第十六章 二次根式 章末检测2（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测2 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1．下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：．中被开方数，不是二次根式，故不符合题意； ．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故不符合题意； ．中被开方数不一定大于0，不是二次根式，故不符合题意； ．是二次根式，故符合题意． 故选：． 【点晴】本题考查了二次根式的定义，能数据二次根式的定义（当时，形如的式子叫二次根式）是解此题的关键． 2．下列各式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据定义进行化简判断即可． 【详解】解：、， 不是最简二次根式， 故不符合题意； 、是最简二次根式，故符合题意； 、， 不是最简二次根式， 故不符合题意； 、， 不是最简二次根式， 故不符合题意； 故选：． 【点晴】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得， 解得且． 故选：． 【点晴】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 4．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别化简，进而判断即可． 【详解】解：无法合并，故此选项不合题意； ，故此选项不合题意； ，故此选项不合题意； ，故此选项符合题意． 故选：． 【点晴】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 5．已知是正整数，是整数，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：， 又是正整数，是整数， 符合的最小值是3， 故选：． 【点晴】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 6．把化去分母中的根号后得　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：，，即，； ． 故选：． 【点晴】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则，除法法则．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化． 7．若要在□的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法法则和乘方法则分别计算，比较即可． 【详解】解：， ， ， 应该填：， 故选：． 【点晴】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是　　 A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】 【分析】根据二次根式的相应的运算法则进行求解，再对比题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了． 【详解】解： ， 故运算错误的是乙，故选：． 【点晴】本题主要考查二次根式的混合运算，详解的关键是对相应的运算法则的掌握． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．则※结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点晴】本题属于新定义运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 10．估计的值应在　　 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即的值在1和2之间， 故选：． 【点晴】本题考查了二次根式的混合运算，掌握夹逼法是解题的关键． 11．化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案 【详解】解：由题意可知：， ，， 原式， ， 故选：． 【点晴】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 12．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为2，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：由条件可知丙纸片的边长为，丁纸片的宽为，丁纸片的面积为，丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：． 【点晴】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．计算：　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点晴】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 14．计算： 　　． 【答案】． 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 15．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．则矩形空地的周长 （结果化为最简二次根式） 【答案】米； 【分析】根据长方形的周长公式进行计算即可求解； 【详解】解： （米． 【点晴】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 16．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按上述规律，回答以下问题： （1）写出第5个等式：　　 ； （2）利用上述的规律计算：= 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第5个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式；可以先将所求式子展开，然后化简即可． 【详解】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：； 由（1）的规律可得，， （2）． 【点晴】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，详解本题的关键是写出第个等式． 三．解答题（共8小题，共72分。17-18题6分，19题8分，20-23题10分，24题12分） 17．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将先用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可； （2）将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 【点晴】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，属于基础题，详解本题的关键是掌握相关法则． 18．先阅读，后回答问题：为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需， 由乘法法则得或 解得或， 即当或时，有意义． 体会解题思想后，详解：为何值时，有意义？ 【答案】或． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件详解即可． 【详解】解：要使有意义，则， 或， 解得或， 即或时，有意义． 【点晴】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是详解本题的关键． 19．已知． （1）求的值； （2）化简并求值：． 【答案】3；3． 【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可； （2）根据题意得到，根据分式的约分法则、二次根式的性质把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：（1）当时，； （2）， ， 原式 ． 【点晴】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、分式的混合运算法则是解题的关键． 20．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：与细线的长度（单位：之间满足关系． （1）当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据： （2）当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【答案】（1）小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒； （2）此时细线的长度是． 【分析】（1）将代入题目中的公式计算出相应的的值即可； （2）将代入题目中的公式计算出相应的的值即可． 【详解】解：（1）， 当时，， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒； （2）当时，， ， 解得， 答：此时细线的长度是． 【点晴】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是详解本题的关键． 21．三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：（1）第三边的长； （2）第三边上的高． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长； （2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高． 【详解】解：（1）三角形周长为，两边长分别为 和， 第三边的长是：； （2）面积为， 第三边上的高为． 【点晴】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 22．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示，设点，，所对应数的和是． （1）若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值； （2）若原点为且，求的值． 【答案】（1）点表示，点表示，点的值为； （2）点的值为或． 【分析】（1）根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）分两种情况：原点在点的右边和原点在点的左边，分别表示出点、、表示的数，再计算即可． 【详解】解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）若原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； 原点在图中数轴上点的左边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 综上，点表示的数是或． 【点晴】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 23．先阅读然后详解提出的问题： 设、是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为、都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． 问题：设、都是有理数，且满足，求的值． 【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得，结合所给信息即可得出、的值，代入代数式即可得出答案． 【详解】解：移项得：， 是无理数， ，， 解得：，， 故或． 【点晴】本题考查了实数的运算，详解本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，比较新颖． 24．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、圴为整数）， 则有． ，． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示，，得：　　，　　； （2）利用所探索的结论，填写合适的正整数与，填空：　　　　； （3）若，且、、均为正整数，求的值． 【答案】（1），； （2）7，1； （3）49、16或19． 【分析】（1）利用完全平方公式将展开得到，再和的系数作对比，从而可用、表示，； （2）根据设得到，，代入，，即可求解； （3）根据完全平方公式求出，，得出，根据、、均为正整数，得，；，或，，，分别代入即可求出答案． 【详解】解：（1）若， 则， ，， 故答案为：，； （2）设， ， ∴______得： ，， ，， 解得：，， 故答案为：7，1； （3）， ，， ， 、、均为正整数， ，；，；，， 当，时，时； 当，时，； 当，时，； 的值是49、16或19． 【点晴】本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算，详解关键是灵活运用二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则． 学科网（北京）股份有限公司 $$八年级下册期末登顶手册:三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测2 一.选择题(共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的) 1.下列各式是二次根式的是 A. B. C. D. 2.下列各式中是最简二次根式的是 A. B. C. D. 3.若式子在实数范围内有意义,则的取值范围是 A. B.且 C.且 D.且 4.下列计算正确的是 A. B. C. D. 5.已知是正整数,是整数,则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 6.把化去分母中的根号后得 A. B. C. D. 7.若要在 的“ ”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号应该填 A. B. C. D. 8.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成二次根式运算,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简,过程如图所示: 接力中,自己负责的一步出现错误的是 A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 9.用※定义一种新运算:对于任意实数和,规定※,如:1※.则※结果为 A. B. C. D. 10.估计的值应在 A.和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 11.化简的结果是 A. B. C. D. 12.用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形,如图,已知一块“丙”纸片的面积为2,则一块“甲”纸片的边长为 A. B. C.3 D. 二.填空题(共4小题,每小题3分,共12分) 13.计算: . 14.计算: . 15.如图,某小区有一块矩形空地,矩形空地的长为,宽为,现要在空地中间修建一个小矩形花坛(阴影部分),小矩形花坛的长为,宽为.则矩形空地的周长是 (结果化为最简二次根式) 16.观察下列等式: 第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 按上述规律,回答以下问题: (1)写出第5个等式: ; (2)利用上述的规律计算:= 。 三.解答题(共8小题,共72分。17-18题6分,19题8分,20-23题10分,24题12分) 17.计算: (1); (2). 18.先阅读,后回答问题:为何值时,有意义? 解:要使该二次根式有意义,需, 由乘法法则得或 解得或, 即当或时,有意义. 体会解题思想后,解答:为何值时,有意义? 19.已知. (1)求的值; (2)化简并求值:. 20.如图,一根细线上端固定,下端系一个小重物,让这个小重物来回自由摆动,来回摆动一次所用的时间(单位:与细线的长度(单位:之间满足关系. (1)当细线的长度为时,小重物来回摆动一次所用的时间是多少?(参考数据: (2)当所花时间为秒时,求此时细线的长度. 21.三角形的周长为,面积为,已知两边的长分别为和,求:(1)第三边的长; (2)第三边上的高. 22.同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应,在一条不完整的数轴上从左到右有点,,,其中,,如图所示,设点,,所对应数的和是. (1)若以为原点,写出点,所对应的数,并计算的值; (2)若原点为且,求的值. 23.先阅读然后解答提出的问题: 设、是有理数,且满足,求的值. 解:由题意得,因为、都是有理数,所以,也是有理数,由于是无理数,所以,,所以,,所以. 问题:设、都是有理数,且满足,求的值. 24.阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索: 设(其中、、、圴为整数), 则有. ,. 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当、、、均为正整数时,若,用含、的式子分别表示,,得: , ; (2)利用所探索的结论,填写合适的正整数与,填空: ; (3)若,且、、均为正整数,求的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测2评分标准 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B D C D C A A C C B 二．填空题（共4小题） 13．． 14．． 15．米． 16．（1）；（2）． 三．详解题（共8小题） 17．解：（1）原式； …………………………3分 （2）原式 ． …………………………6分 18．解：要使有意义，则， …………………………2分 或， 解得或， 即或时，有意义． …………………………6分 19．解：（1）当时，；…………………………3分 （2）， ， 原式 …………………………6分 ． …………………………8分 20．解：（1）， 当时，， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒； …………………………5分 （2）当时，， ， 解得， 答：此时细线的长度是． …………………………10分 21.解：（1）三角形周长为，两边长分别为 和， 第三边的长是：；……………………5分 （2）面积为， 第三边上的高为． …………………………10分 22．解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； …………………………4分 （2）若原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； 原点在图中数轴上点的左边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 综上，点表示的数是或． …………………………6分 23．解：移项得：， …………………………4分 是无理数， ，，…………………………6分 解得：，， …………………………8分 故或． …………………………10分 24．解：，；…………………………2分 （2）7，1；…………………………4分 （3）， ，， ， 、、均为正整数， ，；，；，， 当，时，时； 当，时，； 当，时，； 的值是49、16或19． …………………………10分 学科网（北京）股份有限公司 $$