5.1—5.2 随机事件与古典概型（4知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

5.1—5.2 随机事件与古典概型 课程标准 学习目标 (1)结合具体实例, 理解样本点和有限样本空间的含义, 理解随机事件与样本点的关系 (参见案例 12)。了解随机事件的并、交与互斥的含义, 能结合实例进行随机事件的并、交运算。 (2)结合具体实例, 理解古典概型, 能计算古典概型中简单随机事件的概率。 (3)通过实例, 理解概率的性质, 掌握随机事件概率的运算法则。 （1）了解随机事件的概念； （2）了解随机事件的运算； （3）理解古典概型，会求古典概型中的简单随机事件的概率； （4）理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。（难点) 知识点01 随机事件与样本空间 1 有限样本空间与随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示， 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示. 【即学即练1】 （24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 知识点02 事件的运算 (1) 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； (2) 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. (3) 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. (4) 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). (5) 一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 显然事件和事件相互对立，他们一定相互独立；独立事件不一定是对立事件. 类似地，我们可以定义多个事件的和事件及其积事件.例如，对于三个事件，（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生，等等. 在理解事件的关系或运算时，利用集合的图较为容易. 【即学即练2】 （24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 古典概型 1 古典概型的特点 ① 有限性：样本空间的样本点只有有限个； ② 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型. 2 古典概型事件的概率 (1) 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 3 概率的基本性质 性质 对任意事件，都有； 性质 必然事件的概率为，不可能事件的概率为. 【即学即练3】 （2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 知识点04 概率的运算 1 若事件与事件互斥时，则； 2 如果是样本空间的事件，则。 3 概率加法公式 . 【即学即练4】 （21-22高二上·上海徐汇·期中）一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 . 【题型一：判断事件是否随机事件】 例1．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 变式1-1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 变式1-2．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 变式1-3．（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【方法技巧与总结】 一定发生的事件是必要事件，不可能发生的事件是不可能事件，随机发生的事件是随机事件。 【题型二：事件的运算及其含义】 例2．．（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 变式2-1．（21-22高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（21-22高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 (1) 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； (2) 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. (3) 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. 【题型三：判定事件的互斥与独立】 例3．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 变式3-1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 变式3-2．（22-23高一上·安徽淮北·期末）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 变式3-3．（21-22高一下·北京通州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与互为对立 【方法技巧与总结】 1一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). 2一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 【题型四：计算古典概型问题的概率】 例4．1（24-25高二下·湖北·开学考试）小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 例4．2（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 变式4-1．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-4．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 【方法技巧与总结】 1 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率； 2 常利用穷举法得到、，穷举的时候最好按照一定逻辑进行列举，做到不重不漏. 【题型五：根据古典概型的概率求参数】 例5．（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 变式5-1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 变式5-2．（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 根据题意，由古典概型公式得到参数的方程便可。 【题型六：概率加法公式的运用】 例6．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（21-22高一下·河北承德·阶段练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，则 . 变式6-2．（22-23高一下·福建福州·期末）已知，如果，那么 ． 变式6-3．（24-25高三上·湖北·期中）某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 【方法技巧与总结】 概率加法公式.具体解决过程中可以利用样本空间进行理解或想集合那样用venn图。 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 2（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 3（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 4（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（    ） A．()与C是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C．的概率一定不超 D．的概率一定等于0.5 6（2025高三·全国·专题练习）已知，则函数存在两个零点的概率为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 8（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）一个正十二面体的各个面分别标有数字1到12，拋掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字，事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件可以为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 10．（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 11．（2025高三·全国·专题练习）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（，）．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件为孪生素数，为表兄弟素数，，记事件，，发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现4点”；“出现5点”；“出现的点数不大于1”；“出现的点数小于5”；“出现奇数点”；“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 13（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 14（2018高三·全国·专题练习）从集合中随机取一个点，若的概率为，则k的最大值是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 16.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 17.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 18.（2025·湖南·二模）甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. (1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. (2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. (3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 19. （23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1—5.2 随机事件与古典概型 课程标准 学习目标 (1)结合具体实例, 理解样本点和有限样本空间的含义, 理解随机事件与样本点的关系 (参见案例 12)。了解随机事件的并、交与互斥的含义, 能结合实例进行随机事件的并、交运算。 (2)结合具体实例, 理解古典概型, 能计算古典概型中简单随机事件的概率。 (3)通过实例, 理解概率的性质, 掌握随机事件概率的运算法则。 （1）了解随机事件的概念； （2）了解随机事件的运算； （3）理解古典概型，会求古典概型中的简单随机事件的概率； （4）理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。（难点) 知识点01 随机事件与样本空间 1 有限样本空间与随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示， 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示. 【即学即练1】 （24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 知识点02 事件的运算 (1) 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； (2) 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. (3) 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. (4) 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). (5) 一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 显然事件和事件相互对立，他们一定相互独立；独立事件不一定是对立事件. 类似地，我们可以定义多个事件的和事件及其积事件.例如，对于三个事件，（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生，等等. 在理解事件的关系或运算时，利用集合的图较为容易. 【即学即练2】 （24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 知识点03 古典概型 1 古典概型的特点 ① 有限性：样本空间的样本点只有有限个； ② 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 满足以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型. 2 古典概型事件的概率 (1) 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 3 概率的基本性质 性质 对任意事件，都有； 性质 必然事件的概率为，不可能事件的概率为. 【即学即练3】 （2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 知识点04 概率的运算 1 若事件与事件互斥时，则； 2 如果是样本空间的事件，则。 3 概率加法公式 . 【即学即练4】 （21-22高二上·上海徐汇·期中）一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 . 【答案】0.9/ 【分析】利用概率加法公式直接求解. 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3， ∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：. 故答案为：0.9. 【题型一：判断事件是否随机事件】 例1．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 变式1-1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 变式1-2．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 变式1-3．（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答. 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 【方法技巧与总结】 一定发生的事件是必要事件，不可能发生的事件是不可能事件，随机发生的事件是随机事件。 【题型二：事件的运算及其含义】 例2．．（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 变式2-1．（21-22高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 变式2-2．（21-22高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 变式2-3．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 【方法技巧与总结】 (1) 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； (2) 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. (3) 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. 【题型三：判定事件的互斥与独立】 例3．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 变式3-1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 变式3-2．（22-23高一上·安徽淮北·期末）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的关系和运算一一判定即可. 【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果， 即，事件， 故，即事件A、B既不互斥也不对立. 显然C正确. 故选：C 变式3-3．（21-22高一下·北京通州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与互为对立 【答案】B 【分析】利用事件的关系与运算判断A，B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C，D作答. 【详解】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确； 事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确； 事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确； 事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确. 故选：B 【方法技巧与总结】 1一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). 2一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 【题型四：计算古典概型问题的概率】 例4．1（24-25高二下·湖北·开学考试）小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】将6把钥匙分别标号为1，2，3，4，5，6，其中标号为5，6的钥匙是能打开门的，标号为1，2，3，4的钥匙是不能打开门的． 如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开门两次的样本点有个， 其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，，共有8个，所以； 如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为，共有36个样本点， 其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，共有8个，所以． 故选：A. 例4．2（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率． （2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率. 【详解】（1）乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． （2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 变式4-1．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且事件，，则， 所以. 故选：A 变式4-2．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样求出甲组和乙组抽取人数，利用列举法得到这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况数和至少有1人是甲组的情况数，得到概率. 【详解】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取人，记为A，B； 从乙组中抽取人，记为a，b，c． 在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有，，，， ，，，，，，共10种， 其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种， 分别为，，，，，，， 故所求概率为． 故选：B 变式4-3．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含 ，共15个， 事件所包含的样本点为 ，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有 ，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 变式4-4．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）记3名男生为，，，2名女生为，，由穷举法结合古典概率的计算可得； （2）设“参赛学生中恰有2名男生和1名女生”，由穷举法结合古典概率的计算可得. 【详解】（1）记3名男生为，，，2名女生为，， 则从5名学生中选取3名学生参赛可能的结果有： ， 共10种. 设“参赛学生中至少有2名男生”，则事件A包含的基本事件有： ，共7个， 故参赛学生中至少有2名男生的概率为. （2）设“参赛学生中恰有2名男生和1名女生”，则事件B包含的基本事件有：共6个， 故参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率为. 【方法技巧与总结】 1 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率； 2 常利用穷举法得到、，穷举的时候最好按照一定逻辑进行列举，做到不重不漏. 【题型五：根据古典概型的概率求参数】 例5．（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 变式5-1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 变式5-2．（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 变式5-3．（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键. 【方法技巧与总结】 根据题意，由古典概型公式得到参数的方程便可。 【题型六：概率加法公式的运用】 例6．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 变式6-1．（21-22高一下·河北承德·阶段练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，则 . 【答案】 【分析】求出所包含的基本事件数，从而求出相应的概率. 【详解】由题意得：，所以. 故答案为： 变式6-2．（22-23高一下·福建福州·期末）已知，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，，且， 所以. 故答案为： 变式6-3．（24-25高三上·湖北·期中）某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 【答案】 【分析】设出事件，记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 根据事件的关系和运算法则得到，，相加得到答案. 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 故答案为： 【方法技巧与总结】 概率加法公式.具体解决过程中可以利用样本空间进行理解或想集合那样用venn图。 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 2（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【答案】B 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可． 【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为， 则出现的点数为，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误， 故选：B． 3（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 4（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 5（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（    ） A．()与C是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C．的概率一定不超 D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【分析】根据A，B，C不一定互斥，利用和事件的一般概率公式计算可判断各选项得解. 【详解】由事件A，B，C不一定两两互斥， 所以， ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与C是不是互斥事件， 所以A、B、D中说法错误． 故选：C． 6（2025高三·全国·专题练习）已知，则函数存在两个零点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，求得存在两个零点的参数值，进而求得概率. 【详解】由题可知，函数存在两个零点，则需满足． 又，所以符合要求，所以函数存在两个零点的概率． 故选：A． 速解 验证排除法！ 由题可知，分别将代入，只有符合要求． 故选：A 7（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 8（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）一个正十二面体的各个面分别标有数字1到12，拋掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字，事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分别列举每个事件，根据古典概型，结合题意，可得答案. 【详解】对于A，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故A错误； 对于B，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故B错误； 对于C，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故C错误； 对于D，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【答案】AB 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的； 对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足 ，所以B正确； 对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1； 对于D，只要等于全体样本空间，必定有 ，但事件与不一定互斥,故D错误． 故选：AB 10．（2025高三·全国·专题练习）从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 【答案】AD 【分析】由互斥事件的概念逐项判断即可； 【详解】从中有放回地依次取出两个数， 共有三种情况：两个奇数一个奇数一个偶数两个偶数}， 且两两互斥，所以A选项：是互斥事件，但不是对立事件；B选项：不互斥；C选项：不互斥；D选项：是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD 11．（2025高三·全国·专题练习）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（，）．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件为孪生素数，为表兄弟素数，，记事件，，发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知不妨取，计算，根据古典概型即可判断. 【详解】不妨取，不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中任意取两个不同的素数，共有（个）样本点； ，共4个样本点； ，共4个样本点； ，共10个样本点， 所以，，显然，， 从而A，B，C均不成立；中始终包含样本点，，,故D成立． 故选：ABC． 三、填空题 12．（22-23高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现4点”；“出现5点”；“出现的点数不大于1”；“出现的点数小于5”；“出现奇数点”；“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 【答案】 ＝ 【分析】易知“出现的点数小于5”包含出现2点，即；“出现偶数点”包括出现4点，即；“出现奇数点”包括出现5点，即；“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即. 【详解】（1）因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故. （2）“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故， （3）“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故. （4）“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故. 故答案为：，，，＝ 13（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 【答案】 【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果. 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品， 设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：， 抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件. 故答案为：. 14（2018高三·全国·专题练习）从集合中随机取一个点，若的概率为，则k的最大值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 所以集合中元素的个数为，因为的情况有2种，的情况有4种，的情况有2种，所以要使，的概率为，需，所以的最大值为2，故答案为2. 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 16.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【详解】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 17.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意： . 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 18.（2025·湖南·二模）甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. (1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. (2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. (3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）不难看出只有当甲不涂黑方格的四个角和中心处，甲一定获胜，由此可得甲获胜的概率； （2）给格子标号，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 即1比2的数量多两个时，此时甲一定获胜，计算当m为奇数时，1号和2号的格子数， 发现1的数量比2的数量多两个，故当m为奇数时，甲一定获胜； （3）由（2）可知，考虑1比2多两个的情况，只有涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 计算2号格子的数量，除以甲能涂黑的格子数，即可证明甲获胜的概率. 【详解】（1）甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格， 只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格， 故甲获胜的概率为. （2）我们为格子标号： 1 黑格 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…， 若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个， 由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个， 这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多， 同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列， 因此1的数量比2的数量多个， 但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个， 这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜. （3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个， 我们考虑1比2多两个的情况： 若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个 当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2， 又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率. 19. （23-24高一下·浙江温州·期末）给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)0，2，4 (2) (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知样本容量，且只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$