精品解析：北京市房山区 2024-2025 学年下学期学业水平调研(一) 八 年 级 数 学试题（期中）

房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（一） 八年级数学 本试卷共10页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 若点M的坐标是，且，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列思路中不能判定四边形是正方形的是（ ） A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D. 先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 6. 如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 10. 如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 11. 点到轴的距离是______，到坐标原点的距离是______． 12. 在中，，则为______________，为_____________． 13. 已知，是一次函数图象上的两个点，则____________（填“”、“”或“”） 14. 菱形的面积为12，一条对角线的长是4，则此菱形的边长是____________． 15. 如果一个等边三角形ABC的一边AB在y轴上，其顶点A在坐标原点．已知AB＝2．则第三个顶点C的坐标为：_____． 16. 如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 三、解答题（共68分，第17-20，24，25题每题5分；第21-23，26，28题每题6分；第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． （1）直接写出，两点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和轴上一点，且点的横坐标为． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求的大小． 20. 为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 （1）分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； （2）若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 21. 下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 22. 小夏周末骑自行车到京郊十渡踏青游玩，他从家出发小时后到快餐店用餐，用餐后继续骑车前往十渡．小夏离家一段时间后，小夏爸爸驾驶汽车沿相同的路线前往十渡．如图是他们离家路程s（）与小夏离家时间t（）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）小夏和爸爸两个人谁先到达十渡？ （2）分别写出小夏和爸爸从家到达十渡的平均速度； （3）求小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式及自变量的取值范围． 23. 如图，在中，，交于点，点，在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求证：四边形是菱形． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 晓东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是晓东的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是________________； （2）下表是与的几组对应值： … 0 2 3 … … … 则的值为______________； （3）如图，在平面直角坐标系中，晓东描出表格中各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助晓东画出该函数的大致图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_______________． 25. 如图，在中，，交于点，点是边上一点（不与端点重合），过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，连接，．判断，的数量关系，并加以证明． 26. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值． 27. 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，与相交于点． （1）依据题意补全图形，直接写出______________°； （2）在（1）的条件下，求证：点是线段的中点； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点是矩形边上一点，点是这个矩形外一点，给出如下定义：若点关于点的对称点（点绕点旋转180°得到点）在矩形的内部或边上，则称点是矩形的“护卫点”． （1）如图，点，，，． ①在点，，中，点______________是矩形的“护卫点”； ②若直线上存在矩形的“护卫点”，则点的横坐标的取值范围是______________； （2）已知点，，，，，．当线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（一） 八年级数学 本试卷共10页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 若点M的坐标是，且，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，判断即可． 【详解】∵点M的坐标是，且， ∴点M在第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与象限，熟练掌握象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 3. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：表示“人民大会堂”的点的坐标为：． 故选：A． 5. 下列思路中不能判定四边形是正方形的是（ ） A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D. 先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； D. 先判定四边形的对角线互相平分且相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直，故该选项不符合题意； 故选：D． 6. 如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在直线的上方，即， 所以不等式的解集为． 故选：A． 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 8. 如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．设点落在上点处，连接，先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：如图，设点落在上点处，连接， 四边形是矩形，且，， ，， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 10. 如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 【答案】135° 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式计算即可． 【详解】∵八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°， ∴正八边形的每个内角为1080°÷8=135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，掌握知识点是解题关键． 11. 点到轴的距离是______，到坐标原点的距离是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到点的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及两点间距离公式即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：到轴的距离是，到坐标原点的距离是， 故答案为：，． 12. 在中，，则为______________，为_____________． 【答案】 ①. 50 ②. 130 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50，130． 13. 已知，是一次函数图象上的两个点，则____________（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 故答案为：． 14. 菱形的面积为12，一条对角线的长是4，则此菱形的边长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的面积，可求得另一条对角线长度，然后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，： 菱形的面积为12，， ， 四边形是菱形， ，， ． 故答案为：． 15. 如果一个等边三角形ABC的一边AB在y轴上，其顶点A在坐标原点．已知AB＝2．则第三个顶点C的坐标为：_____． 【答案】或或或 【解析】 【分析】先求点在y轴正半轴上，点在y轴右侧时，过点作轴于点，则，然后求得的长，即可得到点的坐标，同理求出点在其他象限内的点的坐标． 【详解】解：如图， 当在y轴正半轴上，点在y轴右侧时，过点作轴于点H， 则 , , , 点的坐标为； 同理，当点在y轴正半轴上，点在y轴左侧时，点的坐标为； 当点在y轴负半轴上，点在y轴右侧时，点的坐标为； 当点在y轴负半轴上，点在y轴左侧时，点的坐标为． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的点的坐标特点，解题的关键是熟知等边三角形三线合一的性质． 16. 如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了图形与折叠，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①当时，，，但没有足够理由证明点是中点，故不一定成立；②根据折叠，可知垂直平分和，，，，可证明四边形是平行四边形，从而推出，，从而得到，，从而证明出四边形是平行四边形，接着证明即可；③根据折叠，，，，然后利用平行四边形的性质，可证，从而得到四边相等；④根据折叠，可知 ，由，可证为定值，故得出答案． 【详解】解：①不一定成立，当时，如图所示： 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ， 但没有足够理由证明点是中点 不一定等于 四边形不一定是平行四边形； ②当时， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， 垂直平分和，，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 四边形是平行四边形 ， 四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，如图所示， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形； ④根据折叠的性质可知，， ， ， 点固定，即为定值，且以为底边时，高为平行四边形的高， 的面积不变， 四边形的面积不变，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（共68分，第17-20，24，25题每题5分；第21-23，26，28题每题6分；第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． （1）直接写出，两点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】（1）点坐标， 点坐标 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）令求出y的值，再令求出x的值即可得出A、B两点的坐标； （2）利用两点法画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：一次函数的图象如图： 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和轴上一点，且点的横坐标为． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质与判定；解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点的坐标，从而可得，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为 将和代入解析式 得： 解得： 一次函数解析式为 【小问2详解】 （法一）令，得 函数与轴交点 又 （法二）过点作轴于 点坐标 ， 又 20. 为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 （1）分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； （2）若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 【答案】（1）A套餐函数表达式：；B套餐函数表达式： （2）选择套餐更经济，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据计费规则分别写出两种套餐费用的函数表达式即可； （2）将分别代入两函数表达式，求出对应的函数值并比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：A套餐函数表达式：， 套餐函数表达式：； 【小问2详解】 解：当时， 若选择套餐：， 若选择套餐：， ， 选择套餐更经济． 21. 下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 【答案】（1）见解析 （2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识． （1）根据作法补全图形即可； （2）证明四边形是菱形，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全图形，如图： 【小问2详解】 证明：连接， ， 四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 22. 小夏周末骑自行车到京郊十渡踏青游玩，他从家出发小时后到快餐店用餐，用餐后继续骑车前往十渡．小夏离家一段时间后，小夏爸爸驾驶汽车沿相同的路线前往十渡．如图是他们离家路程s（）与小夏离家时间t（）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）小夏和爸爸两个人谁先到达十渡？ （2）分别写出小夏和爸爸从家到达十渡的平均速度； （3）求小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式及自变量的取值范围． 【答案】（1）爸爸 （2）12，40 （3） 【解析】 【分析】本题考查从图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式． （1）由图象即可解答； （2）根据“速度＝路程÷时间”进行求解即可． （3）设所求函数表达式为，根据待定系数法，把点，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，对于爸爸，当时，； 对于小夏，当时，， ∴爸爸先到达十渡． 【小问2详解】 解：小夏从家到十渡的平均速度为：， 爸爸从家到十渡的平均速度为：． 【小问3详解】 解：设小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式为， ∵该函数图象过点，， ∴，解得， ∴小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式为， 自变量的取值范围为． 23. 如图，在中，，交于点，点，在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，掌握相关定理是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，，进而得到，即可得证； （2）由得到，即可得到，从而推出，即可得到，证得是菱形，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴，即， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形， ， ∴是菱形． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 晓东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是晓东的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是________________； （2）下表是与的几组对应值： … 0 2 3 … … … 则的值为______________； （3）如图，在平面直角坐标系中，晓东描出表格中各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助晓东画出该函数的大致图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_______________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查函数图象，函数自变量的取值范围． （1）根据分母不为0，求出x的取值范围； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）根据所描出的点画出函数图象即可； （4）根据函数图象得出函数性质． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：函数的大致图象如图： 【小问4详解】 解：根据函数图象可知：函数图象关于y轴对称， 故答案为：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）． 25. 如图，在中，，交于点，点是边上一点（不与端点重合），过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，连接，．判断，的数量关系，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，延长交于点，根据平行四边形的性质证明，推出，再根据直角三角形的性质得到，即可得证． 【详解】解：，证明如下： 延长交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 26. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）且 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，两直线交点的计算，掌握待定系数法，图像法，两直线交点的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意作出函数的图象，可得函数的图象在函数的图象下方，结合图形即可求解； （3）根据题意得到函数的图象经过点，函数的图象经过点，根据两直线的交点及函数大小的比较得到，即可求解． 【小问1详解】 解：函数与的图象交于点， 把点代入得，， 解得，， 把点代入得，， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，函数解析式为，与轴的交点为， ∴当时，， ∵对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴函数的图象在函数的图象下方， ∴且； 【小问3详解】 解：当时，函数得，，即， 函数，即， ∴当时，函数中，， 如图所示， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ∴， 解得，． 27. 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，与相交于点． （1）依据题意补全图形，直接写出______________°； （2）在（1）的条件下，求证：点是线段的中点； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，作并交的延长线于点，利用证明，推出，得到，据此计算即可得到； （2）过点作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，再证明，得到，即可证明点是线段的中点； （3）证明，，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图． ； 作并交的延长线于点， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即点是线段的中点； 【小问3详解】 解：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，点是矩形边上一点，点是这个矩形外一点，给出如下定义：若点关于点的对称点（点绕点旋转180°得到点）在矩形的内部或边上，则称点是矩形的“护卫点”． （1）如图，点，，，． ①在点，，中，点______________是矩形的“护卫点”； ②若直线上存在矩形的“护卫点”，则点的横坐标的取值范围是______________； （2）已知点，，，，，．当线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①和；②或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，矩形的性质，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，作图后，进行判断即可；②易得直线过，，确定矩形的护卫点的范围，数形结合确定点的横坐标的范围即可； （2）先确当矩形的护卫点的范围，求出直线的解析式，分线段在矩形的下方和上方，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 ①如图， 点绕点旋转得到点，点在矩形的内部，点绕点旋转得到点，点在矩形的边上， 故点和是矩形的“护卫点”， 绕矩形边上一点旋转后的对应点，不在矩形的内部或边上，故不是矩形的“护卫点”； 故答案为：和； ②∵， ∴当时，，当时，则：， ∴直线过，， 如图，由新定义可知，矩形的护卫点所在的位置为矩形的边上或内部且在矩形的外部， 由图可知：上的点的横坐标为，的纵坐标为， 直线与边的交点的横坐标为，与边的交点的纵坐标为6； 当时，则：， 由图象可知，点的横坐标的取值范围为：或； 【小问2详解】 ∵点，，，， ∴四边形为边长为3，2的矩形， 由新定义可知，四边形的护卫点应该在以边长为9，6的矩形的边上和内部且在矩形的外部，如图： ∵，， ∴点在点的右上方，点在轴上， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 当线段在矩形的下方时，如图， 当点恰好在边上时，此时，符合题意； 当线段恰好经过点时，把代入，得：，解得：， ∴当时，线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”； 当线段在矩形的上方时，如图， 当线段经过点时，把代入，得：，解得：， 当点恰好在边上时，此时，解得： ∴当时，线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $