第1部分 第4章 第14节 线、角、相交线与平行线（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第四章　三角形 2024年湖北中考数学既注重了对三角形基础知识、基本技能的考查，也注重了对学生思维过程和分析问题、解决问题能力的考查．考题侧重于培养学生几何直观、推理能力、运算能力等核心素养．考情分析如下： 题型 题号 分值 占比 难易程度 考点 核心素养 选择 4 3 2.5% 易 平行线的性质 几何直观 填空 15 3 2.5% 难 三角形及其性质、 全等三角形的性质、 等边三角形的性质、 相似三角形的判定与性质 几何直观 推理能力 运算能力 解答 18 6 5% 易 解直角三角形， 相似三角形的判定与性质 几何直观 推理能力 运算能力 合计 12 10% 第14节　线、角、相交线与平行线 1．了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念；了解平行于同一条直线的两条直线平行；了解定义、命题、定理、推论的意义；了解原命题及其逆命题的概念；知道证明的意义和证明的必要性．了解反例的作用． 2．理解线段的和、差，以及线段中点的意义；理解对顶角、余角、补角等概念；理解垂线、垂线段等概念；理解两点间距离的意义，能度量和表达(新增)两点间的距离；理解点到直线的距离的意义；理解平行线、线段垂直平分线的概念，理解角平分线的概念(新增)． 3．探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质；探索并证明平行线的判定定理；掌握平行线的判定定理和性质定理；探索并证明角平分线和线段垂直平分线的性质定理及其逆用；掌握五个基本事实． 　直线与线段 1．直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有__一条直线__.简单说成：两点确定一条__直线__. 2．线段的基本事实：两点的所有连线中，__线段__最短．简单说成：两点之间，__线段__最短． 3．线段的和与差：点B为线段AC上一点，则有AB＋BC＝__AC__；AB＝__AC__－BC；__BC__＝AC－AB. 4．线段中点的性质：若点M是线段AB的中点，则有AM＝__BM__＝AB或AB＝2AM＝2__BM__. 　角的相关概念及性质 1．度、分、秒的转换：1周角＝__360°__,1平角＝__180°__,1°＝60′，1′＝__60″__. 2．余角、补角的定义及性质 (1)余角的定义：如果两个角的和等于__90°(直角)__，则这两个角互为余角； 性质：同角(等角)的余角__相等__. (2)补角的定义：如果两个角的和等于__180°(平角)__，则这两个角互为补角； 性质：同角(等角)的补角__相等__. 3．角平分线 (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成__两个相等__的角的射线，叫做这个角的平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离__相等__.　 (3)判定：在角的内部，到角的两边的距离__相等__的点在角的平分线上． 　相交线 1．邻补角 (1)定义：如果两个角有一条__公共边__，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角． (2)性质：互为邻补角的两个角之和等于180°. 2．对顶角 (1)定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的__反向__延长线，则称这两个角是对顶角． (2)性质：对顶角相等． [提示]相等的两个角不一定是对顶角． 3．三线八角 (1)同位角：如∠1与∠5； (2)内错角：如∠2与∠8； (3)同旁内角：如∠2与∠5. 4．垂线性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 6．线段垂直平分线 (1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． (2)判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 　平行线 1．平行公理及推论 (1)公理(基本事实)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即如果b∥a，c∥a，那么b∥c． 2．判定与性质 (1)同位角相等两直线平行；此判定方法是基本事实． (2)内错角__相等__两直线平行； (3)同旁内角__互补__两直线平行． [提示]在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 3．两条平行线之间的距离 (1)定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的__距离__叫做这两条平行线间的距离． (2)性质：两条平行线之间的距离处处__相等__；夹在两条平行线间的平行线段处处相等． 　定义、命题、定理、公理、证明 1．定义：能明确指出概念、含义或特征的句子，它必须__严密__. 2．命题 (1)定义：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成． (2)真命题：正确的命题称为__真命题__. (3)假命题：错误的命题称为__假命题__. (4)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为__互逆命题__. 3．定理：经过推理证实的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是__真命题__，所以不是所有的定理都有逆定理． 4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做__公理__. 5．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑思维推理来判断一个命题是否正确，这个推理过程称为__证明__. 6．反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而推出假设不成立，原命题得证. 　角、线段的性质及运算 [例1] (1)(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　C　) A．20° B．40° C．60° D．80° (2)宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②两个同学分别抓住毛线的两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的线．这种画法的数学依据是(　B　) A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段的中点的定义 D两点的距离的定义 [例2] (1)(2024·北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　B　) A．29° B．32° C．45° D．58° (2)如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是－1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是　2－1　. 　角平分线及垂直平分线的性质与判定 [例3] (1)(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　C　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在(　A　) A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 [例4] (1)(2024·凉山)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　C　) A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm (2)(2024·武汉期中)如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，若∠BAC＝100°，则∠EAF为(　B　) A．15° B．20° C．25° D．30° 　平行线的判定和性质 [例5] (1)(2024·湖北)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通．若∠1＝120°，则∠2的度数是(　B　) A．50° B．60° C．70° D．80° (2)(2024·凉山)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为(　B　) A．10° B．15° C．30° D．45° [例6] (1) 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为(　B　) A．30° B．40° C．50° D．70° (2) 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　C　) A．80° B．90° C．100° D．120° 　命题和证明 [例7] 下列命题是假命题的是(　D　) A．如果两个实数是正数，那么它们的积也是正数 B．在一个三角形中至少有两个锐角 C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等 D．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 1．(2024·陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　B　) A．25° B．35° C．45° D．55° 2．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(　A　) A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 3．如图，从学校A到书店B有①，②，③，④四条路线，其中最短的路线是(　B　) A．① B．② C．③ D．④ 4．(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜的夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4的度数为(　B　) A．40° B．50° C．60° D．70° 5．请写出命题“如果b－a＜0，那么a＞b”的逆命题：__如果a>b，那么b－a<0__. 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. (1)求∠BAD的度数； (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC． (1)解：∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°. (2)证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝50°. ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°. ∵∠BCD＝50°，∴∠BCD＝∠AEB. ∴AE∥DC． 学科网（北京）股份有限公司 $$