第03讲 交集、并集（3个知识点8大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第03讲 交集、并集 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 题型一：有限数集的交集运算 【例1】（2025·高一·湖南郴州·学业考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·江西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川乐山·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：不等式解集的交集运算 【例2】（2025·高一·福建三明·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·广东汕头·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·广西南宁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：有限数集的并集运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【变式3-2】（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式解集的并集运算 【例4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·浙江舟山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·广东佛山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型五：交、并、补集的混合运算 【例5】已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【变式5-1】已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 【变式5-2】（2025·高一·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 【变式5-3】（2025·高一·四川成都·期中）已知集合，求，. 题型六：Venn图表达集合的关系及运算 【例6】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【变式6-2】（2025·高一·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 题型七：根据集合运算性质求参数范围 【例7】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【变式7-1】已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【变式7-2】已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 【变式7-3】设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 题型八：区间的表示 【例8】已知区间，则实数a的取值范围是 .（用区间表示） 【变式8-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【变式8-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【变式8-3】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 1．（2025·高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若集合，则集合中元素的个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．6 3．已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．已知集合，那么满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 6．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 9．（多选题）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 10．（多选题）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，则 12．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 13．已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 15．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 16．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 17．已知集合．若，求实数a的取值范围． 18．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 19．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 交集、并集 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 题型一：有限数集的交集运算 【例1】（2025·高一·湖南郴州·学业考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（2025·高一·江西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以． 故选：B 【变式1-2】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合， 则. 故选：C. 【变式1-3】（2025·四川乐山·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 故选：A. 题型二：不等式解集的交集运算 【例2】（2025·高一·福建三明·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 故选：B 【变式2-1】（2025·高一·广东汕头·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 则. 故选：D 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，， 故选：A． 【变式2-3】（2025·高一·广西南宁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，，则. 故选：A. 题型三：有限数集的并集运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由. 故选：A. 【变式3-1】（2025·高一·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【解析】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 【变式3-2】（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,则. 故选：. 【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 故选：D. 题型四：不等式解集的并集运算 【例4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，所以. 故选：C 【变式4-1】（2025·高一·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设. 故选：C. 【变式4-2】（2025·高一·浙江舟山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 则. 故选：D. 【变式4-3】（2025·广东佛山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设. 故选：B 题型五：交、并、补集的混合运算 【例5】已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【解析】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 【变式5-1】已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 【解析】（1）因为， 所以， （2）由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 【变式5-2】（2025·高一·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 【解析】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 【变式5-3】（2025·高一·四川成都·期中）已知集合，求，. 【解析】集合或， 集合， ， ， 或或. 题型六：Venn图表达集合的关系及运算 【例6】设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 【变式6-1】（2025·高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【解析】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 【变式6-2】（2025·高一·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 【变式6-3】设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 题型七：根据集合运算性质求参数范围 【例7】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【解析】（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【变式7-1】已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 【变式7-2】已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 【解析】（1）因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. （2）由（1）可知，， ， 所以，故. 【变式7-3】设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【解析】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 题型八：区间的表示 【例8】已知区间，则实数a的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】依题意得，解得， 所以实数的范围为. 故答案为：. 【变式8-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【变式8-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【解析】（1）写成区间即为. （2），解出，写成区间即为. 【变式8-3】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【解析】（1） （2） （3） （4）或 1．（2025·高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以或， 故选：. 2．若集合，则集合中元素的个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【解析】由题意可得， 所以集合中元素的个数为3， 故选：A 3．已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由，或， 则或. 故选：D. 4．已知集合，那么满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题意，集合含有元素，且集合的个数等于集合的子集的个数， 则集合的个数为. 故选：C. 5．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】解法1  由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12． 解法2  由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为． 6．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或．又，所以，故． 7．已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】根据，，若， 可得，故的最大值为2， 故选：D. 8．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【解析】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 9．（多选题）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】ACD 【解析】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD 10．（多选题）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 11．已知集合，则 【答案】 【解析】由， 可得：， 故答案为： 12．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以．又当时，，所以．故． 13．已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或 【解析】（1）当时，，则或． （2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是． 14．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由， 所以或，且； （2）由，显然不是空集，且， 所以，可得. 15．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 16．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【解析】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 17．已知集合．若，求实数a的取值范围． 【解析】因为，所以， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上，实数a的取值范围为. 18．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 19．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$