第1部分 第4章 微专题6 解直角三角形常见模型（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

微专题六　解直角三角形常见模型 模型1　背靠背型 模型特点 两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角边在公共边两侧 模型 原型 若三角形中有已知角，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，原则上辅助线不破坏题中所给定的角度，其中公共边CD是解题的关键． 等量关系：CD为公共边，AD＋BD＝AB 模型 变式 图1　　 图2 等量关系：如图1，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图2，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB [例1] (2024·甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 解：过P作PC⊥AB于C， 在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100海里， ∴PC＝AP·sin A＝100×sin 37°≈100×0.6＝60(海里)， AC＝AP·cos 37°≈100×0.8＝80(海里)， 在Rt△PBC中，∠B＝45°， ∴BC＝PC＝60(海里)， ∴AB＝AC＋BC＝80＋60＝140(海里)， 答：B处距离A处有140海里． 1．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为多少米．(参考数据：sin 40°≈，sin 63.6°≈，tan 50°≈，tan 63.6°≈2) 解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥PE于点F. 由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12 m，PE＝60 m， ∴PF＝PE－EF＝48 m， 在Rt△PFC中，tan 63.6°＝＝2， ∴CF＝24 m，∴BE＝24 m， 在Rt△APF中，tan 50°＝＝， ∴AE＝50 m，∴AB＝AE＋BE＝74 m. 模型2　母子型 模型 特点 两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角边在公共边同侧且共顶点 模型 原型 若三角形中有已知角，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，原则上辅助线不破坏题中所给定的角度，其中公共边BC是解题的关键． 等量关系：BC为公共边，AD＋DC＝AC． 模型 变式 　　　　 　　　 等量关系：如图1，BE＋EC＝BC；如图2，EC－BC＝BE；如图3，AC＝FG，AF＝CG，AD＋CD＝FG，BC＋AF＝BG；如图4，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图5，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝CG，AC＋BD＋DF＝AG；如图6，DE＝FC，DF＝EC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图7，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE [例2] 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是__51__m.(参考数据：tan 63°≈2) 　　 2．(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　A　) A．25 米 B．25米 C．25 米 D．50米 模型3　拥抱型 模型特点 两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角边在公共边同侧且不共线 模型原型 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键． 等量关系：BC为公共边 模型变式 等量关系：如图1，BF＋FC＋CE＝BE；如图2，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝BE＝AG [例3] (2024·聊城月考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24 m．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，≈1.73) 思维导引：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，因为tan∠BDA＝，可求出AD，又由tan 30°＝，可求出CD，即得到答案． 解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°， ∴tan∠BDA＝＝≈1.33， ∴AD＝≈18.05(米)． ∵tan∠CAD＝tan 30°＝＝＝， ∴CD＝18.05×≈10.4(米)． 故办公楼的高度约为10.4米． 3．(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i＝1∶，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. (1)求点B离水平地面的高度AB； (2)求电线塔CD的高度(结果保留根号)． 解：(1)∵斜坡BE的坡度i＝1∶， ∴＝＝，∵tan∠BEA＝＝， ∴∠BEA＝30°，∵BE＝6 m，∴AB＝BE＝3(m)． 答：点B离水平地面的高度AB为3 m. (2)作BF⊥CD于点F， 则四边形ABFC是矩形，AB＝CF＝3，BF＝AC，设DF＝x， 在Rt△DBF中， tan∠DBF＝， ∴BF＝＝x， 在Rt△ABE中，AE＝＝3， 在Rt△DCE中，DC＝DF＋CF＝x＋3， tan∠DEC＝，∴EC＝＝(x＋3)， 又BF＝AE＋EC，∴3＋(x＋3)＝x， ∴x＝6＋6，∴CD＝6＋6＋3＝6＋9. 答：电线塔CD的高度为(6＋9)m. 学科网（北京）股份有限公司 $$