第1部分 第4章 第15节 三角形及其性质（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第15节　三角形及其性质 1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． 2．探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．了解三角形重心的概念． 　三角形的相关概念及其性质 1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形分类 (1)按角分类：锐角三角形，__直角__三角形，钝角三角形． (2)按边分类：三边都不相等的三角形，等腰三角形(包括：底和腰不相等的等腰三角形，__等边__三角形)． 3．三角形的有关性质 (1)三角形的稳定性：三角形具有__稳定性__，四边形不具有稳定性． (2)三角形的三边关系：三角形的任意两边之和__大于__第三边，三角形的两边之差__小于__第三边． (3)三角形的内角和定理及其推论 ①三角形三个内角的和等于　180°　； ②直角三角形的两个锐角__互余__； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的__和__，__大于__与它不相邻的任意一个内角． 　三角形中的重要线段 重要 线段 定义 图形 字母表示及 重要结论 高线 过三角形一个顶点作对边所在直线的垂线段 AD为BC边上的高 (1)AD__⊥__BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°； (2)S△ABC＝　BC·AD　 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 AD为中线 (3)BD＝__DC__＝__BC__； (4)S△ABD＝S△ADC＝　　S△ABC 角平 分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点连接的线段 AD为∠BAC的平分线 (5)∠BAD＝__∠DAC__ ＝__∠BAC__； (6)点D到AB和AC的距离相等； (7)＝＝ 中 位 线 连接三角形两边中点的线段 D，E分别为AB，AC的中点，DE是中位线 (8)AD＝DB， AE＝EC； (9)DE∥BC，且DE＝　BC　; (10)△ADE与△ABC的相似比为__1∶2__，面积比为__1∶4__ 垂直 平分 线(中 垂线) 三角形中经过一条边的中点，且垂直于这条边的直线 DM所在直线为AB边的垂直平分线 (11)AM__＝__BM且DM__⊥__AB；AD＝__BD__ 　三角形三边的关系 [例1] (1) 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　D　) A．2 cm,1 cm,1 cm B．3 cm,8 cm,4 cm C．7 cm,3 cm,11 cm D．4 cm,5 cm,6 cm (2) 一个三角形的两边长分别是8和5，则第三边长可以是__4(答案不唯一)__(只填一个即可)． 　三角形的内角和定理与外角性质 [例2] (1)(2024·德阳)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　B　) A．10° B．20° C．30° D．40° (2)(2024·连云港)如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝__30__°. [例3] (2024·石家庄三模)如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为　64°　. 在计算与三角形有关的角度时，先判断出要求的角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求角度． 　三角形中的重要线段 [例4] (1)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中正确的是(　A　) A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的高 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的角平分线 (2)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AD，CE分别是边BC，AB上的高，则＝(　A　) A． B． C． D．2 [例5] (1)(2024·广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　D　) A．45° B．50° C．60° D．65° (2)如图，BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，若∠A＝70°，则∠E＝(　C　) A．15° B．25° C．35° D．45° 1．下列多边形具有稳定性的是(　D　) A B C D 2．(2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　C　) A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(　B　) A．6 B．9 C．12 D．15 4．(2024·凉山)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是__100°__. 5．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝__100°__. 6．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 已知：如图，△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB. 解：选择方法一，证明：过点A作DE∥BC，则∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC(两直线平行，内错角相等)．点D，A，E在同一条直线上，∴∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°(平角的定义)，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$