2.2 二倍角的三角函数（1知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

2.2 二倍角的三角函数 课程标准 学习目标 （1）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系 （1）掌握二倍角的正弦公式，并会灵活运用； （2）掌握二倍角的余弦公式，并会灵活运用； （3）掌握二倍角的正切公式，并会灵活运用. 知识点01 二倍角公式 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② ③ (由、、可推导出，，的公式) 【即学即练1】 （24-25高二上·湖南·期中）已知角的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，由二倍角正弦公式求出，再根据二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为角的终边不在坐标轴上，所以， 则，由二倍角余弦公式可得： 故选：A. 【题型一：二倍角的正弦与余弦公式】 例1．（2025·安徽合肥·一模）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式化简，再代入正切值求解 【详解】因为， 所以 故选： 变式1-1．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的正余弦的定义可求得，，利用二倍角的正弦公式可求值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，，所以. 故选：A. 变式1-2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数关系求解即可. 【详解】， 因为，所以，即， 所以. 故选：B 变式1-3．（贵州省六盘水市2025届高三下学期适应性考试（一）数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式化简：，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值． 【详解】 即： 即： 即： ，故 ① 又 ② 由①②可得： 即： 可得：，解得： ，故 故选：A 【方法技巧与总结】 1 ； 2 注意二倍公式中的使用，与、与、与均存在二倍角关系，都可以利用二倍角公式. 【题型二：二倍角的正切公式】 例2．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值，然后利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式计算可得的值. 【详解】因为，则，可得，故， 所以，， 因此，. 故选：A. 变式2-1．（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正切公式化简即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 变式2-2．（23-24高二下·福建泉州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据诱导公式和商关系得，再利用二倍角正切公式计算得到结果； 【详解】因为，可得， 所以，则. 故选：A. 变式2-3．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出，再利用二倍角的正切及差角的正切计算得解. 【详解】由，得， 即，由，得，则， 则，所以． 故选：A 【方法技巧与总结】 1 ； 2 注意二倍公式中的使用，与、与、与均存在二倍角关系，都可以利用二倍角公式. 【题型三：利用二倍角公式的“知角求值”】 例3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由三角恒等变换、二倍角公式即可运算求解. 【详解】因为 ， 则. 故选：D. 变式3-1．（24-25高三上·福建泉州·期末）（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先通分，再应用辅助公式结合二倍角公式计算化简求值即可. 【详解】 . 故选：C. 变式3-2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 变式3-3．（24-25高三上·广东中山·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，化简、运算，即可求解. 【详解】由 . 故选：A． 【方法技巧与总结】 在给角求值中，要多注意角度之间的关系，比如它们的和差是否定值（之类）、倍数关系等，在求值过程中多尝试. 【题型四：利用二倍角公式的“知值求角”】 例4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 变式4-1．（24-25高三上·福建·期中）若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的正切公式以及弦切互化可得，进而得，即可求解. 【详解】由于，， 故由可得， 故,则， 取，取， 因此只有符合要求， 故选：B 变式4-2．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 变式4-3．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式得到，再结合两角差余弦公式、二倍角公式可求解； 【详解】因为，所以， 即，即． 又因为，所以，所以， 即．又， 所以，所以， 所以， 故选：A． 【方法技巧与总结】 给值求角中，要多注意已知角与所求角之间的关系（和差或倍数关系），求角时也要利用什么函数名求值. 【题型五：二倍角公式的角变换】 例5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合余弦二倍角公式即可求解； 【详解】因为，所以， 故选：D. 变式5-1．（2025·陕西咸阳·一模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，利用倍角公式结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：C. 变式5-2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 变式5-3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式可求得，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】由题意可得，， 所以， 故. 故选：C. 【方法技巧与总结】 角度变换中，要注意它们的核查或倍数关系，求值过程也可以利用换元法. 【题型六：二倍角公式的综合运用】 例6．（21-22高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 变式6-1．（24-25高三上·山东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式、二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 变式6-2．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解. 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    变式6-3．（2024·广东佛山·一模）函数是（   ） A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2 C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D. 【详解】定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，又， 令，，， 当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确； 因为，所以为周期函数， 因为在上单调递减，在上单调递减， 当，，令，，，在单调递减，在单调递增， 当，，令，，，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增； 故C，D错误， 故选：B. 变式6-4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）中，已知，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和差余弦公式二倍角公式化简得到，再根据正弦定理化角为边，化简可得结论得到答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 所以，，， 所以，可化为，即， ，可化为， 所以，故， 所以，即， 所以为直角三角形. 故选：A. 【方法技巧与总结】 三角恒等变换在解三角形或求解三角函数中都有广泛的应用. 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式可求答案. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 2.（24-25高三上·甘肃武威·期末）若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：A 3.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先由和差公式以及二倍角公式将化简为，再结合诱导公式即可得答案. 【详解】因为 ， 而，所以， 故选：D. 4.（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角公式可得，根据齐次式可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 5.（江苏省镇江市2025届高三下学期期初考试数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的余弦公式先求出 的值，从而可以得到的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果. 【详解】解：因为，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以. 故选：D 6.（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 7. （2024·贵州贵阳·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角、差角的正切公式计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 8.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由得，结合可得，结合二倍角的余弦公式化简得出关于的方程，解之即可求解. 【详解】由，得， 当时，，即是图象的一条对称轴. 如图，由，得，所以. 由， 知点到直线的距离为点到直线的距离的2倍， 所以，得， 得，又， 所以，即， 整理得， 由，解得， 所以，解得. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 10. （2025·安徽·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的一条对称轴方程为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【分析】对于选项A，将函数化简为最简形式，利用最小正周期公式即可求得；对于选项B利用整体代入思想与正弦函数的单调性可得；对于选项C利用对称轴公式即可求得，对于选项D则利用平移变换的知识即可求出. 【详解】对于A， ， 函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为，∴， 而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误； 对于C，由（），得（）， 不可能取到，故C错误； 对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 故选：AD 11. （24-25高三下·湖南常德·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据余弦定理与正弦定理，利用和角公式整理等式，结合三角形边与角的大小关系，可得答案；对于B，根据三角形内角的取值，由A所得等式，则可得等角，根据正弦定理，可得答案；对于C，利用余弦二倍角公式，可得答案；对于D，利用正切的二倍角公式，可得答案. 【详解】由得，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以， 若，则，易知，从而，所以，A错误； 若为锐角，由及得，所以，由正弦定理得，B正确； 因为，所以为锐角， ，C正确； 当为锐角三角形时，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 【答案】 【分析】将条件两边平方，再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简，得，解得. 【详解】由，两边平方得， ， 所以. 故答案为： 13. （24-25高三下·河南·开学考试）已知，则 . 【答案】 【分析】由已知可求得，利用二倍角的正切公式可求得，进而利用两角差的正切公式可求值. 【详解】因为，整理得， 所以，所以， ， 故答案为：. 14. （24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设交于点，则、分别为、的中点，设四边形为横向矩形，可得出，，利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的最值可求得的最大值. 【详解】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）化简：. 【答案】1 【分析】由二倍角公式以及平方关系即可求解. 【详解】原式. 16.（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得，利用两角差的余弦公式计算得出结果； （2）根据诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】（1）由题意有， ； （2）． 17. （24-25高一下·云南·开学考试）已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； 【答案】(1)； (2)对称中心为，，单调递减区间为，. 【分析】（1）根据题意利用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简整理即可； （2）以为整体，结合余弦函数的对称性、单调性求解即可； 【详解】（1）由题意， ， 所以； （2）令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. 18. （2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． （2）因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 19. （24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：. (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式、二倍角的正余弦公式和同角的平方关系计算即可求解； （2）由、和同角的平方关系计算可得，解方程即可； （3）由（1）得，结合两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】（1） ； （2），即， ， ，即， 整理得； （3）由（1）得， . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练常握三角函数恒等变换的相关公式，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 二倍角的三角函数 课程标准 学习目标 （1）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系 （1）掌握二倍角的正弦公式，并会灵活运用； （2）掌握二倍角的余弦公式，并会灵活运用； （3）掌握二倍角的正切公式，并会灵活运用. 知识点01 二倍角公式 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② ③ (由、、可推导出，，的公式) 【即学即练1】 （24-25高二上·湖南·期中）已知角的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C．或1 D． 【题型一：二倍角的正弦与余弦公式】 例1．（2025·安徽合肥·一模）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 变式1-1．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（贵州省六盘水市2025届高三下学期适应性考试（一）数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 ； 2 注意二倍公式中的使用，与、与、与均存在二倍角关系，都可以利用二倍角公式. 【题型二：二倍角的正切公式】 例2．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高二下·福建泉州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【方法技巧与总结】 1 ； 2 注意二倍公式中的使用，与、与、与均存在二倍角关系，都可以利用二倍角公式. 【题型三：利用二倍角公式的“知角求值”】 例3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高三上·福建泉州·期末）（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-2．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 变式3-3．（24-25高三上·广东中山·期中）（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在给角求值中，要多注意角度之间的关系，比如它们的和差是否定值（之类）、倍数关系等，在求值过程中多尝试. 【题型四：利用二倍角公式的“知值求角”】 例4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高三上·福建·期中）若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 给值求角中，要多注意已知角与所求角之间的关系（和差或倍数关系），求角时也要利用什么函数名求值. 【题型五：二倍角公式的角变换】 例5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（2025·陕西咸阳·一模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 变式5-2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 角度变换中，要注意它们的核查或倍数关系，求值过程也可以利用换元法. 【题型六：二倍角公式的综合运用】 例6．（21-22高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高三上·山东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（2024·广东佛山·一模）函数是（   ） A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2 C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减 变式6-4．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）中，已知，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【方法技巧与总结】 三角恒等变换在解三角形或求解三角函数中都有广泛的应用. 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·甘肃武威·期末）若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（   ） A． B． C． D．4 4.（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5.（江苏省镇江市2025届高三下学期期初考试数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 7. （2024·贵州贵阳·一模）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点.若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10. （2025·安徽·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的一条对称轴方程为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. （24-25高三下·湖南常德·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 三、填空题 12．（2025·广东茂名·一模）已知，则 . 13. （24-25高三下·河南·开学考试）已知，则 . 14. （24-25高一下·湖南·开学考试）某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）化简：. 16.（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 17. （24-25高一下·云南·开学考试）已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； 18. （2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 19. （24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：. (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$