。 3.如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三 角形的面积比是( ):( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高 1 备学科同·艇子学 www.zxxk.com 让学习更离效 是原来圆锥高的；，小圆锥与剩余部分的体积比是( ):( ) 4.计算下面图形的体积和表面积。 4cm 3cm 4cm 5.计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm)》 6.李师傅做一个铁皮箱，下面是他的设计草图，请你先按比例尺求出实际长度，再求出铁皮 箱的体积是多少立方分米？ 左面 4cm 6cm 比例尺1：20 7.求下图中瓶子的容积。（π值取3.14，单位：厘米) 2 备学科网·般子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 20 8.如图一个装有水的圆柱形容器。现将一个底而半径为5cm,高9cm的圆锥放入容器中，完 全浸没在水中，容器的水面比原来升高了多少cm? 20 20 中等题 9.在一个底面直径是8dm、高2dm的圆柱形水池中注满水，然后把两个底面直径是3d血、高 4d的圆柱形石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )dm。如果把溢出的水倒 入底面直径为3dm的圆锥形容器中，此时水的高度是( )dmo 10.一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米，在 这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高( )厘米。 11.一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图 所示，将其投入底面积为2500cm2,高为50cm的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为 20cm,那么，放入铁块后水面高度变为( )cm. 3 备学科网·服子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 12.李阿姨用一个长方体包装盒装物品寄快递。一个长方体包装盒从外面量长42厘米，宽32 厘米，高20厘米，包装盒的厚度是0.6厘米。用这个包装盒装底面直径是10厘米，高18厘 米的圆柱形茶叶罐，最多可以将装( 个。 13.如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形城一个圆台，你能算出这 个圆台的体积吗？ 3cm 45 B 6cm 14.下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体， 它的体积是多少立方厘米？ A 10cm 4cm 4cm 15.直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 8cm B 3cm 1 ② 4 多学科同·酸子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 (1)如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是()（填序号，下同）；如 果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是()。 (2)请选择其中一个立体图形计算它的体积。 16.如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深38分米。如果投入 一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 困难题 17.一个盛有水的圆柱形容器底面半径为4厘米，深18厘米，水深12厘米。现将一个底面半 径为2厘米，高为h厘米的铁制圆柱垂直放入容器中。 (1)当h=10厘米时，容器的水深变为 厘米； (2)当h为多少时，铁制圆柱恰好与水面平齐？（请写出解答过程） 18.求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 5 多学科同·酸子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 19.有一个高8厘米，容积50毫升的圆柱形容器，装满水，将一只长16厘米圆柱形棒垂直插 至杯底，有水溢出。把棒从水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的体积。 20.水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相 连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管， 将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14) 21.工地上有6堆完全一样的圆锥形沙堆，测得一堆沙堆的底面直径为4米，高1.5米，把这 6堆沙子均匀地铺在宽20米的路上，铺2厘米厚，能铺多少米？ 22.长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“V=Sh"计算。想一想，下面这个图形的体积也可 以用“V=Sh"计算吗？把你的想法写下来并求出这个图形的体积。（单位：cm) 6 3 不4 6 备学科同·照子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 23.把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图①），表面积增加了48平方厘米；平行于底 面切成三块（如图②），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图③），体 积减少了多少立方厘米？ 图1 图2 图3 24.A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头 单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管 的容积忽略不计)，仍用该水龙头向A注水，求 (1)2分钟容器A中的水有多高？ (2)3分钟时容器A中的水有多高？ A B 25.一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟 时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长 方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？备学科同，租子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 【真题演练·专题19】不规则/组合立体图形 答案解析 1.7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 2.①2939.04立方厘米②464平方分米 3.141 7 4.66.84cm3;99.4cm3 5.表面积214.8cm2;体积158.8cm3 6.877.44立方分米 7.1004.8毫升 8.0.75cm 9.2826 12 10.5 11.27 12.12 13.197.82立方厘米 14.301.44立方厘米 15.(1)①；②(2)150.72立方厘米（答案不唯一） 16.87.4升 17.(1)14.5(2)16厘米 18.214.2立方厘米 19.25立方厘米 20.25.6厘米 21.942米 22.可以用“V=Sh计算；144立方厘米 23.25.12立方厘米 24.(1)6厘米(2)7.2厘米 25.34 1 金学科同·般子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 1.7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【分析】“V方体=blh”“':=πr2h”,图形的体积=长方体的体积-半圆柱的体积： “S华方件=(ab+h+bh)×2”“S:性侧正积=πd山h”,先用长方体5个面的面积减去圆柱底面 圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面 积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【详解】体积：30×20×15-3.14×(10÷2)×30÷2 =30×20×15-3.14×25×30÷2 =600×15-78.5×30÷2 =9000-2355÷2 =9000-1177.5 =7822.5(立方厘米) 表面积：20×30+(20×15+30×15)×2-3.14×(10÷2) =20×30+(300+450)×2-3.14×25 =20×30+750×2-3.14×25 =600+1500-78.5 =2100-78.5 =2021.5(平方厘米) (20-10)×30+3.14×10×30÷2 =10×30+3.14×10×30÷2 =300+31.4×30÷2 =300+942÷2 =300+471 =771(平方厘米) 2021.5+771=2792.5(平方厘米) 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 2.①2939.04立方厘米②464平方分米 【分析】①组合图形的体积=圆柱的体积+圆锥的体积，根据V:一兀rh,V:一3兀h,代 多学科同·超子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 入数据计算即可。 ②观察图形，上、下两个半圆可以组成一个圆；图形的表面积=圆柱的底面积+圆柱侧面积的 一半+长方形的面积；根据S=πr,S=πh,S=ab,代入数据计算即可。 【详解】①圆柱的体积：3.14×（12÷2)×20 =3.14×36×20 =113.04×20 =2260.8(立方厘米) 圆锥的体积： 3×3,14×(12÷2)×® 1 =-×3.14×36×18 =3.14×216 =678.24(立方厘米) -共：2260.8+678.24=2939.04（立方厘米） 图①组合体的体积是2939.04立方厘米。 ②圆柱的底面积：3.14×（10÷2) =3.14×25 =78.5(平方分米) 圆柱侧面积的一半：3.14×10×15÷2 =31.4×15÷2 =471÷2 =235.5(平方分米) 长方形的面积：15×10=150（平方分米） 一共：78.5+235.5+150=464（平方分米） 图②的表面积是464平方分米。 3. 1417 【分析】（3)根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相 等，说明小三角形的高：大三角形的高=1：2，小三角形的底：大三角形的底=1：2，又因为 三角形的面积=底×高÷2，所以小三角形和原三角形的面积比=1：(2×2)=1：4 3 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 (2)小圆锥的高：大圆锥的高=1：2，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径=1：2，即小圆 锥底面积：大圆锥底面面积=1：4，又因为圆锥的体积=底面积×高×，所以小圆锥体积： 大圆锥的体积=1：(2×4)=1：8，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比。 【详解】(1)小三角形的高：大三角形的高=1：2 小三角形的底：大三角形的底=1：2 因为三角形的面积=底×高÷2 所以小三角形和原三角形的面积比=1：(2×2)=1：4 (2)小圆锥的高：大圆锥的高=1：2 小圆锥底面半径：大圆锥底面半径=1：2 则小圆锥底面积：大圆锥底面面积=（π×12)：（π×22）=1：4 因为圆锥的体积三底面积X高X 所以小圆锥体积：大圆锥的体积 =1x1x）：(4x2× =1.8 33 =1:8 小圆锥与剩余部分的体积比=1：(8-1)=1：7 【点睛】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键， 利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式。 4.66.84cm;99.4cm 【分析】(1)组合图形的体积=圆柱体积的一半+长方体的体积，根据圆柱的体积V=πr, 长方体的体积V=abh,代入数据计算即可： (2)组合图形的表面积=圆柱侧面积的一半+圆柱的一个底面积+长方体的5个面面积（少 上面)，根据圆柱的侧面积S=π，圆柱的底面积S=πr,长方体5个面的面积之和S =ab+2ah+2bh,代入数据计算即可。 【详解】(1)圆柱体积的一半： 4 金学科同·胆子学 www.zxxk.com 让学习更离效 3.14×(4÷2)×3÷2 =3.14×4×3÷2 =18.84(cm) 长方体的体积： 4×3×4=48(cm) 图形的体积：18.84+48=66.84(cm) (2)圆柱侧面积的一半： 3.14×4×3÷2 =3.14×6 =18.84(cm) 圆柱的一个底面积： 3.14×(4÷2) =3.14×4 =12.56(cm) 长方体5个面的面积之和： 4×3+4×4×2+3×4×2 =12+32+24 =68(cm) 图形的表面积：18.84+12.56+68=99.4(cm) 5.表面积214.8cm;体积158.8cm 【分析】观察图形可知，圆柱和长方体有重合的部分，把圆柱的上底面向下平移，补给长方体 的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而圆柱只需计算侧面积即可： 图形的表面积=圆柱的侧面积+长方体的表面积 图形的体积=圆柱的体积+长方体的体积 其中圆柱的侧面积S=πdh,长方体的表面积S=2(ab+ah十bh),圆柱的体积V=πrh, 长方体的体积V=abh,代入数据计算求解。 【详解】圆柱的侧面积：3.14×4×5=62.8(cm) 长方体的表面积： (8×6+8×2+6×2)×2 5 金学科同·照子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 =(48+16+12)×2 =76×2 =152(cm) -共：62.8+152=214.8(cm) 圆柱的体积： 3.14×(4÷2)×5 =3.14×4×5 =62.8(cm) 长方体的体积：8×2×6=96(cm) -共：62.8+96=158.8(cm) 图形的表面积是214.8cm,体积是158.8cm。 6.877.44立方分米 【分析】已知设计草图的比例尺是1：20，根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，求出各个 图上尺寸的实际长度。 从图中可知，铁皮箱的体积=长方体的体积+圆柱体积的一半；根据长方体的体积公式V=ab, 圆柱的体积公式V=πx,代入数据计算，即可求出铁皮箱的体积，再根据进率“1立方分米 =1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】6÷ 1 20 =6×20 =120(厘米) =4×20 =80(厘米) 3*动 =3×20 =60(厘米) 6 备学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更离效 1 2÷ 20 =2×20 =40(厘米) 长方体的体积： 120×80×60 =9600×60 =576000(立方厘米) 半圆柱的体积： 3.14×(80÷2)1×120÷2 =3.14×1600×120÷2 =5024×120÷2 =602880÷2 =301440(立方厘米) 铁皮箱的体积： 576000+301440=877440(立方厘米) 877440立方厘米=877.44立方分米 答：铁皮箱的体积是877.44立方分米。 【点睛】先根据图上距离、实际距离、比例尺之间的关系求出各个图上尺寸的实际长度，再结 合平面图形，确定铁皮箱是由长方体和半圆柱体组成，最后根据长方体的体积公式、圆柱的体 积公式解答。 7.1004.8毫升 【分析】瓶子正放和倒放时水的体积是不变的，先求出水的体积，再求倒放后空余部分的体积， 最后把体积相加即为瓶子的容积，根据圆柱的体积公式：V=π，h,根据公式，瓶子正放时 水面高10厘米，倒放时空余部分高30-20=10厘米，据此求解。 【详解】3.14×(8÷2)2×(30-20+10) =3.14×16×20 =50.24×20 7 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 =1004.8(立方厘米) 1004.8立方厘米=1004.8毫升 答：瓶子的容积为1004.8毫升。 【点睛】本题考查圆柱体积的计算，能够根据图中所给信息灵活分析。 8.0.75cm 【分析】由于圆锥完全浸没在水中，说明水上升部分的体积等于圆锥的体积，根据圆锥的体积 公式V=πxh,由此先求出圆锥的体积，再根据圆柱体积公式的变形h=V÷(T),即可 求出容器的水面比原来升高的厘米数。 【详解】三×3.14×5×9÷[3.14×(20÷2)] 专5×314×25×9÷3.14×10的 =235.5÷[3.14×100] =235.5÷314 =0.75(cm) 答：容器的水面比原来升高了0.75cm。 【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，抓住上升部分水的体积就是圆锥的体 积是解决本题的关键。 9. 28.26 12 【分析】根据题意，放入的两个圆柱形石柱的高度是4d,而水池的高是2m,所以两个石柱 浸没在水池中的高度只有2dm,则水池溢出的水的体积是两个高为2dn的石柱的体积之和；根 据圆柱的体积公式V=πrh,求出一个高为2dm的石柱的体积，再乘2即可。 根据圆锥的体积公式V=Sh可知，圆锥的高h=3V÷S,其中V是溢出的水的体积，S是圆锥 的底面积，代入数据计算求出圆锥中水的高度。 【详解】水池溢出的水的体积： 3.14×(3÷2)×2×2 =3.14×2.25×2×2 8 金学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更离效 =3.14×9 =28.26(dm) 圆锥的底面积： 3.14×(3÷2)1 =3.14×2.25 =7.065(dm) 水的高度： 28.26×3÷7.065 =84.78÷7.065 =12(dm) 【点睛】灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。 10.5 【分析】先根据“红：=S”求出玻璃杯中水的体积，放入正方体铁块后水的体积不变，水 面没有淹没铁块，这是可以把水看作是底面积为(72一6×6)平方厘米的圆柱体，根据 “h=Vs姓+S”求出此时的水面高度，据此解答。 【详解】72×2.5=180（立方厘米） 180÷(72-6×6) =180÷(72-36) =180÷36 =5(厘米) 所以，这时水面高5厘米。 【点睛】灵活运用圆柱的体积计算公式，明确水面没有淹没铁块并且放入铁块前后水的体积不 变是解答题目的关键。 11.27 【分析】根据题意可知，铁块没有被水完全浸没；根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，先 求出大正方体的体积和8个小正方体的体积，然后用减法可得乘剩下的体积：设放入铁块后水面 高度变为xcm,水的体积加水里的铁块的体积相当于一个圆柱的体积，原来水的体积+铁块的 体积一露出水面铁块的体积=水的体积十水里的铁块的体积，再根据圆柱的体积公式=底面积 9 备学科同·艇子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 ×高，列方程解答即可。 【详解】30×30×30-10×10×10×8 =27000-8000 =19000(cm) 解：设放入铁块后水面高度变为xcm。 2500x=2500×20+19000-10×10×(30-x)×5 2500x=50000+19000-500×(30-x) 2500x=50000+19000-15000+500x 2500x-500x=50000+19000-15000 2000x=54000 x=54000÷2000 x=27 放入铁块后水面高度变为27cm。 【点睛】本题考查了体积的等积变形，关键是明确水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分。 12.12 【分析】因为长方体包装盒的长、宽、高都是从外面量的，包装盒的厚度是0.6厘米，所以这 个长方体包装盒里面的长是(42-0.6×2)厘米，宽是(32-0.6×2)厘米，高是(20-0.6×2) 厘米： 要用这个长方体包装盒装圆柱形茶叶罐，用除法分别求出长方体包装盒里面的长、宽各有几个 圆柱的底面直径，长方体的高里面有几个圆柱的高，最后相乘，就是最多可以装茶叶罐的个数。 【详解】42-0.6×2 =42-1.2 =40.8(厘米) 32-0.6×2 =32-1.2 =30.8(厘米) 20-0.6×2 =20-1.2 10