第14讲 函数的单调性（3个知识点+10大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第14讲 函数的单调性 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：函数单调性的判断 【典例1-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【解析】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 【典例1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：C. 【变式1-1】甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题； 反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇函数可排除A，B，根据单调性可排除C，即可得答案；对A，B，函数图象不关于原点对称，故A，B错误； 对C，函数在先减后增，故C错误； 故选：D. 【变式1-3】设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解析】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A 题型二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【解析】由于，所以，解得．所以. 下面证明在区间上单调递减． 在上任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递减． 【典例2-2】（2025·高一·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【解析】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 【变式2-1】（2025·高一·山东潍坊·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【解析】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 【变式2-2】根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【解析】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 【变式2-3】讨论函数在区间上的单调性． 【解析】任取，且， 则， 当时，，即， 函数在区间上单调递减； 当时，，即， 函数在区间上单调递增． 题型三：求函数的单调区间 【典例3-1】画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【解析】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为： 【典例3-2】（2025·高一·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】函数是反比例函数，其单调递减区间是. 故答案为： 【变式3-1】函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【解析】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 【变式3-2】（2025·高一·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象， 由图知，的单调递减区间为. 故答案为： 【变式3-3】（2025·高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【解析】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 题型四：已知函数的单调性求参数范围 【典例4-1】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 【典例4-2】（2025·高一·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高一·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】命题等价于和同时成立. 分别解不等式，得到，，从而的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【答案】或0 【解析】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 题型五：利用单调性解不等式 【典例5-1】函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，则有，所以， 因为，所以，所以， 不等式等价于， 函数是定义在上的严格减函数，则， 即，又，且，所以. 故答案为： 【典例5-2】（2025·高一·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【解析】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 【变式5-1】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，对任意的且，总有， 所以在上为单调递增函数， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·高一·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 【变式5-3】已知定义在上的函数满足，对任意的实数，且，，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设， 因为对任意的实数且， 所以，即， 所以在R上是减函数， 因为，所以 不等式， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 题型六：利用单调性比较大小 【典例6-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 【典例6-2】已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【变式6-1】（2025·高一·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【解析】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 【变式6-2】（2025·高一·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B 【变式6-3】（2025·高一·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 题型七：求函数的最值 【典例7-1】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【典例7-2】已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【解析】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 【变式7-1】（2025·高一·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【解析】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 【变式7-2】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【解析】（1）函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则)==， 因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上是减函数. （2）因为函数在区间上是减函数， 所以，. 【变式7-3】（2025·高一·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【解析】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 【典例8-2】（2025·高一·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【解析】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 【变式8-1】（2025·高一·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【解析】（1）因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 【变式8-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【解析】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【变式8-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）在中， 令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下： 任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）由题意， 由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立， 所以．所以的范围是， 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2025·高一·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【解析】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 【典例9-2】设函数. (1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由二次函数性质得的对称轴， 因为函数在上是单调函数， 所以或，则实数m的取值范围是. （2）若，则， 假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为， 分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增， 由题意得，即， 解得，与矛盾，排除， （ii）若，函数在上单调递减， 由题意得，即， 解得，此时， （iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意得，解得，因为， ，所以， 解得，此时， 综上所述，存在实数，或， 使得函数的定义域为，值域为. 【变式9-1】（2025·高一·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 【解析】（1）∵不等式的解集为， ∴，且1和3是方程的两根， ∴，，即，， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， ∴，，， 故函数解析式为. （2）由，得，即， 由得：或， ①当时，即，则或， ②当时，即，则或， ③当时，即，则或， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 【变式9-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【解析】（1）由，可得，则， 因的对称轴为， 在单调递减，而， 故在的值域为. （2）因在区间单调递减，则， 因在上值域为，则， 即， 两式相减得：，因，故， 因，可得， 将代入，可得， 的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，所以， 因为在上值域为，所以， 所以，即， 故可把看作方程的两个根， 因为，所以，且， 解得，由韦达定理，， 所以， 令因，则，且， 故， 令，由对勾函数的性质可得，在单调递减，故， 所以的取值范围为. 【变式9-3】已知函数 (1)函数在区间上为严格减函数，求a的取值范围； (2)函数在区间上的最大值为3，求a的值． 【解析】（1），对称轴为． 若函数在区间上为严格减函数， 则，所以a的取值范围为． （2）①若，此时函数在区间单调递增， 所以最大值为，解得或（舍去）； ②若，此时当时，函数取得最大值为，解得（均舍去）； ③若此时函数在区间上单调递减， 所以最大值为，解得或（舍去）； 综上所述，或． 题型十：恒成立与能成立问题 【典例10-1】已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【解析】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. 【典例10-2】已知函数． (1)若的解集为，求实数的值； (2)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）∵的解集为． ∴是方程的两根． ∴，． （2）的对称轴方程为． ∵在上具有单调性． ∴， ∴或． ∴实数的取值范围为． （3）， ∴， 设，任取，且． 当时，，∴， 当时，，∴． ∴在上单调递减，在上单调递增， 且．所以当时，， 所以，即取值范围为． 【变式10-1】（2025·高一·贵州铜仁·期末）已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题知，，即解不等式 当时，不等式显然不成立； 当时，即解，解得或，又因，所以； 当时，即解，解得，又因，所以 综上所述， （2）由题知，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即与在上恒成立． 函数在上单调递增，所以最大值为0，所以； 函数在时，，当且仅当，即时取等号，所以最小值为4，所以； 综上所述， 【变式10-2】（2025·高一·辽宁·开学考试）已知函数. (1)求关于的一元二次不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式，， 当时，，原不等式无解； 当或时，，原不等式解为； 当或时，，由，解得， 不等式的解为， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为. （2）当时，， 而，当且仅当，即时取等号， 由，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 【变式10-3】（2025·高一·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 1．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 2．的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 3．若命题“，”是真命题，则a的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，可得，即． 4．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【解析】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 6．已知，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，函数单调递减，故时取到最大值为5； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增，故时取到最大值为3； 综上，的最大值为5. 故选：B 7．（2025·高一·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 8．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 9．（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 10．（多选题）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数n的取值可以是（   ） A．10 B．11 C．14 D．18 【答案】ABC 【解析】由题意可知的定义域为，值域为，而，所以的值域为．当时，单调递增，此时值域为；当时，，图象是开口向上的抛物线的一部分，对称轴为直线，故此时单调递增，值域为．因此解得． 11．（多选题）设函数，则（   ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．当，时，函数有最小值为4 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 【答案】CD 【解析】函数的定义域为．对于选项A，当时，在区间上，函数和都单调递增，故在区间上单调递增，此时函数没有最小值，选项A错误．对于选项B，定义域为，取，即，则，，所以，所以函数在定义域上不是单调递增的，选项B错误．对于选项C，，，则，当且仅当时，等号成立，函数有最小值为4，选项C正确．对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；当时，设，，由得，，，所以，成立，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增，选项D正确． 12．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】因为，函数在区间上单调递减，所以． 13．（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）对称轴直线恰好在直线处，即，即． （2）对称轴直线应在直线处或其左侧，即，解得． 14．（2025·高一·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，为增函数，且当时，， 因为存在，且，使得成立， 所以在时不单调或， 即或，解得或， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 15．（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 【解析】（1），因为0，所以2+， 所以值域为； （2）函数的图象对称轴是， 所以当时，f（x）在区间上单调递增， 所以最小值为； 当时，在区间单调递减， 所以最小值为； 当时，f（x）最小值为， 综上，= 16．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【解析】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 17．（2025·高二·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 18．设关于x的二次函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. (2)解不等式； 【解析】（1）不等式， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此， 依题意，在上恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得； 当时，若，则，， 若，则，且， 若，则，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 19．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【解析】（1）函数的图象关于点对称， 所以， 令，得. （2）①， 所以 ，即满足， 所以函数的图象关于点对称. ②命题“，使得成立”不是真命题， 证明：在上单调递增， 所以， 设在上的值域为， 对，使得成立， 则， 当时，， ，，， 对称轴， 当时，在单调递增，，， 所以，不等式组无解， 当时，在单调递减，在单调递增， ，， 所以，解得， 当时，在单调递减，在单调递增， ，，符合题意； 当时，在单调递减，在单调递增， ，， 所以，解得， 当时，在单调递减，，， 所以，不等式组无解， 综上所述：当时，对，使得成立， 故命题“，使得成立”不是真命题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的单调性 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一：函数单调性的判断 【典例1-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【典例1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 题型二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【典例2-2】（2025·高一·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【变式2-1】（2025·高一·山东潍坊·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【变式2-2】根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【变式2-3】讨论函数在区间上的单调性． 题型三：求函数的单调区间 【典例3-1】画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【典例3-2】（2025·高一·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【变式3-1】函数的单调递减区间为 ． 【变式3-2】（2025·高一·福建莆田·期中），用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为 . 【变式3-3】（2025·高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 题型四：已知函数的单调性求参数范围 【典例4-1】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【典例4-2】（2025·高一·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【变式4-1】（2025·高一·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式4-2】（2025·高一·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】（2025·高一·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 题型五：利用单调性解不等式 【典例5-1】函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 【典例5-2】（2025·高一·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【变式5-1】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【变式5-2】（2025·高一·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【变式5-3】已知定义在上的函数满足，对任意的实数，且，，则不等式的解集为 . 题型六：利用单调性比较大小 【典例6-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【变式6-2】（2025·高一·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七：求函数的最值 【典例7-1】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【典例7-2】已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【变式7-1】（2025·高一·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【变式7-2】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【变式7-3】（2025·高一·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【典例8-2】（2025·高一·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【变式8-1】（2025·高一·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【变式8-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【变式8-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，； (2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2025·高一·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【典例9-2】设函数. (1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 【变式9-1】（2025·高一·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 【变式9-2】（2025·高一·重庆·期末）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【变式9-3】已知函数 (1)函数在区间上为严格减函数，求a的取值范围； (2)函数在区间上的最大值为3，求a的值． 题型十：恒成立与能成立问题 【典例10-1】已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【典例10-2】已知函数． (1)若的解集为，求实数的值； (2)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-1】（2025·高一·贵州铜仁·期末）已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【变式10-2】（2025·高一·辽宁·开学考试）已知函数. (1)求关于的一元二次不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（2025·高一·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 2．的值域为（   ） A． B． C． D． 3．若命题“，”是真命题，则a的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 7．（2025·高一·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数n的取值可以是（   ） A．10 B．11 C．14 D．18 11．（多选题）设函数，则（   ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．当，时，函数有最小值为4 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 12．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 13．（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 14．（2025·高一·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 15．（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 16．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 17．（2025·高二·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 18．设关于x的二次函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. (2)解不等式； 19．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$