第01讲 集合的概念与表示（6个知识点6大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第01讲 集合的概念与表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：集合的概念 (1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 知识点二：集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”. 知识点三：集合中元素的特点 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 知识点四：常用数集及其记法 所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N; 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R. 知识点五：集合的表示 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等. 使用说明 ①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. (2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法. 使用说明 ①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 知识点六：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 题型一：集合的含义 【例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式1-2】（2025·高一·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【变式1-3】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 题型二：元素与集合关系的判断 【例2】已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三：集合的确定性、互异性、无序性 【例3】已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式3-3】（2025·高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 题型四：集合的表示：描述法 【例4】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【变式4-1】表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【变式4-2】（2025·高一·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【变式4-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 题型五：集合的表示：列举法 【例5】用列举法表示下列集合： (1)十二生肖组成的集合； (2)中国国旗上所有颜色组成的集合． 【变式5-1】集合 ，用列举法表示集合． 【变式5-2】用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【变式5-3】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 题型六：集合的综合问题 【例6】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【变式6-1】已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【变式6-2】已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 【变式6-3】（2025·高一·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 1．下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 2．（2025·高一·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 3． 2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 4．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 5．（多选题）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 6．（多选题）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 7．（多选题）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 9．定义集合的一种运算“*”，，若，则集合的所有元素的积为 ． 10．（2025·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 11．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 12．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 13．用描述法表示下列集合： （1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； （2）不等式2x－3<5的解组成的集合； （3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；    （4）3和4的所有正的公倍数构成的集合． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念与表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：集合的概念 (1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 知识点二：集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”. 知识点三：集合中元素的特点 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 知识点四：常用数集及其记法 所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N; 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R. 知识点五：集合的表示 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等. 使用说明 ①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. (2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法. 使用说明 ①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 知识点六：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 题型一：集合的含义 【例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（2025·高一·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【解析】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 【变式1-3】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【解析】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 题型二：元素与集合关系的判断 【例2】已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式2-1】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，得，解得． 故选：A 【变式2-2】下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 【变式2-3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，所以. 故选：A. 题型三：集合的确定性、互异性、无序性 【例3】已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 【变式3-1】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 【变式3-2】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【变式3-3】（2025·高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【解析】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 题型四：集合的表示：描述法 【例4】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【变式4-1】表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【解析】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【变式4-2】（2025·高一·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【解析】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 【变式4-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【解析】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 题型五：集合的表示：列举法 【例5】用列举法表示下列集合： (1)十二生肖组成的集合； (2)中国国旗上所有颜色组成的集合． 【解析】（1）十二生肖组成的集合为：{鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪} . （2）中国国旗上所有颜色组成的集合为：{红色，黄色}. 【变式5-1】集合 ，用列举法表示集合． 【解析】∵， ∴， 即． ∵， ∴． 【变式5-2】用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【解析】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为． 【变式5-3】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 题型六：集合的综合问题 【例6】已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 【变式6-1】已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【解析】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 【变式6-2】已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 【解析】（1）由题意可得，或，解得或， 当时，,1,不成立， 当时，,,成立， 故． （2）由题意可得，， 若，则，,7,，不合题意， 若，则，，不合题意， 故不存在实数，，使得． 【变式6-3】（2025·高一·黑龙江牡丹江·开学考试）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值. （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合. 【解析】因为集合可表示为，也可表示为，即 则满足，且，解得，所以. （2）①若，则；若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另两个元素和； ②假设集合中只有个元素（）， 由题意可知，因为集合为单元素集合，所以，即， 又由，则此方程无实数解，所以假设不成立， 所以集合不可能是单元素集合. 1．下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 2．（2025·高一·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【解析】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 3． 2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【解析】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 4．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【解析】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 5．（多选题）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【解析】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 6．（多选题）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【解析】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 7．（多选题）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 8．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 【答案】14 【解析】①当时，，所以或或； ②当时，，所以或或； ③当或时，， 所以或或或或或； ④当时，； ⑤当时，． 所以， ，共14个元素． 故答案为：14. 9．定义集合的一种运算“*”，，若，则集合的所有元素的积为 ． 【答案】144 【解析】由条件可知，的不同的值为1,2,3,4,6，即，集合的所有元素的积为. 故答案为：144 10．（2025·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【解析】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 11．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 12．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【解析】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 13．用描述法表示下列集合： （1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； （2）不等式2x－3<5的解组成的集合； （3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；    （4）3和4的所有正的公倍数构成的集合． 【解析】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． （2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． （3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. （4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$