第02讲 子集、全集、补集（6个知识点6大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第02讲 子集、全集、补集 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 题型一：集合的包含关系判断 【例1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【解析】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 【变式1-1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 【变式1-2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 【变式1-3】若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 题型二：集合的相等 【例2】已知集合，若，则 . 【答案】 【解析】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【变式2-1】已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【解析】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 【变式2-2】已知.若，则 . 【答案】0 【解析】由，可得， 由，解得或； 当时，，显然与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：0. 【变式2-3】（2025·高一·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 【答案】0或 【解析】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 题型三：空集的定义、性质及运算 【例3】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式3-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 【变式3-2】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】集合有两个元素：和. 故选：B 【变式3-3】（2025·高一·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 题型四：子集与真子集的个数问题 【例4】已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【答案】 【解析】因为集合， 所以集合可以为. 故答案为： 【变式4-1】设集合，若集合的各个非空子集元素和的总和是64，则 ． 【答案】16 【解析】由，则S的非空子集为，， 若集合S的各个非空子集元素和的总和是64，则，故. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式4-3】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【解析】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 【变式4-4】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【解析】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 题型五：补集及其运算 【例5】已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，∴. 故选：A. 【变式5-1】（2025·天津·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故. 故选：A 【变式5-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，且，则，即. 【变式5-3】设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【解析】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 题型六：集合关系中的参数取值问题 【例6】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. 【变式6-1】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解析】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【变式6-2】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【解析】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 【变式6-3】已知集合，，若，求实数的取值范围． 【解析】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由补集定义可知. 2．下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 3．已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 4．（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 6．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解析】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 7．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 8．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 【答案】A 【解析】对于A，任何集合都有子集，A正确； 对于B，没有真子集，B错误； 对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误； 对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误. 故选：A 9．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 10．（多选题）（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【解析】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 11．（多选题）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【解析】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 12．（多选题）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【解析】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 13．（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 14．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【解析】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 15．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 所以． 故答案为： 17．（2025·高一·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 18．（2025·高一·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 19．（2025·高一·安徽宿州·期中）设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 【解析】（1）由得，解得． （2）若，解得，此时，，满足题意． 若，解得，此时，，满足题意． 综上所述，实数的取值集合为． 20．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 题型一：集合的包含关系判断 【例1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【变式1-1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：集合的相等 【例2】已知集合，若，则 . 【变式2-1】已知集合，，且，则集合 . 【变式2-2】已知.若，则 . 【变式2-3】（2025·高一·河北唐山·期中）已知集合，且，则 . 题型三：空集的定义、性质及运算 【例3】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式3-3】（2025·高一·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 题型四：子集与真子集的个数问题 【例4】已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【变式4-1】设集合，若集合的各个非空子集元素和的总和是64，则 ． 【变式4-2】（2025·高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式4-3】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【变式4-4】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 题型五：补集及其运算 【例5】已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 题型六：集合关系中的参数取值问题 【例6】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【变式6-1】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【变式6-2】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知集合，，若，求实数的取值范围． 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 7．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 8．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 9．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 11．（多选题）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 12．（多选题）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 13．（2025·高一·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 14．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 15．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 16．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 17．（2025·高一·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 18．（2025·高一·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 19．（2025·高一·安徽宿州·期中）设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 20．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$