专题32 几何（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题32 几何专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，以的边为直径，交于点D，交的延长线于点E，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，先由直径所对的圆周角是直角得出，再证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】连接，    ∵以的边为直径， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ， 故选：C． 2．如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，对称轴直线上有一个动点，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③的周长的最小值为，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，进而可判断②，由②得抛物线与轴的另一个交点为，则设，连接，交对称轴于，根据抛物线的对称性得则此时的周长最小，利用勾股定理得，，进而可判断③，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：①由对称轴，得，①正确； ②点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为，则②正确； ③由②得抛物线与轴的另一个交点为，则设， 连接，交对称轴于，如图： 根据抛物线的对称性得则此时的周长最小， 当时，则， ， 在和中，根据勾股定理得： ，， 的周长的最小值为．则③正确， 故选A． 3．如图，四边形是菱形，对角线于点H，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出，再根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∵菱形的面积 ∴ 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，如果将这个正方形绕点按顺时针方向旋转，则点恰好落在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正方形旋转后，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，由旋转的性质得，求出点B的坐标，代入解析式即可求出a的值． 【详解】如图，将正方形旋转后，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴点， ， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，求出点B的坐标是解答本题的关键． 5．如图，点是反比例函数的图象在第一象限上的一个动点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，且垂线分别交反比例函数的图象于点，连接，则下列说法不正确的是（    ）． A．始终成立 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，的几何意义，相似三角形的判定和性质，设点的横坐标为，分别用含有的代数式表示出，，，的坐标，进而表示出，，，的长,即可判断A,B选项，再推出，可判断C选项, 根据的几何意义可判断D选项. 【详解】解：轴，轴， 四边形为矩形， 设点的横坐标为， 点在函数上，点在上， 则点，点，点，点， 点的纵坐标为， ， ， 即点， ，， 故，A选项错误，符合题意； ,故B选项正确，不符合题意； ，， ， 又， ， ， ，故C选项正确，不符合题意； ， 故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 6．如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 【详解】解：如图：令与的交点为， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点，与反比例函数交于点，如果，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比列函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键． 先根据直线与反比例函数只有唯一的公共点，联立解析式得方程组，由求得a，从而求得点A、B坐标，再过点A作于E，过点C作于F，证明，得 ，求得，从而得到点，然后把代入，求解即可． 【详解】解：联立得， ∴ ∴ ∵直线与反比例函数只有唯一的公共点， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴， ∴， 令，则， ∴， 过点A作于E，过点C作于F，如图，    ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵于E， 于F ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 把代入，得 ． 故答案为：． 8．如图，在中，点分别在边上，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过点D作交于点G，过点E作交于点H，推出，，，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交于点G，过点E作交于点H， 则，，，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴，即，， ∵，且， ∴，即，， ∴． 故答案为：． 9．如图，在正方形中，延长至点E，以为边向下画正方形，连结交于点H，，连结．若的面积为30，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据正方形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到，设，，得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵的面积为30， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图所示，矩形，，，为矩形内一动点，为边上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，绕点顺时针旋转得到，连结，过点作于点，交于点，得到是等边三角形，由此可得，根据点到直线垂线段最短可得，当时，最短，即位置时，运用勾股定理，含角的直角三角形的性质可得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点顺时针旋转得到，连结，过点作于点，交于点， 则， ，又， 为等边三角形， ， 当四点、、、共线时，其和最小， 又点为上一动点， 当时，最短，即位置时， 在中，，， ∴， ∴， ，， ， 即所求的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂线段最短的综合运用，掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理计算线段长短的方法是解题的关键． 11．将图①矩形纸片沿折叠成图②，再沿折叠成图③，若图③中，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征量，根据四边形是矩形，得到，，继而得到，根据折叠的性质，得，结合，，得到，计算即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在正方形中，点E在上，，连接，过点A作交于点，的延长线交于点F，设四边形的面积与的面积之比为a，正方形的面积与的面积之比为b，则 ． 【答案】12 【分析】设，则，，先根据证明，则可得，根据勾股定理可求得，再证明，则可得，先求出，再代入上式求出，则可得，进而可求得a的值．再求出，即可求出b的值，从而可得值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，求出a和b的值是解题的关键． 【详解】， ∴设，则，， 正方形中，，， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点．    (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)求抛物线的函数表达式． (3)将正方形沿轴向右平移，使点落在抛物线上，求平移的距离． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，图形的平移，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的图示，正方形的性质得到，点到轴的距离为，到轴的距离为，由此即可求解； （2）把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）令得到，由此即可得到平移距离． 【详解】（1）解：∵三个小正方形的边长均为1，，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点， ∴，则， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 故答案为：；； （2）解：把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：当时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴平移的距离为． 14．（本题12分）如图，为的直径，弦，点为弦上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由等边对等角可知，由垂径定理可知，得，进而可知，即可证明结论； （2）由，得，结合（1）可知，，求得，即可解得． 【详解】（1）证明：， ， 弦直径， ， ， ， 又， ． （2）， ， ， ， ，解得， ． 15．（本题12分）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)35或95 (3)的度数为定值， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【详解】（1）解：如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，． （2）如图， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． 故答案为：35或95； （3）的度数为定值，．理由如下： 如图3，由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 16．（本题12分）如图，已知抛物线与直线相交于点，B．    (1)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； (2)当时，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果在抛物线上存在定点，使得，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)存在点或，使得； (3)点到直线的距离最大为 【分析】本题考查了是二次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质． （1）直线整理得，当时，，即可得到直线过定点； （2）过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，交直线于点，设点，则点，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点分别作直线的垂线，垂足分别为点，设点，证明，利用相似三角形的性质得到，联立得，利用根与系数的关系推出，整理得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由得， 当，即时，， 直线过定点； （2）解：当时，直线方程为， 再联立可解得点． 如图，过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，交直线于点，    设点，则点， ， ， 若，解得或， 当时，在直线下方的抛物线上存在点或，使得； （3）解：由知，，过点作直线轴， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为点，如图，    则， ∴， 设点，、互不相等， 则， 化简得， 而联立和得， ， ， 即， 点为抛物线上使得的定点，即与的取值无关， ∴，即， ∴点，与直线上定点的距离为， 过点作，则， ∴当点与定点的连线垂直时，点到直线的距离最大，为． 17．（本题12分）【感知】如图①，在中，，，是的中点，连结，延长至点，使，延长交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在中，，是的中点，连结，延长至点，使，延长交于点． （1）求证：． （2）求的值． 【应用】（3）如图③，在中，，是的中点，点在上且，连结，延长至点，使，延长交于点．则的值为______． 【答案】感知：见解析；探究：（1）见解析；（2）；应用： 【分析】感知：根据等边三角形的性质证明，再结合公共角即可得到结论； 探究：（1）根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到； 应用：取的中点N，连接，由可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】感知：证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 探究：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 应用：解：如图③，取的中点N，连接， ∵点D是的中点，点N是的中点， ∴，，是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 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(1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)求抛物线的函数表达式． (3)将正方形沿轴向右平移，使点落在抛物线上，求平移的距离． 14．（本题12分）如图，为的直径，弦，点为弦上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 15．（本题12分）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 16．（本题12分）如图，已知抛物线与直线相交于点，B．    (1)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； (2)当时，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果在抛物线上存在定点，使得，求点到直线的距离的最大值． 17．（本题12分）【感知】如图①，在中，，，是的中点，连结，延长至点，使，延长交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在中，，是的中点，连结，延长至点，使，延长交于点． （1）求证：． （2）求的值． 【应用】（3）如图③，在中，，是的中点，点在上且，连结，延长至点，使，延长交于点．则的值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$