5.3—5.4 用频率估计概率与事件的独立性（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

5.3—5.4 用频率估计概率与事件的独立性 课程标准 学习目标 （1）结合实例, 会用频率估计概率 （2）结合有限样本空间, 了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型, 利用独立性计算概率。 （1）理解频率与概率的区别，会用频率估计概率； （2）了解两个随机事件的独立性； （3）会利用事件的独立性计算事件的概率。（难点) 知识点01 用频率估计概率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【即学即练1】 （24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 知识点02 事件的独立性 ① 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. ② 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 【即学即练2】 （24-25高三下·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【题型一：辨析频率与概率的关系】 例1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 变式1-1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 变式1-2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【方法技巧与总结】 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【题型二：用频率估计概率】 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 变式2-1．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 变式2-2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【方法技巧与总结】 当总数很大时，频率可近似等于概率；频率等于频数/总数. 【题型三：独立事件的判断】 例3．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 变式3-1．（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 变式3-2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 变式3-3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【方法技巧与总结】 1 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. 2 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 【题型四：独立事件的乘法公式】 例4．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（    ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 变式4-1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 变式4-2．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知事件A，B相互独立，，，则（   ） A． B． C． D．1 变式4-3．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 当事件相互独立，则. 【题型五：独立事件的事件应用】 例5．1（23-24高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 例5．2 （23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 变式5-1．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（   ） A．0.11 B．0.21 C．0.31 D．0.41 变式5-2．（24-25高二下·河南郑州·期中）甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 变式5-4．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 一、单选题 1．23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 2（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 3（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 4（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 5（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C． D． 6（24-25高二下·浙江·期中）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 7（2025高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 8（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 10（24-25高一上·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 11（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 三、填空题 12．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 13（2025·宁夏石嘴山·三模）某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为 . 14（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 16（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 17（22-23高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 18（22-23高二下·甘肃张掖·阶段练习）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大. 19. （2025·山东潍坊·二模）有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，待别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为． (1)当时，求恰好有次成功的概率； (2)令，若，证明：； (3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3—5.4 用频率估计概率与事件的独立性 课程标准 学习目标 （1）结合实例, 会用频率估计概率 （2）结合有限样本空间, 了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型, 利用独立性计算概率。 （1）理解频率与概率的区别，会用频率估计概率； （2）了解两个随机事件的独立性； （3）会利用事件的独立性计算事件的概率。（难点) 知识点01 用频率估计概率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【即学即练1】 （24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 知识点02 事件的独立性 ① 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. ② 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 【即学即练2】 （24-25高三下·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】记甲熔断为事件，乙熔断为事件， 则、，又与相互独立， 所以，即两根保险丝都熔断的概率为. 故选：C 【题型一：辨析频率与概率的关系】 例1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 变式1-1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 变式1-2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】由概率的概念逐项判断即可. 【详解】对于①：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确； 对于②：某人打靶，射击次，击中次， 那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③：是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误； 对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 故选：B 变式1-3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【分析】利用概率的意义直接求解． 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 【方法技巧与总结】 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【题型二：用频率估计概率】 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 变式2-1．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可. 【详解】设红球个数为， 由题意可得：，解得：. 故选：B 变式2-2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据样本估计总体，可求得这批米内夹谷的石数. 【详解】因为粒内夹谷粒， 所以估计这批米内夹谷的概率为， 设这批米内夹谷的石数为，则， 即这批米内夹谷的石数约为石. 故选：C. 变式2-3．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【分析】由频率可得到概率估计值. 【详解】设事件为 “甲获胜”， 20组随机数，其中事件发生了18次， . 故选：A. 【方法技巧与总结】 当总数很大时，频率可近似等于概率；频率等于频数/总数. 【题型三：独立事件的判断】 例3．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 变式3-1．（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【答案】B 【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假； 对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题； 对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题； 对于C，由得，， 所以事件不相互独立，故C是假命题； 对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题． 故选：B. 变式3-2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 变式3-3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. 2 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 【题型四：独立事件的乘法公式】 例4．（2025·广东惠州·模拟预测）事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（    ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率公式求出，根据求出的值，再利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】由概率公式可得， 因为， 即，可得， 所以，因此，事件与事件独立. 故选：C. 变式4-1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 变式4-2．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知事件A，B相互独立，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】事件A，B相互独立，，，所以. 故选：A 变式4-3．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求出，然后利用概率性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立，所以， 所以． 故选：D 【方法技巧与总结】 当事件相互独立，则. 【题型五：独立事件的事件应用】 例5．1（23-24高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 例5．2 （23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 变式5-1．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（   ） A．0.11 B．0.21 C．0.31 D．0.41 【答案】C 【分析】设出事件，分两种情况，同一工作日3人需使用设备和4人需使用设备，求出概率相加即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁需使用设备分别为事件， 则， 恰好3人使用设备的概率 ， 4人需使用设备的概率， 故所求的概率． 故选：C 变式5-2．（24-25高二下·河南郑州·期中）甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”，则. 【详解】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”， 则， 所以 ， 故选：C 变式5-3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 变式5-4．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可． 【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得， 解得，， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率是； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 一、单选题 1．23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 2（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 3（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 4（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 5（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的计算公式先求出和，再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断. 【详解】因为，，， 所以，，； 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，故A不正确； 对于B，，所以事件A与事件B不独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由，得， 所以，故D正确； 故选：D. 6（24-25高二下·浙江·期中）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依次考虑每次抽取不同颜色球的概率情况，再根据独立事件概率乘法公式和互斥加法公式求解即可. 【详解】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为， 第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为， 第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为， 而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序， 三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球； 第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球； 第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球； 第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球； 第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况. 每种情况的概率都是，所以3次颜色均不相同的概率为. 故选：A 7（2025高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出第次是丙投篮的所有情况，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的加法公式可求得所事件的概率. 【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示： 第1次投篮 第2次投篮 第3次投篮 第4次投篮 第5次投篮 情况1 甲（投中） 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙 情况2 甲（投中） 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况3 甲（未投中） 乙（投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况4 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况5 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况6 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙（投中） 丙 因此第次是丙投篮的概率为， 故选：B. 8（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据古典概型概率公式，结合和事件、对立事件的概率公式计算可得. 【详解】由题意可知，，故A，B正确； 事件为事件的对立事件，且事件两两互斥， ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 10（24-25高一上·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，故A错误； 对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确； 对于CD，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是，故CD错误. 故选：ACD. 11（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】ACD 【分析】由已知易求得判断A；若，计算可判断B；由，，计算可判断C；利用相互独立事件的概率公式计算可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则， 若，则， 所以，故C正确； 若、相互独立，则也相互独立，所以， 所以和至少有一个发生的概率为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·安徽宿州·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 【答案】0.44/ 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 13（2025·宁夏石嘴山·三模）某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解． 【详解】该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为, 故答案为：. 14（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率. 【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 【答案】 【分析】根据抛掷硬币出现正面的概率为，摸出的小球的是白色的概率也是，用这种方法用于个运动员，可得个运动员回答“是”，可得这人中有人回答“是”的运动中使用了兴奋剂，根据古典概率及概率的计算公式，即可求解. 【详解】因为掷硬币出现正面的概率是，大约有100人回答了第一个问题，因为摸出的小球的是白色或黑色的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂． 16（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 17（22-23高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 18（22-23高二下·甘肃张掖·阶段练习）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大. 【答案】(1) (2)甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大. 【分析】（1）分两种情况，根据三局比赛的胜负情况，结合独立事件概率公式，即可求解； （2）分三种情况讨论甲最终获得冠军的概率，即可判断. 【详解】（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况： ①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜， 其概率为； ②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 其概率为. 所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为. （2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种： 甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 所以甲能获得冠军的概率为. 若第一局为甲丙比， 则同上可得甲获得冠军的概率为. 若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局， 则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果. 因为， 所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大. 19. （2025·山东潍坊·二模）有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，待别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为． (1)当时，求恰好有次成功的概率； (2)令，若，证明：； (3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）分情况讨论：①失败，成功；②成功，失败.分别计算出两种情况下的概率，相加即可得解； （2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功，求出失败发生在第次的概率为，即可得出，即可证得结论成立； （3）判断出，求出的表达式，然后证明这个不等式成立，即证，结合不等式的基本性质证明即可. 【详解】（1）当时，恰有次成功即恰有次失败， 由于必成功，因此失收只能发生在或上， 当失败，成功时，概率为， 当成功，失败时，概率为， 所以恰有次成功的概率． （2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功． 则前次均成功的概率为． 第次失败的概为， 后续次成功的概率为， 所以失败发生在第次的概率为， 则. （3），理由如下： 所有试验均成功的概率为， 即证，即．① 因为当时，即， 所以． 即， 所以①式成立，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$